微考点6-4利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习

微考点 6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题 【考点目录】 考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式 考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式 考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为 考点四：双曲线中，焦点三角形的内心 的轨迹方程为 . 考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式 考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式 考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式 【考点分类】 考点一：椭圆焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为 （ 为焦距对应的张角） 【精选例题】 【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．【例 2】设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则△ 的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 【跟踪训练】 1.设P为椭圆 上一点， 为左右焦点，若 ，则P点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 2.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上一点，且 ．若△ 的面积为 ，则 （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式 若椭圆与直线l交于AB两点，M为AB中点，且 与 斜率存在时，则 ；（焦点在x 轴上时），当焦点在 轴上时， 若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点， （焦点在x轴上时），当焦点在 轴上时， 下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设 ， ，因为AB过原点，由对称性可知，点 ，所以 y −y y +y y 2 −y 2 k ⋅k = 0 1 ⋅ 0 1 = 0 1 PA PB x −x x +x x −x 0 1 0 1 0 2 1 2 ．又因为点 ， 在椭圆上，所以有 x y { 2 2 0 0 + =1(1)¿¿¿¿ 2 2 a b ．y 0 2 −y 1 2 b2 b2 =− − 两式相减得 x 0 2 −x 1 2 a2 ，所以 k PA ⋅k PB = a2 ． 设 ， ， 则椭圆 两式相减得 中点弦问题证明： ． 双曲线中焦点在 轴上为 ，焦点在 轴上为 ， 【精选例题】 【例1】已知椭圆 的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB 的中点坐标为（1， ），则G的方程为 A． B． C． D． 【例2】过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【例3】（多选题）已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ．点 为 上不在坐标轴上的任意一点，且 ， ， ， 四条直线的斜率之积大于 ，则 的离心率可以是A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上一点，若点 关于双曲线中心 的对 称点为 ，设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2.已知A，B，P是双曲线 （ ， ）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线 PA，PB的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于 A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则双曲线的离心率是（ ） A． B．2 C． D．考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为 【精选例题】 【例1】若双曲线 的焦点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为 A． B．3 C． D． 【跟踪训练】 1.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． x2 y2  1(a0,b0) a2 b2 2．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的 C 右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1  1 A． 5 4 B． 4 5 C． 3 6 D． 6 3 【精选例题】【例1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距 离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与 的内心，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例2】（多选题）双曲线 的左、右焦点分别 ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限 的交点为 ，双曲线和椭圆的离心率分别为 的内切圆的圆心为 ，过 作直线 的垂线，垂 足为 ，则（ ） A． 到 轴的距离为 B．点 的轨迹是双曲线 C．若 ，则 D．若 ，则 【例3】（多选题）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点，记 的内切圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则（ ） A．圆 和圆 外切 B．圆心 在直线 上 C． D． 的取值范围是 【跟踪训练】 1.已知双曲线方程是 ，过 的直线与双曲线右支交于 ， 两点（其中 点在第一象限），设 点 、 分别为 、 的内心，则 的范围是______.2．（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，焦点到渐 近线的距离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 、 两点，若 、 分别为 与 的内心， 则（ ） A． 的渐近线方程为 B．点 与点 均在同一条定直线上 C．直线 不可能与 平行 D． 的取值范围为 考点五：已知具有公共焦点 的椭圆与双曲线的离心率分别为 是它们的一个交点，且 ，则有 . 【精选例题】 【例1】已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲 线离心率倒数之和的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例2】（多选题）已知椭圆 与双曲线 ， 有公共焦点 （左焦点）， （右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为 ，若△ 是以 为底边的等腰三角形， ， 的离心率分别为 和 ，且 ，则（ ）A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为______． 考点六：设圆锥曲线 的焦点 在 轴上，过点 且斜率为 的直线 交曲线 两点，若 ，则 ． 【精选例题】 【例1】已知椭圆 过焦点 的直线 与椭圆C交于A，B两点（点A位于 轴上方），若 ，则直线 的斜率 的值为 ． 【例2】已知 是双曲线 的右焦点，直线 经过点 且与双曲线相交于 两点， 记该双曲线的离心率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【例3】已知 ， 是双曲线 ： 的左，右焦点，过点 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 ， .若 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练】 1.斜率为 的直线 过椭圆 的焦点 ，交椭圆于 两点，若 ，则该椭 圆的离心率为 ． 2.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为 的直线 与双曲线的左､ 右支分别交于点 ， ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． x2 y2 1(a0,b0) 考点七：已知双曲线方程为 a2 b2 的右焦点为 ，过点 且与渐近线 垂直的 直线分别交两条渐近线于 两点. FFP(0Q,1) 情形1.如图1.若 ,则 图1 图2 ，则 如图2.若【精选例题】 【例1】过双曲线 的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为 ，与双曲线的另一条 渐近线交于点 ，若 ，则此双曲线的离心率为________ 【例2】已知双曲线 ， 过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 、 两点 、 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直于 的直线 分 别交 ， 于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2． 是双曲线 的左右焦点，过 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于 两 点，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．1．已知点 在椭圆 上， ， 是椭圆的左、右焦点，若 ，且 的 面积为2，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．椭圆 与直线 交于M，N两点，连接原点与线段 中点所得直线的斜率为 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线距离为 ，则双曲线 实轴长（ ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，且经过点 在椭圆上，则（ ） A． 的最大值为3 B． 的周长为4 C．若 ，则 的面积为 D．若 ，则5．（多选题）设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点， M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为 ，则直线方程为 C．若直线方程为 ，则点M坐标为 D．若直线方程为 ，则 6．（多选题）设A，B是双曲线 上的两点，下列四个点中可以为线段 中点的是（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）若 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点， 且 ， 共焦点 ， ， ， ， 的离心率分别为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A． ， B． C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为2 8．（多选题）如图， 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．若 ，则 C．若 ，则 的最小值为2 D． 9．己知椭圆 的焦点分别为 ， ，设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 为线段 的中点，则直线 的方程为 ． 10．已知点 是离心率为 的双曲线 上的三点, 直线 的斜率分 别是 点 分别是线段 的中点, 为坐标原点，直线 的斜率分别是 .若 则