专题 04 一次函数
【考点1】函数的概念★
【考点2】函数解析式★
【考点3】自变量取值范围★
【考点4】从函数图像获取信息★★
【考点5】一次函数的性质★★
【考点6】一次函数的图像★★
【考点7】一次函数与一元一次方程★★
【考点8】一次函数与二元一次方程组★★
【考点9】一次函数与不等式组★★
【考点10】一次函数的实际应用★★★
【考点11】一次函数与几何综合★★★★
【考点12】一次函数-情景题★★★
【知识点01】变量与函数
1.变量与函数
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如
果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
2.函数的解析式
像 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的
关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
3.自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【知识02】函数的图像
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【知识03】一次函数的图像和性质
1.一次函数的图像与性质
（1）一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
（2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
2.一次函数图像上点坐标的特征
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合
多想与之结合的几何图形的性质。
【知识04】一次函数与方程，不等式的关系
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中
不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范
围。
【知识05】一次函数的实际应用
行程类：
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
销售类：
1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量2、利用函数的增减性得到最大利润
【考点1】函数的概念★
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和
它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可．
【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不
合题意；
B、y是x的函数，该选项符合题意；
C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意．
故选：B．
2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各图象中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一
般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数概念的理解，
主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的
变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意
事项：①判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要
的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与其对应；②函数不是数，它
是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方
法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
根据函数的概念逐项分析判断即可．
【详解】解：A、根据图象可知，给x一个值，有且只有1个y值与其对应，满足函数的
定义，故选项A符合题意；
B、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
B不符合题意；
C、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
C不符合题意；
D、根据图象可知，给x一个值，有不止1个y值与其对应，不满足函数的定义，故选项
D不符合题意；
故选：A．
3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ）
3
A．y=2x−7 B．y= C．y=x2 D．y=±x
x
【答案】D
【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解： 有两个变量； 一个
变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； 对于①自变量的每一个②确定的
值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． ③
【详解】解：A．y=2x−7，y是x的函数，故该选项不符合题意；
3
B．y= ，y是x的函数，故该选项不符合题意；
x
C．y=x2，y是x的函数，故该选项不符合题意；
D．y=±x，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选
项符合题意；
故选：D．4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm．若点燃
后燃烧时间为x(h)，所剩余蜡烛的长为y(cm)，则在这个变化过程中，下列判断错误的
是（ ）
A．20是常量 B．x是自变量 C．y是因变量 D．x是y的函数
【答案】D
【分析】本题考查了函数的相关定义，根据函数的相关定义逐个判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm．若点燃后燃烧时间为x(h)，所剩余蜡烛的
长为y(cm)，则在这个变化过程中，20是常量，x是自变量，y是因变量，y是x的函数，
故A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意；
故选：D．
【考点2】函数解析式★
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，
那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
36−y
A．x= (9<y<18) B．y=36−2x(9<x<18)
2
36−y
C．x= (0<y<18) D．y=36−2x(0<x<18)
2
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义及三角形周长可列出函数关系式；然后根据三角形的三
边关系即可求出定义域．
【详解】解： 等腰三角形的周长是36，设腰长为x，底边长为y，
y关于x的函∵数关系式为y=36−2x，
∴ { x>0 )
根据题意，得： 36−2x>0 ，
2x>36−2x
解得：9<x<18，
即y=36−2x(9<x<18)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式和三角形周长及等腰三角形的定义
—等腰三角形两腰相等，解题的关键是熟练掌握根据实际问题列函数关系式的方法和三角形周长，等腰三角形的定义．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱
去购买了x(x≤20)支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（ ）
A．y=2.5x B．y=50−2.5x C．y=2.5x−50 D．y=50+2.5x
【答案】B
【分析】本题考查函数关系式，根据“剩余的钱=总钱数−花去的钱”解答即可．
【详解】解：y与x间的关系式是y=50−2.5x．
故选：B．
3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）摩托车油箱中12升油，行驶时每小时耗油2升，
在不加油的情况下，剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式为
【答案】Q=12−2t/Q=−2t+12
【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的取值范围，根据余油量等于原来的油量
减去消耗的油量，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：依题意，Q=12−2t
故答案为：Q=12−2t．
【考点3】自变量取值范围★
❑√x+3
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥3且x≠−2 B．x≥3且 x≠2
C．x≥−3且 x≠−2 D．x≥−3且 x≠2
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零列
式求解即可．
【详解】解：由题意，得
x+3≥0且x−2≠0，
解得x≥−3且 x≠2．
故选D．
2．（21-22八年级上·安徽六安·阶段练习）在函数y=❑√4−x中，自变量x的取值范围是
．
【答案】x≤4
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解：根据题意得：4−x≥0，
∴x≤4．
故答案为：x≤4
2
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数y= 的自变量x的取值范围是
3−x
．
【答案】x≠3
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，
考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据分式有意义的条件是分母不为0，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得3−x≠0，
∴x≠3，
故答案为：x≠3．
❑√2+x
4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）函数y= 的定义域是 ．
x
【答案】x≥−2且x≠0
【分析】本题考查了二次根式有意义，自变量的取值范围，分式有意义，根据被开方
数为非负数以及分母不为0进行列式计算，即可作答．
❑√2+x
【详解】解：∵y= ，
x
∴x≠0，且2+x≥0，
解得x≥−2且x≠0，
故答案为：x≥−2且x≠0，
【考点4】从函数图像获取信息★★
1．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居．某天早晨，小明
7:40先出发去学校，走了一段时间后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到
了，就跑步到学校．小华离家后直接乘公共汽车到学校，如图反映了他们从家到学校已
走的路程s(m)和所用时间t(min)之间的关系，则下列说法错误的是（ ）A．小明家距离学校1200m
B．小华乘坐的公共汽车的平均速度是240m/min
C．小华乘坐公共汽车后，在7:50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80m/min
【答案】D
【分析】本题考查的从函数图像上获取信息的能力，根据已知信息和函数图象的数据，
依次解答每个选项．
【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200m，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了13−8=5(min)，所以公共汽车的
速度为1200÷5=240(m/min)，故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并
与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240=10(min)，即
7:50相遇，即在7:50与小明离学校的距离一致，故C正确．
小明从家到学校的平均速度为1200÷20=60m/min，故D错误，
故选：D
2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容
器注满，在注水过程中水面高度h随时间变化的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的
粗细不同得到用时的不同．由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度ℎ随时
间t变化而分三个阶段．
【详解】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高
度ℎ随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．
故选：A．
3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，对角
线AC=5，动点P从点C出发，沿C−A−D−C运动．设点P的运动路程为x(cm)，
△BCP的面积为y(cm2)．若y与x的对应关系如图所示，则图中a−b=（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点P在AD上运动时
△BCP的面积即a的值，再根据点P沿C−A−D−C运动到D时的路程来求b的值即
可．
1 1
【详解】解：当点P在AD上运动时，S = BC⋅AB= ×4×3=6
△BCP 2 2
∴a=6
由图知，点P沿C−A−D−C运动到D时，路程为AC+AD=5+4=9．
∴2b+3=9
∴b=3∴a−b=6−3=3．
故选：C．
4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在梯形ABCD中（图1），AD∥BC，
AB=DC，BC=20，动点 P 以每秒2cm 的速度沿着C−D−A−B方向运动，相应
的△BCP 的面积y(cm2)与时间x(s)之间的函数关系如图 2所示，则梯形 ABCD的面
积为 cm2．
【答案】72
【分析】本题考查动点的图象问题，由题可得当x=5时，面积最大，这时点P与D重
合，求出梯形的高为6cm，再观察图象得AD=4cm，最后由面积公式即可求解，能从
图象中提取相关信息计算是解题的关键．
【详解】解：由题可得当x=5时，面积最大，这时点P与D重合，
2×60
∴梯形的高为 =6(cm)，从第2s到第7s时，面积不变，
20
∴AD=2×2=4(cm)，
1
∴梯形ABCD的面积= (4+20)×6=72(cm2)，
2
故答案为：72．
【考点5】一次函数的性质★★
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于一次函数y=−3x+3，下列结论正确的是
（ ）．
A．y随x的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限
C．图象经过(−1, 0) D．当x>0时，y<3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：y=−3x+3，−3<0，
∴图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故选项A，B错误；
当x=−1时，y=−3×(−1)+3=6，图象经过(−1, 6)，故选项C错误；
当x=0时，y=3，
∴当x>0时，y<3，故选项D正确；
故选D．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知直线y=x+5过点A(−1,y )和点(−3,y )，则
1 2
y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y >y B．y <y C．y =y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】由1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合
−3<−1，即可得出y ＞y ．
1 2
本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增
大而减小”是解题的关键．
【详解】解：∵1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵−3<−1，直线y=x+5过点A(−1,y )和点(−3,y )，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故选：A
3．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x−1的图
像（ ）
A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到
C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，根据“上加下减，左加右减”的平移法
则逐项验证即可解决问题．熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
【详解】解：由题知，
将函数y=2x−1的图象向上平移2个单位长度可得函数y=2x+1的图象；
或将函数y=2x−1的图象向左平移1个单位长度可得函数y=2(x+1)−1=2x+1的图
象，∴只有C选项符合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数y=kx+b，如表是x与y的一些对应数
值，则下列结论中正确的是（ ）
… …
x −1.5 0 1 2
… …
… 6 3 1 −1 …
y
… …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移2个单位长度得到
D．该函数的图象与y轴的交点是(0,3)
【答案】D
【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可
得到答案．
本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，平移，熟记一次函数
图像与性质是解决问题的关键．
{ 3=b ) {k=−2)
【详解】解：将(0,3)和(1,1)代入y=kx+b(k≠0)得到 ，解得 ，
1=k+b b=3
∴一次函数为y=−2x+3，
A、由k=−2<0可知，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
B、由k=−2<0,b=3>0可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不
符合题意；
C、一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移3个单位长度得到，
该选项错误，不符合题意；
D、由一次函数为y=−2x+3，当x=0时，y=3，函数图像与y轴的交点是(0,3)，该
选项正确，符合题意；
故选：D．
【考点6】一次函数的图像★★
1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）一次函数y=kx−b与正比例函数y=kbx（k，b为常
数，kb≠0）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系
确定k、b，再去对照正比例函数的图象与kb的关系，逐项判断即可．
【详解】解：A、由一次函数图象位置确定k>0，−b<0，b>0，故kb>0，正比例函
数图象满足这一关系，故选项A不符合题意；
B、由一次函数图象位置确定k>0，−b>0，b<0，故kb<0，正比例函数图象满足这
一关系，故选项B不符合题意；
C、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象满足这
一关系，故选项C不符合题意；
D、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象不满足
这一关系，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）两个一次函数y =kx−b，y =−bx+k，它们在同一
1 2
坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式
的关系式，是解题的关键．利用一次函数y=kx+b(k≠0)图象与k，b的关系，逐项判
断即可．
【详解】解：A、如果过第一、二、三象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，
1 1
k>0，b<0；由y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故A错误；
2
B、如果过第一、二、三象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k>0，b<0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故B错误；
2
C、如果过第一、三、四象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k>0，b>0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，故C正确；
2
D、如果过第二、三、四象限的图象是y 的图象，由y 的图象可知，k<0，b>0；由
1 1
y 的图象可知，b>0，k>0，两结论相矛盾，故D错误．
2
故选：C．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数y=−kx+m的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是
解题的关键．先根据题意判断出m、k的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限，
∴m<0，k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=−kx+m的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
4．（22-23八年级下·福建福州·期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一次函
数y=bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解
题关键．根据一次函数的图象和性质求解．
【详解】解：由图象得一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，
∴一次函数y=bx+k的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
【考点7】一次函数与一元一次方程★★
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，则
关于x的方程kx+b=2x的解是（ ）1
A．x= B．x=1 C．x=2 D．x=4
2
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式y=2x求出
m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2x的解可得答
案．
【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P(1,2)，
∴结合图象，关于x的方程kx+b=2x的解是x=1．
故选：B．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点(−1,3)，则
方程kx+b=3的解为（ ）
A．x=−1 B．x=3 C．x=−4 D．x=4
【答案】A
【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与
方程的解的关系是解题的关键．
根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解．
【详解】解：直线y=kx+b（k≠0）经过点(−1,3)，即当x=−1时，y=kx+b=3，
∴方程kx+b=3的解为x=−1，
故选：A ．
3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
则关于x的方程kx+b=2的解是（ ）1
A．x= B．x=1 C．x=2 D．x=4
2
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐
标．首先利用函数解析式y=2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就
是关于x的方程kx+b=2的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P(1,2)，
∴当x=1时，y=kx+b=2，
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=1，
故选：B．
【考点8】一次函数与二元一次方程组★★
3 9
1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数y=− x+ 的图象与y=kx+b的图
4 2
{3x+4 y−18=0)
象相交于点P(2,n)，则关于x，y的方程组 的解是（ ）
kx−y+b=0
{x=2) {x=2) {x=3) {x=3)
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题．
3 9
先把P(2,n)代入y=− x+ 中计算出n的值，从而得到P(2,3)，然后利用方程组的
4 2
解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
3 9 3 9
【详解】解：把P(2,n)代入y=− x+ 得n=− ×2+ =3，
4 2 4 2
即P(2,3)，
3 9
∵一次函数 y=− x+ 的图象与y=kx+b的图象相交于点P(2,3)，
4 2
{3x+4 y−18=0) {x=2)
∴关于x，y的方程组 的解为 ．
kx−y+b=0 y=3
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=x+4与直线
1
{ x−y=−4 )
l :y=mx+n交于点A(−1,b)，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
2 mx−y=−n
{x=−1) { x=3 ) {x=3) {x=−1)
A． B． C． D．
y=3 y=−1 y=1 y=−3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将A(−1,b)代入l :y=x+4得
1
出A(−1,3)，即可求解．
【详解】解：∵直线l :y=x+4与直线l :y=mx+n交于点A(−1,b)，
1 2
当x=−1时，y=−1+4=3，
∴ A(−1,3)，
∵ y=x+4可变形为x−y=−4，y=mx+n可变形为mx−y=−n，
{ x−y=−4 ) {x=−1)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
mx−y=−n y=3
故选A．3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知两个一次函数y=ax+b和y=kx的图
{y=ax+b)
象交于点P，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
y=kx
{x=−4) { x=2 ) {x=−2) {x=−4)
A． B． C． D．
y=−2 y=−4 y=−4 y=2
【答案】A
【分析】考查了一次函数与二元一次方程（组)方程组的解就是使方程组中两个方程同
时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，
因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由图可知：两个一次函数
的交点坐标为(−4,−2)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组
正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，
即x=−4，y=−2同时满足两个一次函数的解析式．
{y=ax+b) {x=−4)
所以关于x，y的方程组 的解是 ．
y=kx y=−2
故选：A．
4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）如图，直线y=x+m与直线y=kx+b相交于点P，则
方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关
系．由图象得出两条直线的交点即可求出方程组的解．
【详解】解：∵直线y=x+m与直线y=kx+b相交于点P(2，4)，
{x=2)
∴方程组¿的解是 ，
y=4
故选：D．
5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）一次函数y=kx+b图象如图，则关于x的方程
kx+b=0的解为（ ）
A．x=−3 B．x=−2 C．x=2 D．x=3
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，从数与形两个方面理解两者
的关系是解题的关键；因此此题可直接根据图象进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：关于x的方程kx+b=0的解为x=−3；
故选A．
【考点9】一次函数与不等式组★★
1．（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数y =−2x与y =ax+3的图象相交于
1 2
点A(m,2)，则关于x的不等式−2x>ax+3的解集是（ ）
A．x>2 B．x<2 C．x>−1 D．x<−1
【答案】D【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
先利用待定系数法求出点A的坐标，再根据关于x的不等式−2x>ax+3表示的是函数
y =−2x的图象位于函数y =ax+3的图象的上方，结合函数图象求解即可得．
1 2
【详解】解：将点A(m,2)代入函数y =−2x得：−2m=2，解得m=−1，
1
∴A(−1,2)，
∵关于x的不等式−2x>ax+3表示的是函数y =−2x的图象位于函数y =ax+3的图
1 2
象的上方，
∴由函数图象可知，x<−1，
即关于x的不等式−2x>ax+3的解集是x<−1，
故选：D．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y =ax+b（a，b为常数）与正比例
1
函数y =kx（k为常数）的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解
2
集是（ ）
A．x≥−2 B．x≤−2 C．x≥−4 D．x≤−4
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的
取值范围是解答此题的关键．
直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当x≤−4时，函数y =ax+b的图象不在直线y =kx
1 2
的下方，
所以关于x的不等式ax+b≥kx的解集是x≤−4．
故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y<0
时，x的取值范围是（ ）A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，y随x的增大而减小，当x=2时，y=0，
∴当y<0时，x的取值范围是x>2；
故选D．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x
的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≤0 C．x≤2 D．x≥2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当kx+b≥0时，函数的图象在x轴的上
方，再写出对应x的取值范围即可．
【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
当kx+b≥0时，x≤2，
故选：C．
5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图所示，则不等
式kx+b−2>0的解集为（ ）A．x>−1 B．x<−1 C．x>2 D．x>0
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获
取信息．
直接从一次函数的图象上即可得到答案．
【详解】解：由题图可知，当x>0时，y=kx+b>2，即kx+b−2>0，
∴不等式kx+b−2>0的解集为x>0．
故选：D．
【考点10】一次函数的实际应用★★★
1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购
买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥3）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B
两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛
球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y （元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛
1
球的费用为y （元）．请解答下列问题：
2
(1)分别写出y 、y 与x之间的关系式：
1 2
(2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =180x+3600；在B超市购
1
买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =200x+3400
2
(2)见解析
(3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可；（2）分y <y ，y =y 和y >y 三种情况，进行求解即可；
1 2 1 2 1 2
（3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别
求出费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
y =(10×400+20×10x)×0.9=180x+3600
1
y =10×400+20(10x−30)=200x+3400；
2
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y =180x+3600；在B超市购买羽毛球拍
1
和羽毛球的费用为y =200x+3400；
2
（2）解：当y <y 时，即180x+3600<200x+3400，
1 2
解得x>10，
∴x>10时，去A超市买更划算；
当y =y 时，即180x+3600=200x+3400，
1 2
解得x=10，
∴x=10时，去A、B超市买花费一样多；
当y >y 时，即180x+3600>200x+3400，
1 2
解得x<10，
∴3≤x<10时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：180×20+3600=7200（元），
如果选择B超市，那么总费用为：200×20+3400=7400（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：
400×10+20×10(20−3)×0.9=4000+3060=7060（元），
∵7060<7200<7400，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
2．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种
防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地
240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地生产
A B
厂
甲 20 25
乙 15 24(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间
的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低m元（0<m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运
输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
【答案】(1)200吨，300吨；
(2)y=−4x+11000，甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60
吨；
(3)10
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组
解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性
质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y=−4x+11000−500m，再根据一次函数的性
质以及列不等式解答即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次
函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列出方程和不等式求解．
【详解】（1）解：设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
{ a+b=500 )
则
2a−b=100
{a=200)
解得：
b=300
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）解：依题意，
∵这批物资从乙厂运往A地x吨，
∴这批物资从甲厂运往A地(240−x)吨，
由（1）得这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
∴200−(240−x)=x−40，
这批物资从甲厂运往B地(40−x)吨，这批物资从乙厂运往B地(300−x)吨，
依题意，得y=20(240−x)+25(x−40)+15x+24(300−x)=−4x+11000，x≥0
{ )
240−x≥0
∵
300−x≥0
x−40≥0
∴40≤x≤240
∵−4<0，
∴y随x的增大而减小，
当x=240时运费最小，此时240−40=200（吨）
∴总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
（3）解：由（2）知：y=−4x+11000−500m
当x=240时，y =−4×240+11000−500m=10040−500m，
最小
∴10040−500m≤5200，
∴m≥9.68，
∴m的最小值为10．
3．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而
行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离y(m)与追赶的时间
x(s)的关系如图2所示，已知乙的速度为5m/s．
(1)求甲、乙两人之间的距离y(m)与追赶的时间x(s)之间的函数关系式；
(2)甲从A点追赶乙，经过40s，求甲前行了多少米？
(3)甲追赶10s后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加1.2m/s，提速后甲追上乙还
需要多少秒？
9
【答案】(1)y=− x+90；
5
(2)272m；
(3)24s．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解
析式．（1）先设出函数解析式，然后根据图象中数据，即可求得该函数的解析式；
（2）根据图象中的数据，可以求得甲的速度，然后即可计算出甲从A点追赶乙，经过
40s走的路程；
（3）将x=10代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值，然后根据（2）中甲的速
度，可以求出加速后的速度，最后即可计算出提速后甲追上乙还需要多少秒．
【详解】（1）解：设甲、乙两人之间的距离y(m)与追赶的时间x(s)之间的函数关系
式为y=kx+b，
∵点(0,90)，(50,0)在该函数图象上，
{ b=90 )
∴ ，
50k+b=0
{ k=− 9 )
解得 5 ，
b=90
9
即甲、乙两人之间的距离y(m)与追赶的时间x(s)之间的函数关系式为y=− x+90；
5
（2）解：甲的速度为：5+90÷50=5+1.8=6.8（m/s），
则甲从A点追赶乙，经过40s，甲走的路程为：6.8×40=272（米），
答：甲从A点追赶乙，经过40s，甲前行了272米；
9 9
（3）解：将x=10代入y=− x+90，得y=− ×10+90=72，
5 5
设甲提速后，追上乙需要m秒，
72÷(6.8+1.2−5)
=72÷3
=24（秒），
答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加1.2m/s，提速后甲追上乙还
需要24秒．
4．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，
在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买A、B两
种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件A种工具的单价比每件B种工具便宜9元，
用128元购买A种工具的数量和用272元购买B种工具的数量相同．
(1)求A、B两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买A、B两种工具共80件，且A种工具的数量不大于B种工具数量的3倍，
请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．【答案】(1)A种工具的单价是8元，则B种工具的单价是17元
(2)最省钱的购买方案是购进A种工具60件，购进B种工具20件，最低购买费用为820
元．
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求
最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键．
（1）设A种工具的单价是a元，则B种工具的单价是(a+9)元，根据题意，列分式方程，
解方程即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种工具的单价是a元，则B种工具的单价是(a+9)元，根据题意
得，
128 272
=
a a+9
解得：a=8
经检验，a=8是原方程的解且符合题意，
则B种工具的单价是：8+9=17元，
答：A种工具的单价是8元，则B种工具的单价是17元
（2）解：设够买A种工具x件，则购买B种工具(80−x)件，根据题意得，
x≤3(80−x)
解得：x≤60，
设购买费用为y元，根据题意得，
y=8x+17(80−x)=−9x+1360
∵−9<0
∴y随x的增大而减小,
∴x=60时，y取的最小值，此时y=−9×60+1360=820元，
购进B种工具80−60=20件，
答：最省钱的购买方案是购进A种工具60件，购进B种工具20件，最低购买费用为
820元．
【考点11】一次函数与几何综合★★★★
1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x
轴、y轴交于点A(4,0)、B(0,2)．(1)求直线AB的解析式；
(2)求S ；
△AOB
(3)若点C在x轴上且△ABC为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C的坐标．
1
【答案】(1)y=− x+2
2
(2)4
(3)C点的坐标为(−4,0)或(4−2❑√5,0)或(4+2❑√5,0)或(1.5,0)
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结
合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）直接利用面积公式进行计算即可；
（3）分AC=BC,BA=AC,AB=BC三种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：设直线L的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线过点(4,0)和(0,2)，
{4k+b=0)
∴ ，
b=2
{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=2
1
∴直线L的解析式为y=− x+2；
2
（2）∵A(4,0)、B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，
1
∴△AOB的面积 ×4×2=4；
2
（3）如图，当AB=BC时，则：OA=OC，
∵A(4,0)，∴C (−4,0)，
1
当AB=AC时，
∵AB=❑√42+22=2❑√5，A(4,0)，
∴C (4−2❑√5,0)，C (4+2❑√5,0)；
2 3
当AC=BC时，BC2=(4−BC) 2 +OB2，
∴AC=2.5，
∴OC=1.5，
∴C (1.5,0)，
4
综上所述，C点的坐标为(−4,0)或(4−2❑√5,0)或(4+2❑√5,0)或(1.5,0)．
2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y=− x+n的图象l 与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数y=kx的图象l 与l 交
2 1 2 1
于点C(2,4)．
(1)求n、k的值；
1
(2)已知点D是直线l :y=− x+n上的一个动点．连接OD，当△AOD的面积是
1 2△BOC面积的2倍时，求点D的坐标；
【答案】(1)n=5，k=2
(2)(6,2)或(14,−2)
【分析】本题主要考查两直线的交点，两直线相交，待定系数法求函数解析式、三角
形的面积及分类讨论思想等．
1
（1）将C(2,4)代入y=− x+n，y=kx，即可求解．
2
( 1 )
（2）设D t,− t+5 ，根据△AOD的面积是△BOC面积的2倍，建立方程，解方程，
2
即可求解．
1
【详解】（1）解：依题意，C(2,4)代入y=− x+n，y=kx，
2
1
得，4=− ×2+n,4=2k
2
解得：n=5，k=2
1
（2）解：由（1）可得l :y=− x+5
1 2
1
∵点D是直线l :y=− x+5上的一点，
1 2
1
由一次函数y=− x+5的图象l 与x，y轴分别交于A，B两点，
2 1
1
当x=0时，y=5；当y=0时，0=− x+5，解得：x=10，
2
∴A(10,0)，B(0,5)
∵C(2,4)
1 1
∴S = BC×x = ×5×2=5
△BOC 2 C 2
( 1 )
设D t,− t+5 ，
2
∵△AOD的面积是△BOC面积的2倍，
∴S =10，
△AOD
1 | 1 )
∴S = ×10× − t+5 =10，
△AOD 2 2解得：t=6或14，
1
当t=6时，− t+5=−3+5=2
2
1
当t=14时，− t+5=−7+5=−2
2
∴D (6,2)或(14,−2)．
3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数y=kx+b（k≠0且b≠0）和一次函
数y=−bx−k为“逆反函数”，如y=3x+2和y=−2x−3为“逆反函数”．如图
1，一次函数l ：y=x−2的图象分别交x轴、y轴于点A、B．
1
(1)请写出一次函数l 的“逆反函数”l 的解析式______；点C(a,0)在l 的函数图象上，
1 2 2
则a的值是______．
(2)一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，
1 2
①求出D点坐标；
②求出△ACD的面积．
(3)如图2，过点D作y轴的垂线段DE，垂足为E，M为y轴上的一点，且
∠MDE=∠CDA，请直接写出直线DM的解析式．
1
【答案】(1)y=2x−1； ；
2
9
(2)①D(−1,−3)；② ；
4
1 8 1 10
(3)y= x− ，y=− x− ．
3 3 3 3
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，
分类求解是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，即可求解；
（2）①一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，即可求
1 2解；
1 1 3 9
②由△ACD的面积= ×AC×|y )= × ×3= ，即可求解；
2 D 2 2 4
(1 5)
（3）当点M在点E的上方时，证明△DHN≌△NGK(AAS)，得到N ,− ，即可
2 2
求解；当M(M′)在点E下方时，则直线M′D和MD关于DE对称，则M D′的表达式
1 10
为y=− (x+1)−3=−3x− ，即可求解．
3 3
【详解】（1）由新定义知，l 的解析式 y=2x−1，
2
1
把点C的坐标代入上式得：2a−1=0，则a= ，
2
1
故答案为：y=2x−1， ；
2
（2）①∵一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，
1 2
则点D是两个函数的交点，即2x−1=x−2，则x=−1，即点D(−1,−3)；
(1 ) 3
②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为： ,0 、(2,0)，则AC=
2 2
1 1 3 9
则△ACD的面积= ×AC×|y )= × ×3= ；
2 D 2 2 4
（3）设直线CD交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作KN⊥DM交DN的延长线于点N，过点N作y轴的平行线GH，
过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点DE的延长线于点H，由直线AB的表达式知，∠BDE=45°，即∠BDM+∠DAE=45°，
∵∠MDE=∠CDA，
则∠BDM+∠KDB=45°，则△KDN为等腰直角三角形，设点N(x,y)，
∵∠KNG+∠DNH=90°，∠DNH+∠NDH=90°，
∴∠KNG=∠NDH，
∵∠DHN=∠NGK=90°，NK=ND，
∴△DHN≌△NGK(AAS)，
∴KG=NH，DH=GN，即x+1=−y−1且x=y+3，
1 5
解得：x= ，y=− ，
2 2
(1 5)
即点N ,− ，
2 2
1 1 8
由点D、N的坐标得，直线DM的表达式为：y=− (x+1)−3= x− ，
3 3 3
当M(M′)在E下方时，
1 10
则直线M′D和MD关于DE对称，则MD′的表达式为：y=− (x+1)−3=−3x−
3 3
1 8 10
综上所述，y= x− 或y=−3x− ．
3 3 3
4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线l ：y=x+3与过点A(3,0)的直线l
1 2
交于点C(1,m)，与x轴交于点B．(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点M在直线l 上，且在点C右侧，MN∥ y轴交直线l 于点N，若MN=AB，求点
1 2
M的坐标．
(3)在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−2x+6
(2)(3,6)
(3)存在，(1,0)或(−7,0)
【分析】（1）由函数图像上的坐标特征可确定点C的坐标，再根据点A的坐标即可确
定直线l 的函数表达式；
2
（2）设M(a,a+3)，由MN∥ y轴得N(a,−2a+6)，
MN=|a+3−(−2a+6))=AB=6，再结合点M在点C右侧则可得出答案；
（3）由题意可得△ACD是直角三角形需分两种情况讨论：①∠ADC=90°，则此时
点D(1,0)；②∠ACD=90°，由AC2+CD2=AD2即可求解．
【详解】（1）解：∵直线l ：y=x+3点C(1,m)，
1
∴当x=1时，m=1+3=4，
∴C(1,4)，
设直线l 的解析式为y=kx+b，过点A(3,0)，C(1,4)，
2
{3k+b=0)
∴ ，
k+b=4
{k=−2)
解得： ，
b=6
∴直线l 的解析式为y=−2x+6；
2
（2）在y=x+3中，令y=0，得x=−3，∴B(−3,0)，
∵A(3,0)，
∴AB=3−(−3)=6，
设M(a,a+3)，
∵MN∥ y轴，点N在直线l 上，MN=AB，
2
∴N(a,−2a+6)，
∴MN=|a+3−(−2a+6))=AB=6，
解得：a=3或a=−1，
∵点M在点C右侧
∴a>1，
∴a=3，
∴M(3,6)；
（3）存在，理由如下：
设点D(m,0)，
∵A(3,0)，C(1,4)，
∴AC2=(3−1) 2 +(0−4) 2 =20，CD2=(1−m) 2 +(4−0) 2 =m2−2m+17，
AD2=(m−3) 2 =m2−6m+9，
∵△ACD是直角三角形，
①∠ADC=90°，则x =m=x =1，D(1,0)；
D C
②∠ACD=90°，则AC2+CD2=AD2，
即20+m2−2m+17=m2−6m+9，
解得：m=−7，
∴D(−7,0)；
综上所述，存在满足条件的点D的坐标为(1,0)或(−7,0)．
【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，
函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的
关键．
【考点12】一次函数-情景题★★★1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道
杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”
的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注
水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此简易“公道
杯”中匀速注入清水；当满杯时（即3s时），边继续匀速注入清水，杯中水边自动向
外排出，一段时间后注水停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位
高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8
水位高度 2 4 6 5.75 5.5 3
（h/cm）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)根据表中数据绘制向杯中匀速注水时的图象；
(2)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______ cm/s；在自动向外排水开
始后，杯中水位下降的速度为______ cm/s；
(3)求停止注水时t的值；
(4)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时______s．
【答案】(1)见详解
(2)2，0.25
(3)t的值为6
25
(4)
3
【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，解二元一次方程组，待定系数法求一次
函数的解析式，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键．
（1）读取表格数据，逐个描点即可；（2）由表格数据得当t=3s时，最高水位为6cm，自动排水前，每经过1秒钟，水位
上升2cm，即杯中水位上升的速度为2cm/s，即可求解；
（3）依题意，分别求出从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为
1 27 9 75
ℎ=− t+ ，以及停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=− t+ ，最后建立
4 4 4 4
{ t=6 )
方程组，解出 ，即可作答；
ℎ=5.25
（4）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得
总时间．
【详解】（1）解：依题意，描点如下：
（2）解：由表格知，当t=3s时，杯中水位最高，最高水位为6cm；
由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升2cm，
即杯中水位上升的速度为2cm/s；
当t=4s时，则ℎ=5.75cm；当t=5s时，则ℎ=5.5cm；
5.75−5.5
∴ =0.25，
5−4
故答案为：2，0.25；
（3）解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为ℎ=kt+b，
把(4,5.75)，(5,5.5)代入，
{5.75=4k+b)
得： ，
5.5=5k+b
1
{ k=− )
4
解得： ，
27
b=
41 27
∴ℎ=− t+ ，
4 4
由表知，排水的速度为2+(5.75−5.5)÷1=2.25(cm/s)，
∵当t=7时，ℎ=3，
当t=8时，ℎ=3−2.25×(8−7)=0.75，
设停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=mt+n(m≠0)
把(7,3)，(8,0.75)分别代入ℎ=mt+n(m≠0)，
{ 3=7m+n )
∴ ，
0.75=8m+n
9
{ m=− )
4
解得 ，
75
n=
4
9 75
停止注水后，h关于t的函数表达式为ℎ=− t+ ，
4 4
1 27
{ℎ=− t+ )
4 4
可得方程组 ，
9 75
ℎ=− t+
4 4
{ t=6 )
解得： ，
ℎ=5.25
∴t=6s时，停止注水，
停止注水时t的值为6；
故答案为：6；
（4）解：由(3)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为5.25cm，
25
所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时5.25÷2.25+6= (s)；
3
25
故答案为： ．
3
2.（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上
面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称
为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会
均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模
拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水．表格记录了圆柱容器内水面高度y（厘米）与时间t（时）的一些变化情况：
时间t（时） … 1 2 3 4 5 …
圆柱容器内水面高度y（厘 … 3 5 7 9 11 …
米）
(1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是
________厘米；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出y与t的函数图象，并判断
容器内水面高度y（厘米）与时间t（时）符合一次函数关系吗？
(3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早
上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明．
【答案】(1)2，1
(2)作图见解析，符合
(3)水不会溢出容器
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关
键；
（1）根据表格数据即可求解；
（2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题
意一次函数关系；
（3）求出函数解析式为y=2t+1，把t=24代入求出y的值，与圆柱容器内壁深50厘
米比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知每小时上升(5−3)÷(2−1)=2cm，
∴刚开始容器内水面的高度为3−2=1cm，故答案为：2，1；
（2）解：如图：
从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系；
（3）解：设解析式为y=kt+b，当t=1,y=3；t=2,y=5，
{k+b=3 )
∴ ，
2k+b=5
{k=2)
解得： ，
b=1
∴解析式为y=2t+1，
∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时，
∴y=2×24+1=49cm，
∵49cm<50cm，
∴水不会溢出．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）某生物学习小组研究同一盆栽内两种植物的共同生长
情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑
制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量
A B
x(mg)的关系数据统计如下表：
1 1
x(mg) 0 4 6 8
0 4
2 2 1 1 1 1
y (cm)
A 5 1 9 6 5 11 1 2 2 3 3
y (cm)
B 0 8 2 6 1 8
(1)根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植
物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量x(mg)的函数图象；
A B
(2)猜想A，B植物的生长高度y (cm)，y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系，并
A B
分别求出函数关系式；
(3)同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5cm时，两种植物的生长会处于一种
良好的平衡状态，求出满足平衡状态时，该药物施用量的x(mg)取值范围．
【答案】(1)图象见解答
(2)A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=−x+25;B植物
A
的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=2x+10
B
10 20
(3)满足平衡状态时，该药物施用量x(x(mg))的取值范围是 ≤x≤
3 3
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
（1）由表格数据描点，连线，画出图象；
（2）用待定系数法求出函数解析式；
（3）两种植物高度差距不超过5cm列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：描点，连线，画出图象如图，（2）解：设A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=kx+b，
A
{ b=25 )
把(0,25),(4,21)代入解析式得： ，
4k+b=21
{k=−1)
解得 ，
b=25
∴A植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=−x+25；
A
设B植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=mx+n，
B
{ n=10 )
把(0,10),(4,18)代入解析式得： ，
4m+n=18
{m=2)
解得 ，
n=10
∴B植物的生长高度y (cm)与药物施用量x(mg)的函数关系式为y=2x+10；
B
（3）解：根据题意得：| −x+25−(2x+10)| ≤5，
10 20
解得 ≤x≤ ，
3 3
10 20
∴满足平衡状态时，该药物施用量x(mg))的取值范围是 ≤x≤ ．
3 3
4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）
制作杆秤
知识背景
阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸
张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说
在得”， “衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，
重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆
秤也是中华民族衡重的基本量具之一．素材1：【杠杆平衡条件】
图2杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B(相当于支点)处的秤纽，
在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的
质量．其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离AB
0
为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离BC为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离CD为y厘
米，根据杠杆平衡条件可得：(m +m)⋅l=M⋅(a+y)．
0
素材2：【设计杆秤】
老李师傅制作了一个杆秤，他设定m =10克，M=50克，最大可称重物质量为1000
0
克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
素材3：【确定l和a的值】
(1)如图3，当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；
(2)如图4，当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡；
根据以上的素材，解决下面问题：
(1)求出l和a的值．
(2)①求y关于m的函数解析式为___；
②从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离是
____厘米．
(3)老李师傅的徒弟小周在学习了师傅的作法后，小周自己也另外做了一把杆秤，他称
量重40克货物M时，秤砣在H处秤杆平衡(如图5)；称量重60克货物N时，秤砣在G
处秤杆平衡(如图6)，秤砣此时重60克．根据图中所给数据，求这把杆秤的最大可称
重物质量是多少克．{l=2.5)
【答案】(1)
a=0.5
1
(2)①y= m，②5
20
(3)这把杆秤的最大可称重物质量是100克
【分析】本题考查一次函数的实际应用，理解杠杆平衡条件，是解题的关键：
（1）根据两种情况，列出方程组进行求解即可；
（2）①根据杠杆平衡条件，代入相关数据，列出函数关系式即可；②将m=100代入
解析式，求出y值即可；
（3）待定系数法求出m 和M，再求出a+y=26时的m的值，即可．
0
【详解】（1）解：由题意得：m=0,y=0，
∴10l=50a，
∴l=5a；
当m=1000,y=50，
∴(10+1000)l=50(a+50)，
∴101l−5a=250；
{ l=5a ) {l=2.5)
∴ ，解得： ；
101l−5a=250 a=0.5
（2）①由（1）知：l=2.5,a=0.5，
∴2.5(10+m)=50(0.5+y)，
1
∴y= m；
20
1
②∵y= m，
20
1
∴当m=100时，y= ×100=5，
20∴相邻刻线间的距离是5厘米；
故答案为：5；
（3）解：由图可知：
{2.5(m
0
+40)=11M)
，解得：
{m
0
=4)
，
2.5(m +60)=16M M=10
0
∴2.5(4+m)=10⋅(a+y)，
当a+y=26时，2.5(4+m)=10×26，
解得：m=100；
答：这把杆秤的最大可称重物质量是100克．
一、单选题
1．下列各点中，在正比例函数y=−2x的图象上的是（ ）
A．(0,−2) B．(0，0) C．(1，2) D．(2,−1)
【答案】B
【分析】将各选项所给点的横坐标代入y=−2x中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是
否相等，如果相等，则该点在函数y=−2x的图象上，若不相等，则该点不在函数
y=−2x的图象上．
本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，
掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A、∵当x=0时，y=(−2)×0=0≠−2，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故A本选项错误；
B、∵当x=0时，y=(−2)×0=0，
∴此点在正比例函数y=−2x图象上，故本选项正确；
C、∵当x=1时，y=(−2)×1=−2≠2，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故本选项错误；
D、∵当x=2时，y=(−2)×2=−4≠−1，
∴此点不在正比例函数y=−2x图象上，故本选项错误．
故选B．2．直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)，则关于x的方程kx+b=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=4 C．x=8 D．x=10
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转
化为kx+b=0（k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某
个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴
的交点的横坐标的值．
方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数与x轴的交点横坐标．
【详解】解：∵直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)，
∴关于x的方程kx+b=0的解是x=2．
故选：A．
3．函数y=2x−1图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据函数y=2x−1图象向上平移3个单位后解析式为y=2x+2，当x=0时，
y=2，解答即可．
本题考查了平移，图象与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键．
【详解】解：根据函数y=2x−1图象向上平移3个单位后解析式为y=2x+2，
当x=0时，y=2．
故函数图象与y轴交点纵坐标为2，
故选：A．
4．一次函数y=−2x+b上有两点(−2,y )和(0,y )，则y 与y 的大小（ ）
1 2 1 2
A．y >y B．y <y C．y =y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的
性质是关键．根据一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，然后比较这两点的
横坐标即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=−2x+b中，−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数y=−2x+b上有两点(−2,y )和(0,y )，其中−2<0，
1 2∴y >y ，
1 2
故选：A．
5．对于一次函数y=−2x+1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．图象可由直线y=−2x向下平移1个单位得到
C．点A(2,y )，B(−1,y )都在直线y=−2x+1上，则y <y
1 2 1 2
D．图象经过第二、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象
与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
【详解】解：A、∵k=−2<0，∴y的值随x值的增大而减小，原说法错误，不符合题
意；
B、一次函数y=−2x+1可由直线y=−2x向上平移1个单位得到，原说法错误，不符
合题意；
C、∵y的值随x值的增大而减小，2>−1，∴y <y ，则该说法正确，符合题意；
1 2
D、∵k=−2<0，b=1>0，∴一次函数y=−2x+1的图象经过第一、二、四象限，原
说法错误，不符合题意；
故选：D ．
6．直线y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则方程kx+b=−3的解是（ ）
A．x=0 B．x=−1 C．x=−2 D．x=−3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解
题的关键．
【详解】解：∵(−1,−3)在y=kx+b(k≠0)的图象上，
∴方程kx+b=−3的解是x=−1故选：B．
7．一次函数y=kx−b与正比例函数y=kbx（k，b为常数，kb≠0）在同一直角坐标系内
的大致图象不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确
定k、b，再去对照正比例函数的图象与kb的关系，逐项判断即可．
【详解】解：A、由一次函数图象位置确定k>0，−b<0，b>0，故kb>0，正比例函
数图象满足这一关系，故选项A不符合题意；
B、由一次函数图象位置确定k>0，−b>0，b<0，故kb<0，正比例函数图象满足这一
关系，故选项B不符合题意；
C、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象满足这一
关系，故选项C不符合题意；
D、由一次函数图象位置确定k<0，−b>0，b<0，故kb>0，正比例函数图象不满足
这一关系，故选项D符合题意；
故选：D．
8．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则下列说法：①k<0,b>0；②x=m是方程
kx+b=0的解；③若点A(x , y ),B(x ,y ）是这个函数的图象上的两点，且x <x ，
1 1 2 2 1 2
则y −y >0；④当−1≤x≤2时，1≤ y≤4，则b=3．其中正确的个数为（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是灵活运用
一次函数的性质．图象过第一，二，四象限，可得k<0,b>0，可判定①；根据增减性，
可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②．
【详解】解：∵图象过第一，二，四象限，
∴k<0,b>0，故①正确；
∴y随x增大而减小，
∵x <x ，
1 2
∴y >y ，
1 2
∴y −y >0，故③正确；
1 2
∵一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为(m,0)，
∴x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；
当−1≤x≤2时，1≤ y≤4，
∴当x=−1时，y=4；x=2时，y=1，
{−k+b=4)
代入y=kx+b得 ，
2k+b=1
解得b=3，故④正确；
综上，正确的个数有4个，
故选：D．
二、填空题
9．一次函数y=kx+2经过点(1,4)，则k= ．
【答案】2【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，直接把点(1,4)代入一次函数
y=kx+2，求出k的值即可．
【详解】解：把(1,4)代入得k+2=4，
解得：k=2，
故答案为：2．
10．对于一次函数y=kx+8（k≠0），当1≤x≤4时，y的最小值为4，则k的值是
．
【答案】−1
【分析】当k>0时，y随x的增大而增大，结合1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=1
时，y=4，代入4=k+8，得到k=−4，舍去；当k<0时，y随x的增大而减小，结合
1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=4时，y=4，代入4=4k+8，得到k=−1，符合
题意，解答即可．
本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：当k>0时，y随x的增大而增大，
由1≤x≤4时y的最小值为4，
此时x=1时，y=4，代入4=k+8，
解得k=−4，舍去；
当k<0时，y随x的增大而减小，
由1≤x≤4时y的最小值为4，此时x=4时，y=4，代入4=4k+8，
解得k=−1，符合题意．
故答案为：−1．
{ y=x+2)
11．如图一次函数y=kx+b与y=x+2的图象交于点P(m,4)，则方程组 的解
y=kx+b
．{x=2)
【答案】
y=4
【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两
个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标P(m,4)，
代入y=x+2求出m的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标
求出方程组的解即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，
∴m+2=4，
解得：m=2，
∴P(2,4)，
{ y=x+2) {x=2)
∴ 的解是 ．
y=kx+b y=4
{x=2)
故答案为： ．
y=4
12．已知弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧
长度为7厘米时，所挂重物为 千克．
5 2
【答案】 /1
3 3
【分析】本题主要考查一次函数图象，根据题意设出一次函数表达式，然后把
(0,6),(2.5,7.5)代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把y=7，代入
到表达式，求出x即可．
【详解】解：设一次函数表达式为：y=kx+b，
∵把(0,6),(2.5,7.5)两点坐标代入表达式y=kx+b，得：
{ b=6 )
，
2.5k+b=7.5
{ k= 3 )
解得， 5
b=63
∴y= x+6，
5
3 5
把y=7，代入到y= x+6，解得：x=
5 3
5
故答案为： ．
3
13．如图，一次函数y=kx+b(k<0)的图象与y轴的交点为(0,3)，则不等式
k(x+2)+b<3的解集是 ．
【答案】x>−2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，
先求出b=3，可得k(x+2)<0，再根据k<0，可知x+2>0，求出解集即可.
【详解】解：∵一次函数y=kx+b(k<0)的图象与y轴的交点为(0,3)，
∴b=3.
∵k(x+2)+b<3，
∴k(x+2)<0.
∵k<0，
∴x+2>0，
解得x>−2.
故答案为：x>−2.
三、解答题
14．已知y是关于x的一次函数，且当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−9．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)计算当x=5时y的值
【答案】(1)y=2x−5；
(2)y=5．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把x=5代入所求关系式中求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，
∵当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−9，
{ 3k+b=1 )
∴ ，
−2k+b=−9
{ k=2 )
解得 ，
b=−5
∴该一次函数解析式为y=2x−5；
（2）解：在y=2x−5中，当x=5时，y=2×5−5=5．
15．寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，
当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．若剩余油量y（升）是行驶路程x（千
米）的一次函数．
(1)求y与x之间的函数表达式，写出过程；
(2)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否
在汽车报警前回到家？请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x+35
8
(2)他们能在汽车报警前回到家，见解析
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用；
（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，把(0,35),(80,25)代入y=kx+b中得答
案；
1
（2）把x=200代入y=− x+35计算，再比较即可．
8
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
把(0,35),(80,25)代入y=kx+b中得：
{ b=35 )
，
80k+b=25
{ k=− 1 )
解得 8 ，
b=35
1
∴y与x之间的函数表达式为y=− x+35，
8（2）解：他们能在汽车报警前回到家，理由如下：
当x=200时，
1
y=− ×200+35=10>3，
8
∴他们能在汽车报警前回到家．
16．已知：如图一次函数y =kx−2与x轴相交于点B(−2,0)，y =x+b与x轴相交于点
1 2
C(4,0)，这两个数图象相交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出y ≥ y 时x的取值范围；
1 2
1
(3)连接OA，直线y =x+b上是否存在一点P，使S = S ，若存在，求点P的
2 △OCP 3 △OAC
坐标．
【答案】(1)A(1,−3)
(2)当x≤1时，y ≥ y
1 2
(3)P点坐标为(5,1)或(3,−1)
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待
定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．
（1）把B(−2,0)，C(4,0)分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可；
（2）观察图象直接判断即可；
1
（3）根据S = S 求出点P的纵坐标，代入解析式即可．
△OCP 3 △OAC
【详解】（1）解：把(−2,0)代入y =kx−2得，0=−2k−2，
1
解得，k=−1；
把C(4,0)代入y =x+b得，0=4+b，
2
解得，b=−4；
{y=−x−2)
联立方程组得， ，
y=x−4{ x=1 )
解得， ，
y=−3
A点坐标为：A(1,−3)；
（2）解：根据图象可知，在A点或A点的左侧时，y ≥ y ，
1 2
∴当x≤1时，y ≥ y ；
1 2
（3）解：由（1）OC=3，A(1,−3)．
1 9
S = ×3×3= ，
△OAC 2 2
1 3
S = S = ，
△OCP 3 △OAC 2
设P点坐标为(x,y)，
1
S = OC×| y|，
△OCP 2
3 1
= ×3×| y|，
2 2
| y| =1，
当y=1时，1=x−4，
∴x=5，
∴P点坐标为(5,1)；
当y=−1时，−1=x−4，
∴x=3，
∴P点坐标为(3,−1)；
综上，P点坐标为(5,1)或(3,−1)．
17．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种
时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元在开展促销活动期间，某俱乐部要到该
商场购买运动外套100件，卫衣x件(x≥100)，，设采用方案一的费用为y （元），采
1
用方案二的费用为y （元）．
2
(1)请分别求出y ，y 关于x的函数关系式；
1 2
(2)当x=150时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当俱乐部购买多少件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同．【答案】(1)y =100x+20000，y =80x+24000
1 2
(2)方案一更划算
(3)200件
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）把x=150代入（1）所得函数关系式计算即可判断求解；
（3）求出y =y 时x的值即可求解；
1 2
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，y =100×300+(x−100)×100=100x+20000，
1
y =(100×300+100x)×0.8=80x+24000；
2
（2）解：当x=150时，
方案一：100x+20000=100×150+20000=35000（元），
方案二：80x+24000=80×150+24000=36000（元），
35000<36000，
∴方案一更划算；
（3）解：令y =y ，
1 2
则100x+20000=80x+24000，
解得x=200，
答：当俱乐部购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同．
18．【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，
被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知A，B两店都以30元/千克的价格销售
同一种烘糕，且同时做优惠活动：
A店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售；
B店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠．
在活动期间，李阿姨购买x千克烘糕，A，B店所需的费用分别为y ，y ，y 与x的函
1 2 1
数图象如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出y 、y 与x的函数关系式；
1 2(2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少．
【答案】(1)y =¿；y =18x+120
1 2
(2)当0<x<10时，李阿姨到A店购买优惠；当x=10时，李阿姨到A、B两店购买一样
优惠；当x>10时，李阿姨到B店购买优惠
【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式的应用，解题的关键是熟悉分类讨论
思想的应用．
（1）根据题意列出y 的函数关系式，利用待定系数法求得y 的解析式；
2 1
（2）结合分类讨论和解不等式，分三种情况为李阿姨涉及购买方案即可．
【详解】（1）解：由题意得，y =120+0.6×30x=18x+120，
2
当0≤x≤10时，y =30x，
1
当x>10时，设y =kx+b(k≠0)，
1
由题意得¿，
解得¿．
∴y =24x+60，
1
∴y 与x的函数关系式为y =¿；
1 1
（2）解：当y <y 时，即30x<18x+120时，解得0<x<10，
1 2
∴当0<x<10时，李阿姨到A点购买优惠；
当y =y 时，即30x=18x+120时，解得x=10，
1 2
∴当x=10时，李阿姨到A、B两店购买一样优惠；
当y >y 时，即24x+60>18x+120，解得x=10，
1 2
∴x>10，李阿姨到B点购买优惠；
综上：当0<x<10时，李阿姨到A店购买优惠；当x=10时，李阿姨到A、B两店购买
一样优惠；当x>10时，李阿姨到B店购买优惠．
3
19．如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=−x+m(m>0)与x
2
3
轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y= x+6相交于点E(−2,n)．
2(1)求直线CD的解析式；
5
(2)如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S = ，求点P的坐标；
△PDE 2
(3)如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，
直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)直线CD的解析式为y=−x+1
( 4 ) ( 8 )
(2)P − ,4 或 − ,2
3 3
( 24 6)
(3)Q点的坐标为 − ,−
5 5
3
【分析】（1）把点E(−2,n)代入y= x+6，求得E(−2,3)，把E(−2,3)代入
2
y=−x+m，得到m=1，求得直线CD的解析式；
( 3 )
（2）解方程得到D(1,0)，求得A(−4,0)，设P a, a+6 ，根据三角形的面积列方
2
程即可得到结论；
( 3 )
（3）解方程得到B(0,6)，求得OB=6，设Q b, b+6 ，过Q作QE⊥x轴于E，根
2
3
据等腰直角三角形的性质得到HQ=BH，求得EQ=OH=− b−6,HE=OB=6，得
2
24
到b=− ，于是得到Q点的坐标．
5
3 3
【详解】（1）解：把点E(−2,n)代入y= x+6得n= ×(−2)+6=3，
2 2∴E(−2,3)，
把E(−2,3)代入y=−x+m得3=2+m，
∴m=1，
∴直线CD的解析式为y=−x+1；
（2）在y=−x+1中，令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，
3
在y= x+6中，令y=0，则x=−4，
2
∴A(−4,0)，
∴AD=5
( 3 )
设P a, a+6 ，
2
5
∵S = ，
△PDE 2
1 1 1 (3 ) 1 5
∴S =S −S = AD⋅y − AD⋅y = ×5× a+6 − ×5×3= ，
△PDE △ADP △ADE 2 P 2 E 2 2 2 2
或
1 1 1 1 (3 ) 5
S =S −S = AD⋅y− AD⋅y ❑ = ×5×3− ×5× a+6 =
△PDE △ADE △ADP 2 2 P E 2 2 2 2
4 8
解得a=− 或a=− ，
3 3
( 4 ) ( 8 )
∴P − ,4 或 − ,2 ；
3 3
3
（3）在y= x+6中，令x=0，则y=6，
2
∴B(0,6)，
∴OB=6，
( 3 )
设Q b, b+6 ，
2
过Q作QE⊥x轴于E，∵△BQE ∠BHQ=90°
是等腰直角三角形， ，
∴HQ=BH，
∵∠QEH=∠BHQ=∠BOH=90°，
∴∠HBO+∠BHO=∠BHO+∠QHE=90°，
∴∠HBO=∠QHE，
∴△BHO≌△HQE，
3
∴EQ=OH=− b−6,HE=OB=6，
2
( 3 )
∴−b+ − b−6 =6，
2
24
解得b=− ，
5
( 24 6)
∴Q点的坐标为 − ,− ．
5 5
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的
判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数的解析
式是解题的关键．
