文档内容
专题 04 一次函数
【考点1】函数的概念★
【考点2】函数解析式★
【考点3】自变量取值范围★
【考点4】从函数图像获取信息★★
【考点5】一次函数的性质★★
【考点6】一次函数的图像★★
【考点7】一次函数与一元一次方程★★
【考点8】一次函数与二元一次方程组★★
【考点9】一次函数与不等式组★★
【考点10】一次函数的实际应用★★★
【考点11】一次函数与几何综合★★★★
【考点12】一次函数-情景题★★★
【知识点01】变量与函数
1.变量与函数
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如
果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
2.函数的解析式
像 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的
关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
3.自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【知识02】函数的图像
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【知识03】一次函数的图像和性质
1.一次函数的图像与性质
（1）一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
（2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
2.一次函数图像上点坐标的特征
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合
多想与之结合的几何图形的性质。
【知识04】一次函数与方程，不等式的关系
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中
不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范
围。
【知识05】一次函数的实际应用
行程类：
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
销售类：
1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量2、利用函数的增减性得到最大利润
【考点1】函数的概念★
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各图象中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ）
3
A．y=2x−7 B．y= C．y=x2 D．y=±x
x
4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm．若点燃
后燃烧时间为x(h)，所剩余蜡烛的长为y(cm)，则在这个变化过程中，下列判断错误的
是（ ）
A．20是常量 B．x是自变量 C．y是因变量 D．x是y的函数
【考点2】函数解析式★
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，
那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
36−y
A．x= (90时，y<3
2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知直线y=x+5过点A(−1,y )和点(−3,y )，则
1 2
y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y >y B．y ax+3的解集是（ ）A．x>2 B．x<2 C．x>−1 D．x<−1
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y =ax+b（a，b为常数）与正比例
1
函数y =kx（k为常数）的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解
2
集是（ ）
A．x≥−2 B．x≤−2 C．x≥−4 D．x≤−4
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y<0
时，x的取值范围是（ ）
A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x
的取值范围是（ ）A．x≤3 B．x≤0 C．x≤2 D．x≥2
5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图所示，则不等
式kx+b−2>0的解集为（ ）
A．x>−1 B．x<−1 C．x>2 D．x>0
【考点10】一次函数的实际应用★★★
1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购
买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥3）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B
两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛
球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y （元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛
1
球的费用为y （元）．请解答下列问题：
2
(1)分别写出y 、y 与x之间的关系式：
1 2
(2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
2．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种
防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地
240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产
A B
厂
甲 20 25
乙 15 24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间
的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低m元（0y B．y 0；②x=m是方程
的解；③若点 ）是这个函数的图象上的两点，且 ，
kx+b=0 A(x , y ),B(x ,y x 0；④当−1≤x≤2时，1≤ y≤4，则b=3．其中正确的个数为（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．一次函数y=kx+2经过点(1,4)，则k= ．
10．对于一次函数y=kx+8（k≠0），当1≤x≤4时，y的最小值为4，则k的值是
．
{ y=x+2)
11．如图一次函数y=kx+b与y=x+2的图象交于点P(m,4)，则方程组 的解
y=kx+b
．
12．已知弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧
长度为7厘米时，所挂重物为 千克．
13．如图，一次函数y=kx+b(k<0)的图象与y轴的交点为(0,3)，则不等式
k(x+2)+b<3的解集是 ．三、解答题
14．已知y是关于x的一次函数，且当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−9．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)计算当x=5时y的值
15．寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，
当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．若剩余油量y（升）是行驶路程x（千
米）的一次函数．
(1)求y与x之间的函数表达式，写出过程；
(2)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否
在汽车报警前回到家？请说明理由．
16．已知：如图一次函数y =kx−2与x轴相交于点B(−2,0)，y =x+b与x轴相交于点
1 2
C(4,0)，这两个数图象相交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出y ≥ y 时x的取值范围；
1 21
(3)连接OA，直线y =x+b上是否存在一点P，使S = S ，若存在，求点P的
2 △OCP 3 △OAC
坐标．
17．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种
时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元在开展促销活动期间，某俱乐部要到该
商场购买运动外套100件，卫衣x件(x≥100)，，设采用方案一的费用为y （元），采
1
用方案二的费用为y （元）．
2
(1)请分别求出y ，y 关于x的函数关系式；
1 2
(2)当x=150时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当俱乐部购买多少件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同．
18．【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，
被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知A，B两店都以30元/千克的价格销售
同一种烘糕，且同时做优惠活动：
A店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售；
B店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠．
在活动期间，李阿姨购买x千克烘糕，A，B店所需的费用分别为y ，y ，y 与x的函
1 2 1
数图象如图所示，回答下列问题：(1)分别求出y 、y 与x的函数关系式；
1 2
(2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少．
3
19．如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=−x+m(m>0)与x
2
3
轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y= x+6相交于点E(−2,n)．
2
(1)求直线CD的解析式；
5
(2)如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S = ，求点P的坐标；
△PDE 2
(3)如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，
直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
