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微考点 6-3 圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）
求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 .
y=kx+m k m
④设直线为 ，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出 与 之间的
关系，即可求出定点。
题型一：圆锥曲线中直线过定点问题
【精选例题】
【例1】已知 为椭圆C： 上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积
为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线 必过
定点，并求出这个定点坐标．
【例2】已知椭圆 的离心率 ，且椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 交于 两点， 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 与
轴交于定点 .【跟踪训练】
1．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含
丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 （即折叠后图中的点 与点 重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点 到圆心 的距离为 ，按上述方法折纸.以线段 的中点为原点，线
段 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)设轨迹 与 轴从左到右的交点为点 ， ，点 为轨迹 上异于 ， ，的动点，设 交直线 于
点 ，连结 交轨迹 于点 .直线 、 的斜率分别为 、 .
（i）求证： 为定值；
（ii）证明直线 经过 轴上的定点，并求出该定点的坐标.
2．已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 ， ， ， 为椭圆 上关于轴对称的两点（不与点B重合）， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 垂直于直线 ，
为垂足．
(1)求 的方程；
(2)证明：（i）直线 过定点，（ii）存在定点 ，使 为定值．
题型二：圆锥曲线中圆过定点问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆
上任意一点， 面积的最大值为1.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交点分别
为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.
【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，其左右
焦点分别为 ， ．
(1)若点P与 ， 的距离之比为 ，求直线 被点P所在的曲线 截得的弦长；
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，Q为 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以 为直径的圆经过x轴上的定点．
【跟踪训练】
1.设椭圆 的离心率为 ，点 为椭圆上一点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 .问： 轴上是否存在
定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 的长轴长为4，且经过点 ，其中e
为椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为 ，直线 交x轴于点Q，过点
Q作l的垂线 ，垂足为H，求证：点H在定圆上.
题型三：圆锥曲线中圆过定值问题
【精选例题】
【例1】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点 到直线
的距离为 .(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆 上的任一点 ，从原点 向圆 引两条切线，设两条切线的斜
率分别为 ，
（i）求证： 为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于 时，求证： 为定值.
【例2】已知椭圆 ： 离心率 ，且经点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线 于点D，且 ，设直线 ， ，
的斜率分别为 ， ， ，若 ，证明 为定值．【例3】已知椭圆 过点 ，离心率 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 的斜率为 直线 交椭圆 于另一点 ，若 的面积为2，其中 为坐标原点，求直线 的
斜率 的值；
(3)设过点 的直线 交椭圆 于点 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 ， ．求证：线
段 的中点 为定点．
【跟踪训练】
1．如图，D为圆O： 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接
并延长至点W，使得 ，点W的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的两条直线 ， 分别交曲线C于M，N两点，且 ，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于
P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 ？若存在，求出点R坐标；若不存在，
请说明理由．
3．已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，定点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 分别交于点 （ 不在直线 上），若直线 ， 与椭圆 分别交于点 ，
，且直线 过定点 ，问直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
4．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，其离心率为 ，点P是C上的一点
（不同于A，B两点），且 面积的最大值为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线 于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
1．设椭圆 ： 的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭
圆上且异于C，D两点.若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线 与椭圆E
的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.
2．已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为A， ，P是椭圆E上
一点（异于顶点），O是坐标原点，Q在线段 上，且 ∥ ， ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M，N，B与N关于x轴对称，直线MB与x轴交于点D，证
明： 为定值．
3．已知 为圆 ： 上任一点， ， ， ，且满足.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线与轨迹 相交于 , 两点，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
4．椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为椭圆 上任意一点， 不
在 轴上， 的面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 相交于M，N两点，设点 ，求证：直线 ， 的斜率之和
为定值，并求出定值.
5．已知 ， ，动圆 与圆 外切且与圆 内切． 圆心 的轨迹
为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在过点 的直线 交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线 的斜率与直线OQ的
斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．6．已知椭圆 的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ，若
，试问直线 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
8．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若存在，
求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且四边形
是面积为8的正方形．(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在x轴上方的两点， ， 与 的交点为P，试问 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
10．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，且满足
轴， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的右顶点为 ，左顶点为 ，是否存在异于点 的定点 ，使过定点 的任
一条直线 均与椭圆 交于 （异于 两点）两点，且使得直线 的斜率为直线
的斜率的2倍？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
11．已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，点P是坐标
平面内一点，且 （O为坐标原点）．(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的
圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和 面积的最大值；若不存在，说明理由．
12．已知椭圆 经过点 ，且右焦点为
(1)求C的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，F，以EF
为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
