文档内容
专题 01 二次根式化简常考压轴（四大类型）
专题分析
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学
习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高
中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】
【类型二】含字母的二次根式化简 (注意范围)】
【类型三】双重二次根式化简
【类型四】二次根式有意义的条件
【类型一：利用数轴化简根式 】
【 典 例 1 】 已 知 ， 如 图 所 示 ， 实 数 a 、 b 、 c 在 数 轴 上 的 位 置 ． 化 简 ：
．
【 变 式 1-1 】 已 知 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 ， 则 化 简 ：
，得（ ）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b
【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： ．
【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： + ﹣|
a﹣b|．
【 变 式 1-4 】 已 知 实 数 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 所 示 ， 化 简
．
【类型二：含字母的二次根式化简 (注意范围) 】
【典例2】化简﹣x 的结果是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣
【变式2-1】已知a＞b，则 的化简结果是（ ）A． B．﹣ C． D．﹣
【变式2-2】化简 的结果正确的是（ ）
A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2
【变式2-3】化简 ﹣a 的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【变式2-4】化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【类型三：双重二次根式化简 】
【典例3】材料：如何将双重二次根式 （a＞0，b＞0，a±2 ＞0）化简呢？如
能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（ ）2+（ ）2＝a，即m+n＝a，且使
＝ ，即m•n＝b，那么 ＝（ ）2+（ ）2±2 ＝（ ±
）2∴ ＝ ，双重二次根式得以化简．
例如化简： 因为 3＝1+2 且 2＝1×2∴3±2 ＝（ ）2+（ ）2±2 ×
＝|1± |．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到m，n（m＞
0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次
根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： ＝ ， ＝ ；（2）化简： ；
（3）计算： + ．
【变式3-1】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小李同学进行了以下探索：
设 （ 其 中 a 、 b 、 m 、 n 均 为 整 数 ） ， 则 有
．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别
表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个
式子的平方，如：
；
+2×1× ＝（1+ ）2．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将7+2 化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简； ．
【变式探究】
（3）若a+2 ＝ ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，使得
＝ m ， ， 那 么 便 有 ：
（a＞b）．
例如：化简 ：
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：
＝ 7 ， ， 所 以
．
问题：
（1）填空： ＝ ， ＝ ；
（2）化简： （请写出计算过程）；
（3）化简： ．【类型四：二次根式有意义的条件】
【典例4】已知x，y为实数，y＝ ，求xy的平方根．
【变式4-1】已知y＝ ﹣ +9x，求 的平方根．
【变式4-2】已知 +2 ＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+ ＝x，求x﹣20152的值．
1．若2＜a＜3，则 等于（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣12．把 a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
3．若|2017﹣m|+ ＝m，则m﹣20172＝ ．
4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简： ﹣ +|b+c|+|a﹣
c|．
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），
则有 （有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子 化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含c、d的式子分别表
示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若 ，且e、f均为正整数，试化简： ；
（3）化简： ．
6．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝，则a±2 将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使 得以化简．例
如，因为 5+2 ＝3+2+2 ＝（ ）2+（ ）2+2 × ＝（ + ）2，所以
＝ ＝ + ．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1） ；
（2） ．
7．x、y均为实数y＜ + + ，化简： ．
8．若 ＝ • ，求（x+1） 的值．
9．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+
（ ）2＝m， • ＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± （a＞
b），例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（ ）2+（ ）2＝7， • ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2+ ．
由上述例题的方法化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简 +|a+b|+| ﹣a|﹣
．
11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简 + ﹣ ．
