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第十九章 一次函数（压轴题专练）
目录
【题型一 两个一次函数图象共存问题】..........................................................................................................1
【题型二 一次函数中的规律探究问题】..........................................................................................................3
【题型三 一次函数与三角形全等问题】..........................................................................................................6
【题型四 一次函数与三角形存在问题】........................................................................................................12
【题型五 一次函数中折叠问题】....................................................................................................................15
【题型六 利用一次函数解决分配方案问题】................................................................................................23
【题型七 利用一次函数解决最大利润问题】................................................................................................27
【题型八 利用一次函数解决行程问题】........................................................................................................31
【题型九 利用一次函数解决几何问题】........................................................................................................35
【题型十 一次函数——分段函数】................................................................................................................41
【题型十一 绝对值的一次函数】....................................................................................................................47
【题型十二 新定义型一次函数】....................................................................................................................50
【题型一 两个一次函数图象共存问题】
例题：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）直线 与直线 在同一坐标系中的大致图象可
能是图中（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）一次函数 与 在同一平面直
角坐标系内的图像可能为（ ）A． B． C． D．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列图形中，表示一次函数 与正比例函数
（m、n为常数，且 ）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【题型二 一次函数中的规律探究问题】
例题：（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， …都在x轴上，
点 ， ， …都在直线 上， ， ， ， ， …都是等腰直角三
角形，且 ，则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
，……， 都是等腰直角三角形，点B， ， ， ，…， 都在x轴上，点 与原点重合，点A， ， ， ，…， 都在直线l： 上，点C在y轴上，
轴， 轴，若点A的横坐标为 ，则点
的坐标为 ，点 的坐标为 ．
2．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点
，以 为边作正方形 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作正方形
，按此规律进行，则点 的坐标为 ．
【题型三 一次函数与三角形全等问题】
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线
AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若 与
△AOB全等，试确定点Q的横坐标．【变式训练】
1．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线 与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴
上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等
时，移的时间t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
2．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
， ，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
(1)求直线 的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时 的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型四 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：
与 轴交于点C，且点 ， .
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线 的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴和y轴分别交
于点B和点C，与直线 相交于点 ，动点M在线段 和射线 上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求 的面积．
(3)是否存在点M，使 的面积是 面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型五 一次函数中折叠问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与
直线 ： 相交于点 ．与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)如图2．点 为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交 轴于点 ．
①求线段 的长度；
②当点 落在 轴上时，求点 的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标．
【变式训练】
1．（2022·广东·平洲一中八年级期中）已知：直线y＝ x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在
线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处，
(1)求A点的坐标 和B点的坐标 ；
(2)求AB的长？
(3)求出OC的长？2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线 ：
与直线 ： 交于点A，两直线与x轴分别交于点 和 ．
(1)求直线 和 的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当 最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F，若
为直角三角形，求点D坐标．
【题型六 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都
是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优
惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好
被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方
案，并求出最低的费用．
【变式训练】
1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买
一批篮球．根据学校的规模，需购买 、 两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个 型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个 型篮球和1个 型篮球共需要210元．
（1）求购买一个 型篮球、一个 型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金 元用于购买这两种篮球，设购进的 型篮球为 个，求 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多
少元？
2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共
需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足
球一共50件，设购买足球 个，总费用为 元，写出 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用
最少？最少费用是多少元？
【题型七 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销
售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），
且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多
少？
【变式训练】1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果
的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所
购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调
比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商
场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．
若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值
范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【题型八 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从
学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与
甲班步行时间 （分）的函数图像；折线 表示乙班离开学校的路程 （米）与甲班步行
时间 （分）的函数图像，图中 轴， 与 相交于点 ．请根据图像解答下列问题：(1)学校到科技馆的路程为______米；线段 对应的函数表达式为______（ ）；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段 与线段 的交点 的坐标为______，点 坐标表示的实际意义是_________．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．
设客车离甲地的距离为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 、 关于
的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出 、 关于 的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向
的出行市场，现有 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间
的对应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，且超过十分钟时，对应的函数关系式是 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数 ， 的图象交点 的坐标；
(2)求 关于 的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平
均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择___________品牌共享电动车更省
钱．（填“ ”或“ ”）
②当 为何值时，两种品牌共享电动车收费相差 元？
【题型九 利用一次函数解决几何问题】
例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 轴，
轴，且 ， ， ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
路线向点 运动；动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点 运动.若 ， 两点同
时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出 ， ， 三个点的坐标；
(2)当 ， 两点出发 时，求 的面积；
(3)设两点运动的时间为 ，用含 的式子表示运动过程中 的面积；(4)在点 ， 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是______
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形 的位置如图所示，等边
三角形的边长为2．
(1)求 点的坐标；
(2)直线 过点 ，求该直线的表达式；
(3)在 轴上找一点 ，使得三角形 为等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 ，在该直线上找一点 ，使得三角形 的面积
为 ．
【题型十 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小
红对函数 的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
y（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ．
【变式训练】
1．已知函数 ，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当 时，若点 在图象G上，求n的值；
（2）当 时，若函数最大值与最小值的差为 ，求m的值；
（3）已知点 ， ， ，当图象G与 有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【题型十一 绝对值的一次函数】例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与
性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数 的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数 的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【变式训练】
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究
过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【题型十二 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的
距离之和等于 的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如， 为一次函数 的“3阶和
点”．
(1)若点 是y关于x的正比例函数 的“n阶和点”，则 ______， ______；
(2)若y关于x的一次函数 的图象经过一次函数 图象的“7阶和点”，求k的值．
【变式训练】
1．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）定义：一次函数 和一次函数 为“逆反函数”，
如 和 为“逆反函数”．
(1)点 在 的“逆反函数”图象上，则 ；
(2) 图象上一点 又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；(3)若 和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）定义：我们把一次函数
与正比例函数 的交点称为一次函数 的“不动点”．例如求 的“不动点”；
联立方程 ，解得 ，则 的“不动点”为 ．
(1)由定义可知，一次函数 的“不动点”为 ．
(2)若一次函数 的“不动点”为 ，求m、n的值．
(3)若直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线 上没有“不动点”，若P点为
x轴上一个动点，使得 ，求满足条件的P点坐标．
