文档内容
专题04 一次函数的应用重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 方案分配问题
题型二 最大利润问题
题型三 行程问题
题型四 几何问题
题型五 其他综合性问题
【经典例题一 方案分配问题】
1．（2024年四川省成都市中考数学预测题（一））2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采
购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆
栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（ ）乙种盆栽，总费用
为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
(2)当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关
键．
（1）设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可；
（2）根据（1）中单价，由费用=单价×数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，
根据题意，得 ，解得 ，
答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
（2）解：根据题意，得 ，
∵ ， ，
∴W随m的增大而增大，∴当 时，W有最小值，最小值为 ，
（盆），
答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元．
2．（2023·河南濮阳·二模）濮阳市为改善空气质量，降低空气污染，决定让公交公司逐步淘汰原有的汽油
公交车，更换节能环保的电动公交车 公司准备采购 型和 型两种公交车共 辆，其中每辆的价格，年
均载客量如下表所示：
型
型
价格（万元 辆）
年载客量（万人 车）
若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需
万元．
(1)求 、 两种型号公交车的单价分别是多少万元；
(2)如果该公司要确保这 辆公交车的年均载客量总和不少于 万人次 请你设计一个方案，使购买的总
费用最少．
【答案】(1) 型公交车的单价是 万元 辆， 型公交车的单价是 万元 辆；
(2)总费用最少的购买方案为：购买 辆 型公交车， 辆 型公交车．
【分析】（1）根据“购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元；购买 型公交车 辆， 型公
交车 辆，共需 万元”，可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司采购 辆 型公交车，则采购 辆 型公交车，根据采购这 辆公交车的年均载客量
总和不少于 万人次，可得出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围，设采购这 辆公交
车的总费用为 万元，利用总价 单价 数量，可得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，
即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系式．
【详解】（1）根据题意得： ，解得： ．
答： 型公交车的单价是 万元 辆， 型公交车的单价是 万元 辆；
（2）设该公司采购 辆 型公交车，则采购 辆 型公交车，
根据题意得： ，
解得： ．
设采购这 辆公交车的总费用为 万元，则 ，
．
，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，此时 ．
总费用最少的购买方案为：购买 辆 型公交车， 辆 型公交车．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、
乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品 个，购买这200个奖品的总费用为 元．
①求 关于 的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能
使总费用最少？
【答案】(1)甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元
(2)① ；②该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性
质是解题关键．
（1）设甲种奖品的单价是 元，乙种奖品的单价是 元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组
即可得；
（2）①先求出购买乙奖品为 个，再根据（1）的结果即可得；
②利用一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设甲种奖品的单价是 元，乙种奖品的单价是 元，
由题意得： ，
解得 ，
答：甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元．
（2）解：①由题意可知，购买乙奖品为 个，
则 ，
即 关于 的函数关系式为 ；
②∵购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，
，
∵ ， ，
∴在 内， 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最小值，此时 ，
答：该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少．
4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某市 两个蔬菜基地得知四川 两个灾民安置点分别急
需蔬菜 和 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 蔬菜基地有蔬菜 ， 蔬菜基地有蔬菜
，现将这些蔬菜全部调运 两个灾民安置点，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和
元，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和 元．设从 地运往 处的蔬菜为 吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值：
总计/
总计/
(2)设 两个蔬菜基地的总运费为 元，求出 与 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从 地到 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 元（ ），其
余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值为 ；(2) ，调运方案见解析；
(3)调运方案见解析．
【分析】（ ）根据题意，用 减 可得需要从 处调运的数量，用 减去 可得从 调研往
处的数量，用 减去 即为从 调运往 处的数量；
（ ）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得 与 的函数关系，列不等式组可解；
（ ）本题根据 的取值范围不同而有不同的解，分 、 和 三情况解答即可；
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：（ ）填表如下：
总计/
总计/
依题意得： ，
解得 ，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时， 的值为 ；
（2）解： 与 之间的函数关系为：
由题意得： ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/总计/
（3）解：由题意得 ，
∴当 时，（ ）中调运方案总费用最小；
当 时，在 的前提下调运方案的总费用不变；
当 时， 总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
【经典例题二 最大利润问题】
5．（2024·陕西西安·一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市
场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲
种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元
(2)水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元
【分析】
本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键．
（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函
数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，
求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．
【详解】（1）解：设甲、乙两种水果的进价分别是 元和 元．根据题意，得 ，
解得 ，
甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．
（2）解：设购进甲水果 千克，那么购进乙水果 千克，
，
解得 ，
根据题意，售完这两种水果获得的总利润 ，
，
随 的减小而增大，
当 时， 最大，此时 ，
（千克），
水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．
6．（2024·山东济宁·一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的
进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货
的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润
最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种商品的进价是 元，每件乙种商品的进价是 元
(2)该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元
【分析】
（1）设每件甲种商品的进价 元，则每件乙种商品的进价为 元，根据“用50元购进甲种商品的件
数与用150元购进乙种商品的件数相同”列出方程，即可求解，
（2）总购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据“进货的总资金不超过1100元”求出 的范
围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解，
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：找出方程中的等量关系．【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价 元，则每件乙种商品的进价为 元，
根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，
所以 ，
故答案为：每件甲种商品的进价是 元，每件乙种商品的进价是 元，
（2）解：总利润为 元，购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，
根据题意得： ， ，
∴ ，
∵比例系数 ，
∴ 随着 的增大而减小，
∴当 时，由最大利润 （元）， ，
故答案为：该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元．
7．（2024·云南昆明·一模）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买
量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间
的函数关系如图所示：
(1)求出当 和 时，y与x的函数关系；
(2)若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的 ，乙
种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？
【答案】(1)当 时，函数解析式为 ，当 时，
(2)购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少【分析】
本题主要考查一次函数的应用，不等组的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设当 时，函数解析式为 ，当 时，函数解析式为 ，利用待定系数法可
求解；
（2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具 件，根据“甲种道具数量不少于乙种道具数量的 ，
乙种道具不少于35件”求得 ，然后结合（1）及题意列出付款总金额w（元）与甲种道具a件的
函数关系式，可进行求解．
【详解】（1）解：设当 时，函数解析式为 ，则把点 代入得： ，
解得： ，
∴当 时，函数解析式为 ，
当 时，函数解析式为 ，则把点 ， 代入得：
，
解得： ，
∴当 时， ；
（2）解：设购进甲种道具 件，则购进乙种道具 件，
由题知， ，解得： ．
当 时，
；
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
则当 时，，当 时， ．
即：当 时，付款总金额最少，最少付款总金额为4990元．
此时乙种道具为 （件）．
答：购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少．
8．（2023·河南周口·二模）为了迎接“五一”小长假的购物高峰．某家用电器专卖店准备购进甲、乙两种
电器．其中甲、乙两种电器的进价和售价如下表：
价格 甲 乙
进价/（元/台） m
240
售价/（元/台） 1600
0
已知用30000元购进甲种电器的数量与用24000元购进乙种电器的数量相同．
(1)求m的值．
(2)要使购进的甲、乙两种电器共200台的总利润（利润 售价 进价）不少于217000元，且不超过223000
元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，怎么安排进货，该专卖店能够获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该专卖店共有11种方案
(3)购进甲种电器105台，乙种电器95台时该专卖店能够获得最大利润，最大利润是223000元
【分析】
本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）根据用30000元购进甲种电器的数量与用24000元购进乙种电器的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购进甲种电器 台，则购进乙种电器 台，根据利润 售价 进价，结合总利润不少于
217000元，且不超过223000元，列出不等式组求解即可；
（3）设总利润为 ，甲种电器进货 台，根据利润 售价 进价列出W关于x的一次函数关系式，利用一
次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得 ，
整理得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ．
（2）解：设购进甲种电器 台，则购进乙种电器 台，
根据题意，得 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集是 ，
是正整数，且 ，
该专卖店共有11种方案．
（3）解：设总利润为 ，甲种电器进货 台，则
，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为223000．
∴购进甲种电器105台，乙种电器95台时该专卖店能够获得最大利润，最大利润是223000元．
【经典例题三 行程问题】
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）在同一直线道路上，小明从学校出发到新华书店，小红从新华书店到学校，
小红先出发，图中的折线表示两人之间的距离y（米）与行走的时间t（分钟）
(1)求小红行走的速度；
(2)小红与小明相向而行至两人相遇时，求y（米）与行走的时间t（分钟）的函数关系；
(3)两人都到各自目的地时间差多少分钟？【答案】(1)60米/分钟
(2)
(3)1分钟
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，从图象上有效的获取信息，是解题的关键．
（1）从图象可知，小红6分钟走了 米，进而求出小红行走的速度即可；
（2）先求出小明的速度，进而求出他们相遇所用的时间，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）求出两人的时间差即可．
【详解】（1）解：由题意，得：小红行走得速度为： 米/分钟；
（2）小红到学校用的时间为 （分钟）；
∴小明的速度为 米/分钟；
∴他们相遇的时刻为： 分钟，
设函数关系式为 ，由题意，图象经过 ，
则： ，解得： ；
∴ ；
（3）由（2）知，小红到达学校共用20分钟，
∴两人都到各自目的地时间差 分钟．
10．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）在一条笔直的道路上依次有 ， ， 三地，男男从 地跑步
到 地，同时乐乐从 地跑步到 地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达 地，两人
均匀速运动，如图是男男跑步时间 （分钟）与两人距 地路程 （米）之间的函数图象．(1) ，乐乐去 地的速度为 ；
(2)结合图象，求出乐乐从 地到 地的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(3)求两人第二次相遇时距离 地的路程．
【答案】(1) ；200米 分钟
(2)
(3)两人第二次相遇时距离 地的路程为 米
【分析】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，利用数形结合的思
想从图象中获取信息是解决问题的关键．
（1）由函数图象得 地跑步到 地的路程是400米，由乐乐从 地跑步到 地，休息1分钟后接到通知，
可得 ，根据路程和时间可得乐乐去 地的速度；
（2）根据图象得到相关点的坐标，利用待定系数法求 的解析式即可；
（3）根据图象，得到两人第二次相遇在图中的 点，求出男男从 地到 地的函数解析式
；再由（2）知乐乐从 地到 地的函数解析式 ；联立解析式构成
二元一次方程组求解即可得到答案．
【详解】（1）
解：由函数图象得 地跑步到 地的路程是400米，
乐乐从 地跑步到 地，休息1分钟后接到通知，
，
乐乐去 地的速度为 （米 分钟），
故答案为：2，200米 分钟；
（2）
解：设 的解析式为 ，
的图象过点 、 ，
，解得 ，
的解析式为 ，
乐乐从 地到 地的函数解析式 ；（3）
解：如图所示：
两人第二次相遇在图中的 点，
设 的解析式为 ，
的图象过点 ，
，解得 ，
的解析式为 ，即男男从 地到 地的函数解析式 ；
由（2）知，乐乐从 地到 地的函数解析式 ；
联立解析式构成二元一次方程组得 ，解得 ，
两人第二次相遇时距离 地的路程为 米．
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）甲、乙两人骑自行车从 地到 地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变； 小时后，甲到
达 地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程 （千米）与乙骑行时间 （小时）之间的关系如图所
示．
(1)求出图中 的值；
(2)求甲改变骑行速度后， 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当乙到达 地后，求甲离 地的路程．【答案】(1)1
(2)
(3)乙到达 地后，甲离 地4千米
【分析】
本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息：
（1）根据函数图象先求出乙的速度，进而求出甲未改变骑行速度时的速度，进而求出行驶 15千米所需的
时间即可得到答案；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据（2）所求，求出甲函数图象中当 的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由图象可得，乙的速度为 （千米 时），
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
（小时），
的值为1；
（2）设甲改变骑行速度后， 关于 的函数关系式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得 ，
甲改变骑行速度后， 关于 的函数关系式为 ；
（3）解：由图象可知， 时，乙到达 地，
在 中，令 得 ，
（千米），
乙到达 地后，甲离 地4千米．
12．（23-24九年级下·黑龙江鸡西·开学考试）甲、乙两车同时从 地出发，匀速开往 地，甲车行驶到
地后立即沿原路线以原速度返回 地，到达 地后停止行驶．当甲车到达 地时，乙车恰好到达 地，并
停止行驶．已知甲车的速度为 ，设甲车出发的时间为 （单位： ），甲、乙两车之间的距离为（单位： ），图中的折线 表示整个运动过程中 与 之间的函数关系．
(1) ， 两地之间距离是 ，乙车的速度是 ；
(2)求线段 的函数解析式（不需写出自变量的取值范围），并指出点 的实际意义；
(3)求甲车出发多长时间，两车相距 ．
【答案】(1)600； 75
(2)线段 的函数解析式为 ；点 的实际意义是在两车行驶 时，甲车到达 地，此时
甲、乙两车的距离是
(3) 或 或
【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意和函数图象中的数据，可知A、B两地的距离是 ，然后根据当甲车到达A
地时，乙车恰好到达B地，可以得到乙车的速度；
（2）根据题意，可以求得点M的坐标，然后即可写出点M表示的实际意义，再根据函数图象中的数据得
到点 的坐标，可以求得线段 所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以分类讨论求得当两车相距 时，对应的x的值．
【详解】（1）解： ， 两地之间距离是 ；
乙车的速度是 ；
故答案为：600； 75；
（2）解：∵ ， ，
.
∵ ，.
设线段 的函数解析式为 ，
将 ， 代入 得
解得
线段 的函数解析式为 ；
点 的实际意义是在两车行驶 时，甲车到达 地，此时甲、乙两车的距离是 ；
（3） 当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
当两车相距 时，甲车出发 或 或 ．
【经典例题四 几何问题】
13．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，已知直线 与直线 相
交于点 ，分别交 轴于点 ， ，且 ．(1)求点 的坐标及 的值；
(2)如图， 为直线 上一点，且横坐标为 ，若 为 轴上的一个动点，当 的值最大时，求点
的坐标；
(3)若 为线段 上一点，且 ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】
本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）先求出 点坐标，进而得到 点坐标，待定系数法求出 的值即可；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，得到 ，连接 ，直线 与 轴的交点即为点 ；
（3）设 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）
解：对于直线 ，
令 ，则 ，解得 ，
点 的坐标为 ，．
，
点 的坐标为 ．
把 代入 中，
得 ，解得 ．
（2）
对于直线 ，
当 时， ，则点 的坐标为 ．
如图1，作点 关于 轴的对称点 ，则： ，
∴当 三点共线时， 的值最大，即为线段 的长．
连接 交 轴于点 ，设直线 的函数表达式为 ．
将 ， 代入，得 解得
直线 的函数表达式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
（3）
如图2， 为线段 上一点，且 ．
， ，
， ．
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
．
14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线
与 交于点 ，与 轴交于点 ，其中 ， 满足 ．(1)求直线 的解析式；
(2)若直线 有一点P，使得 ，请求出点 的坐标；
(3)已知平行于 轴且位于 轴左侧有一动直线，分别与 ， 交于点 、 ，且点 在点 的下方，点
为 轴上一动点，且 为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 或
【分析】
本题考查一次函数综合题，涉及到待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等，分情况进行讨论是解决
（2）、（3）小题的关键．
（1）根据已知求出A、B两点坐标，然后利用待定系数法即可求出 的解析式；
（2）由 O，得出 ，设 ，结合图形分情况讨论即可得；
（3）设动直线为 ，由题可得 ，分三种情况讨论即可得．
【详解】（1）
解：由题意得： ，
∴ ，则点 ，
设 的解析式为 ，代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ 的解析式为： ；
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 有一点P，
∴设 ，
当点P在 左侧时，如图所示：
，
解得： ，或 （舍去），
，∴ ；
当点P在 左侧时，如图所示：
，
解得： ，或 （舍去），
，
∴ ；
综上可得： 或 ；
（3）
设动直线为 ，由题可得 ，
则 ， ，
当 且 时，
∴ ，
解得 ，此时 ；
当 且 时， ，
∴ ，
解得 ，此时当 且 时， ，
∴ ，
解得 ，
此时 ；
综上， 或 或 ．
15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，直线 与x轴交于点 ，直线
与x轴， 轴分别交于 两点，并与直线 相交于点D．
(1)点D的坐标为___________；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P为x轴上一动点，当 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查了函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识点，能综合运用知识点进行计算是解
此题的关键．（1）把 的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，即可求出D点的坐标；
（2）根据面积公式求出面积即可；
（3）找出P点的位置，求出直线 的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
∵直线 与x轴， 轴分别交于 两点，
∴ ，
解方程组 得： ，
∴D点坐标为 ；
（2） ，
，
∴四边形 的面积 ；
（3）作D关于x轴的对称点E，连接 交x轴于点P，此时 的值最小，
∵D点坐标为 ，
∴E点的坐标为 ，
设直线CE的解析式为 ，把E、C的坐标代入得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ，
当 时， ，
即当 的值最小时，P点的坐标为 ．
16．（22-23 八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线 经过点 ， ，与直线
交于点 ， 的横坐标为3，且直线 交 轴于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)求点B，点D的坐标；
(3) 为直线 上异于点 的一点，且 ，求 的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角
形面积，正确求得交点坐标是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把点 代入直线 的解析式求得 的值，从而求得点 的坐标，把 代入直线 的解析式即可
求得点 的坐标；
（3）首先求得点 的坐标，然后根据 为直线 上异于点 的一点，且 求得点 的纵坐标为
，把 代入 解析式即可求得点 的坐标．
【详解】（1）
直线 经过点 ，
，
，
直线 的函数表达式为 ；
（2）
直线 经过点 ，
，
，
把 代入 得， ，
解得 ，
；
（3）
把 代入 得 ，
，
为直线 上异于点 的一点，且 ，
点 的纵坐标为 ，把 代入 得 ，
解得 ，
， ．
【经典例题五 其他综合性问题】
17．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它
由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速
上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下
实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
4
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 54
2
(1)（探索发
现）：
若以供水时间x为横轴，箭尺读数y为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试
判断这些点是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同
一条直线上，说明理由．(2)（结论应用）应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？
【答案】(1)图象见解析；
(2)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米
(3)当箭尺读数为90厘米时是22点钟
【分析】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；观察上述各点的分布规律，可
知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为 ，利用待定系数法即可求解；
（2）应用上述发现的规律估算：利用前面求得的函数表达式求出 时，y的值即可得出箭尺的读数；
（3）利用前面求得的函数表达式求出 时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午 ，即可求
解．
【详解】（1）如图，
观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为 ，
把 代入，得：
，
解得： ，
∴ ；（2） 时， ，
∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；
（3） 时， ，解得： ，
∴供水时间为14小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
，
∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
18．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）随着网络的普及和城市交通的多样化，人们出行方式、时间有
了更多的选择，我市有 类快车、 类快车等网约车，收费标准如下．
类快车：起步价8.5元，超过3.5千米的部分2元/千米，时长费：0.4元/分钟（ 类快车行驶的平均速度
为40千米/时）
类快车：起步价8元，超过3千米的部分1.8元/千米（函数图像如下图所示）．
(1)图中 ______， ______；
(2)若乘坐 类快车的里程数是10千米，则 类快车的费用是______元；当里程数超过3.5千米时，求 快
车的费用 （元）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式；
(3)求 与x之间的函数表达式；
(4)若从甲地到乙地有5千米，你将选择哪种网约车？为什么？【答案】(1)8，3
(2)27.5；
(3)
(4)选择 类快车
【分析】（1）根据 类快车：起步价8元，超过3千米的部分1.8元/千米即可得到答案；
（2）先求出乘坐 类快车的里程数是10千米所花费的时间，再根据有理数的乘法进行计算即可；直接根
据 类快车的收费标准进行计算即可得到答案；
（3）分 和 ，直接根据 类快车的收费标准进行计算即可得到答案；
（4）当 时，分别求出 、 的值，进行比较即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
故答案为：8，3；
（2）解：根据题意可得：
乘坐 类快车的里程数是10千米，花费的时间为： （小时），
乘坐 类快车的里程数是10千米，则 类快车的费用是：
（元），
故答案为：27.5，
快车的费用 （元）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为：
，
；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，与x之间的函数表达式为： ；
（4）解： 从甲地到乙地有5千米，
当 时， ， ，
，
选择 类快车．
【点睛】本题主要考查了函数与图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂题意，正确得到 、
与 之间的函数关系式是解题的关键．
19．（2023·江苏盐城·统考一模）我县安徒生童话乐园门票价格如图所示，甲、乙两校，计划在“国庆”
黄金周期间组织员工及家属到该景点游玩．两校组织游玩人数之和为90人，乙校组织游玩人数不超过40
人，设甲校组织游玩人数为x人．如果甲、乙两校分别购买门票，两校门票款之和为W元．
(1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
(2)若甲校人数不超过80人，请说明甲、乙两校联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
(3)“国庆”黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变；人数超
过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价 元，在（2）的条件下，
若甲、乙两校“国庆”黄金周之后去游玩，最多可节约3500元，求a的值．
【答案】(1) ；
(2)2200元
(3)【分析】（1）根据乙校组织游玩人数不超过40人，讨论x取值范围，列出函数关系式即可；
（2）讨论y的最大值与联合购票费用相减即可求解；
（3）再（2）基础上购票单价减去a元，求解购票最大费用，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲校组织游玩人数为x人，则设乙校组织游玩人数为 人，
∵乙校组织游玩人数不超过40人，
∴ ，解得 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
（2）解：∵甲校人数不超过80人，∴ ，又 ，
∴当 时，W有最大值8500，
甲、乙两校联合购票费用为 元，
（元），
答：甲、乙两校联合购票比分别购票最多可节约2200元；
（3）解：在（2）条件下，每张门票降价a元,
则 ，又 ，
∴当 时，W有最大值 ，
调价后甲、乙两校联合购票费用为 ，
由题意得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出
一次函数关系式，并会利用一次函数的性质求解最值是解答的关键．
20．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 ，长度为
的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 ，滑动开
始前滑块左端与点 重合，当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，然后再以小于 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点 重合，滑动停止．设时间为 时，滑块左端离点 的距离为 ，右端离点 的距
离为 ，记 与 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 和 时，与之
对应的 的两个值互为相反数；滑块从点 出发到最后返回点 ，整个过程总用时 （含停顿时间）．
请你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点 到点 的滑动过程中， 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点 到点 的滑动过程中，求 与 的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若 ，求 的值．
【答案】(1)由负到正
(2)
(3)当 或 时，
【分析】（1）根据等式 ，结合题意，即可求解；
（2）设轨道 的长为 ，根据已知条件得出 ，则 ，根据当 和
时，与之对应的 的两个值互为相反数；则 时， ，得出 ，继而求得滑块返回的速度为
，得出 ，代入 ，即可求解；
（3）当 时，有两种情况，由（2）可得，①当 时，②当 时，分别令 ，进而
即可求解．
【详解】（1）∵ ，
当滑块在 点时， ， ，
当滑块在 点时， ， ，∴ 的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道 的长为 ，当滑块从左向右滑动时，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 是 的一次函数，
∵当 和 时，与之对应的 的两个值互为相反数；
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴滑块从点 到点 所用的时间为 ，
∵整个过程总用时 （含停顿时间）．当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，
∴滑块从点 到点 的滑动时间为 ，
∴滑块返回的速度为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的函数表达式为 ；
（3）当 时，有两种情况，
由（2）可得，
①当 时， ，
解得： ；
②当 时， ，
解得： ，
综上所述，当 或 时， ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出 ，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
【拓展培优】
1．（2023·四川德阳·二模）如图，矩形 的顶点 ， 坐标分别为 ， ，若 时，直
线 ： 与矩形 的边有交点时， 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，利用极限值法，求出 的最大及最小
是解题的关键．利用矩形的性质，可求出点 ， 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当
点 及点 在直线 上时 的值，结合图形，即可得出 的取值范围．
【详解】解：∵矩形 的顶点 ， 坐标分别为 , 且 轴， 轴，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
当点 在直线 上时， ，
解得： ；
当点 在直线 上时， ，
解得： ．
∴当直线 与矩形 的边有交点时， 的取值范围为 ．故选： ．
2 ． （ 22-23 八 年 级 上 · 辽 宁 沈 阳 · 阶 段 练 习 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点
，若一次函数 的图像将四边形 分成面积比为
的两部分，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】
本题考查一次函数图象上点的特征，菱形的性质；能够判断四边形 是菱形，一次函数
的图象将四边形 分的两部分图形分别是四边形和三角形是解题的关键．由已知点可以判断四边形
是菱形，再由将四边形 的面积分成 两部分，可知分割两部分分别是四边形和三角形，进
而可知一次函数 与 的交点是它们的中点，求得中点坐标，代入解析式即可求得 m
的值．
【详解】解：∵点 ．
∴
，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴一次函数 一定经过点 ，即B点，
当 与 相交时，
一次函数经过 的中点 ，
∴ ；
当 与 相交时，
∴一次函数经过 的中点 ，∴ ；
故选：D．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，
甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．
此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（ ）与甲出发的时间t（ ）之间的关系如图．下列说法：①A，
B两地相距 ；②甲比乙晚到B地 ；③乙从A地刚出发时的速度为 ；④乙出发 与甲第三
次相遇．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、
路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．
【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（ ）最大为 ，
①正确，
由图知乙到B地时 ，甲到B地时 ， （ ），
②正确，
乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．设乙从A地刚出发时的速度为 ，则停留后的速度为 ，
由图知乙在中途停留前已走 ，则停留后行驶路程为 （ ），总的行驶时间为
（ ），
有 ，解得 ，
乙从A地刚出发时的速度为 （ ），
③正确，
根据图象可知，甲的速度为
乙在途中停留 后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为
乙的第二个拐点时间为 （ ），
由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，
设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得：
解得
故第三次相遇为乙出发后
④正确．
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
4．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233
名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下
表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆【答案】A
【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7
辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，
，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大
于7辆，
要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，
∴客车总数为6， ，
由题意可得， ，
整理可得 ，
由题意， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ，y随x的增大而增大，
∴x取最小值时，即 ，y有最小值，
即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题
的关键．
5．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该
产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）
的函数图象．下列结论错误的是（ ）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
【答案】C
【分析】
根据函数图象分别求出当 ，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关
系为 ，当 时，产品日销售量 y（单位：件）与时间 t（单位；天）的函数关系为
，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件，
故此选项正确，不符合题意；
B、设当 ，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为 ，
把 代入得：
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故此选项正确，不符合题意；
C、当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为 ，
把 代入得：，
解得： ，
∴ ，
当 时，日销售利润为 （元）；
当 时，日销售利润为 （元），
∴第20天和第30天销售利润不相等，
故此选项错误，符合题意；
D、当 时，日销售利润为 （元），
当 时，日销售利润为 （元）．
∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，
故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
6．（2023年吉林省长春汽车经济开发区毕业班中考模拟综合模拟试题（二）数学）如图，直线
与坐标轴交于 、 两点，点 为 轴负半轴上一点， ．则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，
正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到点 的坐标是解题的关键．过点 作 ，交直线于点 ，过点 作 轴于点 ，根据题意得 ， ，推出 ， ，由
， ，可得 是等腰直角三角形，推出 ，根据同角的余角相等可得
，证明 ，得到 ， ，则 ，求得 ，最后
利用待定系数法求出直线 的解析式，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，
直线 与坐标轴交于 、 两点，，
， ，
， ，
， ，
， 是等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为： ，将 ， ，代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
令 ，则，
解得： ，
，
故答案为： ．
7．（2024·河南·一模）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙
仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数图象如图所示，
那么从 开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间
（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
设乙仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
联立 ，
解得： ，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
8．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客
车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留 小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后
停止 已知两车距甲地的距离（ ）与所用的时间( )的关系如图所示 当两车相距 时，两车出发了
小时．【答案】4或 或
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论： 当 时，当
时，当 时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决
问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为： ，
大客车的速度为： ．
设两车出发 后两车相距 ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
当两车相距 时，两车出发了 小时或 小时或 小时．
故答案为： 或 或 ．
9．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）2023年杭州亚运会竞赛项目中，有一个中华民族传统运动项目
－赛龙舟，此项比赛共分为六个小项目，中国健儿成绩骄人，共获得五金一银．在500米直道竞速赛道上，
甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的
信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分钟到达终点；②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米；③
当划行 分钟时，甲队追上乙队；④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米．其中正确的是
．【答案】①②③
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识．由图可判断①；设 ，利用待定系数法求得，
，根据图象当 时， ， ，进而可判断②，当 时，可设 ，利用
待定系数法求得 ，与 联立方程组，解方程组即可判断③④，解题的关键是
读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：观察图象可知：甲队比乙队提前 分到达终点，故①正确；
设 ，由图得：当 时， ，
则 ，
解得： ，
，
当 时， ， ，
（米），
当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确；
当 时，可设 ，由图得， 直线经过 和 ，
则 ，
解得： ，
，，
，
解得： ，
当划行 分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是 米，故③正确，故④错误；
其中错误的是④，
故答案为：①②③．
10．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，直线 与 轴， 轴交于 两点， 是线段
上一点且 的横坐标为 是 的中点，点 是 轴上一动点，则 的周长最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，先求出点A和点M的坐
标，进而求出点N的坐标，作点 关于 轴对称的点 ，连接 ，则 的坐标为 ，根据
轴对称的性质可得 ，进而推出当M、P、Q三点共线时 最小，即此时 的周长最小，
最小值为 ，由勾股定理得到 ，则 的周长的最小值为 ．
【详解】解：在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，∴ ， ，
∵N是 的中点，
∴ ，
∴ ；
作点 关于 轴对称的点 ，连接 ，则 的坐标为 ，
，
∴ ，
∵ 的周长 ，
∴当M、P、Q三点共线时 最小，即此时 的周长最小，最小值为 ，
∵ ， ，
∴
∴ 的周长的最小值为 ．
故答案为： ．
11．（2024·河南驻马店·一模）2024年春节假日期间，33万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦
作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材
共需49元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需53元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共48千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，
B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元
(2)A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A种食材的单价为 元/千克，B种食材的单价为 元/千克．根据题意列出方程组，并解出方程组
的解，即可作答．
（2）设A种食材购买 千克，则B种食材购买 千克，总费用为 元，依题意，得 ，
根据“购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，”得 ，即可作答．
【详解】（1）
解：设A种食材的单价为 元/千克，B种食材的单价为 元/千克．
根据题意，得
解得
A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元．
（2）
解：设A种食材购买 千克，则B种食材购买 千克，总费用为 元．
根据题意，得 ．
，
．
，
随 的增大而增大．
当 时， 有最小值为： （元）．
A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
12．（2023年吉林省长春汽车经济开发区毕业班中考模拟综合模拟试题（二）数学）在一条笔直的公路上
有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间
x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)当 时，求乙车与C地的距离y与x之间的函数关系式．
(2)当两车与C地之间的距离之差为50km时，直接写出甲车出发的时间．
【答案】(1)当 时，乙车与 地的距离 与 之间的函数关系式为 ；
(2)甲车出发 时，两车与 地之间的距离之差为 ．
【分析】
本题考查了一次函数的应用，以及路程，速度，时间之间的数量关系，利用题意找出等量关系是解题关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象，可得 与 的距离等于 与 的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，
根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）
解：当 时，设乙车与 地的距离 与 之间的函数关系式为 ，
把 和 代入得： ，
解得 ，
当 时，乙车与 地的距离 与 之间的函数关系式为 ；
（2）
解：由题意，得，
，甲的速度 ，乙的速度 ，
设甲出发 小时两车与 地之间的距离之差为 ，
由题意，得 ，
解得 或 （舍去），
答：甲车出发 时，两车与 地之间的距离之差为 ．
13．（2023·河南南阳·一模）乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发
展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建
设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收
购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表：
干羊肚菌（千
新鲜羊肚菌（千克） 总价值（元）
克）
第一次收购 1000 300 152000
第二次收购 800 500 184000
(1)求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价；
(2)由于市场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市
场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，
干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)新鲜羊肚菌的收购单价为80元/千克，干羊肚菌的收购单价为240元/千克；
(2)应收购新鲜羊肚菌1125千克，干羊肚菌375千克才能使利润最大，最大利润是37500元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设新鲜羊肚菌的收购单价为a元/千克，千羊肚菌的收购单价为b元/千克，根据题意列出方程组，求
解即可；
（2）设收购新鲜羊肚菌x千克，则收购干羊肚菌 千克，所获利润为w元，根据题意列出w关于
的函数解析式，由收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一求出 的取值范围，然后根据一
次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设新鲜羊肚菌的收购单价为a元/千克，千羊肚菌的收购单价为b元/千克．根据题意，得 ，
解得 ．
答：新鲜羊肚菌的收购单价为80元/千克，干羊肚菌的收购单价为240元/千克；
（2）解：设收购新鲜羊肚菌x千克，则收购干羊肚菌 千克，
根据题意，得 ，
解得 ，
设利润为w元，
则 ．
∵ ，
∴w随x的增大而减小，
又∵ ，
∴当 时，w有最大值， ，
则 ，
答：应收购新鲜羊肚菌1125千克，干羊肚菌375千克才能使利润最大，最大利润是37500元．
14．（2023·重庆渝北·二模）如图，在四边形 中， ， ，过点A作 于点
E， ， ， ，动点P从点B出发，沿 运动，到达点D时停止运动．设点P的
运动路程为x， 的面积为 ．(1)请直接写出 与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)若直线 的图象如图所示，结合你所画 的函数图像，直接写出当 时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯
一）；
(3)当 时 的取值范围为： 或 ．
【分析】（1）当点 在 上运动时，由 ，即可求解；当点 在 上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
【详解】（1） ， ，
则 ，
即 ，
则四边形 为矩形，在 中， ， ，则 ，
则矩形 为边长为4的正方形，
当点 在 上运动时，
过点 作 于点 ，
则 ，
当点 在 上运动时，
同理可得： ，
即 ；
（2）当 时， ，当 时， ，当 时， ；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）；（3）从图象看，当 时 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其
中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交
轴、 轴分别于点 ，交直线 于 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若 为等腰三角形且 ，求 点坐标及 的值；
(3)在（2）的条件下，点 为线段 上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，且
，过点 的直线 将四边形 分为两部分，两部分的面积分别设为 ．若
，求 的取值范围．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)点 的坐标为 ， ；
(3) ．
【分析】（1）分别代入 、 求出 、 的值，由此可得出点 、 的坐标；
（2）作 于 ，根据等腰三角形的性质可得出点 的坐标，再由点 在直线 上求出 值；
（3）求出点 的坐标，可求出过点 的直线为 ，设直线 与 轴交于点 ，
与直线 于点 ，分别表示出点 和点 的坐标，表示出 ， ，再根据已知得出四边形 的面积为四边形 的 或 ，表示出四边形 的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出 的范围．
【详解】（1）解：对于一次函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）解：如图1，作 于 ，
， ，
，
点 的横坐标为2，
点 在直线 上，
点 的纵坐标 ，
点 的坐标为 ，
点 在直线 上，
，解得： ；
（3）解：设点 的横坐标为 ，分别代入 ， 中，
得 ， ，
， ， ，
，，即 ，
当 时，
解得 ，
，
当 时，无解，
∵ ，
， ，，
直线 过点 ，
，即 ，
，
如图，设直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
， ，
过点 的直线 将四边形 分为两部分，且 ，
四边形 的面积为四边形 的 或 ，
，
，或 ，
解得 或 ，
的取值范围 ．
