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微考点 6-3 圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）
求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 .
④设直线为y=kx+m，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出k与m之间的
关系，即可求出定点。
题型一：圆锥曲线中直线过定点问题
【精选例题】
【例1】已知 为椭圆C： 上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积
为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线 必过
定点，并求出这个定点坐标．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出 即可得解；
（2）设 ，分情况讨论，联立方程，利用韦达定理求出 ，再根据直线 与
的斜率之积为 即可得出结论.
【详解】（1）由点 与椭圆 的两个焦点构成的三角形面积为 可知 ，
解得： ，
，椭圆 的标准方程： ；
（2）设 ，
当直线 不平行于 轴时，设 方程为： ，由 不经过点 知
由 得 ，
，
，
，
，
，
，
，过定点
当直线 平行于 轴时， ，设
由 和 的方程联立解得 ，
方程为： ，过定点
综上，直线 必过定点 ．【例2】已知椭圆 的离心率 ，且椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 交于 两点， 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 与
轴交于定点 .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的方程为 并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线 的方程，求出点 横坐标表
达式即可得 .
【详解】（1）由离心率可得 ，
将点 代入椭圆方程可得 ，又 ；
解得 ，
所以椭圆C的方程为
（2）设点 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
直线 与椭圆 联立，消去 ，得 ，
则可得 ， ，易知 ，得
由题意，直线 的方程为 ，
令 ，所以点 的横坐标 ，
所以直线 与 轴交于定点
【跟踪训练】
1．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含
丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 （即折叠后图中的点 与点 重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点 到圆心 的距离为 ，按上述方法折纸.以线段 的中点为原点，线
段 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)设轨迹 与 轴从左到右的交点为点 ， ，点 为轨迹 上异于 ， ，的动点，设 交直线 于
点 ，连结 交轨迹 于点 .直线 、 的斜率分别为 、 .
（i）求证： 为定值；
（ii）证明直线 经过 轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为
【分析】（1）由折纸的对称性，可知 ，从而确定点 的轨迹；
（2）（i）设点 ， ， ，根据斜率公式分别求出 、 ，结合椭圆方程证明；
（ii）设直线 的方程为 ，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出 ，根据直线方程即可求
出定点.
【详解】（1）由题意可知， ，
故点 的轨迹是以 ， 为焦点，且长轴长 的椭圆，
焦距 ，所以 ，
因此轨迹 方程为 .
（2）证明：（i）设 ， ， ，
由题可知 ， 如下图所示：
则 ， ，
而 ，于是 ，
所以 ，
又 ，则 ，因此 为定值.
（ii）设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 .
由（i）可知， ，
即 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
因此直线 经过定点 .
【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程
可得.
2．已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 ， ， ， 为椭圆 上关于
轴对称的两点（不与点B重合）， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 垂直于直线 ，
为垂足．
(1)求 的方程；
(2)证明：（i）直线 过定点，（ii）存在定点 ，使 为定值．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）设方程为 ，代入 点的坐标，得出方程组，求解即得.
（2）（i）设 的方程为 ，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出 的
方程为 ，令 ，整理可得 ，即可得出定点；（ii）由已知可得 ，即
可得出 的轨迹，得出答案.
【详解】（1）设 的方程为 ，则 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）（i）依题意，直线 的斜率存在且不为0，设 的方程为 ，
设点 ， ，则 ，
由 消去 并整理得 ，则 ，
， ，显然 ，
直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
所以直线 恒过定点 .
（ii）令直线 过的定点 为点 ，由 ， 在 上，得 ，
则点 在以 为直径的圆上，从而 的中点 为定点，使 为定值 .【点睛】思路点睛：设 的方程为 ，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.
进而整理化简，即可得出定点坐标.
题型二：圆锥曲线中圆过定点问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆
上任意一点， 面积的最大值为1.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交点分别
为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.
【答案】(1) ，(2)证明见解析
(1)解：因为椭圆 的离心率为 ，所以 .又当 位于上顶点或者下顶点时， 面积最大，即
.
又 ，所以 ， .所以椭圆 的标准方程为 .
(2)解：由题知，直线 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，设 ， ，将直线
代入椭圆 的方程得： ，由韦达定理得： ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以 ， ，
所以以 为直径的圆为 ，整理得：
.①因为
，
令①中的 ，可得 ，所以，以 为直径的圆过定点 .
【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，其左右
焦点分别为 ， ．
(1)若点P与 ， 的距离之比为 ，求直线 被点P所在的曲线 截得的弦长；
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，Q为 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别与椭圆
的右准线交于点M，N，求证：以 为直径的圆经过x轴上的定点．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】根据题意，利用 上的点 和离心率得 及 ；
（1）由点 与 ， 的距离之比化简整理得到点 的轨迹方程是一个圆，利用利用勾股定理可得弦长；
（2）根据题意，写出直线 ， 的直线方程并求其右准线交于点M，N的坐标，假设 轴上存在点在以 为直径的圆上，利用 求出 的值，从而得证以 为直径的圆经过x轴上的定点.
【详解】（1）因为椭圆 ： 过点 ，所以 ．
又因为离心率 ，即 ，故 ，
所以 ，即 ，所以 ，则 ， ．
设 ，则 ，即 ，
所以点 的轨迹为圆心 ，半径 的圆．
其圆心 到直线 的距离为 ，
所以弦长 ．
故直线 被点P所在的曲线 截得的弦长为 .
（2）证明：由（1）知 ，所以 ， ，右准线 ．
设 ， ，
由 ： ，则 ，同理 ．
假设 轴上存在点 在以 为直径的圆上，则
因为
，
因为Q点在椭圆上，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
点 和 都满足题意.
所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点 和 .
【跟踪训练】
1.设椭圆 的离心率为 ，点 为椭圆上一点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 .问： 轴上是否存在
定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在， .
(1)由 可得 ，① 的周长为 ，所以 ，即 ② 联立①②得： ， ， ，∴椭圆的方程为 ；
(2)设点 ．由 ，得 ，
，化简得 ，∴ ，
∴ ．由 ，得 ，假设存在点 ，则 ，
， ∵以 为直径的圆恒过 点，∴ ，
即 ，∴ 对任意 都成立．
则 ，解得 ，故存在定点 符合题意．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 的长轴长为4，且经过点 ，其中e
为椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为 ，直线 交x轴于点Q，过点
Q作l的垂线 ，垂足为H，求证：点H在定圆上.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的长轴长，以及椭圆过的点，求出b的值，即可求得答案；
（2）设l的方程为 ，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合 的方程可求得Q点坐标，
从而可得 的方程，并求出其过定点，结合垂直关系，即可证明结论.
【详解】（1）因为椭圆C： 的长轴长为 ，所以 ，因为椭圆 经过点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 (舍)．
所以椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知，l的斜率存在，
设l的方程为 ， ，则 ．
由 ，得 ， ，
所以 ，
因为 的方程为 ，
令 ，得
，
即 ，
因为 ，①当 时， 的斜率为 ，则 的方程为 ，即 ，
所以 恒过点 ．
②当 时，l的方程为 ， ，则 的方程为 ，
此时 也过点 ．
综上， 恒过定点 ，
由题意可知 ，故点H在以PM为直径的定圆上．
【点睛】：关键点睛：本题第二问证明点H在定圆上，关键在于推出直线 过定点 ，从而结合
，即可证明结论.
题型三：圆锥曲线中圆过定值问题
【精选例题】
【例1】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点 到直线
的距离为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆 上的任一点 ，从原点 向圆 引两条切线，设两条切线的斜
率分别为 ，
（i）求证： 为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于 时，求证： 为定值.【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）直接列出关于 的方程组求解；
（2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出 与 的关系，从而得出 是某
个一元二次方程的解，利用韦达定理可得；
（ii）设 ，利用 及椭圆方程求得 ，再求得 后可得 ．
【详解】（1）题意， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为 ，
由 ，化简得 ，
同理 .
所以 是方程 的两个不相等的实数根，
则 .
又因为 ，所以 ，
所以 .（ii）证明：由（ 得， ，设 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
得 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 为定值.
【例2】已知椭圆 ： 离心率 ，且经点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线 于点D，且 ，设直线 ， ，
的斜率分别为 ， ， ，若 ，证明 为定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，解方程求出 ，即可得出答案；
（2）设 ， ，设直线 方程为： ，将直线 方程与随圆方程联立，得到关
于 的一元二次方程，根据韦达定理，可得 的表达式，由此表示出 ，再 代入
化简即可得出答案.【详解】（1）由题意知 ，解得 ， ，
故椭圆 的标准方程为 ．
（2）由题意直线 的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为 ，
设直线 方程为： ， 坐标为 ．所以 ，
设 ， ，将直线 方程与随圆方程联立，
∴ ，又 恒成立，
由韦达定理知， ，
，
∴
∴【点睛】关键点睛：解题的关键是根据直线 方程得到 坐标为 ，则 ，直线 方程与
随圆方程联立，化简整理，结合韦达定理表示出 ，代入化简即可得出答案.
【例3】已知椭圆 过点 ，离心率 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 的斜率为 直线 交椭圆 于另一点 ，若 的面积为2，其中 为坐标原点，求直线 的
斜率 的值；
(3)设过点 的直线 交椭圆 于点 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 ， ．求证：线
段 的中点 为定点．
【答案】(1)
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，列出关于 的方程组并求解即得.
（2）由点斜式写出直线 的方程，与椭圆方程联立结合三角形面积求出k值即得.
（3）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，求出点 的坐标，结合韦达定理计算得解.
【详解】（1）令椭圆半焦距为c，依题意， ，
解得 ， ， ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ，
则原点到直线 的距离为 ，由 消去 并化简得 ，
显然 ，设 ，有 ，则 ，
于是 ，
则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
（3）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 并化简得 ，
则 ， ，
由 ，得 ，所以 ，
显然直线 ， 的斜率存在，直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
同理得 ，
所以，
所以线段 的中点 为定点 .
【点睛】结论点睛：过定点 的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
；
过定点 直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点 ， ，则 面积 .
【跟踪训练】
1．如图，D为圆O： 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接 并
延长至点W，使得 ，点W的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的两条直线 ， 分别交曲线C于M，N两点，且 ，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于
P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 ？若存在，求出点R坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)(2)证明见解析，
(3)存在，
【分析】（1）设 ，求得D点并代入 ，化简求得曲线C的方程；
（2）设 的方程为 ，直线 的方程为 ，将直线 的方程与曲线C的方程联立，求
得M，N的坐标，对 进行分类讨论，由此证得直线 过定点并求得定点坐标；
（3）假设存在点 使得 ，先求得 ，设出G，H的坐标，由直线SH
和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标．
【详解】（1）设 ， ，则 ，
由题意知 ，所以 ，得( ，所以 ，
因为 ，得 ，故曲线C的方程为 ．
（2）由题意可知，直线 不平行坐标轴，
则可设 的方程为： ，此时直线 的方程为 ．
由 ，消去 得： ，
解得： 或 (舍去)，所以 ，
所以 ，同理可得： ．
当 时，直线 的斜率存在，，
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 斜率不存在，此时直线 方程为： ，也过定点 ，
综上所述：直线 过定点 ．
（3）假设存在点R使得 ，设 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
直线 与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于 轴对称，
设 ，
易知点 ，直线 方程是 ，
令 得点P横坐标 ，
直线 方程是 ，令 得点Q横坐标 ，
由 ，得 ，又 在椭圆上，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以存在点 ，使得 成立．3．已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，定点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 分别交于点 （ 不在直线 上），若直线 ， 与椭圆 分别交于点 ，
，且直线 过定点 ，问直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1) ；(2)直线 的斜率为定值1
【分析】（1）由长轴长和离心率可求出 ，结合关系式可求出 ，进而求出椭圆 的方程；
（2）可设 ， ， ， ，由 ， 得 ，将
， 代入椭圆整理得 ，联立 求得 ，同理求得 ，结合 ，化简
求出 ， 由 即可求解.
【详解】（1）由椭圆 的长轴长为4可知 ，
又椭圆 的离心率为 ，即 ，所以 ，则 ，
因此椭圆 的方程为 ；（2）
直线 的斜率为定值，定值为1，
证明：设 ， ， ， ，，
， ，
由 ，有 ，
因为 ， 在椭圆上，
所以 ， ，因此 ，
整理得 ，
即 ，因此 ，
联立 ，
解得 ，同理 ，
又因为直线 过定点 ，所以 ，
将 ， ， ， 代入，有 ，整理得 ，
又 ，所以 ．
综上，直线 的斜率为定值1．
【点睛】关键点睛：本题涉及的量比较多，关键是设而不求，整体代换的思想的应用.
4．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，其离心率为 ，点P是C上的一点
（不同于A，B两点），且 面积的最大值为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线 于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y
轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)是定值， .
【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程；
（2）设 ，且 ，求得 ，再根据已知可得直线 ，而
直线 ，进而求出 坐标，过 作 轴，利用等比例关系求 即可得结论.
【详解】（1）由题意 ，故 .（2）由（1）及题设知： ，直线 的斜率存在且不为0，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则 ，
故直线 ，而直线 ，则 ，
联立 ，而 ，可得 ，
所以 ，故 ，过 作 轴，如图，
所以 为定值.
1．设椭圆 ： 的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭
圆上且异于C，D两点.若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线 与椭圆E
的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线 与 的斜率之积得到 ，故 ，结合焦距得到 ，
，得到椭圆方程；
（2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出 ，得到结论.
【详解】（1）由题意有 ， ，
设 ， ，化简得 ，结合 ，
可得 ，
由椭圆焦距为2，有 ，得 ， ，
椭圆E的标准方程为 ；
（2）显然直线 方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，
根据椭圆的对称性，欲证 ，H关于 轴对称，
只需证 ，即证 ，
设 ， ，直线 方程为 ，
由 消去 得 ，，解得 ，
所以 ， .
则 ，
因为 ，
所以 ，即A，H关于 轴对称.
2．已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为A， ，P是椭圆E上
一点（异于顶点），O是坐标原点，Q在线段 上，且 ∥ ， ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M，N，B与N关于x轴对称，直线MB与x轴交于点D，证
明： 为定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理结合椭圆的定义及已知条件可求出 ，再由 可求出 ，然后
由 可求得 ，从而可求出椭圆方程；
（2）由题意知直线MN，MB的斜率均存在且均不为零，设 ， ， ， ，然
后表示出直线MN，MB的方程，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得到两个 相等，化简
可得结论.
【详解】（1）由题知，O是线段 的中点，Q在线段 上， ∥ ，
则Q是线段 的中点，可得 ， ，所以 ，即 ，
又因为 ，则 ， 可得 ，
所以椭圆E的标准方程为 ．
（2）由题意知直线MN，MB的斜率均存在且均不为零，
设 ， ， ， ，则 ，
可得直线MN的方程为 ，直线MB的方程为 ，
联立方程 ，
消去y并整理得 ，
则 ， ，
联立方程 ，
消去y并整理得 ，
则 ， ．
因为 ，
即 ，
整理得 ，
当 时， ，即 ；当 时，C，D，M三点重合或N，B，C，D四点重合，此时 ；
综上所述： ，为定值．
【点睛】关键点睛：求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
3．已知 为圆 ： 上任一点， ， ， ，且满足
.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线与轨迹 相交于 , 两点，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，R的坐标为
【分析】（1）由 可得 ，根据向量的加法以及数量积运算可 ，从而得
到 ，结合椭圆的定义即可求出其轨迹方程.（2）当过点 的直线平行于 轴时和垂直于 轴时，求得 ，当 不平行于 轴时且不垂直于 轴
时，联立方程，利用韦达定理和点 关于 轴的对称点 ，结合 ，求得 三点共线，从而满
足 ，即可判断存在点 不同的定点 .
【详解】（1）圆 ： ，圆心 ，半径为 ，因为 ，则 ，
因为 ， ，则 在线段 上，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
设椭圆方程为 ，则 ， ，则 ， ，
所以 ，则动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设过点 的直线为 ，
当 平行于 轴时，直线与椭圆相交于 两点，如果存在点 满足条件，
则有 ，即 ，所以 点在 轴上，可设 的坐标为 ；
当 垂直于 轴时，直线与椭圆相交于 两点， 如果存在点 满足条件，则有
，即 ，解得 或 ，所以若存在不同于点 的定点 满足条件，则点 的坐标为 ，
当 不平行于 轴时且不垂直于 轴时，设直线 方程为 ， ，
联立 ，得 ，
因为直线 恒过椭圆内定点 ，故 恒成立， ，
又因为点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，则 三点共线，所以 ，
综上，存在与点 不同的定点 ，使 恒成立，且 .
4．椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为椭圆 上任意一点， 不
在 轴上， 的面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)过点 的直线 与椭圆 相交于M，N两点，设点 ，求证：直线 ， 的斜率之和
为定值，并求出定值.
【答案】(1) ；(2)定值，
【分析】（1）根据题意列出方程即可；
（2）设出 直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
设 到 的距离为 ，因为 ，
所以 ，易得当 时 面积取得最大值，
所以 ，因为 ，
所以 ， ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）证明：如图，易知点 在椭圆外，
设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程，在化简
过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.
5．已知 ， ，动圆 与圆 外切且与圆 内切． 圆心 的轨迹
为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在过点 的直线 交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线 的斜率与直线OQ的
斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）先根据题意得到圆 与圆 的圆心和半径，再根据题意求得 ， ，从
而根据椭圆的定义可知，动点 的轨迹是以 ， 为焦点，4为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C的
方程；
（2）先根据题意可得过点 的直线 的斜率存在，从而设直线 为 ，再联立曲线C的
方程，消 整理得到关于 的一元二次方程，再结合点Q为中点，从而求得 的值，进而即可得到结论．
【详解】（1）依题意可得圆 的圆心为 ，半径为1，圆 的圆心为 ，半径为7，
设动圆 的半径为 ，
由动圆 与圆 外切且与圆 内切，
则 ，且 ，
则由椭圆的定义可知，动点 的轨迹是以 ， 为焦点，4为半长轴长的椭圆，
所以 ， ， ，故曲线C的方程的方程为 ．
（2）依题意可得过点 的直线 的斜率存在，
则设直线 为 ，
联立 ，消 整理得 ，
当点Q为中点时，有 ，解得 ，
又 ，所以 (定值)，
故直线 的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值 ．
6．已知椭圆 的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ，若，试问直线 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)过定点 ，理由见解析
【分析】（1）由题意可得 ， ，求出 ，从而可得椭圆方程，
（2）分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系
数的关系，求出直线 与 的斜率，再由 列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒
过的定点.
【详解】（1）因为椭圆 的长轴为双曲线 的实轴，
所以 ，
因为椭圆 过点 ，所以 ， ，得 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）①当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
由 ，得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
则直线过定点 （舍去），
当 时，直线 的方程为 ，
所以直线过定点 ，
②当直线 的斜率不存在时，设直线为 （ ），
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
解得 （舍去），或 ，
所以直线也过定点 ，
综上，直线 恒过定点 .
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为常数.
8．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若存在，
求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在，
【分析】（1）由离心率 与定点 代入椭圆方程，建立方程组 待定系数即可；
（2）由 条件转化为 ，设直线 的方程为 ，将斜率坐
标化，利用韦达定理代入，得到 的等式，不论 如何变化，等式恒成立求 值即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）存在定点 ，使 .理由如下：
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立.
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .
当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.由 消去 并整理，得 ，
则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
即 ，
恒成立，
即对 ， 恒成立，则 ，即 .
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且四边形
是面积为8的正方形．(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在x轴上方的两点， ， 与 的交点为P，试问 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)定值为 ．
【分析】（1）根据面积求出 ，即可得出椭圆方程；
（2）设 ，根据相似三角形表示出 ，利用直线与椭圆方程化简可得 的和积，
代入化简即可得解.
【详解】（1）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为
， ，因为四边形 是面积为8的正方形，
所以有 且 ，解得 ，故 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）由已知 ，则 ，
设 ，因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以．
即 ．
设 ， 的方程分别为： ， ，
设 ， ，
则 ，
所以 ，
因此 ，
同理可得： ，因此 ，
，
所以 ．
所以 为定值，定值为 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运算，大量的运算保证了消参的进行，为求证定值的必要条件，运
算能力的培养是解决问题的关键.
10．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，且满足轴， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的右顶点为 ，左顶点为 ，是否存在异于点 的定点 ，使过定点 的任
一条直线 均与椭圆 交于 （异于 两点）两点，且使得直线 的斜率为直线
的斜率的2倍？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在定点 满足题意， .
【分析】（1）由 轴，得到 ，从而得到 ， ，再利用椭圆定
义求得a即可；
（2）假设存在满足题意的定点 ，设直线 的方程为 ，联立 ，由
，结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：因为 轴，所以 ，
解得
所以 .
根据椭圆的定义，得 ，
解得 .
又 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（2）假设存在满足题意的定点 .依题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理，得 ，
由 ，得 .
由根与系数的关系，得 .
由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
②-①，得 ，
当 时，
解得 ，
所以 .又 ，所以 .
因为上式在 变化时恒成立，所以 .又 ，所以 .
此时点 与点 重合，不合题意，舍去；
所以 ，即 ，
此时点 在椭圆 的内部，满足直线 均与椭圆 交于 两点，
所以存在定点 满足题意， .
11．已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，点P是坐标
平面内一点，且 （O为坐标原点）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的
圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和 面积的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在定点 ， 面积的最大值为
【分析】（1）根据向量的数量积运算求得 ，结合离心率求 ，即可得方程；
（2） ， ，联立方程，根据 结合韦达定理分析可知
，再利用弦长公式结合基本不等式求面积最大值.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为 ，
因为 ，即 ，解得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）存在，理由如下：
因为 在椭圆内，则动直线l与椭圆C必相交，
由题意可设： ， ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
因为 ，
若以AB为直径的圆恒过点M，
则
整理得 ，
可得 ，
令 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 ，
即 ，可得 ，所以 ，又因为 ，
点 到直线 的距离 ，
则 面积 ，
令 ，则 ，
可得 ，
因为 在 上单调递增，且 ，则 ，
可得 ，则 ，
所以当且仅当 时， 面积取到最大值 .
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
12．已知椭圆 经过点 ，且右焦点为
(1)求C的标准方程；(2)过点 且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，F，以EF
为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以EF为直径的圆过定点 ,
【分析】（1）根据条件求出a，b，即可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为 ，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出E，F坐标，通过 ，求
出 ，即可求得定点坐标
【详解】（1）由题意， ， ，
所以 ，
故C的标准方程为
（2）以EF为直径的圆过定点，理由如下：
设直线l的方程为 ，联立椭圆方程 ，
消去x，整理可得 ，
则 ，且 ，
由直线AM方程为 ，令 ，求得点
由直线AN方程为 ，令 ，求得点
由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，
设该定点为 ，则 ， ，可得
由 ，解得 ，
故以EF为直径的圆过定点 ,
13．已知椭圆 过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 的下顶点为 ，不过 的直线 与 交于点 ，线段 的中点为 ，若 ，试
问直线 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）依题意，得 又 ，解得
所以椭圆方程为 .
（2）
因为 ，所以 ，
又 为线段 的中点，所以 ，因此 .
根据题意可知直线 的斜率一定存在，设 的方程为 ，
联立 消去 ，
得 ，
根据韦达定理可得 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，整理得 ，解得 或 .
又直线 不经过点 ，所以 舍去，
于是直线 的方程为 ，恒过定点 ，该点在椭圆 内，满足 ，
所以直线 恒过定点，定点坐标为 .
