专题03一次函数与方程、不等式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题03一次函数与方程、不等式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两条直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直 线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 __ ____________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_ （ 0 ， ） _______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为axb＞0或axb＜0或axb≥0或axb ≤0（ a、b为常数， a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y axb 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 axbcxd （a≠c，且ac0）的解集 y axb 的函数值大于 y cxd 的函数值时的 自变量x取值范围直线 y axb 在直线 y cxd 的上方对应的点的横坐标范围．知识点三：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】如图为函数 （k、b为常数， ）的图象，则关于x的方程 的解为（） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】 1．一次函数 和 的图象相交于点 ，则关于 的方程 的解是（ ） A． B． C． D． 2．直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，则关于x的方程 的解为 ．3．已知 关于 的函数： 为常数 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ． (1)求 的取值范围； (2) 为坐标原点，设 的面积为 ，求直线 的函数解析式． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】在直角坐标系中，有 两点，在x轴上有一动点 ，当 周长最小时，n的 值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【变式训练】 1、如图，点A的坐标为 ，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线 上 运动，当线段 取得最小值时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．将函数 的图象以直线 为对称轴进行翻折，则所得函数图象的解析式为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数 的 图象交于点 ．(1)求m和b的值； (2)函数 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正 方向运动．设点E的运动时间为t秒．当 的面积为12时，求t的值． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】如图，直线 和直线 相交于点 ，根据图像可知，关于 的方程 的解 是（ ） A． 或 B． C． D． 【变式训练】 1．如图，函数 的图象经过点 ，与函数 的图象交于点 ，则关于 的方程 的解为（ ） A． B． C． D． 2．一次函数 的图像如图所示，则关于x的方程 的解为 ．3．某班“数学兴趣小组”对函数 的图像和性质进行了探究，过程如下，请补充完整． (1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下： 其中， ________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图 象的另一部分． (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ①________； ②________； (4)进一步探究函数图象发现： ①方程 的解是________； ②关于 的方程 有两个不相等实数根，则 的取值范围是________．【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】取一次函数 部分的自变量x值和对应函数y值如表： 202 x … －2023 0 … 3 y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（ ） ① ； ②当 时 ； ③ ； ④不等式 的解集是 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．在直角坐标平面内，一次函数 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A．当 时， B．方程 的解是 C．当 时， D．不等式 的解集是 2．一次函数 与 的图象如图，则下列结论：① ；②关于 的方程 的 解是 ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确的有 （填序号）．故答案为：①④． 3．已知一次函数 （k，b是常数，且 ）． (1)若 ，此函数的图象过下列哪个点 ； A． B． C． D． (2)若该函数的图象经过 ， 两点， 当 时，函数 值的范围是 ； 当 时，对于x的每一个值，函数 的值都大于函数 的值，则t的取值范围为 ； (3)若 ，点 在该一次函数图象上，求k的取值范围． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论x取何值， 始终有 ，则m的取值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，一次函数 ，当 时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数 的值，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于x的不等式 组 的解集为 ． 3．我们曾探究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一 次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式 的解集是函数 图象在x轴上方的 点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在x轴上方（或x轴下 方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是 ． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式 的解是______； 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组 的解集是______． ②若x轴上有一动点 ，是否存在点P，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，直线 与 交于点 ，则关于 的二元一次方程组 的解为（ ）A． B． C． D． 2．如图，函数 的图象经过点 ，与函数 的图象交于点A，则关于x、y 方程组 的解是 ． 3．一次函数 和 的图象如图所示，且 ． (1)根据图象可得，不等式 的解集是______； (2)若不等式 的解集是 ． ①求点 的坐标；②写出不等式组 的解集______． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】对于每个 ，函数 是 、 这两个函数中的最小值，则函数 的最大值是 ( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练】 1．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知函数 和 的图象交于点P，则二元一次方程组 ，解是 ； 当 时， 的取值范围是 ． 3．已知 ， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：(1)当 时，x______； (2)当 时，x_______； (3)当 时，x_______； (4)当 时，x________； 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，与直线 的交点C的纵坐标是 ， 则 的面积为（ ） A． B． C． D．【变式训练】 1．一次函数 ， ，点 是 ， 与 轴围成的三角形内一点（含边 界），令 ， 的最大值为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知一次函数 与 的图象都经过点 ，且与 轴分别交于点 ， ，若点 在一次函数 的图象上，则 的面积为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，经过点 的直线与 轴 交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)点 是线段 上一动点，若直线 把 的面积分成 ： 的两部分，请求点 的坐标； (3)直线 上有一个点 ，过 作 轴的垂线交直线 于点 ，当 时，求出点 的坐标． 【拓展培优】1．（2024·辽宁盘锦·一模）如图是一次函数 与 的图象，则下列结论：① ；② ；③ ：④方程 的解是 ，错误的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知一次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，函数 与 的图像相交于点 ，则关 于 的不等式组 的解集是( ) A． B． C． D． 4．（2023·贵州·模拟预测）已知，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到．当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，点 在直线 ： 上．将正方形 沿 轴正方向向右平移 （ ）个单位长度后，点 恰好落 在直线 上．则 的值为（ ） A．5 B． C． D．2 6．（2024·浙江杭州·一模）如图，函数 和 的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ． 7．（2024·重庆·一模）正比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于A点，其中点A的横 坐标为2，当 时， x的取值范围是 ． 8．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，直线 与 在第二象限交于点 ，交 轴于点 ，且 ，关于 ， 的方程组 的解为 则 ． 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ， 是 轴上的动点（不与点 重合），若将 沿直线 翻折，点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数 （m为实数），当 时， ， 则m的取值范围是 ． 11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知函数 ， （m为常数， ）． (1)若点 在 的图象上，求m的值． (2)如图，当 时，求自变量x的取值范围．12．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点A． (1)求该一次函数的表达式及点A的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 （ ）的值，直接写出m 的取值范围． 13．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为 的图象 经 过点 ，且与正比例函数 的图象 交于点 ，与 轴交于点C． (1)填空：①直线 的表达式为______ ②当 时， 的取值范围是______(2)在y轴上是否存在一点P，满足 ，若存在请求出点P坐标． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，直线 与坐 标轴交于C、D两点． (1)求交点E的坐标； (2)直接写出不等式 的解集； (3)求四边形 的面积． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线 ： 与 轴交于点 ，直线 分 别与 轴交于点 ，与 轴交于点 两条直线相交于点 ，连接 ． (1)求直线 的表达式；(2)求两直线交点 的坐标； (3)根据图象直接写出 时自变量 的取值范围．