文档内容
第一部分 考点梳理及方法指引
考点一：直线与坐标轴围成的面积
1．一条直线和坐标轴围成的面积
（1）求一次函数 和坐标轴的交点坐标，即 和 ；
（2）直线和坐标轴围成的面积： ．
2．两条直线和坐标轴围成的面积
（1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
（2）求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解．
考点二：几何中的割补思想和铅锤法
对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，都可以采用割补思想。遇到一个比较难处理或不能直接处
理的图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行求解．
铅锤法：
（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；
（2）铅垂法求三角形面积： ．
（实际上铅垂线法也是割补法的一种）
考点三：一次函数和全等综合
第二部分 典例剖析及变式训练
考点一 直线与坐标围成的面积
（一）一条直线与坐标轴围成的面积
【典例1】（2023秋•宿松县期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【思路引领】首先求出直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出结果．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣4，
令y＝0，则x＝﹣2，
故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0），
1
故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积= ×|﹣4|×|﹣2|＝4．
2
故选：B．
b
【总结提升】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数 y＝kx+b与x轴的交点为（− ，
k
0），与y轴的交点为（0，b）．
【变式训练】
1．（2023秋•中江县期末）如图，已知平面直角坐标系中的 ABCD，点A（1，4），C（3，0），坐标系
内存在直线l：y＝kx+b（k≠0）将 ABCD分成面积相等的▱两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角
形的面积为1，则 k+b 的值为（ ▱ ）
1 1 3 3
A．4或 B．0或 C．0或 D．4或
2 2 2 2
b
【思路引领】连接AC，BD交于点E，先求出点E（2，2），再求出直线y＝kx+b与x轴交于(− ，0)，
k
1 b
与y轴交于（0，b），根据直线y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为1，得 b⋅|− |=1，则
2 k
b2＝2|k|，然后根据直线y＝kx+b将 ABCD的面积分成相等的两部分，得直线y＝kx+b经过点E（2，
2），则2＝2k+b，即b＝2﹣2k，由▱此得（2﹣2k）2＝2|k|，解此方程求出k，进而再求出b即可得k+b的
值．
【解答】解：连接AC，BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点E是AC的中点，
∵点A（1，4），点C（3，0），
∴点E的坐标为（2，2），
b
对于y＝kx+b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=− ，
k
∴直线y＝kx+b与x轴交于（﹣b/k，0），与y轴交于（0，b），
∵直线y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
1 b
∴ b⋅|− |=1，
2 k
∴b2＝2|k|，
∵直线y＝kx+b将 ABCD的面积分成相等的两部分，
∴直线y＝kx+b经▱过点E（2，2），
∴2＝2k+b，
∴b＝2﹣2k，
∴（2﹣2k）2＝2|k|，
①当（2﹣2k）2＝2k时，整理得：2k2﹣5k+2＝0，
1
解得：k = ，k ＝2，
1 2 2
1 3
当k= 时，b＝2﹣2k＝1，则b+k= ，
2 2
当k＝2时，b＝2﹣2k＝﹣2，则b+k＝0，
②当（2﹣2k）2＝﹣2k时，整理得：2k2﹣3k+2＝0，
∵根的判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴方程2k2﹣3k+2＝0没有实数根．3
综上所述：b+k的值为0或 ．
2
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了一次函数图象上的点，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数图象及平行
四边形的性质，理解将平行四边形面积分成相等两部分的直线经过对角线的交点是解决问题的关键．
2．（2023秋•海陵区校级期末）已知直线y＝kx+k（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线
的解析式为 y ＝﹣ 8 x ﹣ 8 ．
【思路引领】直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣b），根
据三角形的面积是4可得b值，从而求出直线解析式．
【解答】解：直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），与y轴的交点坐标是（0，k），
1
×1×|k|=4，
2
即|k|＝8，
解得：k＝8或﹣8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
故直线解析式为：y＝﹣8x﹣8．
故答案为：y＝﹣8x﹣8．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题要注意利用三角形的面积，列出方程，求
出未知数，从而求出函数的解析式．
3．（2021•宁江区校级开学）如图，已知直线a经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线b经过
点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线a的解析式．
（2）若△APB的面积为3，直接写出P点坐标．【思路引领】（1）设直线a的解析式为y＝kx+b，由题意列出方程组求解；
（2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）设直线a的解析式为y＝kx+b，
∵直线l 经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），
1
{−k+b=0)
∴ ，
2k+b=3
{k=1)
解得 ．
b=1
所以直线a的解析式为y＝x+1．
（2）当点P在点A的右侧时，AP＝m﹣（﹣1）＝m+1，
1
有S△APB =
2
×（m+1）×3＝3，
解得：m＝1．
此时点P的坐标为（1，0）．
当点P在点A的左侧时，AP＝﹣1﹣m，
1
有S△APB =
2
×|﹣m﹣1|×3＝3，
解得：m＝﹣3，
此时，点P的坐标为（﹣3，0）．
综上所述，点P的坐标为（1，0）或（﹣3，0）．
【总结提升】本题考查一次函数的性质，解题的关键是要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出
未知数求得函数解析式；利用P点坐标求三角形的面积．
（二）两条直线好坐标轴围成的面积
【典例2】已知两个一次函数的解析式为y ＝k x+3，y ＝k x﹣2，它们的图象为直线l 、l ，其中l 与x轴
1 1 2 2 1 2 1
3
的交点为（ ，0），l 与l 交于点（1，a），求：
1 2
2
（1）l 的解析式 y ＝﹣ 2 x + 3 ；
1 1
（2）l 的解析式 y ＝ 3 x ﹣ 2 ；
2 2
5
（3）l 、l 与y轴所围成的三角形的面积 ．
1 2
23
【思路引领】（1）把交点（ ，0）代入函数解析式即可求得l 的解析式．
1
2
（2）把（1，a）代入l ，求得a的值，再代入l 即可求得直线解析式．
1 2
（3）求出两直线与y轴的交点，即可求解．
3
【解答】解：（1）∵l 与x轴的交点为（ ，0），
1
2
3
∴ k +3＝0．解得：k ＝﹣2．
1 1
2
故l 的解析式y ＝﹣2x+3．
1 1
（2）∵l 与l 交于点（1，a），
1 2
∴a＝﹣2+3＝1．
把点（1，1）代入y ＝k x﹣2，得k ﹣2＝1，k ＝3，
2 2 2 2
故l 的解析式：y ＝3x﹣2．
2 2
（3）∵l 、l 与y轴的交点分别是：（0，3），（0，﹣2），
1 2
∴l 、l 与y轴所围成的三角形的底长为|﹣2﹣3|＝5，高为l 与l 交于点的横坐标即1．
1 2 1 2
1 5
故l 、l 与y轴所围成的三角形的面积为 ×5×1= ．
1 2
2 2
【总结提升】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数再求得解析式；求三角形的面积
时找出高和底边长即可．
【变式训练】
1．（2023•石家庄三模）如图，直线y＝x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC关于y轴对称．
（1）求直线BC的解析式．
（2）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围．
（3）若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1：3，直接写出L的解析式．
【思路引领】（1）求出A（﹣3，0），C（0，3），由直线BC与直线AC关于y轴对称，得B（3，
0），用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）当点P在直线CA上时，m＝﹣1，当点P在直线BC上时，m＝1，即可得当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是﹣1＜m＜1；
1
（3）求出S△ABC = ×6×3＝9；分两种情况：①设直线L交AC于K，S△AOK ：S四边形KOBC ＝1：3，过K
2
3 3
作KH⊥AB于H，求得K（− ， ），即得直线L解析式为y＝﹣x；②设直线L交BC于T，S△BOT ：S
2 2
四边形AOTC
＝1：3，过T作TH'⊥AB于H'，同理可得直线L解析式为y＝x．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），C（0，3），
∵直线BC与直线AC关于y轴对称，
∴点B与点A关于y轴对称，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把点C（0，3）和点B（3，0）的坐标代入得：
{ 3=b )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得 ，
b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）当点P在直线CA上时，m+3＝2，
解得m＝﹣1，
当点P在直线BC上时，﹣m+3＝2，
解得m＝1，
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是﹣1＜m＜1；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，3），B（3，0），
1
∴S△ABC = ×6×3＝9；
2
①设直线L交AC于K，S△AOK ：S四边形KOBC ＝1：3，过K作KH⊥AB于H，如图：
1 9
∴S△AOK = S△ABC = ，
4 41 9
∴ ×3×KH= ，
2 4
3
∴KH= ，
2
3 3
在y＝x+3中，令y= 得x=− ，
2 2
3 3
∴K（− ， ），
2 2
设直线L解析式为y＝px，
3 3
∴ =− p，
2 2
解得p＝﹣1，
∴直线L解析式为y＝﹣x；
②设直线L交BC于T，S△BOT ：S四边形AOTC ＝1：3，过T作TH'⊥AB于H'，如图：
1 9
同理可得 ×3×TH'= ，
2 4
3
∴TH'= ，
2
3 3
在y＝﹣x+3中，令y= 得x= ，
2 2
3 3
∴T（ ， ），
2 2
设直线L解析式为y＝qx，
3 3
∴ = q，
2 2
解得q＝1，
∴直线L解析式为y＝x；
综上所述，直线L的解析式为y＝x或y＝﹣x．
【总结提升】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合的应用．
2．（2021秋•藤县期末）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线y＝kx+b
（k≠0）经过C（1，0），且把△AOB分成两部分．
（1）若直线y＝kx+b也经过点B，试说明△BOC与△ABC的面积相等；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．
【思路引领】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角
1
形面积的 ，已知了直线过C点，则小三角形的底边是大三角形的OA边的一半，故小三角形的高应该
6
1 1
是OB的 ，即直线经过的这点的纵坐标应该是 ．那么这点应该在y轴和AB上，可分这两种情况进行
3 3
计算，运用待定系数法求函数的解析式．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则﹣x+2＝0，
解得x＝2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，
∵C（1，0），
∴OC＝1，
∴点C是线段OA的中点，
∴△BOC与△ABC的面积相等；
1
（2）∵S△AOB = ×2×2＝2，
2
∵△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y＝kx+b（k≠0）与y轴或AB交点的纵坐标就应该
1 2
是：2×2× = ，
6 3
①当y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣x+2相交时，交点为D，如图（2）所示，2 2
当y= 时，直线y＝﹣x+2与y＝kx+b（k≠0）的交点D的横坐标就应该是﹣x+2= ，
3 3
4
∴x= ，
3
4 2
即交点D的坐标为（ ， ），
3 3
又根据C点的坐标为（1，0），可得：
{4
k+b=
2
)
3 3
k+b=0
{ k=2 )
∴ ，
b=−2
②当y＝kx+b（k≠0）与y轴相交时，交点为E，如图（3）所示，
2
∴交点E的坐标就应该是（0， ），又有C点的坐标（1，0），可得：
3
{k+b=0
)
2 ，
b=
3
2
{k=− )
∴ 3 ，
2
b=
3
2 2
综上所述，k＝2，b＝﹣2或k=− ，b= ．
3 3【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，两条直线平行或相交的问题，解题的关键是
确定点C为BO的中点，并确定此时把△AOB分成面积相等的两部分，难度适中．
考点二 几何中的割补思想和铅锤法
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（9，0），C（11，
5），D（2，9）．
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC ＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【思路引领】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．
1 1 1
【解答】解：（1）四边形ABCD的面积＝9×11− ×2×9− ×2×5− ×9×4＝67．
2 2 2
（2）①当点P在x轴上，设P（x，0），则PB＝|x﹣9|，
1
由题意 •|x﹣9|•5＝50，
2
解得x＝﹣11或29，
∴P （﹣11，0），P （29，0）．
1 2
②当点P在y轴上，延长CB交y轴于E点，过点C作CF⊥y轴于F，设E（0，y ），
E1 1 1
由题意 ×9×（﹣y ）+ ×（11+9）×5= ×11×（5﹣y ），
E E
2 2 2
45
解得y =− ，
E
2
45
设P（0，y），当P点在E点上方时，PE= y+ ，
2
∴S△PBC ＝S△PEC ﹣S△BPE ，
1 45 1 45
∴ ×（y+ ）×11− •（y+ ）×9＝50，
2 2 2 2
55
解得y= ，
2
45
当P点在E点下方时，PE=−y− ，
2
∴S△PBC ＝S△PEC ﹣S△PBE ，
1 45 1 45 145
∴ •（﹣y− ）×11− •（﹣y− ）＝50，解得y=− ，
2 2 2 2 2
55 145
P （0， ，），P （0，− ）．
3 4
2 2
55 145
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣11，0）或（29，0）或（0， ，）或（0，− ）．
2 2
【总结提升】此题考查了坐标与图形性质，四边形的面积，掌握两点之间的距离计算方法和组合面积的
求法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春•宜阳县期中）已知一次函数的图象经过点A（﹣1，1）和点B（1，﹣5）．
（1）试判断点P（2，﹣10）是否在这个一次函数的图象上？
（2）在x轴上找一点C，使△ABC的面积为6，求点C的坐标．
【思路引领】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再把x＝2代入函数解析式，求出y的值，
进行判断即可；（2）利用（1）中的函数解析式求出直线与x轴的交点，设C（c，0），利用三角形的面积公式解答即
可．
【解答】解：（1）点P（2，﹣10）不在这个一次函数的图象上，理由：
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点A（﹣1，1）和点B（1，﹣5），
{−k+b=1)
∴ ，
k+b=−5
{b=−2)
∴ ，
k=−3
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣2，
当x＝2时，y＝﹣6﹣2＝﹣8≠﹣10，
∴点P（2，﹣10）不在这个一次函数的图象上；
（2）如图，
由（1）知直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣2，
2
∴当y＝0时，x=− ，
3
2
∴D（− ，0），
3
2
设C（c，0），则CD＝|c+ |，
3
∵△ABC的面积为6，
1 1
∴S△ACD +S△BCD ＝6，即 CD×1+ CD×5＝6，
2 2
∴CD＝2，2
∴|c+ |＝2，
3
4 8
∴c= 或c=− ，
3 3
4 8
∴C（ ，0）或C（− ，0）．
3 3
【总结提升】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解题的关键．
2．（2023春•弋江区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，0）和B（1，3）．
（1）求k、b的值；
（2）若该一次函数的图象与直线y＝m（m为大于0的常数）的图象交于点C，点O为原点，当△ACO
面积为5时，求m的值．
【思路引领】（1）利用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）由题可知C的纵坐标为m，利用三角形的面积可得m的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，0）和B（1，3），
{0=−2k+b)
∴ ，
3=k+b
{k=1)
解得 ，
b=2
（2）由（1）知一次函数的解析式为y＝k+2，
∵y＝k+2的图象与直线y＝m（m为大于0的常数）的图象交于点C，
∴C的纵坐标为m，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
1 1
∵△ACO的面积= ×AO×m= ×2m=5，
2 2
∴m＝5．
【总结提升】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特征，
能够得出C的纵坐标为m是关键．
3．（2023春•播州区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），
B（﹣4，﹣1），C（﹣1，0）．
（1）将三角形ABC向右平移4个单位长度后得到三角形A'B'C'；请画出三角形A'B'C'，并分别写出A'，
B'，C'三点的坐标；（2）求三角形ABC的面积．
【思路引领】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，三角形A'B'C'即为所求．
由图可得，A'（2，3），B'（0，﹣1），C'（3，0）．
1 1 1 3 3
（2）三角形ABC的面积为 ×(1+3)×4− ×3×1− ×1×3=8− − =5．
2 2 2 2 2
【总结提升】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
考点三 一次函数与全等综合
【典例4】（2022秋•双流区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C三点的坐标分别为
（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2+❑√b+4+|c+5|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标．
【思路引领】（1）由非负数的性质得a+3＝0，b+4＝0，c+5＝0，即可得出结论；
17
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，求出OA＝3，OB＝4，CE＝3，OE＝5，再由面积法求出S△ABC = ，
2
然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①∠ABP＝90°，AB＝PB 时，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，证△BFP≌△AOB
（AAS），得BF＝AO＝3，PF＝BO＝4，当点P在第二象限时，OF＝1，点P的坐标为（﹣1，4）；当
点P在第三象限时，OF＝7，点P的坐标为（﹣7，﹣4）；
②∠BAP＝90°，AB＝PA时，过点P作PG⊥x轴于点G，同①得△PGA≌△AOB（AAS），则PG＝AO
＝3，AG＝BO＝4，当点P在第一象限时，OG＝1，点P的坐标为（3，1）；当点P在第三象限时，OG
＝7，点P的坐标为（﹣3，﹣7）．
【解答】解：（1）∵（a+3）2+❑√b+4+|c+5|＝0，
∴a+3＝0，b+4＝0，c+5＝0，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等，理由如下：
如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则CE∥x轴，
由（1）可知，a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5，
∴A（0，﹣3），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣5），
∴OA＝3，OB＝4，CE＝3，OE＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝5﹣3＝2，
1 1 1 17
∴S△ABC ＝S梯形OBCE ﹣S△ACE ﹣S△AOB = ×（3+4）×5− ×2×3− ×3×4= ，
2 2 2 2
∵△AOP的面积＝△ABC的面积，
1 17
∴ ×3×|m|= ，
2 2
17
解得：m＝± ，
3
∵P在第二象限，
17
∴点P的坐标为（− ，1）；
3
（3）分两种情况：
①∠ABP＝90°，AB＝PB时，
如图2，过点P作PF⊥x轴于点F，则∠PFB＝90°＝∠BOA，
∴∠BPF+∠PBF＝90°，
∵∠ABO+∠PBF＝90°，
∴∠BPF＝∠ABO，
又∵BP＝AB，
∴△BFP≌△AOB（AAS），
∴BF＝AO＝3，PF＝BO＝4，
当点P在第二象限时，OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1，
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
当点P在第三象限时，OF＝OB+BF＝4+3＝7，
∴点P的坐标为（﹣7，﹣4）；
②∠BAP＝90°，AB＝PA时，
如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°＝∠BOA，
同①得：△PGA≌△AOB（AAS），
∴PG＝AO＝3，AG＝BO＝4，
当点P在第一象限时，OG＝AG﹣OA＝4﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
当点P在第三象限时，OG＝AG+OA＝4+3＝7，
∴点P的坐标为（﹣3，﹣7）；
综上所述，此题中的“小K点”的坐标为（﹣1，4）或（﹣7，﹣4）或（3，1）或（﹣3，﹣7）．
【总结提升】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、
等腰直角三角形的性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三
角形是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式训练】
3
1．（2024•海州区校级自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+3交坐标轴于A、B两点，直
1
4
线l ：y＝kx+b交坐标轴于C、D两点，已知点C（2，0），D（0，6）．
2
（1）设l 与l 交于点E，试判断△ACE的形状，并说明理由；
1 2
（2）点P、Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．{ y= 3 x+3)
【思路引领】（1）由待定系数法求出l 的解析式为y＝﹣3x+6，联立方程组联立l ，l 得 4 ，
2 1 2
y=−3+6
4 18 3
得到点E的坐标为（ ， ），由y= x+3，求出点A的坐标（﹣4，0），分别求出AC2＝36，AE2＝
5 5 4
72
36，CE2= ，从而可判断出△ACE为等腰三角形；
5
（2）分①P，Q在CE上；②P在CE上，Q在AE上；③P在AE上，Q在AC上；④P在AC上，Q
与点E重合四种情况结合图形求解即可
{2k+b=0)
【解答】解：（1）把C（2，0），D（0，6）代入l ：y＝kx+b得 ，
2 b=6
{k=−3)
解得， ，
b=6
∴直线l 的解析式为y＝﹣3x+6；
2
{ y= 3 x+3)
联立l ，l 得 4 ，
1 2
y=−3+6
4
{x= )
解得 5 ，
18
y=
5
4 18
∴点E的坐标为（ ， ），
5 5
3 3
对于直线y= x+3，当y＝0时，0= x+3，
4 4
∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0）
又C（2，0），
∴AC＝2﹣（﹣4）＝6，
4 18 4 18 72
即AC2＝36，AE2＝（ +4）2+（ ）2＝36，CE2＝（2− ）2+（ ）2= ，
5 5 5 5 5
∴AC＝AE，
∴△ACE是等腰三角形；
（2）①当P，Q在CE上时，如图1，此时，△OPC≌△OPQ，
∴OQ＝OC＝2，
设Q（m，﹣3m+6），
又C（2，0），
∴m2+（﹣3m+6）2＝22，
8
解得m = ，m ＝2（舍去），
1 2
5
8 6
∴﹣3m+6＝﹣3× +6= ，
5 5
8 6
∴Q（ ， ）；
5 5
②当P在CE上，Q在AE上时，
如图2，此时，△OPC≌△POQ，
∴∠POC＝∠OPQ，PQ＝OC＝2，
∴PQ∥OC，
3 3
设Q（n， n+3），则P（n+2， n+3），
4 4
3
代入y＝﹣3x+6，得 n+3＝﹣3（n+2）+6，
4
4
解得n=− ，
5
3 3 4 12
则 n+3= ×（− ）+3= ，
4 4 5 5
4 12
∴Q（− ， ）；
5 5③P在AE上，Q在AC上时，
如图3，此时，△OPC≌△OPQ，
∴OQ＝OC＝2，
∴Q（﹣2，0）；
④当P在AC上，Q与点E重合时，
如图4，此时，△OPC≌△POQ，
则PQ＝OC＝2，
∠POC＝∠OPQ，
∴∠AOP＝∠APO，
AP+PQ＝AO+OC＝AC＝AE，
∴Q与点E重合，
4 18
∴Q（ ， ）；
5 5
8 6 4 12 4 18
综上，点Q在坐标为（ ， ），（− ， ），（﹣2，0），（ ， ）．
5 5 5 5 5 5
【总结提升】本题是一次函数的综合题，主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何
综合等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键．2．（2023秋•江门期末）如图所示，直线 AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满
足❑√a+b+（a﹣4）2＝0．
（1）a＝ 4 ，b＝ ﹣ 4 ；
（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴
于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM ﹣S△ADN 的值是否发生改变？如发生改变，
求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
【思路引领】（1）由非负数的性质即可求出a，b的值，
（2）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP＝OC＝1，得出结论；
（3）连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．
【解答】解：（1）∵❑√a+b+（a﹣4）2＝0，且❑√a+b≥0，（a﹣4）2≥0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4．
故答案为：4，﹣4；
（2）∵a＝4，b＝﹣4，则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP与△OBC中，
{∠POA=∠COB=90°
)
OA=OB ，
∠OAP=∠OBC
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1，
则P（0，﹣1）；
（3）S△BDM ﹣S△ADN 的值不发生改变．S△BDM ﹣S△ADN ＝4．
连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°
∴OD＝AD，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA，
在△ODM与△ADN中，
{
∠MDO=∠NDA
)
OD=DA ，
∠DOM=∠DAN=135°
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM ＝S△ADN ，
1 1 1 1 1
∴S△BDM ﹣S△ADN ＝S△BDM ﹣S△ODM ＝S△BOD = S△AOB = × AO•BO= × ×4×4＝4．
2 2 2 2 2
【总结提升】此题考查了一次函数的综合题，点的坐标特点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积
等知识点；属于一个综合性题目．
