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专题 04 一次函数的实际应用（五大题型）
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【题型5：一次函数与几何综合】
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
1．课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套
（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到
国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案
可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为
20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高
利润（可设每月生产了x套产品，获得了y元的月利润）．
2．随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推
出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况．
(1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为y ，y 元，请你直接写出两个草莓
欣 乐
园付款金额y ，y 于采摘草莓的重量x千克的函数表达式及自变量x的取值范围．
欣 乐
(2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐
草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？
如果不正确请通过计算说明．
3．观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐
高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学
生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（50<x<65），其余的须买一等座高铁
票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．
4．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这
两种食品每包的营养成分表如下：(1)若要从这两种食品中摄入3000kJ热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少
包？
(2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于60g，且热
量最低，应如何选取这两种食品？
5．长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如
果从长城化工厂运往A农场和B农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运
往A农场和B农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知A农场需要化肥1100吨，B农
场需要化肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往A农场x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之
间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
6．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，
建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提
供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型
载客量 租金单价
号
A 30人/辆 380元/辆
B 20人/辆 280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求
出最低费用．
7．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个
仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出80t和100t有
机化肥，A，B两个果园分别需要110t和70t有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千
米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米．
设甲仓库运往A果园xt有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．
(1)根据题意，填写下表．
运量/t 运费/元
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110−x 2×15x 2×25(110−x)
B果园
(2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围．
(3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
8．某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 50B 50 75
(1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获
利最多？此时利润为多少元？
9．我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”，某爱心企业计划用2400元购
买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的
数量比打折前多100个
(1)求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共
808个，B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A
品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否
够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添
加多少钱？
10．冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人
管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不
高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元
／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元
（假设这200斤饺子均可售出）．
(1)求w与m之间的函数关系式．
(2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？
11．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展》精神，需要购买A、B两种型
号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型
号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购1
买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，
3
应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
12．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一
次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶
少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小
洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，
请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多
少？
13．某中学决定在“文体周”为一个节目制作A、B两种道具，共80个，制作的道具需要
甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装A、B两
种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件） 乙种材料（件）
A道 3 4具
B道 5 2
具
经过计算，制作一个A道具的费用为5元，一个B道具的费用为4元．设组装A种道具
x个，所需总费用为y元．
(1)求y与x的函数表达式，并求出x的取值范围；
(2)问组装A种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
14．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的
二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关
注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖
店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价
220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中
A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
15．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求
不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已
知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配
件需支出成本12400元．
(1)求A、B两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进A、B两种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件4
件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价16%销售，B配件的售价是进价的 ．怎样
3
安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
16．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是
60km，请根据图像回答：
(1)乙骑摩托车的速度是多少？
(2)甲骑自行车的速度是多少？
(3)两人相遇的时候，距B地还有多远？
(4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？
17．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，
甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速
行驶，结果比甲提前到达．(1)求点C的坐标
(2)甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，则乙出发几小时后和
甲相遇？
18．小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油40L，行驶若干小时后，在加油站加油若
干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．
(1)汽车行驶h后加油，中途加油L；
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
(3)已知加油前、后汽车都以80km/h匀速行驶，如果加油站距目的地240km，那么要
到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
19．一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线O−A−B−C
和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系，
其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：(1)分别求小轿车和大客车的速度；
(2)小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；
若不能相遇，请说明理由；
(3)求出发后经过多少小时两车相距10km？
20．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000
米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速
度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的
距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象．
(1)求CD段的函数表达式；
(2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
21．小华发现弹簧的长度L(cm)是所悬挂物体的质量m(kg)的一次函数．当所悬挂物体的质
量为2kg时，弹簧的长度为16cm，且质量m每增加0.1kg，弹簧的长度L就增加0.2cm．
若弹簧所能拉伸的最大长度为40cm，则所悬挂物体的质量m的最大值为kg．
22．某饭店有A，B两种午餐套餐，套餐中肉类、蔬菜类、主食含量如下表（不完整）：
套 肉 蔬菜
主食/g
餐 类/g 类/g
A 50 x 150
B 80 180
调查发现：6份A套餐中蔬菜类的总含量和5份B套餐中蔬菜类的总含量相同，每份A
套餐中蔬菜类的含量比每份B套餐中蔬菜类的含量少50g．
(1)①将表格补充完整；（用含x的代数式表示）
②求x的值．
(2)小刚在该饭店预订了一周（7天）的午餐套餐．为了平衡饮食，小刚计划这周的午
餐中，蔬菜的总含量需不少于2kg．则小刚应怎样选择这两种套餐，才能使这周的午
餐中肉类的总含量最少？
23．随着人们生活和消费水平的不断提高，单肩包越来越受人们的喜爱．如图是一款单肩
包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单
层部分的长度，使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长
度忽略不计）加长或缩短．
【观察测量】
某项目学习小组对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是x(cm)，双层部
分的长度是y(cm)，得到如下数据：
．． ．．
单层部分的长度x(cm) 50 60 70 80 90
． ．
双层部分的长度y(cm) ．． 55 50 45 42 35 ．．． ．
【探究发现】
（1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，单层部分的长度x(cm)，双层部分的长度
y(cm)，描出以表格中所有数据为坐标的各点（只描出点即可）；
（2）经过观察思考，项目学习小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证
实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：单层部分的长度为__________cm时，双层
部分的长度约为__________cm；
（3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数
图象上，求该函数的表达式．
【结论应用】
（4）应用上述发现的规律推测：根据青青同学的身高和习惯，背带的总长度为110cm
时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为__________cm．
24．如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图，乙槽中放置一个圆柱形 玻璃块
（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙
两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图（2）所示(1)注水前乙槽中水深 cm，玻璃块的高度为 cm；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间．
【答案】(1)2，14
25．某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案：
方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元；
方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一
件商品提成20元．
设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y ,y （单
1 2
位：元）．
(1)分别写出y ,y 关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
1 2
(2)若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的
月工资？请说明理由．
(3)根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？
26．如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些
信息解答下列问题．(1)最下面的碗的高度是 cm，每增加一个碗增加的高度是 cm．
(2)求第三摞碗的总高度y(cm)与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断
这摞碗的高度能否是1m．
(3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于1.5m，求买这摞碗至少需
要多少钱．
27．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子
上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与
标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度DE为1.6m，小亮与标记点C的距离
CE为2m，标记点C与旗杆底部点B的距离BC为12m．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标．
(2)在（1）的条件下，求直线AC的表达式及旗杆的高度．
28．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下
信息：该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起
形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，
且每增加一辆购物车，长度增加0.2米．
信
息
1
信 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电
息 梯一次只能转运1列购物车列，且长度最多为5.8米，直立电梯一次性最多能转运2
2 列长度均为2.6米的购物车列．
问题解决
任 若n辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度为L米，则L=______；（用
务 含n的代数式表示）
1
任 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量；
务
2
任 若该超市需转运m辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要2次，
务 求这m辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值．
3
29．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生
活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x(x≥4)厘
米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
1 2 2 3
x（厘 4 24
2 0 8 6米）
y 0 1 2 2. 3 4
（斤 5
）
【问题解决】
(1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依
次连接起来．
(2)根据（1）中所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条
直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(3)当秤钩上所挂物重是3.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽水平距离是多少？
【题型5：一次函数与几何综合】
1
30．如图，一次函数y= x+1与x轴，y轴分别相交于点A和点B．
2
(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接
写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．31．已知直线l :y=x+6与直线l :y=−2x交于点F．
1 2
(1)求点F的坐标；
(2)如图，直线l 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段AO上运动，过点C作
1
x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l 于点E．
1 2
①当点C的坐标是(−3,0)，则△FDE的面积为 ；
②以OF为直角边作等腰直角三角形OFG，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标．
1
32．综合与探究：如图，一次函数y =− x+1的图象分别交x轴、y轴于A,E两点，一次
1 2
函数y =kx+b的图象分别交x轴、y轴于点B(−1,0)，D(0,−2)，交直线y 于点C．
2 1(1)求一次函数y 的表达式．
2
(2)若线段CD上有一点P，使得S =2S ，求点P的坐标．
△PED △PEC
(3)若F是直线y 上方且位于y轴上的一点，∠ACF=2∠CAO，判断△BCF的形状，
1
并说明理由．
33．在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为
(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求
2
点D的坐标．
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐
标．
34．如图，直线y=kx−3与x轴，y轴分别交于B，C两点，且OB=1．(1)求k的值；
3
(2)点D是直线上y=kx−3的一个动点，当△OBD的面积是 时，求点D的坐标；
2
(3)在（2）的条件下，且点D在第一象限，x轴上是否存在一点P，使△POD是等腰三
角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
