文档内容
第一部分 考点梳理及方法指引
考点一：直线与坐标轴围成的面积
1．一条直线和坐标轴围成的面积
（1）求一次函数 和坐标轴的交点坐标，即 和 ；
（2）直线和坐标轴围成的面积： ．
2．两条直线和坐标轴围成的面积
（1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
（2）求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解．
考点二：几何中的割补思想和铅锤法
对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，都可以采用割补思想。遇到一个比较难处理
或不能直接处理的图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行求解．
铅锤法：
（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；
（2）铅垂法求三角形面积： ．
（实际上铅垂线法也是割补法的一种）
考点三：一次函数和全等综合
第二部分 典例剖析及变式训练
考点一 直线与坐标围成的面积
（一）一条直线与坐标轴围成的面积
【典例1】（2023秋•宿松县期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【变式训练】1．（2023秋•中江县期末）如图，已知平面直角坐标系中的 ABCD，点A（1，4），C（3，0），坐标系
内存在直线l：y＝kx+b（k≠0）将 ABCD分成面积相等的▱两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角
形的面积为1，则 k+b 的值为（ ▱ ）
1 1 3 3
A．4或 B．0或 C．0或 D．4或
2 2 2 2
2．（2023秋•海陵区校级期末）已知直线y＝kx+k（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线
的解析式为 ．
3．（2021•宁江区校级开学）如图，已知直线a经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线b经过
点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线a的解析式．
（2）若△APB的面积为3，直接写出P点坐标．
（二）两条直线好坐标轴围成的面积
【典例2】已知两个一次函数的解析式为y ＝k x+3，y ＝k x﹣2，它们的图象为直线l 、l ，其中l 与x轴
1 1 2 2 1 2 1
3
的交点为（ ，0），l 与l 交于点（1，a），求：
1 2
2
（1）l 的解析式 ；
1
（2）l 的解析式 ；
2（3）l 、l 与y轴所围成的三角形的面积 ．
1 2【变式训练】
1．（2023•石家庄三模）如图，直线y＝x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC关于y轴对称．
（1）求直线BC的解析式．
（2）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围．
（3）若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1：3，直接写出L的解析式．
2．（2021秋•藤县期末）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线y＝kx+b
（k≠0）经过C（1，0），且把△AOB分成两部分．
（1）若直线y＝kx+b也经过点B，试说明△BOC与△ABC的面积相等；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．
考点二 几何中的割补思想和铅锤法
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（9，0），C（11，
5），D（2，9）．
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC ＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．【变式训练】
1．（2023春•宜阳县期中）已知一次函数的图象经过点A（﹣1，1）和点B（1，﹣5）．
（1）试判断点P（2，﹣10）是否在这个一次函数的图象上？
（2）在x轴上找一点C，使△ABC的面积为6，求点C的坐标．
2．（2023春•弋江区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，0）和B（1，3）．
（1）求k、b的值；
（2）若该一次函数的图象与直线y＝m（m为大于0的常数）的图象交于点C，点O为原点，当△ACO
面积为5时，求m的值．
3．（2023春•播州区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），
B（﹣4，﹣1），C（﹣1，0）．
（1）将三角形ABC向右平移4个单位长度后得到三角形A'B'C'；请画出三角形A'B'C'，并分别写出A'，
B'，C'三点的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．考点三 一次函数与全等综合
【典例4】（2022秋•双流区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C三点的坐标分别为
（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2+❑√b+4+|c+5|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P
为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标．
【变式训练】
3
1．（2024•海州区校级自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+3交坐标轴于A、B两点，直
1
4
线l ：y＝kx+b交坐标轴于C、D两点，已知点C（2，0），D（0，6）．
2
（1）设l 与l 交于点E，试判断△ACE的形状，并说明理由；
1 2
（2）点P、Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．2．（2023秋•江门期末）如图所示，直线 AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满
足❑√a+b+（a﹣4）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴
于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子 S△BDM ﹣S△ADN 的值是否发生改变？如发生改变，
求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
