专题01二次根式全章复习攻略（3个概念4个性质1个运算2个技巧专练）教师版_初中数学_八年级数学下册（人教版）_期末专项复习-U276_2024版

专题 01 二次根式全章复习攻略（3 个概念 4 个性 质 1 个运算 2 个技巧专练） 3个概念 【考查题型一】二次根式 1 3, , 0.02, 0 a(a0) 2 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. a a0 a0 a 要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， a 才有意义. 【例1】．（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式中，不是二次根式的是( )A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，是二次根式，故本选项不符合题意； B． 被开方数为 无意义，不是二次根式，故本选项符合题意； C． 由于 ，是二次根式，故本选项不符合题意； D． ，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 且 / 且 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条 件得出 和 是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出 且 ，再求出答案即可． 【详解】 解： 代数式 有意义， 且 ， 解得： 且 ， 实数x的取值范围是 且 ． 故答案为： 且 ． 【变式1-2】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若 都是实数，且 ， 的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得： ， ，从而得出代入式子求得 ，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， ， 解得： ， 将 代入 得： ， ， 故答案为： ． 【变式1-3】．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知 ，求 的值． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、二次根式的性质等知识，熟练掌握相知识 是解题关键．首先根据二次根式有意义的条件可得 ，进而化简绝对值，可得 ，然后求解即 可． 【详解】解：根据题意，可得 ， 解得 ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 解得 ， 经检验 为方程的解， 所以 的值为13． 【考查题型二】代数式 【例2】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ， ． (1)分别求 ， 的值； (2)利用（1）的结果求下列代数式的值： ① ； ② ．【答案】(1) ， (2)① ；② 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式的运用，二次根式的混合运算，熟知二次根式的 加减法则是解题的关键． （1）直接把x，y的值代入进行计算即可； （2）把（1）中的 ， 的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）由（1）知 ， ， ① ； ② ． 【变式2-1】．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知 ，则代数式 的值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把 的值代入原式， 根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式2-2】．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查无理数的估算及代数式化简求值．先由 得到 ，进而得出a和 b，代入 求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为： ． 【变式2-3】．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点 ，则由勾股定理可得，这两点间的距离 ．例如．如图1， ，则 ．【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点 ，P为x轴上任一点，求 的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2) 的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的 关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出 的最小值． （3）把 看成点 到两点 和 的距离之和，求出两点 和 的距离便是 的最小值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接 ，则 ， 由轴对称的性质可得 ， ∴ ， ∴当A、P、C三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值为 的长， ∵ ， ∴ ，∴ 的最小值为 ； （3）∵把 看成点 到两点 和 的距离之和， ∴两点 和 的距离便是 的最小值， ∴最小值为： ． 【考查题型三】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可 化为平方数或平方式的因数或因式． 【例3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根 式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断． 【详解】解：A、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、 ，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意； C、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意；D、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当 时， 和 两个最简二次根 式是同类二次根式． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ 和 两个最简二次根式是同类二次根式， ∴ ，解得： ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的 关键． 【变式3-2】．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 . 【答案】4 【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识 点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案． 【详解】 解：∵ ， 又∵ 是最简二次根式， ∴根据同类二次根式的性质有： ， 解得： ， 故答案为：4． 【变式3-3】．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式 ， ， ， ， 中，是最简 二次根式的为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解： ， ， ， 故这些二次根式中是最简二次根式的为： ， ． 故答案为： ， 4个性质 （1） ； （2） ； （3） . a a ( a)2 a0 要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 x0 （ ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 a2 a ( a)2 a 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； a2 a ( a)2 a a0 = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 【考查题型四】 【例4】．化简(－3)2的结果为( ) A．21 B．－21 C．147 D．63 【变式4-1】．化简：()2＝ ；()2＝ . 【答案】3， 【变式4-2】.计算： (1)()2； (2)(－)2； (3)(4)2.解析】(1)原式＝；(2)原式＝7；(3)原式＝42·()2＝16×3＝48. 【 【变式4-3】．计算下列各题： (1)2()2; (2)(2)2； (3)(－2)2; (4)()2. 【解析】（1）原式＝10; （2）原式＝20； （3）原式＝； （4）原式＝a2＋1. 【考查题型五】＝a(a≥0) 【例5】计算： (1)； (2)； (3). 【解析】(1)原式＝＝； (2)原式＝＝＝； (3)原式＝＝－1. 【考查题型六】积的算术平方根的性质 【例6】．（21-22八年级下·广西梧州·期中）计算 正确的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式6-1】．（22-23八年级下·广西南宁·期中）计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法法则．熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．【变式6-2】．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）化简： ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 【变式6-3】．（23-24八年级上·广东茂名·期中）计算： ； 【答案】 【分析】先计算乘法，再化简，即可求解； 【详解】解： 【考查题型七】商的算术平方根的性质 【例7】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的除法运算，解题关键是掌握二次根式的除法法则．根据二次根式的除法法则进行运 算即可得解． 【详解】解：原式= ， 故答案为 ． 【变式7-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： ．【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式除法法则．直接进行二 次根式的除法运算即可，然后再化简． 【详解】 ． 故答案为： ． 【变式7-2】．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式7-3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 1个运算 【考查题型八】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  (a0,b0) a a  (a0,b0) b b b b 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类 二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次 23 25 2 (135) 2  2 根式.如 . 【例8】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注 意运算顺序． （1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行 计算即可． 【详解】（1）解： ；（2） ． 【变式8-1】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方 差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提． （1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可； （2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【变式8-2】．（22-23八年级下·四川广安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式8-3】．（22-23八年级下·四川南充·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、完全平方公式，熟练掌握运算方法是关键． （1）先化简，再计算减法即可； （2）先利用完全平方公式展开，再计算加减即可． 【详解】（1） ； （2）． 【考查题型九】倒数法比较大小 【例9】．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较 与 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． （2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． 【详解】（1）∵ ， ， ， ， ∴ ． （2）∵ , , ∴ , ,∵ , ∴ , ∴ ． 【变式9-1】．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）已知： 分别是 的整数部分和小数部分， (1)求： 的值； (2)比较 与 的大小 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可得出 、 的值； （2）利用倒数法比较即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的整数部分 ，小数部分 ， ∴ ， ； （2） ； ， ， ． ． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些． 【变式9-2】．（21-22八年级下·江西宜春·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式， 我们你这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理 化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简： _______； ________； (2)比较 与 的大小，并说明理由； (3)解方程： 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】(1)直接进行分母有理化即可； (2)通过变形得到 ， ，比较分母的大小即 可求出原来两个式子的大小关系； (3)设 ，再与原方程相乘得到 ，进而求出 ；再将 与原方程相加得到 ，求出 ，最后检验即可． 【详解】（1）解： ；． （2）解：∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， 即： ． （3）解：设 ，与原方程相乘得： ， 整理得到： ， 解之得 ， ∴ ，与原方程相加得： ， ， 即： ， 解得： ， 经检验： 是原方程的根， ∴方程的根是11． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中 细心即可． 【变式9-3】．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：(1)化简： ______， ______（n为正整数） (2)比较大小： ______ （填“ ”，“ ”或“ ”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： ______ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以 ， ，即可求解； （2）先求出 和 ，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为 ，即 可求解． 【详解】（1）解： ； ， 故答案是： ， ； （2）解：∵ ，， 且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案是：＜； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意， 理解题意是解题的关键． 【考查题型十】整体代入求值 一、解答题 【例10】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知 ，求下列式子的值： (1) ； (2) 【答案】(1) (2)【分析】（1）根据已知条件式得出 ，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）将 ，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式10-1】．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知 ， ，求下列代数式的值： (1) ； (2) ． 【答案】(1)24 (2)26 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值： （1）先求出 ， ，再根据 进行求解即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解： ．【变式10-2】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知 ，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式，先计算 ，代入计算即可． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 【变式10-3】．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知 ，求代数式 的值．下面是小敏的解题方法： 解：由 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ．把 作为整 体代入，得 ． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若 ，求代数式 的值； (2)若 ，求代数式 的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键． （1）先求出 ，进而得到 ，则 ，再把 整体代入所求式子中求 解即可； （2）先仿照题意求出 ，则 ，再把 变形为 ， 进一步变形为 ，由此可得答案．【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．