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第十九章 一次函数（压轴题专练）
目录
【题型一 两个一次函数图象共存问题】..........................................................................................................1
【题型二 一次函数中的规律探究问题】..........................................................................................................3
【题型三 一次函数与三角形全等问题】..........................................................................................................6
【题型四 一次函数与三角形存在问题】........................................................................................................12
【题型五 一次函数中折叠问题】....................................................................................................................15
【题型六 利用一次函数解决分配方案问题】................................................................................................23
【题型七 利用一次函数解决最大利润问题】................................................................................................27
【题型八 利用一次函数解决行程问题】........................................................................................................31
【题型九 利用一次函数解决几何问题】........................................................................................................35
【题型十 一次函数——分段函数】................................................................................................................41
【题型十一 绝对值的一次函数】....................................................................................................................47
【题型十二 新定义型一次函数】....................................................................................................................50
【题型一 两个一次函数图象共存问题】
例题：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）直线 与直线 在同一坐标系中的大致图象可
能是图中（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，对于一次函数 ，当 时，图象必
过一、三象限；当 时，图象必过二、四象限；当 时，图象必过一、二象限；当 时，图象必
过三、四象限；熟记相关结论即可求解．
【详解】解：若 ，则 ，
此时直线 经过一、二、四象限；直线 经过一、三象限；
无此种情况的选项；若 ，则 ，
此时直线 经过一、三、四象限；直线 经过二、四象限；
选项B符合题意；
故选：B
【变式训练】
1．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）一次函数 与 在同一平面直
角坐标系内的图像可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图像，根据函数图像所在象限可判断出 ， 的取值范围．一次函数
图像的性质：当 ， 时，图像经过一、二、三象限；当 ， 时，图像经过一、三、四象限；
当 ， 时，图像经过二、三、四象限；当 ， 时，图像经过一、二、四象限．通过分类讨
论 ， 的正负情况解题是解题的关键．
【详解】解：A．由图像知： 中的 ， ， 中的 ， ，故此选项不
符合题意；
B．由图像知： 中的 ， ， 中的 ， ，故此选项符合题意；
C．由图像知： 中的 ， ， 中的 ， ，故此选项不符合题意；
D．由图像知： 中的 ， ， 中的 ， ，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列图形中，表示一次函数 与正比例函数
（m、n为常数，且 ）的图象的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数图象的升降及直线与y轴交点的位置即可确定
m、n的符号，从而确定 的符号，再与正比例函数的一次项系数 的符号比较．
【详解】解：A、由一次函数图象知， ，则 ，由正比例函数图象知， ，故正确；
B、由一次函数图象知， ，则 ，由正比例函数图象知， ，矛盾，故不正确；
C、由一次函数图象知， ，则 ，由正比例函数图象知， ，矛盾，故不正确；
D、由一次函数图象知， ，则 ，由正比例函数图象知， ，矛盾，故不正确；
故选：A．
【题型二 一次函数中的规律探究问题】
例题：（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， …都在x轴上，
点 ， ， …都在直线 上， ， ， ， ， …都是等腰直角三
角形，且 ，则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．由得到点B 的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点 的坐标，进而得到点 的坐标，然后再一次
1
类推得到点Bn的坐标．
【详解】解：∵ ，点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ， ，…， ．
故答案为： ， ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
，……， 都是等腰直角三角形，点B， ， ， ，…， 都在x轴上，点 与原点重合，点A， ， ， ，…， 都在直线l： 上，点C在y轴上，
轴， 轴，若点A的横坐标为 ，则点
的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识．分别求出 ， ， ，
，……，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：当 时， ，
∴点A的坐标为 ，
根据题意得：点C的坐标为 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴可设点 的坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，∴ ，解得： ，
∴点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴点 的坐标为 ，
同理点 的坐标为 ，
……
点 的坐标为 ．
故答案为： ；
2．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点
，以 为边作正方形 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作正方形
，按此规律进行，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据一次函数方程式求出 点的坐标，再根据 点的坐标求出 、 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 的坐标．
【详解】解：直线 ，点 坐标为 ，过点 作x轴的垂线交直线于点 ，可知 点的坐标为 ；
∴以 为边作正方形 ，则 ，
∴ ，点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
根据这种方法可求得 的坐标为 ，故点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
以此类推便可求出点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生
在平常要多加训练，属于中档题．
【题型三 一次函数与三角形全等问题】
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线
AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若 与
△AOB全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据 与△AOB全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线 中，当x=0时，y=0+4=4，即 ，
当y=0时，0= ，
∴ ，即 ；
∵ 与△AOB全等，
∴分两种情况：
当 时， ，如图所示，
则 ，
∴点Q的横坐标为： ，
当 时， ，如图所示，
则 ，
∵ ，
∴点Q的横坐标为： ；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题
的关键．
【变式训练】1．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线 与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴
上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等
时，移的时间t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【分析】先求解 的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】解： 直线 与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令 ，则
而
当 时， 而
如图，当 关于 轴对称时，
此时此时
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉全等三角形的基本图形是解本题
的关键.
2．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
， ，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
(1)求直线 的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时 的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，若存在，请求出所有符合条件
的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点P坐标为 ；
(3)存在，符合条件的点P的坐标为 ， ， ， ．【分析】（1）通过 求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式；
（2）先画图，确定 面积可以 为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y
轴距离后，要注意分类讨论；
（3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察 ，得到 即
为斜边．所以 也是直角三角形且 为对应斜边，因此只能 ，两直角边对应关系不
确定，分两类 与 ．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正
可负，结合图像分析再分类讨论．
【详解】（1）解：∵直线l： 与y轴交于点B，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵点A在直线l上，
∴ ，
解得： ，
∴直线l的解析式为 ；
（2）解：过P作 轴于C，如图1，
∴ ，
∴ ，∴点P的横坐标为4或 ，
∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标不为4，纵坐标为： ，
∴点P坐标为 时， 的面积是6；
（3）解：存在满足条件的P、Q，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴以O，P，Q为顶点的三角形与 全等时，斜边 为对应边， ，
① ，
∴ ，即P点横坐标为 或 ，如图2和图3，
， ，
∴点P 或 ；
② ，
∴ ，即点P、点Q纵坐标为 或 ，如图4和图5，，
解得： ，
，
解得： ，
∴点 或 ，
综上所述，符合条件的点P的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了三角形及全等三角形判定，体现了数形结合思想和分类讨论思想．
解题关键是通过画图进行分析，解题时应注意在坐标系里线段长度对应坐标的绝对值，所以坐标可正可负
要分类讨论．全等三角形存在性问题要通过画图分析，找到确定对应的边角，再根据不确定对应的边角分
类讨论．
【题型四 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：
与 轴交于点C，且点 ， .(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线 的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在，点 的坐标为 或
【分析】(1)令 ，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得 的长，再根据 ，
设原点 到直线 的距离为 ，列方程即可求解；
(3)设点 的坐标为 ，根据题意可知 不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ，
所以点 的坐标为 ；
（2）解：代入A、 两点可得： ， ，
解得： ， ，
故 ， ，，
，
设原点 到直线 的距离为 ，
则 ，
解得： ，
故原点 到直线 的距离为 ；
（3）解：存在，
设点 的坐标为 ，根据题意可知 不为直角，
所以当 是直角三角形分两种情况：
①当 时，此时点 的坐标为 ；
②当 ， ，
故 ，
解得： ，
此时点 的坐标为 ；
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关
键是采用分类讨论的思想．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线 相交于点 ，动点M在线段 和射线 上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求 的面积．
(3)是否存在点M，使 的面积是 面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)B的坐标为 ，点C的坐标为
(2)12
(3)存在，点M的坐标是 或 或
【分析】（1）在 中，令 ，则 ；令 ，则 ，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点M的坐标为 ，求解直线 的表达式是 ，由 ，可得 ，当点M
在线段 上时，如图①，则 ，此时 ，当点M在射线 上时，如图②， 时，
，则点 的坐标是 ； 时， ，则点 的坐标是 ．从而可得答
案．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ；令 ，则 ．
故点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（2）∵ ， ，∴ ．
（3）存在点M使 ． 理由如下：
设点M的坐标为 ，直线 的表达式是 ．
∵ ，
∴ ，解得 ．
∴直线 的表达式是 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
当点M在线段 上时，如图①，则 ，此时 ，
∴点M的坐标是 ．
当点M在射线 上时，如图②， 时， ，则点 的坐标是 ；
时， ，则点 的坐标是 ．
综上所述，点M的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标
与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．【题型五 一次函数中折叠问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与
直线 ： 相交于点 ．与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)如图2．点 为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交 轴于点 ．
①求线段 的长度；
②当点 落在 轴上时，求点 的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②点 的坐标为 ；③点 的坐标为 或
【分析】（1）把 代入 ，求出 ，得直线 ： ，再把 代入
，求出 ，得点 的坐标，然后把 代入 ，求出 ；
（2）①根据折叠的性质得出 ，勾股定理即可求解；
②过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，求出 ，即可得出
，②求出 ，可得 ，即可得答案；
③分两种情况讨论，当 时，求出 ，得 ，得 ，得点 坐
标；当 时，设 ，则 ，由勾股定理得： ，求出
，得点 坐标．
【详解】（1）解：把 代入 ，，
，
直线 ： ，
把 代入 ，
，
把 代入 ，
，
，
；
故答案为： ．
（2）①∵直线 ： 令 ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，
∵
∴ ，
∵折叠，
∴ ；
②如下图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，则 ， ，，
，
，
点 的坐标为 ；
③ 如下图，
当 时，由翻折得 ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ；
如图，当 时，
设 ，则 ，
在 中由勾股定理得：
，
解得：
，
点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助
线．
【变式训练】
1．（2022·广东·平洲一中八年级期中）已知：直线y＝ x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在
线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处，(1)求A点的坐标 和B点的坐标 ；
(2)求AB的长？
(3)求出OC的长？
【答案】(1)(-8，0) 、(0，6)
(2)10
(3)3
【分析】（1）分别令 ， 即可得出点A和点B坐标．
（2）点A和点B坐标已知，根据坐标系内两点距离公式即可解出．
（3）根据已知条件可得出 ，设OC长为x，列出等式解方程即可．
(1)
∵直线y＝ x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B
∴分别令 ，
解得： 时
时
∴点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)．
故答案为(-8，0) 、(0，6) ．
(2)
∵点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)
∴ ．
(3)
∵将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处
∴
∴
∴
∵点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)
∴ ，
设OC的长为x
则 ，∵
∴
解得
故OC长为3．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点、折叠的性质、三角形面积及坐标系中两点的距离公式等知识
点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线 ：
与直线 ： 交于点A，两直线与x轴分别交于点 和 ．
(1)求直线 和 的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当 最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F，若
为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
(2) 作点C关于y轴的对称点M，连接 ，交y轴于点P，点P即所求，设直线 表达式为 ，
确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．
(3) 分 两种情况求解即可．【详解】（1）将 代入 得 ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ；
把 代入 ，得 ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接 ，交y轴于点P，则点P满足 的值最小，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，设直线 表达式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 表达式为 ，令 ，
∴ ．
（3）设点 ，
如图，当 时，过点A作 于点G，
∵ ， ， 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ，
故点 ；
如图，当 时，过点D作 于点G，∵ ， ， 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解得 ，
故点 ；
综上所述，点 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最
小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
【题型六 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都
是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优
惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好
被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方
案，并求出最低的费用．
【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16
间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元
【分析】（1）根据在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的
旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时
的住宿方案．
【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间，
根据题意得： ，
解得： ，
答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间；
（2）由题意可得，
y 600×0.5 600×0.5＝﹣50x+7500，
即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500；
（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，
∴y随x的增大而减小，
∴当x满足 、 为整数，且 最大时，住宿费用最低，
∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100， =16， =1，
∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低，
答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客
房1间，此时费用为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．【变式训练】
1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买
一批篮球．根据学校的规模，需购买 、 两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个 型篮球和2个
型篮球共需340元，购买2个 型篮球和1个 型篮球共需要210元．
（1）求购买一个 型篮球、一个 型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金 元用于购买这两种篮球，设购进的 型篮球为 个，求 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多
少元？
【答案】（1）购买一个 型篮球需80元，一个 型篮球需50元；（2） ；
（3）该校至少需要投入资金 元．
【分析】（1）设购买一个 型篮球需 元，一个 型篮球需 元，根据两种购买方式建立方程组，解方程
组即可得；
（2）根据（1）的结论可得购买 型篮球的费用和购买 型篮球的费用，再求和，然后根据 两种型号
的篮球个数均大于0求出 的取值范围即可；
（3）先根据“购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍”建立不等式求出 的取值范围，再利用一
次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设购买一个 型篮球需 元，一个 型篮球需 元，
由题意得： ，
解得 ，符合题意，
答：购买一个 型篮球需80元，一个 型篮球需50元；
（2）由题意得：购买 型篮球的个数为 个，
则 ，
即 ，
，
，则 关于 的函数关系式为 ；
（3） 购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，
，
解得 ，
又 ，
，
对于一次函数 ，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
因此，在 内， ，
答：该校至少需要投入资金 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是
解题关键．
2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共
需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足
球一共50件，设购买足球 个，总费用为 元，写出 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用
最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2） ；（3）购买羽
毛球拍33个，足球17个，才能使总费用 最少，最少费用是2214元．
【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）分 和 两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得；
（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，
由题意得： ，解得 ，
答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；
（2）设购买足球 个，则购买羽毛球拍 个，
由题意，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，
综上， 关于 的函数关系式为 ；
（3）由题意得： ，
解得 ，
为正整数，
的最小值为17，
，
，
由一次函数的性质可知，在 内， 随x的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 （元），
此时 ，
答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用 最少，最少费用是2214元．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题
意，正确建立一次函数和方程组是解题关键．
【题型七 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销
售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），
且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多
少？
【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆
(2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系
式．
（1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850
元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A款自拍杆，则购进 个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过
2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销
售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再
利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆；
（2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进 个B款自拍杆，
根据题意得：
解得： ，
设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，
则 ，即 ．
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值， ，
．
答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果
的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所
购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解
之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果 千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水
果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果 千克，利润为y元，
由题意可知：
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得： ，即 ，
在 中， ，则y随m的增大而减小，
当 时，y最大，且为 （元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调
比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商
场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．
若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值
范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元
(2) ， ，且x为整数
(3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元
【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（ ）元，根据“用40000元购
进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可；
（2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空
调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围；
（3）根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（ ）元，由题意得： ，
解得 ，
经检验 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．
（2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为：
，
∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
∴自变量 x的取值范围是 ，且x为整数．
（3）解：在 中，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵ ，且x为整数
∴ 时，y取得最大值，最大值为 ，
此时 ，
答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．
【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌
握一次函数的性质是解题的关键．
【题型八 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从
学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与
甲班步行时间 （分）的函数图像；折线 表示乙班离开学校的路程 （米）与甲班步行
时间 （分）的函数图像，图中 轴， 与 相交于点 ．请根据图像解答下列问题：(1)学校到科技馆的路程为______米；线段 对应的函数表达式为______（ ）；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段 与线段 的交点 的坐标为______，点 坐标表示的实际意义是_________．
【答案】(1)3600；
(2)
(3) ；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米
【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求
法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）由线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与甲班步行时间 （分）的函数图像即可得到答案；利
用待定系数法将 代入 确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，数形结合，得到 、 ，利用待定系数法将 、 代入
确定函数关系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点 的坐标，从而根据函数图像交点的实
际意义即可得到答案．
【详解】（1）解：由线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与甲班步行时间 （分）的函数图像可知，
学校到科技馆的路程为3600米；
设线段 的函数关系式为 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
线段 对应的函数表达式为故答案为：3600； ；
（2）解： 甲班比乙班先出发5分钟，
，
设线段 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入 得 ，
解得 ，
线段 对应的函数表达式为 ；
（3）解：联立 ，
解得 ，
图像中线段 与线段 的交点 的坐标为 ，点 坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟
时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，
故答案为： ；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．
设客车离甲地的距离为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 、 关于
的函数图像如图所示：(1)根据图像，直接写出 、 关于 的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关
键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出 、 关于 的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前， ；当两车相遇后， ，然后求解即可．
【详解】（1）解：设 ，将点 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ；
设 ，将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ；
（2）①两车相遇前，可有 ，
即
解得 ；
②两车相遇后，可有 ，
即 ，
解得 ．答：两车行驶 或 时两车相距300千米．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向
的出行市场，现有 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间
的对应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，且超过十分钟时，对应的函数关系
式是 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数 ， 的图象交点 的坐标；
(2)求 关于 的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平
均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择___________品牌共享电动车更省
钱．（填“ ”或“ ”）
②当 为何值时，两种品牌共享电动车收费相差 元？
【答案】(1)点 的坐标为
(2) 关于 的函数解析式为
(3)① ；②当 为 或 时，两种品牌共享电动车收费相差 元
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的
性质是解题的关键．
（1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为 ，代入函数解析式 中计算即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种情况， ；第二种情况， ；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵函数 ， 的图象交点 ，且点 的纵坐标为 ， 品牌的收费方式对应 ，且超过
十分钟时，对应的函数关系式是 ，
∴ ，解得， ，
∴点 的坐标为 ．
（2）解：函数 经过点 ， ，
∴设 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
∴ 关于 的函数解析式为 ．
（3）解：① ，平均行驶速度均为 ，
∴行驶时间为 ，即 ，
∴骑行 品牌的费用 （元）；
骑行 品牌共享电动车，且 ，
∴费用 （元）；
∵ ，
∴小明选择骑行 品牌共享电动车，
故答案为： ；
②第一种情况， ，
∴ ，解得， ；第二种情况， ，
∴ ，解得， ；
∴当 为 或 时，两种品牌共享电动车收费相差 元．
【题型九 利用一次函数解决几何问题】
例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 轴，
轴，且 ， ， ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
路线向点 运动；动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点 运动.若 ， 两点同
时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出 ， ， 三个点的坐标；
(2)当 ， 两点出发 时，求 的面积；
(3)设两点运动的时间为 ，用含 的式子表示运动过程中 的面积；
(4)在点 ， 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是______
【答案】(1) ， ，
(2) 的面积为
(3)
(4)
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出 三个点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分 ， 两种情况，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案；
（4）计算边界点：当 在 上时，计算 ，通过画图发现，在 时，点 被包含在 区
域 包含边界 ，从而可计算其时长．
【详解】（1）解： 轴， 轴， ， ， ，
， ， ．
故答案为： ， ， ；
（2）当 两点出发 时，如图1， ， ，
点 在线段 上，
的面积 cm2；
（3）分两种情况：
①当 时， 在线段 上， 在 上，如图 ，
由题意得： ，
则 ；
②当 时， 在线段 上， 在 上，如图 ，
过点 作 轴交 的延长线于 ，由题意得：
， ， ， ，
，
则
；
综上所述， ；
（4）①如图 ，点 在 上，过点 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，
，
，
，
，
，
≌ （SAS），
，
，
；如图 ，当 与 重合时，点 仍在 的内部；
，
在点 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，几何动点问题，三角形的面积，线段三角形全等的判定与性质，
从动态问题中得出一次函数的表达式等知识，是综合题，有一定的难度，灵活运用分情况讨论思想是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形 的位置如图所示，等边
三角形的边长为2．
(1)求 点的坐标；
(2)直线 过点 ，求该直线的表达式；
(3)在 轴上找一点 ，使得三角形 为等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 ，在该直线上找一点 ，使得三角形 的面积为 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
(4) 或
【分析】（1）由题意得， ，则 ，故 ，即可求解；
（2）将点 的坐标代入函数表达式，可得 ，即可求解；
（3）当 时，则 ，即可求解；当 或 时，同理可解；
（4）首先确定 点坐标，由三角形 的面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， 为等边三角形，且边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
则 ， ，
∴ ，
则点 ，即点 的坐标分别为： ， ；
（2）将点 的坐标 代入函数表达式 ，
可得 ，
则 ，
则该一次函数的表达式为 ；
（3）设点 ，
由点 的坐标得 ， ， ，
当 时，则有 ，
解得 ，则点 ；
当 时，可有 ，
解得 （舍去）或 ；
当 时，可有 ，
解得 ．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 或 ；
（4）对于直线 ，
令 ，即有 ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
则三角形 的面积 ，
则 ，
将当 时，将其代入 ，
可得 ，解得 ，
将当 时，将其代入 ，
可得 ，解得 ，
即点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法则求一次函数解析式、一次函数的图像与性质、等边三
角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关
键．
【题型十 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小
红对函数 的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
y（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
y
函数图像如下图所示：
（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线 与函数 只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．
【变式训练】
1．已知函数 ，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当 时，若点 在图象G上，求n的值；
（2）当 时，若函数最大值与最小值的差为 ，求m的值；
（3）已知点 ， ， ，当图象G与 有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）-5；（2） ；（3） ，
【分析】（1）将 代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当 时，②当 时，③当 时，
根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为 ，从而求得m的值；（3）设 , ，分类讨论①当 经过点 时，求得 的最小值， ②
当 经过点 时，③当 与线段 有交点时，④当 经过点 的时，⑤如图，当 经过点 时，分别判
断图象G与 的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当 时，函数
∵点 在图像G上
∴当 时， ．
（2）①当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大y也增大．
∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
∴ ．
∴当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
②当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大，y反而减小．
∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
∴ ，故当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
③当 时，即 时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，
再减小，当 时有最大值 ．
当 时， ，当 时， ．ⅰ当 时， ．
ⅱ当 时， ．
∴ 时，当 时，函数最大值与最小值的差为 ．
综上述： ．
（3）设 ,
①如图，当 经过点 时，
图象G与 有一个公共点，
将 代入 ，得：
解得
②当 经过点 时，将点 代入
解得
当 时，当图象G与 有两个公共点
如图，当 时， 即， 也经过点此时，当图象G与 有两个公共点
③当 与线段 有交点时，
将点 代入 ，得
此时 与 交于点
当 继续增大时，图象G与 有四个公共点，
分别与线段 各有一个交点， 与线段 各有一个交点；
④如图，当 经过点 的时，将 代入
解得：此时 分别与 各有一个交点，此时图象G与 有三个公共点
当 继续增大时，图象G与 有两个公共点
⑤如图，当 经过点 时，图象G与 有一个公共点，此时可以求得 的最大值
将 代入 ，得：
解得：
综上所述，当图象G与 有两个公共点时， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
【题型十一 绝对值的一次函数】
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与
性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数 的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数 的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【答案】(1)任意实数
(2)2
(3)见解析
(4)0
(5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可；
（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．
（5）根据函数图象解答即可．
（1）
∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
（2）
∵当x=-1时，y=|-1-1|=2，∴b=2．
故答案为：2；
（3）如图，
（4）
由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：0．
（5）
x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究
过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．
（1）
解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）
解：当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为：1；
（3）
解：描点、连线，画出函数的图象如图：；
（4）
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，
利用数形结合的思想解答．
【题型十二 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的
距离之和等于 的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如， 为一次函数 的“3阶和
点”．
(1)若点 是y关于x的正比例函数 的“n阶和点”，则 ______， ______；
(2)若y关于x的一次函数 的图象经过一次函数 图象的“7阶和点”，求k的值．
【答案】(1) ；4
(2)2或
【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是
新定义型：
（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可；【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，解得： ；
∵点 是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，
∴点到两坐标轴的距离之和等于 ，
∴点 是y关于x的正比例函数 的“4阶和点”，
即 ．
故答案为： ；4；
（2）解：设一次函数图象 的“7阶和点”为 ，则 ， ，
∵一次函数 图象经过第一、二、三象限，
当 在第一象限时， ，
∴ ；
∴一次函数图象 的“7阶和点”为 ；
把 代入 得：
，解得： ；
当 在第二象限时， ，由于 ，此种情形不存在；
当 在第三象限时， ，
∴ ；
∴一次函数图象 的“7阶和点”为 ，
把 代入 得：
，解得： ；
综上，k的值为2或 ．
【变式训练】1．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）定义：一次函数 和一次函数 为“逆反函数”，
如 和 为“逆反函数”．
(1)点 在 的“逆反函数”图象上，则 ；
(2) 图象上一点 又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
(3)若 和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为 ，把 代入即可求得；
（2）根据题意得到关于 、 的方程组，解方程组即可求得；
（3）求得两函数与 轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到 ，解得 或 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的“逆反函数”为 ，
∵点 在 的“逆反函数”图象上，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ 的“逆反函数”为 ，
∵ 图象上一点 又是它的“逆反函数”图象上的点，∴ ，
解得：
∴ ；
（3）∵ ，
∴它的“逆反函数”为 ，
∴两函数与 轴的交点分别为 ， ，
由 ，解得： ，
∴两函数的交点为 ，
∵ 和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆
反函数”是解题的关键．
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）定义：我们把一次函数
与正比例函数 的交点称为一次函数 的“不动点”．例如求 的“不动点”；
联立方程 ，解得 ，则 的“不动点”为 ．
(1)由定义可知，一次函数 的“不动点”为 ．
(2)若一次函数 的“不动点”为 ，求m、n的值．
(3)若直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线 上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得 ，求满足条件的P点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）联立一次函数解析式 与正比例函数 ，解二元一次方程组即可；
（2）将“不动点”为 ，代入 求得 ，进而代入 求得 即可；
（3）根据题意可得 ，进而设 ，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由定义可知，一次函数 的“不动点”为一次函数解析式 与正比例函
数 的交点，即
解得
一次函数 的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点 在 上，
解得
点 又在 上，
，
又解得
（3） 直线 上没有“不动点”，
直线 与 平行
，令 ，
令 ，则
设
即 或
解得 或
或
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一
次函数的性质是解题的关键．
