文档内容
专题 06 一次函数常考几何模型专训（8 大题型+15 道拓展培优题）
题型一 一次函数中的面积计算
题型二 一次函数中的动点问题
题型三 一次函数中的最值问题
题型四 一次函数中的存在性问题
题型五 一次函数中的新定义问题
题型六 一次函数中的翻折模型
题型七 一次函数中的旋转模型（45度等）
题型八 一次函数中的平移模型
【经典例题一 一次函数中的面积计算】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点 ，
的图象与x轴相交于点 ，这两个函数的图象相交于点A．
(1)求k，b的值和点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出 时x的取值范围；
(3)求 的面积．
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中， ， ，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段 于点E．
(1)直接写出A、C的坐标；
(2)写出直线 的解析式；
(3)若 与 的面积相等，求点E的坐标．
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 在直
线 上， 轴，顶点 的坐标为 ．
(1)求正方形 的面积；
(2)直线 将正方形 分成两个部分，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值
为__________．
3．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，长方形 在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x
轴上， ， ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)对角线 的垂直平分线 交x轴于点M，试求M点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是直线 上的一个动点，当 的面积与长方形 的面积相等时，求点P的坐标．
【经典例题二 一次函数中的动点问题】
【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，过点 作 轴于点 ．点 是 轴上一动点，过
作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于点 ， ．
(1)设 的长为 ， 点的横坐标为 ，求 与 的函数表达式；
(2)若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求 的值．
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数 的图象与 ， 轴分别交于 ， 两点，点
与点 关于 轴对称．动点 ， 分别在线段 ， 上（点 与点 ， 不重合），且满足
．
(1)线段 长为 ；
(2)当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形 中，宽 ，点P沿着四边按
方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中， 的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)长方形的长 ________，宽 ________；
(2)直接写出 ________， ________， _______；
(3)当P点运动到 中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿 运动，当一个
点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒， 的面积为y，求当 时，y与
x之间的关系式．
3．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，且与正比例函数 的图像交于点 ．
(1)求一次函数 的表达式；
(2)点 是 轴上一动点，过点 作 轴的垂线（垂线位于点 的右侧），分别交两函数图像于点 ，连
接 ，若 的面积为15，求线段 的长度．
【经典例题三 一次函数中的最值问题】
【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系 中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于 轴对称的 ，写出 的坐标_________；
(2)计算： 的面积是________， 边上的高是________；
(3)若点 为 轴上一动点，使得 的值最小，直接写出点 的坐标________．
1、（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与直
线 交于点 ，B为直线 上一点．
(1)求a，m的值；
(2)当线段 最短时，求 的长和点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明
理由．
2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．直线 交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求直线 的解析式和 点坐标；
(2)设点 是 轴上一动点，是否存在点 使 的值最小？若存在，请求出 的最小值．
(3)如图2，点 坐标为 ，则 的面积是 ．
(4)以 为腰在第一象限作等腰直角三角形 ，写出点 的坐标．
3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相
交于点 ，直线 与 轴的交点为 ．
(1)点 的坐标为______；
(2)在 轴上找一点 ，连接 ，使 的值最小，求出此时点 的坐标．
【经典例题四 一次函数中的存在性问题】
【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 的图象与
轴、 轴分别交于 ， 两点．直线 的图象与 轴交于 ，直线 与直线 交于点．
(1)求点 的坐标及直线 的表达式；
(2)若点 在直线 上，且 的面积为 ，求点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 坐标，若不存在，说明理由．
1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数 的图象与y
轴交于点 ，与x轴交于点B，与正比例函数 的图象相交于点C，点C的横坐标为3．
(1)求一次函数 的表达式；
(2)如图2，过点C作直线 轴，M为射线 上一动点，若 为以 为腰的等腰三角形，直接
写出点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点 ，使 的面积等于 面积的一半？若存在，直接
写出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________；
(2)直线 上是否存在一点C（C与B不重合），使 的面积等于 的面积？若存在，求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)x轴上是否存在一点D，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明
理由．
3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 分
别在 轴和 轴上．已知 ， ，点 坐标为 ，点 从点 出发以每秒2个单位长度的速
度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动的时间为 秒．
(1)如图1，当点 恰好到达点 时， 的长为______．
(2)如图2，把长方形沿着直线 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求直线 的函数关系式．
(3)在点 的运动过程中，是否存在某个时刻使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，并
求出 值；若不存在，请说明理由．
【经典例题五 一次函数中的新定义问题】【例5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）定义：一次函数 和 (其中 、 为常数，
， )互为“友好函数”．比如 和 互为“友好函数”
(1)已知点 在 的“友好函数”上，则 ______．
(2) 上的点 也在它的“友好函数”上，求点 的坐标．
(3)若 和它的“友好函数”与 轴围成的三角形的面积是2，求 值．
1．（24-25八年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点 ， ，定义它们之间
的“直角距离”为 ．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定
义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么
称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作 ．
(1)已知 、 ，则 _______， _______；
(2)已知 、 ，若 ，则t的取值范围是_______；(3)已知 ，若坐标平面内的点P满足 ，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，
该图形的面积是_______．
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这
个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．
如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点为 、 、 、 ．
(1)判断直线 与正方形 是否相交，并说明理由；
(2)设d是点O到直线 的距离，若直线 与正方形 相交，求d的取值范围．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】
一次函数 与一次函数 称为一对和谐函数（其中 ， 为常数， ）．例如：
与 就是一对和谐函数．
【特殊化】
请以 与 这对和谐函数为例，完成以下两条结论：
（1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________
（2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________
【一般化】
（3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数 与 （其中 ， 为常数， ）图象“成
轴对称”的结论依然成立．
【经典例题六 一次函数中的翻折模型】
【例6】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，y轴上有一点 ．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，求出直线 的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点D为线段 上一点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，线段 交y轴于点F，当
为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将 的图象记作 ，
(1)图象 与 轴交点坐标为___________，与 轴交点坐标为___________；
(2)若点 、 均在图象 上，求 、 的值：
(3)将图象 上 （ 为常数）的部分沿 轴翻折，翻折后的图象记作 ，将 的部分记作 和
合起来记作图象 ．直接写出 对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(4)已知点 、 ，连结 ，在（3）的条件下，图象 与线段 有一个交点时，直接写出
的取值范围．
2．（24-25八年级上·全国·期中）如图， 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，
点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上， ．在 边上取一点E，将纸片沿 翻
折，使点O落在 边上的点D处．(1)直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）；
(2)求直线 的表达式；
(3)若直线 与 平行，当它过长方形 的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求 的面
积．
3．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，长方形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O
为原点，点A在x轴上，点C在y轴上， ， ．在 上取一点M，使得 沿 翻折后，
点B落在x轴上，记作 点．
(1) 点的坐标是______；
(2)求折痕 所在直线的解析式；
(3)在x轴上是否能找到一点P，使 的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明
理由．
【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】
【例7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】
如图1，等腰 中， ， ，直线 经过点C，过点A作 于点D，过点
B作 于点E，求证： ．【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合， 和 所在直线分别为x轴、
y轴，若 ， ，请解答下列问题：
①点C的坐标是________，点A的坐标是________；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：
________；
（2）如图3，已知直线 ： 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线 绕点B旋转 至直线 ，
求直线 的函数表达式．
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为
．(1)求直线 的表达式；
(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出满足条件的所有点M的坐标；
(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点C，射线 交y轴的负半轴于
点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，
y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
3．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l过
点C，过点A作 ，过点B作 ，垂足分别为D、E．求证： ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为 ，求点M的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与y轴交于点P，与x轴交于点Q，
将直线 绕P点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【经典例题八 一次函数中的平移模型】
【例8】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中，将函数 向上平移2个单位，与
的图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函数
的值，直接写出 的取值范围．1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴
于点A、B，点P为坐标平面内一点．
(1)将直线 向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
(2)直接写出与直线 关于x轴对称的直线的解析式；
(3)若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标；
2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 （ 为常数，且
）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知 ．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)若将直线 向左平移 个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式．
(3)若 为 轴上一点，将直线 沿 翻折，使得点 刚好落在坐标轴上，直接写出点 的坐标．
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 ： 与x轴交
于点A，直线 ： 与x轴交于点B，且与直线 交于点 ．
(1)求m和b的值；
(2)求 的面积；(3)若将直线 向下平移 个单位长度后，所得到的直线与直线 的交点在第一象限，直接写出t的取
值范围．
1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， 轴
上有一点 ， 分别为直线 和 轴上的两个动点，当 的周长最小时，点 的坐
标分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的
负半轴上的一点，连接 ，过点C作 ，与线段 交于点D，若 ，则点D的坐标为
（ ）
A． B． C． D．3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点
，若两直线所夹锐角为 ，则点 的坐标为 ．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，点
在第一象限，线段 上有一点 ，点P为x轴上一动点，连接 ， ，当 的值最
小时，此时 的最小值为 ．
5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在x轴上，
当 最大时，点M的坐标为 ．
6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，并与直线 相交于点 ，点 在线段 上，过点 作 轴的垂线与直线 交于点
，与 轴交于点 ，且 ，则 的面积为 ．
7．（24-25九年级上·山东·期末）已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴正半轴上的一点，连接 ．当 的面积等于4时，直线 的表达式为 ．
8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 与点
关于 轴对称，点 是直线 上的一个动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ．
(1)求直线 的函数解析式：
(2)是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若 的面积为 ，求点 的坐标．
9．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 的函数表达式为 ，直
线 的函数表达式为
(1)若直线 与直线 有交点 ，求 的面积；
(2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得 的面积与 的面积相等？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数 与x轴，y轴分别相交于点A和点B．(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若 的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得 是以 为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，
若不存在，请说明理由．
11．（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点
和点 ．点 在线段 上．如图，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求 的长；
(3)点 为 轴上一点．且满足 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出 点坐标．
12．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、
轴交于点 、 两点．
(1)求 和 的值；
(2)点 的坐标为 ，将线段 沿 轴向右平移 个单位 得到线段 ，若线段 的垂直平分
线经过点 ，求 的值；
(3)若点 为 轴负半轴上的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标．13．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们称直线l：
为点P的“关联直线”．例如，点 的“关联直线”l的解析式为 ．
(1)若点 ，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积；
(2)若点 在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接 ，过点P作 的垂线，交l于点B．
当 时，求点P的坐标．
14．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、
轴分别交于点 的长为10，点 在 轴的负半轴上，以 为对称轴作 的轴对称图形，
点 的对称点为点 ．
(1)求直线 的解析式；(2)若点 恰好落在 轴正半轴上，求点 的坐标以及直线 的解析式；
(3)当 时，直接写出点 的坐标．
15．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴
于 两点，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，交直线 于点 ．
(1)求一次函数 的表达式．
(2)若线段 上有一点 ，使得 ，求点 的坐标．
(3)若 是直线 上方且位于 轴上的一点， ，判断 的形状，并说明理由．
