文档内容
专题 19 一次函数与几何图形综合的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、一次函数与三角形的综合...................................................................................................................2
类型二、一次函数与平行四边形的综合............................................................................................................8
类型三、一次函数与矩形的综合.....................................................................................................................14
类型四、一次函数与菱形的综合.....................................................................................................................19
类型五、一次函数与正方形的综合..................................................................................................................26
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................34
解题知识必备
一、一次函数基础
1.表达式：
一般式：y = kx + b（ k ≠ 0 ）， k为斜率，b为截距。
y −y
2 1
两点式：已知两点 (x, y)、(x, y) ，斜率 k = 。
1 1 2 2 x −x
2 1
2.图象性质：
k>0时，图象过一、三象限； k < 0 时，过二、四象限。b 决定与y轴交点：(0, b) 。
3. 两直线位置关系：
平行：斜率相等（ k = k ）。
1 2
垂直：斜率乘积为 -1（ k * k = -1 ）。
1 2
二、几何图形核心知识
1. 坐标系中的点与距离
点坐标：
x轴上点：(a, 0) ；y 轴上点：(0, b) 。
对称点：点 (x, y)关于x轴对称(x, -y) ，关于y轴对称(-x, y) ，关于原点对称(-x, -y) 。
2. 三角形相关
面积计算：
底乘高法：找水平/竖直边为底，对应高易求。
分割法：用坐标轴或直线将三角形分成易算部分。
公式法：已知三点坐标，用行列式或 shoelace 公式。
特殊三角形：等腰三角形：两边相等（需分类讨论顶点位置）。
直角三角形：两直角边斜率乘积为 -1，或用勾股定理。
3. 四边形相关
平行四边形：对边平行且相等（坐标满足中点重合：对角线中点相同）。
矩形/菱形/正方形：在平行四边形基础上，结合边长、斜率或对角线垂直/相等判定。
三、综合解题关键技能
1.设点坐标：用含未知数的坐标表示动点（如 (t, kt + b) ）。
2.方程思想：通过几何条件（如距离、面积、角度）列方程求解未知数。
3.分类讨论：动点位置不确定时，分情况讨论（如在直线某侧、线段内外）。
4.数形结合：画草图分析函数图象与图形的位置关系，标注关键点坐标。
四、常见题型与思路
求图形面积：用函数解析式表示边长或高，代入面积公式。
存在性问题（如等腰三角形、平行四边形）：
设定动点坐标，根据几何性质列等式（如距离相等、斜率关系）。
解方程并验证是否符合题意。
核心逻辑：用代数方法（坐标、方程）解决几何问题，结合图形性质简化计算。．
压轴题型讲练
类型一、一次函数与三角形的综合
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，
叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则 为
此函数的坐标三角形．
(1)求函数 的坐标三角形的面积；
(2)若函数 （b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
【答案】(1)4.5
(2)
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，
对于（1），分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可得三角形的面积；对于（2），先用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角
形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
∴函数 的坐标三角形的面积为 ；
（2）解：直线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为 ，
当 时， ，得 ，此时，坐标三角形面积为 ；
当 时， ，得 ，此时，三角形面积 ．
综上，当函数 的坐标三角形周长为16时，面积为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知正比例函数 的图像经过点 ，点 在第四象限，过
点 作 轴，垂足为 ，点 的横坐标为4，且三角形 的面积为8．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)已知 ，在直线 上（除 点外）是否存在点 ，使得三角形 为等腰三角形？若存在，
直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)正比例函数的解析式为
(2)存在， 或 或
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、三线合一、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性
质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论．
（1）先利用三角形面积公式得到 点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当 时，当 时，当 时，分别画出图形，求
出结果即可．
【详解】（1）解： 点 的横坐标为4， ， 轴∴ ，
∴ ，
∴ ，
点 的纵坐标为 ，
点 的坐标为 ，
正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
正比例函数的解析式为 ；
（2）解：在直线 上（除 点外）存在点 ，使得 为等腰三角形，理由如下：
当 ，点 在点 的上方时，如图，
则 ；
点 在点 的下方时， ；
当 时，
，
点 与点 重合，
此时点 不符合题意；当 时，
， ，
，
，
，
，
，
则 ；
综上分析可知， 的长为 或 或 ．
2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以线段 为边，
在第四象限内作等边三角形 ，点C为x轴正半轴上一动点 （ ），连接 ，以线段 为边在
第四象限内作等边三角形 ，连接 并延长，交y轴于点E．
(1)求证：
(2)在点C的运动过程中， 的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出 的
度数；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时 的长度．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3) ，
【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得 ， ，则 ，然
后可根据“ ”可判定 ，从而得出结论；
(2)由 △是等边三角形知 ，再由 知 ，根据
可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得 ，进而得出以A，
E，C为顶点的三角形是等腰三角形时， 和 是腰，最后根据 中， ，求
得 ，据此得到 ，即可得出点C的位置，再利用 的解析式求出点D的坐标，即可求
出结论．
【详解】（1）证明： ， 都是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）点C的运动过程中， 的度数不会发生变化，
理由如下：
是等边三角形，
，
，
，
，
点C的运动过程中， 的度数不会发生变化， ；
（3） ，
，
又 ，
， ，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时， 和 是腰，
∵点A的坐标为(2,0)，
，
在 中， ，
，
， ，
，
当点C的坐标为 ， 时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形
，
，
，
，
点D的横坐标为5，
设 的直线解析式为 ，过 ， ，
，解得 ，
则 的直线解析式为 ，
， ，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合问题，一次函数的应用，坐标与图形，主要考查了全等三角形的判定与性质，
等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，解
决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．
类型二、一次函数与平行四边形的综合
例题：（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知如图，平行四边形 的顶点 为平面直角坐标系原
点，边 在x轴正半轴上，点(1)写出点 的坐标，计算平行四边形 的面积；
(2)过点 的直线与线段 或 交于点 ，若直线 将平行四边形 的面积分成 两部分，求点
的坐标；
【答案】(1) ，平行四边形面积8；
(2) 或 ．
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的
性质求解
【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键．
（1）过 ， 分别作 于 ， 于 ，由四边形 是平行四边形，得到 ，
， ，证得 ，推出 即可得到结果；
（2）分多种情况讨论，即当点 在线段 上时， ；当点 在线段 上时，
，逐一计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，过 ， 分别作 于 ， 于 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，，
，
；
（2）解：如图，当点 在线段 上时，过点 作 于 ，则 ，
直线 将平行四边形 的面积分成 两部分，
当 时，
，
；
如图，当点 在线段 上时，过点 作 于 ，
直线 将平行四边形 的面积分成 两部分，
当 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入可得，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，可得 ，
解得，
综上所述， 或 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点 ， 点 ， 的
平分线交y轴于点M．
(1)求直线 的函数解析式．
(2)在直线 上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以 为
边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线 的表达式为：
(2) 或
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合
【分析】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解
题的关键．
（1）在 中， ，即 ，求出点 ，即可求解；
（2）当 为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当 为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：过点M作 于点N，
由点A、B的坐标得， ，∵ 的平分线交y轴于点M，则 ，
设 ，则 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴点 ，
设直线 的表达式为 ，
由点 、 的坐标得，
解得， ，
∴直线 的表达式为： ；
（2）解：存在，理由：
设点 ，点 ，
当 为对角线时，
由中点坐标公式得： ，
解得： ，即点 ；
当 为对角线时，
同理可得： ，
解得： ，
即点 ；
综上，点P的坐标为 或 ．
2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如图1，在平行四边形 中， ，过点B作 于
点E， ， ．点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线 运动，到达点E
时停止．设点M的运动时间x秒， 的面积为y．(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：________________；
(3)若直线 与该函数图象只有一个交点，则常数b的取值范围是________________．
【答案】(1)
(2)当 时，函数有最大值 4 （答案不唯一）
(3) 或
【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质
求解
【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论；
（2）先确定 然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质；
（3）通过平移直线 ， 与 相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图
象求解即可．
【详解】（1）解：在平行四边形 中， ，过点 作 于点 ．
，
，
，
，
，
，
∵点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 运动，到达点 时停止，设点 的运动时
间为 秒， 的面积为 ，∴当点 到达点 时 （秒），当点 到达点 时 （秒），
∴当 时，点 在线段 上，此时 ；
当 时，点 在线段 上，如图 1 ，
此时 ；
∴ 与 的函数关系式为 ；
（2）解：函数图象如图2：
由函数图象可得：当 时，函数有最大值 4 （答案不唯一），
故答案为：当 时，函数有最大值 4 （答案不唯一）；
（3）解：平移直线 与 相交，
函数图象如图3：
把 代入 可得 ；
把 代入 可得 ，
解得 ；把 代入 可得 ，
解得 ；
由函数图象可得，直线 与该函数图象恰有一个交点，
则常数 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函
数的性质，比较函数值的大小，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思
想解决问题．
类型三、一次函数与矩形的综合
例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l： 与x轴，y轴分别交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标．
(2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作 轴于点M， 轴于点
N，得矩形 ，当矩形 的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，矩形的性质，点到坐标轴的距离，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
（1）分别令直线l： 中， 代入计算即可；
（2）根据题意可得 ，得到 ，分 或
，解方程即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，将 代入线 ，则 ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵矩形 的一边长是另一边长的2倍，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形 的顶点
，将矩形 的一个角沿直线 折叠，使得点A落在对角线 上的点E处，折痕与x
轴交于点D．
(1)线段 的长度为 ；
(2)求线段 的长，以及直线 所对应的函数表达式；
【答案】(1)15
(2) ，
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定
系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键．
（1）矩形 中 ，可得 ；
（2）求出点 ， ， ，由待定系数法求出直线 的解析式．【详解】（1）解： ，
，
四边形 是矩形，
，
，
故答案为：15；
（2）解：由折叠的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
，
，
，
，
设直线 所对应的函数表达式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 所对应的函数表达式为 ．
2．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片 放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，
点C在y轴上， ．
(1)如图①，沿 折叠矩形，点 落在 处， 交 于点 ，求点 的坐标；(2)如图②，点 是 中点，点 在 上，求 的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点 落在边 上的点为 ，折痕为 ，点 在边 上，求直线
的函数解析式．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得： ，设 ，根据勾股定理得： ，
解出可解答；
（2）如图②，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，此时 的值最小，即 的长，
根据勾股定理可解答；
（3）如图③，过 作 轴于 ，设 ，根据勾股定理列方程得 ，求得 ，
然后利用待定系数法求得 的解析式为 ．
【详解】（1）解：如图①，由折叠得： ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
，
，
；
（2）解：如图②，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，此时 的值最小，即
，过 作 轴于 ，
，
是 的中点，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值是15；
（3）解：如图③，过 作 轴于 ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
．
设 的解析式为 ，将 ， 代入得：
，
解得： ，
的解析式为 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
类型四、一次函数与菱形的综合
例题：（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点 为平面直角坐标系的原点，边长为 的菱形
的一边 与 轴的正半轴重合， ．
(1)求 点的坐标；
(2)过点 的直线将菱形 分成面积比为 的两部分，求该直线的解析式．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】（ ）作 于点 ，利用菱形的性质可得 ， ，进而可得
，即得 ， ，即可求解；
（ ）连接 ，作 于点 ， 于 ，设菱形 的面积为 ，可得点 的坐标为
， ， ，即得直线 和 均将菱形 分成面积比
为 的两部分， 且直线 的解析式为 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式即可求解．
【详解】（1）解：作 于点 ，则 ，
∵四边形 是菱形，边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ；
（2）解：如图， 连接 ，作 于点 ， 于 ，
设菱形 的面积为 ，
∵四边形 是边长为 的菱形， ，
∴ 和 都是等边三角形，点 的坐标为 ，
∴ ， 分别是 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴点 的坐标为 ， ， ，
∴直线 和 均将菱形 分成面积比为 的两部分， 且直线 的解析式为 ，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
综上，该直线的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质，一次
函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键．【变式训练】
1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，四边形 是菱形，点A的坐标为 ，点C在x轴
的正半轴上，直线 交y轴于点M， 边交y轴于点D，连接 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)动点P从点A出发，沿折线 方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设 的面积为
，点P的运动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
(3)点P在线段 上， ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) ；
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）由 点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点 的坐标，由 ， 的坐标可得直线
的解析式；令 ，解得 ，得 的长，易得 ；
（2）设点 到 的距离为 ，由 的面积易得 ，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当
在直线 上运动；②当 运动到直线 上时分别得 的面积；
（3）先根据菱形的性质及三角形内角和定理得出 ，再根据等腰三角形的性质即可得出结
论．．
【详解】（1） 点 的坐标为 ，
，
，
即 点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
直线 的解析式为： ，
（2）令 得： ，
即 ，
；
设点 到 的距离为 ，
由 ，
即 ，
，
①当 在直线 上运动时 的面积为 与 的运动时间为 秒关系为：
，即 ；
②当 运动到直线 上时 的面积为 与 的运动时间为 秒关系为：
，即 ；
（3） 四边形 是菱形，
，且 与 关于直线 对称，
，
．
， ， ．
，
．
如图，
，，
，
．
，
，
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、菱形的性质及勾股定理等
知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．
2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系 中，点A，D的坐标分别为 ，
以 为边作菱形 ，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转 得到点N，连接 ，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得 ，求点P的坐标；
②试探究 的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点P的坐标为 或 ，② 存在最小值，最小值为7
【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）根据菱形的性质求出 两点坐标，直线 的函数解析式为 ，代入 两点
坐标，可得；
（2）①考虑点P在 上、在 延长线上两种情况；
②点M在x轴运动， ，运动到点N在 延长线上时， 的值最小．
【详解】（1）解：由题意得
∵点A，D的坐标分别为 ，
∴ ，
则 ，
由菱形 得， ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，设直线 的函数解析式为 ，代入B、C两点坐标，
，
解得： ， ，
∴直线 的函数解析式为 ；
（2）解：①点M与点B重合，即 ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
过点N作 轴于点E，
∴ ，
点D绕点M顺时针旋转 得到点N，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点N的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，代入D、N两点坐标，
，
解得： ， ，
直线 的函数解析式为 ，
∵ ，
∴点P在如图所示两种情况，
图1：点P即为 与 的交点，
，解得： ， ，即点P的坐标为 ，
图2：设直线 的函数解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵过点 ，
∴ ，
∴ ，
此时 与 的交点即为点P，
，
解得： ， ，即点P的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ，
②如图所示，M运动到x轴负半轴 、原点 、正半轴 处，
则 ，
M运动到正半轴 处， ，由此可见，点M运动到 处时，点N在 延长线上时， 的值最小，
过N点作 轴于点E，即 ，
设点M的坐标为 ，则 ，
由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即
∵
∴在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∵M在x轴正半轴，
∴ ，舍去，
∴点M运动到 处， 的值最小，
，
那么 的值为 ，
∴ 存在最小值，最小值为7
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求
一次函数的解析式，一次函数的交点问题，难度大，综合性强，关键是注意分类讨论和动点问题．
类型五、一次函数与正方形的综合
例题：（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，直线 与 轴， 轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形 ，点 为边 的中点，作 ，交边 于点 ．
(1)求边 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)求 的长．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）把 、 分别代入 求得 ， ，即 ， ，再利用勾
股定理求解即可；
（2）过点C作 轴于点G，根据正方形的性质可得 ， ， ，从而
证得 ，求得 ，由一次函数的平行规律设直线 的解析式为 ，再
利用待定系数法求解即可；
（3）把 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，证明 ，可得 ，
，可证 ，可得 ，设 ，则 ，
，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，在 中， ；
（2）解：过点C作 轴于点G，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：把 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
由旋转的性质得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴点 在 的延长线上，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是 的中点， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
即
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、用
待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质，熟练掌握相关定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点 是正方形 的一个顶点，E是 的
中点，点P是直线 上一点．(1)求点E的坐标和直线 的解析式；
(2)若 的面积为21，求此时P点坐标；
(3)若点P是直线 在第一象限的一个动点，连接 ，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点E的坐标为 ，直线 的解析式为
(2) 或
(3) 或 或
【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定
理，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为 ，利用 列方程解题；
（3）设点P的坐标为 ，分为 ， 和 三种情况，利用勾股定理计算即
可解题．
【详解】（1）解：∵点 是正方形 的一个顶点，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
（2）解：设点P的坐标为 ，∴ ，
解得： ，
当 时， ；
当 时， ；
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：设点P的坐标为 ，
当 时， ，解得： ， ，
∴点P的坐标为 或 （舍去）；
当 时， ，即 ，解得 ，
∴点P的坐标为 ；
当 时， 解得： （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线 与坐标轴分别交于点A，B，
，以 为边在y轴的右侧作正方形 ．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在 的右侧， ， ．
如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
如图2，点D是线段 的中点，另一动点H在直线 上，且 ，请直接写出点H的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 是， ； 点 坐标为 或
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、根据正方形的性质证明
【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰
直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
（1）分别将 代入 （ ）求解，再根据 ，即可求解；
（2）①过点E作 轴，通过证明 ，得到 ，即可求解；②连接 ，可得点H
与点E重合，作点M关于直线 的对称点N，可得N点坐标，求得直线 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：分别将 ， 代入 ，
得 ， ，即 ， ，
∴ ， ．
由 ，
得， ，
即 ， ．
（2）解：①过点 作 轴，如下图：
由题意可得： ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ， ，
∴ ．
由题意可得： ，即 ，
∴点E在定直线 上；
②连接 ，由题意可得 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ．
∴ ，此时点 与点 重合．
∵D是线段 的中点， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，将 、 代入，
得 ，
解得 ．
∴ ．
当 时， ，
即点 ．
作点 关于直线 的对称点 ，
得 ，
此时 ，
∴点 为直线 与 的交点，设直线 解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ．
联立 ，
解得 ．
此时 ．
综上，点 坐标为 或 ．
压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴和x轴分别相交
于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为 ，以 ， 为邻边构造平行四边形 ，则直线 和
直线 的距离是（ ）A．10 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、二次根式的除法、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求出 ， ，
可得 ，求解平行四边形 的面积为 ，过 作 于 ，再利用等面积法列方
程求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴和y轴分别相交于A，B两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点C坐标为 ，
∴ ，
∴平行四边形 的面积 ，
如图所示，过 作 于 ，
由平行四边形的性质可得 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 和直线 的距离是为 ；
故选：D．
2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线 ： 交 轴负半轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上的一点，且 ，则 的度数为( )
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】令 ，可得 ，令 ，可得 ，利用勾股定理求出 ，可得 ，
分两种情况考虑：① 点在 轴正半轴；② 点在 轴负半轴．分别计算出 、 度数，两个角
的和差即为所求度数．
【详解】解： 直线 ： 交 轴负半轴于点 ，交 轴于点 ，
令 ，则 ，解得 ，
，
令 ，则 ，
，
，
，
如图，取 的中点 ，
∵
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，，
．
， ，
，
，
如图，分两种情况考虑：
①当点 在 轴正半轴上时， ，
；
②当点 在 轴负半轴上时， ，
．
故选：D．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含 度角的直角三角形、直角三
角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想
的运用是解题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知菱形 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 ，
，点P是对角线 上的一个动点， ，当 最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、两点之间线段最短
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短，
能确定当 最短时，点P的位置是解题的关键．连接 ，连接 交 于点 ，推出当
最短时，点P位于 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，并联立求出点 的坐标
即可．【详解】解：连接 ，连接 交 于点 ，
四边形 是菱形，
点C与点A关于 对称，
最短时，点 位 于点 处，
四边形 是菱形， ,
设直线 的解析式为 ,
解得
直线 的解析式为 ,
设 的解析式为 ,
直线 的解析式为 ,
联立
解得 ，故选：B.
二、填空题
4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 分别在 轴和
轴的正半轴上， ， ， 、 两点分别在 、 边上，且 ，若 ，则点
的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、一次函数与几何综合、全等的性质和
SAS综合（SAS）
【分析】过点 作 ，过点 作 ，并延长 交 延长线于点 ，设 ，根
据三角形全等得到 ，则 ，求出直线 解析式，代入点 求出 ，即可
求解．
【详解】解：过点 作 ，过点 作 ，并延长 交 延长线于点 ，如下图：
则 ，
∴ ，
∴
在矩形 中， ，
∴∴四边形 为矩形
∴ ， ，
∴
∵
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
设直线 解析式为
∵ ， ，
∴
∴ ，代入 得， ，解得 ，
又∵点 在直线 上，
∴
解得 ，即
∴
∴点 坐标为
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，
解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解．
5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所
示，依次作正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 ，使得点
在直线l上，点 在y轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，点坐标规律探索，根据题意推导
一般性规律是解题关键．
先找到直线与 轴的交点 ，根据正方形的性质确定 的坐标，以此类推，得出 、 的坐标，根
据点的坐标变化总结出 的坐标规律，即可求解．
【详解】解：令 ，解得： ，
，
四边形 是正方形，
；
当 时， ，
；
当 时， ，
，
……
观察规律发现， ， ， ，……， ，
的横坐标是 ．
故答案为： ．
6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点
A、B，且点A的坐标为 ，四边形 是正方形．点M是线段 上的一个动点（点A、B除外），
点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ．【答案】 或
【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求
线段长
【分析】先求出直线 得解析式，可得到点B的坐标，然后分两种情况：当四边形 为菱形时，当
四边形 为菱形时，即可求解．
【详解】解：把点 代入 得：
，解得： ，
∴直线 得解析式为 ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
如图，当四边形 为菱形时，
∴ 垂直平分 ，
∴点M，N的纵坐标均为 ，且点M，N关于y轴对称，
把 代入 得：
，解得： ，
∴点M的坐标为 ，
此时点N的坐标为 ；如图，当四边形 为菱形时，延长 交x轴于点P，此时 ， 轴，
设点M的坐标为 ，则 ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴点N的坐标为 ，即
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点N的坐标为 ．
综上所述，点N的坐标为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程
思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
三、解答题
7．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于 、
两点，点 关于点 的对称点为点 ，四边形 是平行四边形．(1)求点 、点 的坐标．
(2)过线段 的中点作直线 ，直线 把平行四边形 分成面积为 的两部分，求直线 的解析式：
(3)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 （当点 在点 的下方），点 在直线 上，且
，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)点 的坐标为 或
【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、利用平行四边
形的性质求解
【分析】（1）首先求出 ， ，然后根据中心对称的性质求出 ，然后根据平行四边形
的性质求出 ；
（2）如图所示，点E为 的中点，连接 ， ，首先得出 ，然后分两种情况讨论，分别
根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出 ，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出 ，得到 所在直
线表达式为 ，然后求出 ；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ，
根据对称性求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 分别交 轴、 轴于 、 两点
∴当 时，
∴ ；
当 时，
解得
∴
∵点 关于点 的对称点为点 ，
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为16∴ ；
（2）解：如图所示，点E为 的中点，连接 ， ，
∵四边形 是平行四边形
∴
∵点E为 的中点
∴
∴
∵直线 把平行四边形 分成面积为 的两部分，如图 交 于点F
∴当 时，
∴
∴
∵ ，
∴点F的纵坐标为
∴将 代入 得，
解得
∴
设 表达式为
根据题意得，
解得
∴ 的表达式为 ；
∴当 时，如图 交 于点G∴
∵ ，
∴点G的纵坐标为
∴将 代入 得，
解得
∴
同理利用待定系数法求出 表达式为
综上所述，直线 的解析式为 或 ；
（3）解：如图所示，
∵直线 与 轴交于点 （当点 在点 的下方），
∴点M为直线直线 与y轴的交点
∴当 时，
∴
当点Q在y轴左边时，
∵ ，
∴∴
∴ 所在直线表达式为
∴将 代入 得，
解得
∴ ；
当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点
∴
∴
∴
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法
求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片 ，将该纸片放置在平面直角坐标系
中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点 ，点D是矩形 边上的一
点．
(1)如图①，当 时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿 折叠该纸片，得点B的对应点 ， 与x轴交于E点，求点E
和点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】一次函数与几何综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据矩形的性质得出 ， ，再根据余角和含 度角的直角三角形的性质得
出 ，然后根据勾股定理求出 的值，即可得出答案；
（2）过 作 轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出 ，再根据折叠的性质和勾股定理
即可得出点 的坐标，设 ，则 ，再次利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1） ，四边形 是矩形，
， ，
，
，
；
（2）过 作 轴于F，如图：
，四边形OABC是矩形，
， ，
，
，
点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
；设 ，则 ，
，
，
解得 ，
，
9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知矩形 的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，
线段 ， 的长度满足等式 ，直线 分别与x轴，y轴交于M，
两点，将 沿直线 折叠，C恰好落在直线 上的点D处．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线 的表达式；
(3)将直线 以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线 扫过矩形 的面积S关于运动的
时间 的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、矩形与折叠问题、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象平移问题
【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）利用待定系数法可求得直线 的解析式；
（3）设直线 平移后交y轴于点 ，交 于点 ，当点 在x轴上方时，可知S即为 的面积，
当 在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线 的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，
由 ，可分别得到S与t的函数关系式．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ；
（2）解：把 、 的坐标代入 可得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：设直线 平移后交y轴于点 ，交 于点 ，
当点 在x轴上方，即 时，如图1，
由题意可知四边形 为平行四边形，且 ，
∴ ；
当点 在y轴负半轴上，即 时，设直线 交x轴于点G，如图2，
∵ ，
∴可设直线 解析式为 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；综上可知S与t的函数关系式为 ．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的性质、折叠的性质、平移
的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）学会利用待定系数法确定函
数关系式是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，
难度较大．
10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系 中，如果一个点运动所形成的图象是一条直
线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这
个点的“踪线长”．例如：点 的踪线为直线 ，直线 是点 的踪线，点
的踪线为直线 ．
(1)试判断点 的踪线是否为 ，并说明理由；
(2)若点 ，求O到点B踪线的距离；
(3)如图，正方形 的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在
整个运动过程中，始终保持 ，连接 ，设 的中点为G，求点G的踪线长．
【答案】(1)是；理由见解析
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】（1）令 ， ，得 ，即得点 的踪线为 ；
（2）令 ， ，得 ，得点 的踪线为 ，与坐标轴的
交点为 ， ，作 ，根据 ，由 的面积公式可得点O到点B踪线的距离是
．
（3）设 ， ，得 ， ，得中点G为 ，得 踪线为，得点G的踪线两端点的坐标为 和 ，得点G的踪线长为 ．
【详解】（1）解：点 的踪线是 ，
理由如下：
令 ， ，
则 ，
即 ，
点 的踪线为 ；
（2）解：令 ， ，
则 ，
即 ，
点 的踪线为 ，
则点O到点B踪线的距离即为点O到直线 的距离，
如图，直线 与坐标轴的交点为 ，
作 ，
，
由 的面积公式可知： ，
，
点O到点B踪线的距离是 ．（3）解：设 ，
则 ， ， ，
中点G为 ，
令 ， ，
，
即点G的踪线为 ；
当 时， ， 时，
点G的踪线两端点的坐标为 和 ，
∴ ，
点G的踪线长为 ．
【点睛】本题考查了新定义——点的踪线．点的踪线长，熟练掌握新定义，求一次函数的解析式，一次函
数的图象和性质，面积法求三角形的高，正方形性质，勾股定理，是解题的关键．
