文档内容
重难点突破 10 圆锥曲线中的向量与共线问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：向量的单共线........................................................................................................................2
题型二：向量的双共线......................................................................................................................12
题型三：三点共线问题......................................................................................................................22
题型四：向量中的数量积问题..........................................................................................................30
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量......................................................................39
03 过关测试.........................................................................................................................................44首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的
坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共
线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线
性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
题型一：向量的单共线
【典例1-1】已知椭圆 的右焦点为F，点A，B在C上，且 .当 时，
.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得 .
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）当 时，由对称性可知 轴，
，
的标准方程为 ．
（2）（i）（方法一） 点 异于点 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的方程为 ，
1 1 2 2
联立方程 ，得 ，
，由 可知
三点共线，且 且 ，
点 在线段 的延长线或反向延长线上，
则 ，设P(x,y)，则 ，
由 ，则 ，代入上式得 ，
，
把 ，代入上式得 ，命题得证．
（方法二） 点 异于点 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，由 可知
1 1 2 2
三点共线，且 且 ，
点 在线段AB的延长线或反向延长线上， ，设P(x,y)，则 ，
，
，
将①式减去②式，得 ，
即 ，
则 ，
点 在定直线 上，命题得证．（ii）当 时，由（i）可知
故 解得
不妨设A在第一象限，则将 代入C的方程，
得 ，
，
则直线 的方程为 ，即 ，
设 ，由 可知 ，
化简得 ，
点 在以 为圆心，3为半径的圆上，且不在直线 上，
在直线 上，
面积的最大值为 ．【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，短轴长
为 为 上一点， 为 的重心.
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上不同三点 ，满足 ，且 成等差数列，线段 中垂线交 轴于
点，求点 纵坐标的取值范围；
(3)直线 与 交于 点，交 轴于 点，若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）不妨设 ，
因 为 的重心，所以 ，
所以 ，
又短轴长为6，所以 ，代入解得 ，
所以椭圆方程为: ；
（2）由上可知 ，设 中点 ，
则 ，
又 ，消去 并整理得 ，同理 ，
又 ，
由题意得 ，
即 ，
因B，D在 上，易得 ，化简得 ，
所以线段 中垂线的斜率 ，
线段 中垂线方程: ，
令 得 ，
又线段 中点在椭圆内所以 ，
所以 ；
（3）设 ，由 得 ，
联立 消 整理得 ，
得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
解不等式得 .【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点 和直线 : ，动点 与定点 的距离和
到定直线 的距离的比是常数 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，若 ，求 的斜率 的值.
【解析】（1）设P(x,y)，由题意得 ，
化简得 : .
（2）设 ： ，
与 联立得， ，因为 ，则定点 在椭圆内，则该直线
与椭圆必有两交点，
所以
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ③，
由①③得 ，
将④⑤代入②，得 ，
化简得 ，，解得 .【变式1-2】设直线l： 与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点
F．
(1)证明： ；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且 ，求椭圆的方程．
【解析】（1）将直线 和椭圆 联立，得到 ，
化简即为 ，即 ，即 .
因为直线与椭圆有两个交点，故该方程有两个不同的解，从而判别式 ，
直接计算知：
，
所以 ，故 ，从而 .
（2）
由于直线 和 轴的交点为 ，故 ，半焦距 .
由于点 在直线 上，故可设 ，而 ，故 ，从
而 .
将 和 的坐标代入椭圆方程，知：故关于 的方程 有两个不同的解 ， .
该方程可化为 ，即 ，
即 ，即 .
显然 ，
所以 ， .
由于 ，故 ，从而 ，这意味着 ，故 .
而我们有
，
这就得到 ，所以 ，
所以 .
而 ，故 ，所以 .
从而 ，故 .
于是 ， .
所以椭圆的方程是 .
【变式1-3】已知点 ，椭圆 上的两点 ．满足 ，则当 为何值时，
点 横坐标的绝对值最大？
【解析】设 ， ，由 可知： ，
因为 ，则 ，整理得 ，
因为A,B在椭圆上,所以 ，
则 ，即 ，
与 相减得： ，
所以， ，
即当 时， 的最大值为4，即 的最大值为2．
所以当 时，点 横坐标的绝对值最大．
【变式1-4】在直角坐标系 中，已知 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点 为弦AB的中
点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若 ，求 的最大值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，化简得 ，
所以P的轨迹C的标准方程为 ．
（2）①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，
所以 ．
设点 ，所以 ,
由题意得， ，
相减得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理得， ，又 ，
相乘得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以l与ON相交．
l的方程为 ，直线DE的方程为 ,
②
直线ON的方程为 ，
联立得， ，
故 ，
又，
当且仅当 即 时取等号，
又 ，即当且仅当 时取等号，
所以 ，故 的最大值为 ．
题型二：向量的双共线
【典例2-1】如图，已知圆 ，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为
，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若 ， ，试探究
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点 作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得 .且 ，点D为垂足，证明：存在定点F，使得 为定值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，半径 ，
因为线段 的中垂线交线段 于点 ，
所以 ，
所以 ，
所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以 ， ， ，
故曲线E的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，
与y轴不相交，不合题意，舍去，
当直线 的斜率存在时，设 所在直线方程为 ，
设 ， ，
由
消去y整理得 ，
恒成立，所以 ，
又因为直线 与y轴的交点为C，所以 ，
所以 ， ，
， ，
又因为 ，所以 ，同理 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
整理后得 ，
所以 为定值 ，原题得证.
（3）设 ，显然 的斜率存在， ， ，
设 的方程是 ，
由 消去y得 ，
则 ，即 ，
由韦达定理得 ，
根据已知 ，可得 ，
即 ，又 ， ，
代入上式整理得 ，
则 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点 ，
当 时，直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点(2,1)与M重合，舍去，
故直线 经过定点 ，
又因为 ，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即 ，
所以 为定值.
【典例2-2】已知椭圆 的方程为 ， 分别是 的左、右焦点，A是 的上顶点.
(1)设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，求 的周长；
(2)给定点 ，直线 分别与椭圆 交于另一点 ，求 的面积；
(3)设 是椭圆 上的一点， 是 轴上一点，若点 满足 ， ，且点 在椭
圆 上，求 的最大值，并求出此时点 的坐标.
【解析】（1）由题意可知： ，
所以 的周长为 .
（2）
由题意可知： ，且 在椭圆上，
因为 ，可知 ，则直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 或 ，
即 ，
所以 的面积为 .
（3）设 ，
则 ，
因为 ，则 ，
解得 ，即 ，
且 ，则 ，
又因为 ，则 ，
解得 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，则 ，
整理得 ，
其中 ，可知 ，解得 ，
即 的最大值为 ，
代入 可得 ，
即 ，
联立 ，解得 ，即 ，
综上所述： 的最大值为 ，此时 .
【变式2-1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆 上三个不同的动
点（点 不在 轴上），满足 ，且 与 的周长的比值为 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)判断 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）依题意点 、 、 三点共线，点 、 、 三点共线，
则 的周长为 ，
则 的周长为 ，
所以 ，即 ，
椭圆 的离心率为 ．（2）解法一：设 且 ，则有 ，即 ，
由题 由 ，
可得 ，则 ，
由题设直线 ，联立 ，
化简整理可得
显然 成立，故 ， ，
同理可得 ，
（定值）.
解法二：设 且 ，则由 ，即有 ①，
由题 ，由 ，可得 ，
则 ， ，
点 在椭圆上，则 ，则将上式代入整理得 ②，
- 整理化简得 ，同理可得 ，
② ①（定值）.
【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆 经过 ， 两点. 为
坐标原点，且 的面积为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，
.且直线 ， 分别与 轴交于点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若以 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程；
(3)设 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1）因为椭圆 经过点 ，
所以 解得 （负值舍去）．
由 的面积为 可知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ．
联立 ，消 整理可得 ．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ，
所以 ， ，
则，
因为以 为直径的圆经过坐标原点，所以 ，
则 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以直线 的方程为 .
（3）因为 ， ， ， ，
所以直线 的方程是： ，
令 ，解得 ，所以点 的坐标为 ．
同理可得点 的坐标为 ．
所以 ， ， ．
由 ， ，
可得 ， ，
所以 ，
同理 ，
由（2）得 ，
所以，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 的范围是 ．
【变式2-3】（2024·辽宁·三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆 的短轴
长为 ，离心率为 . 点 为椭圆 上的一个动点，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线
与椭圆 的另一个交点为 ，设 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 为定值；
【解析】（1）由题知 ，得到 ，又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ，设 ， ，
则 ， ， ， ，
由 ，得到 ，所以 ，又 在椭圆上，所以 ，即 .
又 ，故 ，即 .
将其展开，得到 ，即 .
从而 ，即 ，
易知 ，所以 ，得到 ，
同理，由 ，得到 ，所以 ，
又 在椭圆上，所以 ，即 .
又 ，故 ，即 .
将其展开，得到 ，即 .
从而 ，即 ，
易知 ，所以 ，得到 ，所以 ，
即 为定值.
题型三：三点共线问题
【典例3-1】（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
右焦点 的坐标为 ，过点 作直线交 于 ， 两点（异于 ， ），当 垂直于 轴时， .
(1)求 的标准方程；
(2)直线 交直线 于点 ，证明： ， ， 三点共线.
【解析】（1）如图所示，由 ，可得 ，
所以 ，
即 ，因为 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 的标准方程为 .
（2）由题意知，直线 斜率不为 ，如图所示，
设 ， ，而 ，
由 ，整理得 ，
显然 ，则 ,
因为 ，
所以 ，即 .
则
，所以 ，又因为有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线.
【典例3-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆
上，过点 的直线 的方程为 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与点 关于直线 对称，求证：点 三点共线．
【解析】（1）依题意， ，
所以离心率 .
（2）直线 的斜率为 ，
由（1）得 ，
设 关于 的对称点为 ，
线段 的中点为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 ，
则
在椭圆上，所以 ，
，
则，
所以 ，所以 三点共线.
【变式3-1】（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，
点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点 ，求证:
三点共线.
【解析】（1）由题意得 ，且
（2）由 (1) 得 ，
设直线 的方程为 ，则 ，
由 得 ，直线 的方程为 ，令 ，则 ，
，
所以 三点共线.
【变式3-2】已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，
求证： 三点共线．
【解析】解:（1）依题意可得 ， ，
解得 ， 故 的方程为 .
（2）易得 ，
显然，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ，
联立方程 ，消去 整理得 ，
所以 ， ．直线 ，令 得 ，故
， ，
，（*）
又
，即 的值为0．
所以 故A、Q、N三点共线．﹒
【变式3-3】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点
与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为 ，过点 的直线l与椭圆C交于 两点，A关于x轴对称的点为M，证
明： 三点共线.
【解析】（1）∵椭圆C的右焦点 与抛物线 的焦点重合，抛物线 的焦点为 ,
,
∴
又 ，∴ , ,
∴
∴椭圆C的方程为 .
（2）证明：由（1）知椭圆C的左焦点为 ，
当直线l的斜率不存在时，其方程为： ，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，
则 .
联立 ，消去y得 ，∴ ，解得 ,
∴ ， ,
∵ ， ，
又 ， ，
∴
，
∵ 与 共线，而 与 有公共点 ,即 、 、 三点共线.
【变式3-4】（2024·上海松江·一模）已知椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率为 ，
斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点A，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 的方程为： ，椭圆上点 关于直线 的对称点 （与 不重合）在椭圆
上，求 的值；
(3)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若点 ， 和
点 三点共线，求 的值；
【解析】（1）椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率为 ，
则 ， ，则 ，则
则椭圆 的方程为 ；
（2）设椭圆上点 关于直线 的对称点
则 ，解之得 ，则由 在椭圆 上，可得 ，
整理得 ，解之得 或
当 时 与点M重合，舍去.则
（3）设 ，则
又 ，则 ，直线 的方程为
由 ，整理得
则 ，则
又 ，则 ，
则 ，则
令则 ，直线 的方程为
由 ，整理得
则 ，则
又 ，则 ，
则 ，则
则由点 ， 和点 三点共线，可得
则
整理得 ，则
题型四：向量中的数量积问题
【典例4-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左顶点为 ，离心率为
．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，线段 的中点分别为 ， ．设过点 且垂直于
轴的直线为 ，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求 ．
【解析】（1）
椭圆 左顶点为 ， ，
又因为离心率 ，
，
，
的方程为： .
（2）如图所示：
设 ， ，则 ，
由
得： ，
则 ，
， ；
直线 方程为： ， ，
；
同理可得： ，又 ，
， ，
，
为定值 .
【典例4-2】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右
顶点分别为 为坐标原点， 为线段 的中点， 为椭圆上动点，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)延长 交椭圆于 ，若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由条件得 ，即 ，则 ，
则 ， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意可知： ，则 ，且直线 与椭圆必相交，
若直线 的斜率不存在，可知 ，
联立方程 ，解得 ，
不妨取 ，则 ，
可得 ，不合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 ，
则 ， ，
与椭圆联列方程得 ，消去y得 ，
可得 ，
则
，
可得 ，解得
所以直线 的方程为 ；
综上所述：直线 的方程为 .【变式4-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆 为坐标原点；
(1)求 的离心率 ；
(2)设点 ，点 在 上，求 的最大值和最小值；
(3)点 ，点 在直线 上，过点 且与 平行的直线 与 交于 两点；试探究：是否存在
常数 ，使得 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【解析】（1）设 的半长轴长为 ，半短轴长为 ，半焦距为 ，
则 ，则 ，所以 .
（2）依题意，设 ，则 ， ，故 ，
则 ，
所以由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值为 ，
当 时， 取得最大值为 .
（3）设 ，又 ，
易得 ，则直线 为 ，即 ，
而 ，
，
，
联立 ，消去 ，得则 ，得 ，
所以 ，
故
，
所以 ，
故存在 ，使得 恒成立.
【变式4-2】（2024·福建厦门·二模）已知 ， ， 为平面上的一个动点.设直线 的斜
率分别为 ， ，且满足 .记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)直线 ， 分别交动直线 于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 . 是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点 ，由于 ，
故 ，整理得 ，
即 的轨迹方程为 ；
（2）由题意知直线 的斜率分别为 ， ，且满足 ，
设直线 的方程为 ，令 ，则可得 ，即 ，
直线 ，同理求得 ，
又直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，
故
，
当 时， 取到最大值12，
即 存在最大值，最大值为12.
【变式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴的
两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形. 分别是椭圆的左右顶点，动点 满足
，连接 ，交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证： 为定值.
【解析】（1）由题设 ， ，得 ，
椭圆的方程为 .
（2）
由（1）知 ，由题意知，直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，联立 ，
消去 得 ，其中 是直线与椭圆一个交点，
所以 ，则 ，代入直线得 ，故 .
又 ，将 代入 ，得 ，则 .所以 ，为定值.
【变式4-4】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，过点 且斜率为 的直
线 交椭圆 于点 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若圆 是以 为圆心，1为半径的圆，连接 ，线段 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，使得
为定值，证明：点 在定直线上．
【解析】（1）依题意可得 ，可设 ， ，
由 ，消去 整理得 ，
， ，
， ，
，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）知 ， ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，
由 得 ，又点 在线段 上，
所以 ，即 ，又 ，
，设 ，则 ，
；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；
若直线 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设 ，从而有 ， ，
此时 ，则直线 ，
设 ，则 ， ， ，
则 时， ，满足题意；
综上所述：当 为定值，点 在定直线 上.
【变式4-5】（2024·高三·山东·开学考试）已知椭圆 ，且其右焦点为 ，过 点且与坐标轴
不垂直的直线与椭圆交于 、 两点．
(1)设 为坐标原点，线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的取值范围；
若不存在，说明理由；
(2)过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，试证明：直线
过定点．
【解析】（1）由题意，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，恒成立.
设 、 ，线段 的中点为 ，
则 ， ，
由 ，得：
，故 ，
又因为 为 的中点，则直线 为直线 的垂直平分线，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
令 得点 的横坐标 ，
因为 ，则 ，所以， ，
所以，线段 上存在点 ，使得 ，其中 .
（2）当直线 的斜率不为零时，设直线 的方程为 ， ，
联立 得 ，
因为过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，
由 ，得 ，
设 、 ，则 ，则 ， ，
则直线 的方程为 ，
令 得.
易知，当直线 斜率为 时，直线 与 轴重合，
此时，点 与点 重合，则直线 过点 .
综上所述，直线 过定点 .
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例5-1】如图，已知椭圆 ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆的切线与 轴相交于 点，
是坐标原点，作 于 ，证明： 为定值.
【解析】证明：不妨设切线 方程为 ， ，
联立切线方程和椭圆方程 ，
消去 得 ，
所以 ，得 ，
解方程可得 ，所以 ，
又点 坐标为 ，故 为定值．
【典例5-2】如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上
的点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， .(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.
【解析】（1）直线 的方程为 ，代入抛物线 得：
，解得 或 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
则有 ，
又 ，则有 ，故 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ， ，
所以 ， ，
，
令 ， ，
则 ，
由于当 时， ，当 时， ，
故 ，即 的最大值为 .【变式5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆的左顶点，过点 不与 轴重合的直线 交椭圆 于两点 ，直线 分别交直
线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点．
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ．
由题意得 ，解得 ，所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）当直线 垂直于 轴，由直线 过 ，
在椭圆方程 中，令 ，解得 ，
不妨设 ，椭圆左顶点 ，
直线 分别交直线 于点 和点 ，则 分别与 重合.
即 ，则以 为直径的圆以 为圆心， 为半径，
该圆与 轴交点为 .
即以 为直径的圆经过 两点；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ．
设 ， ，
由 得 ．
所以 ， ．y
则直线 的方程为y= 1 (x+2).
x +2
1
令 ，得点 ．同理，点 .
设以 为直径的圆与 轴交点为 ，
，
则
.
解得 或 .
故不论 取何值，以 为直径的圆经过 轴上的两个定点 ；
综上所述，以 为直径的圆经过 轴上的定点 .
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点 在 轴上，点 在
上，长轴长与短轴长之比为 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设 为 的下顶点，过点 且斜率为 的直线与 相交于 两点，且点 在线段 上．若点
在线段 上， ，证明： ．
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ．
由题意可知 ，解得 ，故椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）可知 ．
设 ，直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
则 ，所以 ．
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
所以点 在线段 的垂直平分线 上，即 ．易知 ．
设 ，则 ，
则 ．①
又点 在直线 上，所以 ，
则 ，
所以 ，则 ．
整理，得 ．②由①②，得 ．
所以 ，则 ，所以 ，故 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：线段 的中点 在直线 上；
(3)过点 作 轴的平行线，与直线 的交点为 ，证明：点 在以线段 为直径的圆上．
【解析】（1） ，又 ，
，
又 ，
椭圆方程为 ；
（2）联立直线与椭圆方程 ，
又因为有两个交点，所以 ，
解得 ，设 ，
故 ，
又 ，
，
线段 的中点 的坐标为 ， ，
线段 的中点C在直线 上；
（3）由已知得： ，，
，
，
点 在以线段 为直径的圆上．
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为 ，上、
下顶点分别为 ，四边形 的内切圆 的半径为 ，过椭圆 上一点T引圆 的两条切线
（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆 于点P，Q．
(1)求椭圆 的方程；
(2)试探究直线 与 的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【解析】（1）由题意得 ，则直线 的方程为 ．
由 可得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题意得 ，
切线的斜率存在且不为0，并设为 ，取 ，则 ，
此时切线方程为 ，则 ．
整理得 ．
设过点 引圆 的两条切线斜率分别为 ，则 ①．
由 得 ，将其代入①式得 ，
故直线 与 的斜率之积为 ．
（3）设直线 ，则 ，解得 ．
将直线 与椭圆 联立，则 ．
因为直线 与椭圆有两个不同的交点，所以 .
设 ，则 ，
将 代入可得 ．
设直线 ，则 ，整理得 ．
同理，将直线 与椭圆 联立，则 ．
设 ，则 ，
将 代入可得 ，
显然 ．
设直线 ，则 ，解得 ，
将直线 与椭圆 联立，则 ，
设 ，则 ，
将 代入得 ．设直线 ，则 ，解得 ．
将直线 与椭圆 联立，则 ．
设Q(x ,y )，则 ．
2 2
将 代入得 ，
故 ．
所以 ， ， ，且 ，
所以P，O，Q三点共线．
3．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心
率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于
点 ， 为线段 的中点，求 的值．
【解析】（1）且点 在直线 ： 上， ，
又 ， ， ，
椭圆的标准方程为 .
（2）
设 ， ，则 ，且 ，
为线段 的中点， ，
， 直线 的方程为： ，
令 ，得 ，
， 为线段 的中点， ，
， ，
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 的离心率是双曲线 的离心率的
倒数，椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当过点 的动直线 与椭圆 相交于两个不同点 时，设 ，求 的取值范围.【解析】（1）设点 的坐标分别为 ，
又点 的坐标为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，则依据 得 ，
整理得 ，
又 ，故 ，
得 ，
即 ，
当 时，此时 ，即 重合，显然不成立，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，得 ，
又 ，故 ，且 ，
故实数 的取值范围为 .
5．已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，点 是线段 上的点，且，求点 的轨迹方程．
【解析】设 ， ， ，
由
，记 ，
即 ， ．
，由定比分点得： ，
，由定比分点得 ，
又 ，配比 ，
由（1）-（3）得：
，即 .
所以点Q的轨迹方程为 （在椭圆内部），
由 可得 ，故 ,
故点 的轨迹方程为 .6．（2024·吉林长春·一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦
长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，
设 ，于是有 ，
因为 ，
所以 ，
代入 中，得 ，
于是有 ，化简，得 ，代入 中，得
.
7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离之
比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
【解析】（1）设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；
②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，
所以
，
同理 ，所以 ，
综上， .
（3）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，
， ，
故 ，
因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，
所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，
Q到两渐近线的距离分别为 ，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
8．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线 的左顶点为 ，直线 与
的一条渐近线平行，且与 交于点 ，直线 的斜率为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，问：是否存在满足 的点
？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题可知， 的一条渐近线方程为 ，则 ，
设 ，又 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，
解得 ，则 ，
代入 中，解得 ，
故 的方程为 ．
（2）因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
同理可得 ，
设 ，
联立 ，整理得 ，
由题意知 ，且 ，
解得 或 ，且 ，所以 ，
过点 与 垂直的直线的方程为 ，设该直线与 的右支交于另一点 ，
联立 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
因为
，
所以 ，同理可证 ，
又 ，所以 与 重合，
所以 在 上，则 ，
故存在点 满足 ，且 的值为16．
9．如图:双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直线 交 轴于点 .(1)当直线 平行于 的斜率大于 的渐近线 时，求直线 与 的距离；
(2)当直线 的斜率为 时，在 的右支上是否存在点 ，满足 ?若存在，求出 点的坐标；若不
存在，说明理由;
【解析】（1）双曲线 ，焦点在 轴上， ，
则双曲线左、右焦点分别为 ， ，渐近线方程为 ，
当直线 平行于 的斜率大于 的渐近线 时，则直线 的方程为 ，即 ，
又渐近线 为 ，
所以直线 与 的距离 .
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率为1时，直线方程为 ，因此 ，
又 ，所以 ，
设 的右支上的点 ，则 ，
由 得 ，
又 ，联立消去 得 ，
因为 ，但是 ， ，所以此方程无正根，
因此，在 的右支上不存在点 ，满足 .
10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ， ，且 的渐近线方程为 ，直线 交双曲线 于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)当直线 过点 时，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意可得： ，解得： ， ， .
双曲线的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时， ，A(−2,0)，
此时 ， ，所以 ，
当直线 的斜率存在时，设P(x ,y )，Q(x ,y )，因为直线 过点 ，
1 1 2 2
设直线 的方程为： ，
联立 可得： ，
当 时， ，
， ，
，
令 ，则 ，令 ， 在 ， 上单调递减，
又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .11．已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意得 ，则 ， ．
（2）当 时，双曲线 ，其中 ， ，
因为 为等腰三角形，则
①当以 为底时，显然点 在直线 上，这与点 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以 为底时， ，
设 ，则 , 联立解得 或 或 ，
因为点 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知 ，矛盾，舍去）；
③当以 为底时， ，设 ，其中 ，
则有 ，解得 ，即 ．
综上所述： .
（3）由题知 ，
当直线 的斜率为0时，此时 ，不合题意，则 ，则设直线 ，
设点 ，根据 延长线交双曲线 于点 ，
根据双曲线对称性知 ，
联立有 ，
显然二次项系数 ，
其中 ，
①， ②，
，
则 ，因为 在直线 上，
则 ， ，
即 ，即 ，
将①②代入有 ，
即
化简得 ，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且 ，解得 ，又因为 ，则 ，
综上知， ， ．
12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆 ，过 的直线与圆 交于 两点，
过 作 的平行线交直线 于 点.
(1)求点 的轨迹 的方程；(2)过 作两条互相垂直的直线 交曲线 于 交曲线 于 ，连接弦 的中点和 的中
点交曲线 于 ，若 ，求 的斜率.
【解析】（1）根据题意，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当 位置互换时， ，当过 的直线与 轴重合时无法作出 ，
所以点 的轨迹为以 为焦点，即 ，且 的双曲线，
所以 ， 的轨迹方程为 .
（2）根据题意可知 的斜率存在且不为 ，
设 的斜率为 ， ， ， ， ，其中 ，
则 ， ，
联立 ，消去 得 ，
，
所以 ， ，所以 中点坐标为 ，同理可得 中点坐标为 ，
当 ，即 时，两中点坐标分别为 ， ，此时直线 为 ，
联立 ，解得 ， ，
所以 ， ， 不满足条件，
当 时， ，
则直线 方程 ，整理得 ，
令 ，联立 得 ，
，
所以 ， ， ，
所以由 解得 ，
当 时，代入 解得 或 ，
当 时，代入 解得 或 ，
综上 的斜率为 或
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l： 分别与x轴，直线 交于点A，B，点P
是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且 .
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足 ，延长MA交C于点N，求 的最小值.
【解析】（1）由题意 ，
如图， ∵ ，∴ ，
又∵ 不在 轴负半轴上，
∴ 与直线 垂直，
又∵ ，
∴点 的轨迹是以(1,0)为焦点， 为准线的抛物线，
∴点 的轨迹方程为 .
（2）
由 得 ，
∵ 与 交于两点，
∴ ，
设 ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 的斜率为 ，
∴直线 的方程为 ，
设 ， ，同理得 ， ，∴
，
当且仅当 即 时取到“=”，
∴ 的最小值为16.
14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，双曲线 ， ， 分别为
曲线 的左焦点和右焦点， 在双曲线的右支上运动， 的最小值为1，且双曲线 的离心率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)当过 的动直线 与双曲线 相交于不同的点 ， 时，在线段 上取一点 ，满足
．证明：点 总在某定直线上．
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ，点 的坐标为 ，
因为点 在双曲线 的右支上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值，
由题意可知， ，
双曲线 的离心率 ，
所以 ， ，
所以 ，所以双曲线 的方程为 ．
（2） ，
若点 都在右支上，则 方向相反，有 共线，
则 方向相反，即 方向相同，
与点 在线段 上矛盾，
所以直线 与曲线 交在两支上，
如图，
设 ，
由 ，可得 ，
又 共线，所以 共线，
所以 ．
设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
， ， ， ，
则 ， ， ， ，
整理可得 ，①
，②
，③
，④
将① ③，② ④分别得到 ，⑤
，⑥将⑤ ⑥可得 ，
点 在定直线 上．
15．（2024·高三·山东临沂·期末）已知圆 ： 的圆心为 ，圆 ： 的
圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切，动圆的圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程：
(2)已知点 ，直线 不过 点并与曲线 交于 两点，且 ，直线 是否过定点？若过定点，
求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
【解析】（1）如图，设圆 的圆心为 ，半径为 ，
由题可得圆 半径为3，圆 半径为1，则 ， ，
所以 ，
由双曲线定义可知， 的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，
又 , ， , ，
所以动圆的圆心 的轨迹方程为 ， ，
即曲线 的方程为 ， ．
（2）设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由题意直线与曲线有两个交点，则 ，
设 , ， , ，其中 ， ，
由韦达定理得： ， ，
又点 ，所以 , ， , ，
因为 ，所以 ，
则，
即 ，
解得 舍去），
当 ，直线 的方程为 ， ，
故直线 恒过点 , ．
16．在直角坐标平面中， 的两个顶点A，B的坐标分别为 ， ，两动点M，N满
足 ， ，向量 与 共线．
(1)求 的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点 的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求 的取值范围．
【解析】（1）设顶点C的坐标为 ，因为 ， ．
又 且向量 与 共线，
N在边 的中垂线上， ．
∴
而 ，即 ，
化简并整理得顶点C的轨迹方程为 ．
（2）
设 ，
过点 的直线方程为 ，代入 ，
得 ， ，得 ，
而 是方程的两根，
， ．
，
即 ，
故 的取值范围为 .
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知 为双曲线 的右顶点，过点 的直线 交 于D、E两
点.
(1)若 ，试求直线 的斜率;
(2)记双曲线 的两条渐近线分别为 ，过曲线 的右支上一点 作直线与 ， 分别交于M、N两点，且
M、N位于 轴右侧，若满足 ，求 的取值范围（ 为坐标原点）.
【解析】（1）由题意知直线 的斜率一定存在.
设直线 的方程为 .
联立 ，化简得: ，其中
所以 ，
因为 ，所以 .
即: ，换元后有: .
所以 ，化简得: .
解得: 或 .
当 时，直线过点 ，不符合题意.
当 时，代入得 ，满足题意.
所以 .
（2）设 ，则 .
由 可知: ，
因为 ，所以 ，且有 ，
化简得: .
又 ，
设 ，则 .
当 时， 在定义域上单减;
当 时， 在定义域上单增.
所以 .
所以 的取值范围是: .
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线 的右顶点为 ，双曲线 的左､右
焦点分别为 ，且 ，双曲线 的一条渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知过点 的直线与双曲线 右支交于 两点，点 在线段 上，若存在实数 且 ，
使得 ，证明：直线 的斜率为定值.
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ，由 ，得 ，即 ，所以 ，
又双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ，
解得 ，
故双曲线 的方程为 .
（2）设直线与双曲线 交于A(x ,y ),B(x ,y )，点 ，
1 1 2 2
因为存在实数 且 ，使得 ，
所以 ，
，
整理得： ①， ②，
得 ③，
同理 ④， ⑤，
得 ⑥，
由于双曲线 上的点的坐标满足 ，
- 得 ，
③ ⑥
即 ，又 ，所以 ，
表示点 在直线 上，又 也在直线 上，
所以直线 的斜率为 （定值）.
