文档内容
专题 04 一次函数
【考点1】函数的概念★
【考点2】函数解析式★
【考点3】自变量取值范围★
【考点4】从函数图像获取信息★★
【考点5】一次函数的性质★★
【考点6】一次函数的图像★★
【考点7】一次函数与一元一次方程★★
【考点8】一次函数与二元一次方程组★★
【考点9】一次函数与不等式组★★
【考点10】一次函数的实际应用★★★
【考点11】一次函数与几何综合★★★★
【考点12】一次函数-情景题★★★
【知识点01】变量与函数
1.变量与函数
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如
果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
2.函数的解析式
像 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的
关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
3.自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【知识02】函数的图像
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【知识03】一次函数的图像和性质
1.一次函数的图像与性质
（1）一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
（2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
2.一次函数图像上点坐标的特征
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合
多想与之结合的几何图形的性质。
【知识04】一次函数与方程，不等式的关系
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中
不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范
围。
【知识05】一次函数的实际应用
行程类：
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
销售类：
1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量2、利用函数的增减性得到最大利润
【考点1】函数的概念★
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和
它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可．
【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不
合题意；
B、y是x的函数，该选项符合题意；
C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意．
故选：B．
2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各图象中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一
般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数概念的理解，
主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的
变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意
事项：①判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要
的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与其对应；②函数不是数，它
是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方
法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
根据函数的概念逐项分析判断即可．
【详解】解：A、根据图象可知，给x一个值，有且只有1个y值与其对应，满足函数的
定义，故选项A符合题意；
B、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
B不符合题意；
C、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
C不符合题意；
D、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
D不符合题意；
故选：A．
3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ）
3
A．y=2x−7 B．y= C．y=x2 D．y=±x
x
【答案】D
【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解： 有两个变量； 一个
变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； 对于①自变量的每一个②确定的
值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． ③
【详解】解：A．y=2x−7，y是x的函数，故该选项不符合题意；
3
B．y= ，y是x的函数，故该选项不符合题意；
x
C．y=x2，y是x的函数，故该选项不符合题意；
D．y=±x，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选
项符合题意；
故选：D．4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm．若点燃
后燃烧时间为x(h)，所剩余蜡烛的长为y(cm)，则在这个变化过程中，下列判断错误的
是（ ）
A．20是常量 B．x是自变量 C．y是因变量 D．x是y的函数
【答案】D
【分析】本题考查了函数的相关定义，根据函数的相关定义逐个判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm．若点燃后燃烧时间为x(h)，所剩余蜡烛的
长为y(cm)，则在这个变化过程中，20是常量，x是自变量，y是因变量，y是x的函数，
故A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意；
故选：D．
【考点2】函数解析式★
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，
那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
36−y
A．x= (90 )
根据题意，得： 36−2x>0 ，
2x>36−2x
解得：90时，y<3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：y=−3x+3，−3<0，
∴图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故选项A，B错误；
当x=−1时，y=−3×(−1)+3=6，图象经过(−1, 6)，故选项C错误；
当x=0时，y=3，
∴当x>0时，y<3，故选项D正确；
故选D．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知直线y=x+5过点A(−1,y )和点(−3,y )，则
1 2
y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y >y B．y 0可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不
符合题意；
C、一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移3个单位长度得到，
该选项错误，不符合题意；
D、由一次函数为y=−2x+3，当x=0时，y=3，函数图像与y轴的交点是(0,3)，该
选项正确，符合题意；
故选：D．
【考点6】一次函数的图像★★
1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）一次函数y=kx−b与正比例函数y=kbx（k，b为常
数，kb≠0）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系
确定k、b，再去对照正比例函数的图象与kb的关系，逐项判断即可．
【详解】解：A、由一次函数图象位置确定k>0，−b<0，b>0，故kb>0，正比例函
数图象满足这一关系，故选项A不符合题意；
B、由一次函数图象位置确定k>0，−b>0，b<0，故kb<0，正比例函数图象满足这
一关系，故选项B不符合题意；
C、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象满足这
一关系，故选项C不符合题意；
D、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象不满足
这一关系，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）两个一次函数y =kx−b，y =−bx+k，它们在同一
1 2
坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式
的关系式，是解题的关键．利用一次函数y=kx+b(k≠0)图象与k，b的关系，逐项判
断即可．
【详解】解：A、如果过第一、二、三象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，
1 1
k>0，b<0；由y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故A错误；
2
B、如果过第一、二、三象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k>0，b<0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故B错误；
2
C、如果过第一、三、四象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k>0，b>0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，故C正确；
2
D、如果过第二、三、四象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k<0，b>0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故D错误．
2
故选：C．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数y=−kx+m的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是
解题的关键．先根据题意判断出m、k的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限，
∴m<0，k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=−kx+m的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
4．（22-23八年级下·福建福州·期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一次函
数y=bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解
题关键．根据一次函数的图象和性质求解．
【详解】解：由图象得一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，
∴一次函数y=bx+k的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
【考点7】一次函数与一元一次方程★★
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，则
关于x的方程kx+b=2x的解是（ ）1
A．x= B．x=1 C．x=2 D．x=4
2
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式y=2x求出
m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2x的解可得答
案．
【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P(1,2)，
∴结合图象，关于x的方程kx+b=2x的解是x=1．
故选：B．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点(−1,3)，则
方程kx+b=3的解为（ ）
A．x=−1 B．x=3 C．x=−4 D．x=4
【答案】A
【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与
方程的解的关系是解题的关键．
根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解．
【详解】解：直线y=kx+b（k≠0）经过点(−1,3)，即当x=−1时，y=kx+b=3，
∴方程kx+b=3的解为x=−1，
故选：A ．
3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
则关于x的方程kx+b=2的解是（ ）1
A．x= B．x=1 C．x=2 D．x=4
2
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐
标．首先利用函数解析式y=2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就
是关于x的方程kx+b=2的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P(1,2)，
∴当x=1时，y=kx+b=2，
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=1，
故选：B．
【考点8】一次函数与二元一次方程组★★
3 9
1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数y=− x+ 的图象与y=kx+b的图
4 2
{3x+4 y−18=0)
象相交于点P(2,n)，则关于x，y的方程组 的解是（ ）
kx−y+b=0
{x=2) {x=2) {x=3) {x=3)
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题．
3 9
先把P(2,n)代入y=− x+ 中计算出n的值，从而得到P(2,3)，然后利用方程组的
4 2
解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
3 9 3 9
【详解】解：把P(2,n)代入y=− x+ 得n=− ×2+ =3，
4 2 4 2
即P(2,3)，
3 9
∵一次函数 y=− x+ 的图象与y=kx+b的图象相交于点P(2,3)，
4 2
{3x+4 y−18=0) {x=2)
∴关于x，y的方程组 的解为 ．
kx−y+b=0 y=3
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=x+4与直线
1
{ x−y=−4 )
l :y=mx+n交于点A(−1,b)，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
2 mx−y=−n
{x=−1) { x=3 ) {x=3) {x=−1)
A． B． C． D．
y=3 y=−1 y=1 y=−3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将A(−1,b)代入l :y=x+4得
1
出A(−1,3)，即可求解．
【详解】解：∵直线l :y=x+4与直线l :y=mx+n交于点A(−1,b)，
1 2
当x=−1时，y=−1+4=3，
∴ A(−1,3)，
∵ y=x+4可变形为x−y=−4，y=mx+n可变形为mx−y=−n，
{ x−y=−4 ) {x=−1)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
mx−y=−n y=3
故选A．3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知两个一次函数y=ax+b和y=kx的图
{y=ax+b)
象交于点P，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
y=kx
{x=−4) { x=2 ) {x=−2) {x=−4)
A． B． C． D．
y=−2 y=−4 y=−4 y=2
【答案】A
【分析】考查了一次函数与二元一次方程（组)方程组的解就是使方程组中两个方程同
时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，
因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由图可知：两个一次函数
的交点坐标为(−4,−2)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组
正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，
即x=−4，y=−2同时满足两个一次函数的解析式．
{y=ax+b) {x=−4)
所以关于x，y的方程组 的解是 ．
y=kx y=−2
故选：A．
4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）如图，直线y=x+m与直线y=kx+b相交于点P，则
方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关
系．由图象得出两条直线的交点即可求出方程组的解．
【详解】解：∵直线y=x+m与直线y=kx+b相交于点P(2，4)，
{x=2)
∴方程组¿的解是 ，
y=4
故选：D．
5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）一次函数y=kx+b图象如图，则关于x的方程
kx+b=0的解为（ ）
A．x=−3 B．x=−2 C．x=2 D．x=3
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，从数与形两个方面理解两者
的关系是解题的关键；因此此题可直接根据图象进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：关于x的方程kx+b=0的解为x=−3；
故选A．
【考点9】一次函数与不等式组★★
1．（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数y =−2x与y =ax+3的图象相交于
1 2
点A(m,2)，则关于x的不等式−2x>ax+3的解集是（ ）
A．x>2 B．x<2 C．x>−1 D．x<−1
【答案】D【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
先利用待定系数法求出点A的坐标，再根据关于x的不等式−2x>ax+3表示的是函数
y =−2x的图象位于函数y =ax+3的图象的上方，结合函数图象求解即可得．
1 2
【详解】解：将点A(m,2)代入函数y =−2x得：−2m=2，解得m=−1，
1
∴A(−1,2)，
∵关于x的不等式−2x>ax+3表示的是函数y =−2x的图象位于函数y =ax+3的图
1 2
象的上方，
∴由函数图象可知，x<−1，
即关于x的不等式−2x>ax+3的解集是x<−1，
故选：D．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y =ax+b（a，b为常数）与正比例
1
函数y =kx（k为常数）的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解
2
集是（ ）
A．x≥−2 B．x≤−2 C．x≥−4 D．x≤−4
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的
取值范围是解答此题的关键．
直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当x≤−4时，函数y =ax+b的图象不在直线y =kx
1 2
的下方，
所以关于x的不等式ax+b≥kx的解集是x≤−4．
故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y<0
时，x的取值范围是（ ）A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，y随x的增大而减小，当x=2时，y=0，
∴当y<0时，x的取值范围是x>2；
故选D．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x
的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≤0 C．x≤2 D．x≥2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当kx+b≥0时，函数的图象在x轴的上
方，再写出对应x的取值范围即可．
【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
当kx+b≥0时，x≤2，
故选：C．
5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图所示，则不等
式kx+b−2>0的解集为（ ）A．x>−1 B．x<−1 C．x>2 D．x>0
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获
取信息．
直接从一次函数的图象上即可得到答案．
【详解】解：由题图可知，当x>0时，y=kx+b>2，即kx+b−2>0，
∴不等式kx+b−2>0的解集为x>0．
故选：D．
【考点10】一次函数的实际应用★★★
1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购
买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥3）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B
两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛
球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y （元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛
1
球的费用为y （元）．请解答下列问题：
2
(1)分别写出y 、y 与x之间的关系式：
1 2
(2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =180x+3600；在B超市购
1
买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =200x+3400
2
(2)见解析
(3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可；（2）分y y 三种情况，进行求解即可；
1 2 1 2 1 2
（3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别
求出费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
y =(10×400+20×10x)×0.9=180x+3600
1
y =10×400+20(10x−30)=200x+3400；
2
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =180x+3600；在B超市购买羽毛球拍
1
和羽毛球的费用为y =200x+3400；
2
（2）解：当y 10，
∴x>10时，去A超市买更划算；
当y =y 时，即180x+3600=200x+3400，
1 2
解得x=10，
∴x=10时，去A、B超市买花费一样多；
当y >y 时，即180x+3600>200x+3400，
1 2
解得x<10，
∴3≤x<10时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：180×20+3600=7200（元），
如果选择B超市，那么总费用为：200×20+3400=7400（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：
400×10+20×10(20−3)×0.9=4000+3060=7060（元），
∵7060<7200<7400，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
2．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种
防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地
240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地生产
A B
厂
甲 20 25
乙 15 24(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间
的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低m元（01，
∴a=3，
∴M(3,6)；
（3）存在，理由如下：
设点D(m,0)，
∵A(3,0)，C(1,4)，
∴AC2=(3−1) 2 +(0−4) 2 =20，CD2=(1−m) 2 +(4−0) 2 =m2−2m+17，
AD2=(m−3) 2 =m2−6m+9，
∵△ACD是直角三角形，
①∠ADC=90°，则x =m=x =1，D(1,0)；
D C
②∠ACD=90°，则AC2+CD2=AD2，
即20+m2−2m+17=m2−6m+9，
解得：m=−7，
∴D(−7,0)；
综上所述，存在满足条件的点D的坐标为(1,0)或(−7,0)．
【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，
函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的
关键．
【考点12】一次函数-情景题★★★1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道
杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”
的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注
水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此简易“公道
杯”中匀速注入清水；当满杯时（即3s时），边继续匀速注入清水，杯中水边自动向
外排出，一段时间后注水停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位
高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8
水位高度 2 4 6 5.75 5.5 3
（h/cm）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)根据表中数据绘制向杯中匀速注水时的图象；
(2)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______ cm/s；在自动向外排水开
始后，杯中水位下降的速度为______ cm/s；
(3)求停止注水时t的值；
(4)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时______s．
【答案】(1)见详解
(2)2，0.25
(3)t的值为6
25
(4)
3
【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，解二元一次方程组，待定系数法求一次
函数的解析式，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键．
（1）读取表格数据，逐个描点即可；（2）由表格数据得当t=3s时，最高水位为6cm，自动排水前，每经过1秒钟，水位
上升2cm，即杯中水位上升的速度为2cm/s，即可求解；
（3）依题意，分别求出从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为
1 27 9 75
ℎ=− t+ ，以及停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=− t+ ，最后建立
4 4 4 4
{ t=6 )
方程组，解出 ，即可作答；
ℎ=5.25
（4）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得
总时间．
【详解】（1）解：依题意，描点如下：
（2）解：由表格知，当t=3s时，杯中水位最高，最高水位为6cm；
由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升2cm，
即杯中水位上升的速度为2cm/s；
当t=4s时，则ℎ=5.75cm；当t=5s时，则ℎ=5.5cm；
5.75−5.5
∴ =0.25，
5−4
故答案为：2，0.25；
（3）解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为ℎ=kt+b，
把(4,5.75)，(5,5.5)代入，
{5.75=4k+b)
得： ，
5.5=5k+b
1
{ k=− )
4
解得： ，
27
b=
41 27
∴ℎ=− t+ ，
4 4
由表知，排水的速度为2+(5.75−5.5)÷1=2.25(cm/s)，
∵当t=7时，ℎ=3，
当t=8时，ℎ=3−2.25×(8−7)=0.75，
设停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=mt+n(m≠0)
把(7,3)，(8,0.75)分别代入ℎ=mt+n(m≠0)，
{ 3=7m+n )
∴ ，
0.75=8m+n
9
{ m=− )
4
解得 ，
75
n=
4
9 75
停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=− t+ ，
4 4
1 27
{ℎ=− t+ )
4 4
可得方程组 ，
9 75
ℎ=− t+
4 4
{ t=6 )
解得： ，
ℎ=5.25
∴t=6s时，停止注水，
停止注水时t的值为6；
故答案为：6；
（4）解：由(3)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为5.25cm，
25
所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时5.25÷2.25+6= (s)；
3
25
故答案为： ．
3
2.（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上
面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称
为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会
均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模
拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水．表格记录了圆柱容器内水面高度y（厘米）与时间t（时）的一些变化情况：
时间t（时） … 1 2 3 4 5 …
圆柱容器内水面高度y（厘 … 3 5 7 9 11 …
米）
(1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是
________厘米；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出y与t的函数图象，并判断
容器内水面高度y（厘米）与时间t（时）符合一次函数关系吗？
(3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早
上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明．
【答案】(1)2，1
(2)作图见解析，符合
(3)水不会溢出容器
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关
键；
（1）根据表格数据即可求解；
（2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题
意一次函数关系；
（3）求出函数解析式为y=2t+1，把t=24代入求出y的值，与圆柱容器内壁深50厘
米比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知每小时上升(5−3)÷(2−1)=2cm，
∴刚开始容器内水面的高度为3−2=1cm，故答案为：2，1；
（2）解：如图：
从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系；
（3）解：设解析式为y=kt+b，当t=1,y=3；t=2,y=5，
{k+b=3 )
∴ ，
2k+b=5
{k=2)
解得： ，
b=1
∴解析式为y=2t+1，
∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时，
∴y=2×24+1=49cm，
∵49cm<50cm，
∴水不会溢出．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）某生物学习小组研究同一盆栽内两种植物的共同生长
情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑
制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量
A B
x(mg)的关系数据统计如下表：
1 1
x(mg) 0 4 6 8
0 4
2 2 1 1 1 1
y (cm)
A 5 1 9 6 5 11 1 2 2 3 3
y (cm)
B 0 8 2 6 1 8
(1)根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植
物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量x(mg)的函数图象；
A B
(2)猜想A，B植物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系，并
A B
分别求出函数关系式；
(3)同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5cm时，两种植物的生长会处于一种
良好的平衡状态，求出满足平衡状态时，该药物施用量的x(mg)取值范围．
【答案】(1)图象见解答
(2)A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=−x+25;B植物
A
的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=2x+10
B
10 20
(3)满足平衡状态时，该药物施用量x(x(mg))的取值范围是 ≤x≤
3 3
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
（1）由表格数据描点，连线，画出图象；
（2）用待定系数法求出函数解析式；
（3）两种植物高度差距不超过5cm列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：描点，连线，画出图象如图，（2）解：设A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=kx+b，
A
{ b=25 )
把(0,25),(4,21)代入解析式得： ，
4k+b=21
{k=−1)
解得 ，
b=25
∴A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=−x+25；
A
设B植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=mx+n，
B
{ n=10 )
把(0,10),(4,18)代入解析式得： ，
4m+n=18
{m=2)
解得 ，
n=10
∴B植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=2x+10；
B
（3）解：根据题意得：| −x+25−(2x+10)| ≤5，
10 20
解得 ≤x≤ ，
3 3
10 20
∴满足平衡状态时，该药物施用量x(mg))的取值范围是 ≤x≤ ．
3 3
4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）
制作杆秤
知识背景
阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸
张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说
在得”， “衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，
重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆
秤也是中华民族衡重的基本量具之一．素材1：【杠杆平衡条件】
图2杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B(相当于支点)处的秤纽，
在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的
质量．其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离AB
0
为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离BC为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离CD为y厘
米，根据杠杆平衡条件可得：(m +m)⋅l=M⋅(a+y)．
0
素材2：【设计杆秤】
老李师傅制作了一个杆秤，他设定m =10克，M=50克，最大可称重物质量为1000
0
克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
素材3：【确定l和a的值】
(1)如图3，当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；
(2)如图4，当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡；
根据以上的素材，解决下面问题：
(1)求出l和a的值．
(2)①求y关于m的函数解析式为___；
②从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离是
____厘米．
(3)老李师傅的徒弟小周在学习了师傅的作法后，小周自己也另外做了一把杆秤，他称
量重40克货物M时，秤砣在H处秤杆平衡(如图5)；称量重60克货物N时，秤砣在G
处秤杆平衡(如图6)，秤砣此时重60克．根据图中所给数据，求这把杆秤的最大可称
重物质量是多少克．{l=2.5)
【答案】(1)
a=0.5
1
(2)①y= m，②5
20
(3)这把杆秤的最大可称重物质量是100克
【分析】本题考查一次函数的实际应用，理解杠杆平衡条件，是解题的关键：
（1）根据两种情况，列出方程组进行求解即可；
（2）①根据杠杆平衡条件，代入相关数据，列出函数关系式即可；②将m=100代入
解析式，求出y值即可；
（3）待定系数法求出m 和M，再求出a+y=26时的m的值，即可．
0
【详解】（1）解：由题意得：m=0,y=0，
∴10l=50a，
∴l=5a；
当m=1000,y=50，
∴(10+1000)l=50(a+50)，
∴101l−5a=250；
{ l=5a ) {l=2.5)
∴ ，解得： ；
101l−5a=250 a=0.5
（2）①由（1）知：l=2.5,a=0.5，
∴2.5(10+m)=50(0.5+y)，
1
∴y= m；
20
1
②∵y= m，
20
1
∴当m=100时，y= ×100=5，
20∴相邻刻线间的距离是5厘米；
故答案为：5；
（3）解：由图可知：
{2.5(m
0
+40)=11M)
，解得：
{m
0
=4)
，
2.5(m +60)=16M M=10
0
∴2.5(4+m)=10⋅(a+y)，
当a+y=26时，2.5(4+m)=10×26，
解得：m=100；
答：这把杆秤的最大可称重物质量是100克．
一、单选题
1．下列各点中，在正比例函数y=−2x的图象上的是（ ）
A．(0,−2) B．(0，0) C．(1，2) D．(2,−1)
【答案】B
【分析】将各选项所给点的横坐标代入y=−2x中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是
否相等，如果相等，则该点在函数y=−2x的图象上，若不相等，则该点不在函数
y=−2x的图象上．
本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，
掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A、∵当x=0时，y=(−2)×0=0≠−2，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故A本选项错误；
B、∵当x=0时，y=(−2)×0=0，
∴此点在正比例函数y=−2x图象上，故本选项正确；
C、∵当x=1时，y=(−2)×1=−2≠2，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故本选项错误；
D、∵当x=2时，y=(−2)×2=−4≠−1，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故本选项错误．
故选B．2．直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)，则关于x的方程kx+b=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=4 C．x=8 D．x=10
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转
化为kx+b=0（k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某
个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴
的交点的横坐标的值．
方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数与x轴的交点横坐标．
【详解】解：∵直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)，
∴关于x的方程kx+b=0的解是x=2．
故选：A．
3．函数y=2x−1图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据函数y=2x−1图象向上平移3个单位后解析式为y=2x+2，当x=0时，
y=2，解答即可．
本题考查了平移，图象与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键．
【详解】解：根据函数y=2x−1图象向上平移3个单位后解析式为y=2x+2，
当x=0时，y=2．
故函数图象与y轴交点纵坐标为2，
故选：A．
4．一次函数y=−2x+b上有两点(−2,y )和(0,y )，则y 与y 的大小（ ）
1 2 1 2
A．y >y B．y y ，
1 2
故选：A．
5．对于一次函数y=−2x+1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．图象可由直线y=−2x向下平移1个单位得到
C．点A(2,y )，B(−1,y )都在直线y=−2x+1上，则y −1，∴y 0，∴一次函数y=−2x+1的图象经过第一、二、四象限，原
说法错误，不符合题意；
故选：D ．
6．直线y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则方程kx+b=−3的解是（ ）
A．x=0 B．x=−1 C．x=−2 D．x=−3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解
题的关键．
【详解】解：∵(−1,−3)在y=kx+b(k≠0)的图象上，
∴方程kx+b=−3的解是x=−1故选：B．
7．一次函数y=kx−b与正比例函数y=kbx（k，b为常数，kb≠0）在同一直角坐标系内
的大致图象不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确
定k、b，再去对照正比例函数的图象与kb的关系，逐项判断即可．
【详解】解：A、由一次函数图象位置确定k>0，−b<0，b>0，故kb>0，正比例函
数图象满足这一关系，故选项A不符合题意；
B、由一次函数图象位置确定k>0，−b>0，b<0，故kb<0，正比例函数图象满足这一
关系，故选项B不符合题意；
C、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象满足这一
关系，故选项C不符合题意；
D、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象不满足
这一关系，故选项D符合题意；
故选：D．
8．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则下列说法：①k<0,b>0；②x=m是方程
kx+b=0的解；③若点A(x , y ),B(x ,y ）是这个函数的图象上的两点，且x 0；④当−1≤x≤2时，1≤ y≤4，则b=3．其中正确的个数为（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是灵活运用
一次函数的性质．图象过第一，二，四象限，可得k<0,b>0，可判定①；根据增减性，
可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②．
【详解】解：∵图象过第一，二，四象限，
∴k<0,b>0，故①正确；
∴y随x增大而减小，
∵x y ，
1 2
∴y −y >0，故③正确；
1 2
∵一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为(m,0)，
∴x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；
当−1≤x≤2时，1≤ y≤4，
∴当x=−1时，y=4；x=2时，y=1，
{−k+b=4)
代入y=kx+b得 ，
2k+b=1
解得b=3，故④正确；
综上，正确的个数有4个，
故选：D．
二、填空题
9．一次函数y=kx+2经过点(1,4)，则k= ．
【答案】2【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，直接把点(1,4)代入一次函数
y=kx+2，求出k的值即可．
【详解】解：把(1,4)代入得k+2=4，
解得：k=2，
故答案为：2．
10．对于一次函数y=kx+8（k≠0），当1≤x≤4时，y的最小值为4，则k的值是
．
【答案】−1
【分析】当k>0时，y随x的增大而增大，结合1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=1
时，y=4，代入4=k+8，得到k=−4，舍去；当k<0时，y随x的增大而减小，结合
1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=4时，y=4，代入4=4k+8，得到k=−1，符合
题意，解答即可．
本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：当k>0时，y随x的增大而增大，
由1≤x≤4时y的最小值为4，
此时x=1时，y=4，代入4=k+8，
解得k=−4，舍去；
当k<0时，y随x的增大而减小，
由1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=4时，y=4，代入4=4k+8，
解得k=−1，符合题意．
故答案为：−1．
{ y=x+2)
11．如图一次函数y=kx+b与y=x+2的图象交于点P(m,4)，则方程组 的解
y=kx+b
．{x=2)
【答案】
y=4
【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两
个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标P(m,4)，
代入y=x+2求出m的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标
求出方程组的解即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，
∴m+2=4，
解得：m=2，
∴P(2,4)，
{ y=x+2) {x=2)
∴ 的解是 ．
y=kx+b y=4
{x=2)
故答案为： ．
y=4
12．已知弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧
长度为7厘米时，所挂重物为 千克．
5 2
【答案】 /1
3 3
【分析】本题主要考查一次函数图象，根据题意设出一次函数表达式，然后把
(0,6),(2.5,7.5)代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把y=7，代入
到表达式，求出x即可．
【详解】解：设一次函数表达式为：y=kx+b，
∵把(0,6),(2.5,7.5)两点坐标代入表达式y=kx+b，得：
{ b=6 )
，
2.5k+b=7.5
{ k= 3 )
解得， 5
b=63
∴y= x+6，
5
3 5
把y=7，代入到y= x+6，解得：x=
5 3
5
故答案为： ．
3
13．如图，一次函数y=kx+b(k<0)的图象与y轴的交点为(0,3)，则不等式
k(x+2)+b<3的解集是 ．
【答案】x>−2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，
先求出b=3，可得k(x+2)<0，再根据k<0，可知x+2>0，求出解集即可.
【详解】解：∵一次函数y=kx+b(k<0)的图象与y轴的交点为(0,3)，
∴b=3.
∵k(x+2)+b<3，
∴k(x+2)<0.
∵k<0，
∴x+2>0，
解得x>−2.
故答案为：x>−2.
三、解答题
14．已知y是关于x的一次函数，且当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−9．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)计算当x=5时y的值
【答案】(1)y=2x−5；
(2)y=5．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把x=5代入所求关系式中求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，
∵当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−9，
{ 3k+b=1 )
∴ ，
−2k+b=−9
{ k=2 )
解得 ，
b=−5
∴该一次函数解析式为y=2x−5；
（2）解：在y=2x−5中，当x=5时，y=2×5−5=5．
15．寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，
当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．若剩余油量y（升）是行驶路程x（千
米）的一次函数．
(1)求y与x之间的函数表达式，写出过程；
(2)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否
在汽车报警前回到家？请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x+35
8
(2)他们能在汽车报警前回到家，见解析
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用；
（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，把(0,35),(80,25)代入y=kx+b中得答
案；
1
（2）把x=200代入y=− x+35计算，再比较即可．
8
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
把(0,35),(80,25)代入y=kx+b中得：
{ b=35 )
，
80k+b=25
{ k=− 1 )
解得 8 ，
b=35
1
∴y与x之间的函数表达式为y=− x+35，
8（2）解：他们能在汽车报警前回到家，理由如下：
当x=200时，
1
y=− ×200+35=10>3，
8
∴他们能在汽车报警前回到家．
16．已知：如图一次函数y =kx−2与x轴相交于点B(−2,0)，y =x+b与x轴相交于点
1 2
C(4,0)，这两个数图象相交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出y ≥ y 时x的取值范围；
1 2
1
(3)连接OA，直线y =x+b上是否存在一点P，使S = S ，若存在，求点P的
2 △OCP 3 △OAC
坐标．
【答案】(1)A(1,−3)
(2)当x≤1时，y ≥ y
1 2
(3)P点坐标为(5,1)或(3,−1)
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待
定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．
（1）把B(−2,0)，C(4,0)分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可；
（2）观察图象直接判断即可；
1
（3）根据S = S 求出点P的纵坐标，代入解析式即可．
△OCP 3 △OAC
【详解】（1）解：把(−2,0)代入y =kx−2得，0=−2k−2，
1
解得，k=−1；
把C(4,0)代入y =x+b得，0=4+b，
2
解得，b=−4；
{y=−x−2)
联立方程组得， ，
y=x−4{ x=1 )
解得， ，
y=−3
A点坐标为：A(1,−3)；
（2）解：根据图象可知，在A点或A点的左侧时，y ≥ y ，
1 2
∴当x≤1时，y ≥ y ；
1 2
（3）解：由（1）OC=3，A(1,−3)．
1 9
S = ×3×3= ，
△OAC 2 2
1 3
S = S = ，
△OCP 3 △OAC 2
设P点坐标为(x,y)，
1
S = OC×| y|，
△OCP 2
3 1
= ×3×| y|，
2 2
| y| =1，
当y=1时，1=x−4，
∴x=5，
∴P点坐标为(5,1)；
当y=−1时，−1=x−4，
∴x=3，
∴P点坐标为(3,−1)；
综上，P点坐标为(5,1)或(3,−1)．
17．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种
时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元在开展促销活动期间，某俱乐部要到该
商场购买运动外套100件，卫衣x件(x≥100)，，设采用方案一的费用为y （元），采
1
用方案二的费用为y （元）．
2
(1)请分别求出y ，y 关于x的函数关系式；
1 2
(2)当x=150时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当俱乐部购买多少件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同．【答案】(1)y =100x+20000，y =80x+24000
1 2
(2)方案一更划算
(3)200件
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）把x=150代入（1）所得函数关系式计算即可判断求解；
（3）求出y =y 时x的值即可求解；
1 2
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，y =100×300+(x−100)×100=100x+20000，
1
y =(100×300+100x)×0.8=80x+24000；
2
（2）解：当x=150时，
方案一：100x+20000=100×150+20000=35000（元），
方案二：80x+24000=80×150+24000=36000（元），
35000<36000，
∴方案一更划算；
（3）解：令y =y ，
1 2
则100x+20000=80x+24000，
解得x=200，
答：当俱乐部购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同．
18．【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，
被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知A，B两店都以30元/千克的价格销售
同一种烘糕，且同时做优惠活动：
A店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售；
B店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠．
在活动期间，李阿姨购买x千克烘糕，A，B店所需的费用分别为y ，y ，y 与x的函
1 2 1
数图象如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出y 、y 与x的函数关系式；
1 2(2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少．
【答案】(1)y =¿；y =18x+120
1 2
(2)当010时，李阿姨到B店购买优惠
【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式的应用，解题的关键是熟悉分类讨论
思想的应用．
（1）根据题意列出y 的函数关系式，利用待定系数法求得y 的解析式；
2 1
（2）结合分类讨论和解不等式，分三种情况为李阿姨涉及购买方案即可．
【详解】（1）解：由题意得，y =120+0.6×30x=18x+120，
2
当0≤x≤10时，y =30x，
1
当x>10时，设y =kx+b(k≠0)，
1
由题意得¿，
解得¿．
∴y =24x+60，
1
∴y 与x的函数关系式为y =¿；
1 1
（2）解：当y y 时，即24x+60>18x+120，解得x=10，
1 2
∴x>10，李阿姨到B点购买优惠；
综上：当010时，李阿姨到B店购买优惠．
3
19．如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=−x+m(m>0)与x
2
3
轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y= x+6相交于点E(−2,n)．
2(1)求直线CD的解析式；
5
(2)如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S = ，求点P的坐标；
△PDE 2
(3)如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，
直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)直线CD的解析式为y=−x+1
( 4 ) ( 8 )
(2)P − ,4 或 − ,2
3 3
( 24 6)
(3)Q点的坐标为 − ,−
5 5
3
【分析】（1）把点E(−2,n)代入y= x+6，求得E(−2,3)，把E(−2,3)代入
2
y=−x+m，得到m=1，求得直线CD的解析式；
( 3 )
（2）解方程得到D(1,0)，求得A(−4,0)，设P a, a+6 ，根据三角形的面积列方
2
程即可得到结论；
( 3 )
（3）解方程得到B(0,6)，求得OB=6，设Q b, b+6 ，过Q作QE⊥x轴于E，根
2
3
据等腰直角三角形的性质得到HQ=BH，求得EQ=OH=− b−6,HE=OB=6，得
2
24
到b=− ，于是得到Q点的坐标．
5
3 3
【详解】（1）解：把点E(−2,n)代入y= x+6得n= ×(−2)+6=3，
2 2∴E(−2,3)，
把E(−2,3)代入y=−x+m得3=2+m，
∴m=1，
∴直线CD的解析式为y=−x+1；
（2）在y=−x+1中，令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，
3
在y= x+6中，令y=0，则x=−4，
2
∴A(−4,0)，
∴AD=5
( 3 )
设P a, a+6 ，
2
5
∵S = ，
△PDE 2
1 1 1 (3 ) 1 5
∴S =S −S = AD⋅y − AD⋅y = ×5× a+6 − ×5×3= ，
△PDE △ADP △ADE 2 P 2 E 2 2 2 2
或
1 1 1 1 (3 ) 5
S =S −S = AD⋅y− AD⋅y ❑ = ×5×3− ×5× a+6 =
△PDE △ADE △ADP 2 2 P E 2 2 2 2
4 8
解得a=− 或a=− ，
3 3
( 4 ) ( 8 )
∴P − ,4 或 − ,2 ；
3 3
3
（3）在y= x+6中，令x=0，则y=6，
2
∴B(0,6)，
∴OB=6，
( 3 )
设Q b, b+6 ，
2
过Q作QE⊥x轴于E，∵△BQE ∠BHQ=90°
是等腰直角三角形， ，
∴HQ=BH，
∵∠QEH=∠BHQ=∠BOH=90°，
∴∠HBO+∠BHO=∠BHO+∠QHE=90°，
∴∠HBO=∠QHE，
∴△BHO≌△HQE，
3
∴EQ=OH=− b−6,HE=OB=6，
2
( 3 )
∴−b+ − b−6 =6，
2
24
解得b=− ，
5
( 24 6)
∴Q点的坐标为 − ,− ．
5 5
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的
判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数的解析
式是解题的关键．
