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专题 10 分式方程实际应用压轴题的四种考法全攻略
类型一、销售利润问题
例．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多
多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各
地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；
第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该
专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上
涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计
61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在
11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店
把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销
售总金额为多少元？
【答案】（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品
进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
【分析】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进
A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需
要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店
销售这两批A商品的销售总金额．
【详解】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：
，得， ，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得， ，解得，m=8，检验，m=8是原分式方程的
解，
故11月份购进的A商品数量为 （件），
12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题
意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多
10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，
且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进
价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元
(2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（ ）元，
根据题意得： ，解得 ，经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴ ，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
(2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120－m）个，总利润为W元，
∵ ，∴ ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
∴ 时，W最大，且 ，此时 ，
答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽
车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货
单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系
yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝
﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利
润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少
万元？
【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元
(2)①B型汽车的最低售价为 万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万
元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得： ＝ ，
解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），
答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；
(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），解得：t≥ ，
∴t的最小值为 ，即B型汽车的最低售价为 万元/台，
答：B型汽车的最低售价为 万元/台；
②根据题意，得：w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）
＝﹣2t2+48t﹣265
＝﹣2（t﹣12）2+23，
∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．
答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最
大，最大利润是23万元．
【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 元，空调的销售价为每台
元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 元，商场用 元购进电冰箱的数量与
用 元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共 台，设购进电冰箱 台，这 台家电的销
售总利润 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 倍，且购进电冰箱不多于 台，
请确定获利最大的方案以及最大利润．
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售
价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这 台家电销售总利润最大的进货
方案．
【答案】（1）每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元；（2）当购进电
冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元；（3）当 时，购进电冰
箱 台，空调 台销售总利润最大；当 时， ，各种方案利润相同；当
时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大
【解析】解： 设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元，
根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意， ，
答：每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元．设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总利润为 元，
则 ，
根据题意得： ，解得： ，
为正整数， ， ， ， ， ， ， ， 合理的方案共有 种，
即 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台；
电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台；
电冰箱 台，空调 台；
， ， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值，最大值为： 元 ，
答：当购进电冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元．
当厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润 ，
当 ，即 时， 随 的增大而增大，
， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调
台；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调
台；
答：当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大．
类型二、方案问题
例．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 米长的道路进行改造，现安
排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工
程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中
）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）方案二所用的时间少
【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙
工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，则甲工程队每天道路的长度为
米，
根据题意，得： ，解得： ，
检验，当 时， ，
∴原分式方程的解为： ， ，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为： ，
方案二所用时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即： ，
∴方案二所用的时间少．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式
方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
【变式训练1】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之
一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，
七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案
的讨论：
(1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
(2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（ ），请分别写出每种加油
方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述
哪种加油方式更合算．
【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个
(2)方式一： ，方式二： ；选择方式二
【分析】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a 个，则每辆乙种大巴车的座位数为
个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，
求解即可；
（2）根据“加油费用 加油量 加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作
差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．
【详解】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a 个，则每辆乙种大巴车的座位数为
个，
根据题意可得： ，解得： ，
经检验， 为原方程的解，则 ，
答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；
（2）解；按照方式一加油的平均单价为 （元/升），按照方式一加油的
平均单价为 （元/升），
按方式二加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得：
（元/升），
∵ ， ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴选择方式二加油更合算．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：（1）正确理解题意，找
准等量关系列出方程，并进行正确的求解；（2）利用“加油费用＝加油量×加油单价”列
出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95
件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、
乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计
算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种
牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲
种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【详解】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为： 元
根据题意，得： ，∴
当 时， ，且
∴ 是方程 的解，∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件
∵两种牛奶的总数不超过95件，∴ ，∴
∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，∴
∴ ，∴ ，∴
∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年
的售价比去年同期每件降价 元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为 万元，今
年销售额只有 万元．
（1）今年这种产品每件售价多少元？
（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为 元；
产品乙每件进价为 元，售价 元，公司预计用不多于 万元且不少于 万元的资
金购进这两种产品共 件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
【答案】（1）今年这种产品每件售价为 元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货
件，乙产品进货 件；方案②：甲产品进货 件，乙产品进货 件；方案③：甲产品进货
件，乙产品进货 件；方案①的利润更高．
【详解】解： 设今年这种产品每件售价为 元，
依题意得： ，解得： ．经检验： 是原分式方程的解．
答：今年这种产品每件售价为 元．
设甲产品进货 件，则乙产品进货 件．
依题意得： ，
解得： ，
因此有三种方案：
方案①：甲产品进货 件，乙产品进货 件；
方案②：甲产品进货 件，乙产品进货 件；
方案③：甲产品进货 件，乙产品进货 件.
方案①利润： ，
方案②利润： ，
方案③利润： ，
，
方案①的利润更高.
类型三、行程问题
例．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行
驶，一小时后以原来速度的 倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地，设前一
小时行驶的速度为 ．
(1)直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______h；
(2)求汽车实际走完全程所花的时间；
(3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以a km/h的速度行驶，另一半路程以 的速
度行驶 ，则用时 小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以
的速度行驶，则用时 小时，请比较 、 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)汽车实际走完全程所花的时间为 h；
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出x的值，再将其代入 中即可求出结论；
（3）利用时间=路程÷速度，分别找出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论．【详解】（1）解：∵设前一小时行驶的速度为 ，且提速后的速度为原来速度的
倍，
∴提速后走完剩余路程的时间为 （h），
（2）依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：汽车实际走完全程所花的时间为 h；
（3） ，理由：
∵ ， ，
∴ ，
∵a，b均为正数，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间
的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；
（3）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出两种方案所需时间．
【变式训练1】．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年 月甲参加了两次登
山活动．
1
（ ） 月 日甲与乙同时开始攀登一座 米高的山，甲的平均攀登速度是乙的 倍，
结果甲比乙早 分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？
1 1 1 900 1.2
（ ） 月 日甲与丙去攀登另一座 米高的山，甲保持第（ ）问中的速度不变，比丙晚
15
出发 小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含 的
2 1 6 h 1
代数式表示）
0.5 h【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2） 倍.
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；
（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可
解答本题．
【详解】（1）设乙的速度为x米/分钟，
，解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，
即甲的平均攀登速度是12米/分钟；
（2）设丙的平均攀登速度是y米/分， +0.5×60＝ ，
化简，得y= ，
∴甲的平均攀登速度是丙的： 倍，
即甲的平均攀登速度是丙的 倍．
【变式训练2】． 两港之间的距离为 千米．
(1)若从 港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快 千米 时，
顺流所用时间比逆流少用 小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为 千米 时，水流速度为 千米 时，该船从 港顺流航行到
港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为 ；若轮船从 港航行到 港再返回
到 港 均为静水航行，且所用时间为 ，请比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)水流的速度为 千米/时
(2) ，理由见解析
【分析】（1）设水流的速度为 千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米 时，利
用时间差列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根据题意，分别表示出 与 ，根据分式的减法计算 ，即可求解．
【详解】（1）解：设水流的速度为 千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米 时，
根据题意得，
，
解得： ，经检验， 是原方程的解，
答：水流的速度为 千米/时；
（2）解：依题意，
∵ ， ，
∴
即 ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解
题的关键．
类型四、工程问题
例．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器收割10 公顷
小麦比80个农民人工收割这些小麦要少用1 小时．
（1）这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
（2）通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10公顷小麦比100个农民
人工收割这些小麦要少用了0.8小时．求这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率
的多少倍？
【答案】（1）5公顷；（2）150倍
【分析】(1)设一个农民的工作效率为 公顷/小时，则这台收割机的工作效率为 公
顷/小时，根据农民工80人收割10公顷的时间减去收割机收割10公顷的时间等于1小时列
分式方程解答；
(2)设这台收割机的工作效率相当于-一个农民工作效率的 倍，根据收割10公顷小麦比100
个农民人工收割这些小麦要少用了0.8小时列方程解答.
【详解】(1)设一个农民的工作效率为 公顷/小时，则这台收割机的工作效率为 公
顷/小时.
依题意，得 ，解得 .检验:当 时: ， ，原方程的解为 ，
∴120x=5，
所以，这台收割机每小时收割5公顷小麦；
(2)设这台收割机的工作效率相当于-一个农民工作效率的 倍.
依题意，得 ，解得 .
检验： . 原方程的解为 ，
这台收割机的工作效率相当于-一个农民工作效率的150倍.
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意列分式方程是解题的关键.
【变式训练1】．2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程
队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了
600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同
时完成任务．
问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．
（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路
米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所
需时间为 小时．
（2）列出方程，完成本题解答．
【答案】（1）（x﹣40）； ； ；（2）甲工程队每小时抢修道路160米，乙工
程队每小时抢修道路200米
【分析】（1）甲队每小时比乙少40米，得到甲工程队每小时抢修道路（x﹣40）米，用工
作总量除以工作效率得到甲的时间为 ，乙的时间为 ；
（2）根据（1）即可列得方程，解方程得到答案.
【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路（x﹣40）米，
甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需
时间为 ＝ 小时．
故答案为：（x﹣40）； ； ．
（2）依题意，得： ＝ ，
解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣40＝160．
答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解工作量、工作效率、工作时间的关系式
是解题的关键.
【变式训练2】．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土
地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是
吨；（用含a、m的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5
小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2） ，
；（3）两组一起收割完这块麦田需要 小时．
【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）
由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，再
由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.
【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨，
根据题意可得：
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨，
根据题意得：
解得；y＝ ，
经检验：y＝ 是原方程的解，则现在小麦的平均每公顷产量是:
故答案为: ， ；
（3）根据题意得：
答：两组一起收割完这块麦田需要 小时．
【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式
是解题的关键.
【变式训练3】．2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村
级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千
米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于
工期需要，甲工程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高
了 ．设乙工程队平均每天施工 米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均
每天施工的米数 和施工的天数．
【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平
均每天施工20米，施工的天数为160天
【分析】（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路
硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论；
（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改
进后每天施工 （a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方
程，解之经检验后即可得出a值，再将其代入 中可求出施工天数．
【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为 千米，则道路硬化里程数为 千米，
依题意，得： ，
解得： ，
．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工 米，则甲工程队技术改进前每天施工 米，技术改进后每天施工点 米，
依题意，得：乙工程队施工天数为 天，
甲工程队技术改造前施工天数为： 天，
技术改造后施工天数为： 天．
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代
数式表示出施工天数；找准等量关系，正确列出分式方程．
课后训练
1．在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校教师各捐款30000元，若甲校教师比乙校教师人
均多捐50元，给出如下三个信息：
①乙校教师的人数比甲校的教师人数多 ；
②甲、乙两校教师人数之比为5：6；
③甲校比乙校教师人均捐款多 ；
请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校教师的人数各有多少人？
你选择的条件是________（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【答案】选择①或②或③均可；甲校教师有100人，乙校教师120人．
【分析】选择①时，用教师人数关系设未知数，用人均捐款数关系列分式方程；选择②时，
用比例关系设未知数，用人均捐款数关系列分式方程；选择③同①理．
【详解】解：序号①或②或③
选择①设甲校教师x人，则乙校教师1.2x人，根据题意得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
；答：甲校教师有100人，乙校教师120人；
选择②设甲校 人，则乙校 人，根据题意得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
∴ ， ，
答：甲校教师有100人，乙校教师120人；
选择③设乙校x人，则乙校人均捐款 元，甲校人均捐款 元，根据题意得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
∴甲校教师有 （人）．
答：甲校教师有100人，乙校教师120人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相
等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，
而另一个则用来设未知数．
2．重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将北滨二路安全堤坝路段改
建为滨江步道，一期工程共1100米，计划由甲施工队施工10天，乙施工队施工15天完成，
已知甲施工队比乙施工队每天多修20米．
(1)求甲乙施工队平均每天各修多少米？
(2)因步道延长，二期工程还需修建2260米，甲施工队和乙施工队同时开工合作修建这条步
道，直至完工．甲施工队按计划速度进行施工，乙施工队修建180米后，通过技术更新提
高了工作效率．步道完工时，在二期工作中，乙施工队修建的长度比甲施工队修建的长度
多20米．则乙施工队技术更新后每天修建多少米？
【答案】(1)施工队每天修56米，乙施工队每天修36米
(2)乙施工队技术更新后每天修建64米
【分析】（1）设甲施工队每天修x米，乙施工队每天修 米，根据一期工程共1100
米列方程求解即可；
（2）设乙施工队技术更新后每天修建m米，根据完工时两队用的时间相同列方程求解即
可．
【详解】（1）设甲施工队每天修x米，乙施工队每天修 米，由题意得，
，解得 ，
经检验 符合题意，
∴ 米．
所以甲施工队每天修56米，乙施工队每天修36米；
（2）设乙施工队技术更新后每天修建m米，
甲施工队修了 米，乙施工队修了 米，由题意得，
，
解得 ，
经检验 ，是原方程的解，而且符合题意，
所以乙施工队技术更新后每天修建64米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关
系，正确列出方程．
3．郑州市花卉种植专业户王有才承包了30亩花圃，分别种植康乃馨和玫瑰花，有关成本、
销售额见下表：
种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩）
康乃馨 2.4 3
玫瑰花 2 2.5
（1）2012年，王有才种植康乃馨20亩、玫瑰花10亩，求王有才这一年共收益多少万元？
（收益=销售额-成本）
（2）2013年，王有才继续用这30亩花圃全部种植康乃馨和玫瑰花，计划投入成本不超过
70万元.若每亩种植的成本、销售额与2012年相同，要获得最大收益，他应种植康乃馨和
玫瑰花各多少亩？
（3）已知康乃馨每亩需要化肥500kg,玫瑰花每亩需要化肥700kg，根据（2）中的种植亩
数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载化肥的总量是原计划每次装载总量
的2倍，结果运输全部化肥比原计划减少2次.求王有才原定的运输车辆每次可装载化肥多
少千克？
【答案】（1）17万元；（2）康乃馨25亩，玫瑰花5亩；（3）4000千克
【详解】试题分析：（1）仔细分析题意根据表中数据即可列算式求解；
（2）先设种植康乃馨x亩，则种植玫瑰花（30-x）亩列不等式，求出x的取值，再表示出
王有才可获得收益为y万元函数关系式求最大值；（3）设王有才原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏，结合（2）列分式方程求解．
解：（1）2012年王有才的收益为：20×（3-2.4）+10×（2.5-2）=17（万元），
答：王有才这一年共收益17万元；
（2）设种植康乃馨x亩，则种植玫瑰花（30-x）亩，由题意得
2.4x+2（30-x）≤70，解得x≤25，
又设王有才可获得收益为y万元，
则y=0.6x+0.5（30-x），
即y=0.1x+15．
∵函数值y随x的增大而增大，
∴当x=25时，可获得最大收益．
答：要获得最大收益，应养殖康乃馨25亩，玫瑰花5亩；
（3）设王有才原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏
由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5=16000（㎏），
根据题意得 ，解得a=4000，
把a=4000代入原方程公分母得，2a=2×4000=8000≠0，
故a=4000是原方程的解．
答：王有才原定的运输车辆每次可装载饲料4000㎏．
考点：一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用
点评：解题的关键是列不等式求x的取值范围，再表示出函数关系求最大值，再列分式方
程求解．
4．湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责
市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清
扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人
和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.
（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？
（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日
的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车
每天工作时间为6小时）？
（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工
作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．
2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，
此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少
名环卫工人参与直接清扫？
【答案】（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派
出5辆道路清扫车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.【分析】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意
可得 ，进行求解即可；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作，则(50×0.6+8m)×6=420，进行求解即可；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行
求解即可.
【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，
由题意可得 ，解得 ，
答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作,
则(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，
答：派出5辆道路清扫车参与工作；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意得
；解得:n=10.
答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性
强，有一定难度.关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，
要求学生对这类模型比较熟练.
