专题03一次函数与方程、不等式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题03一次函数与方程、不等式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两条直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直 线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 __ ____________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_ （ 0 ， ） _______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为axb＞0或axb＜0或axb≥0或axb ≤0（ a、b为常数， a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y axb 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 axbcxd （a≠c，且ac0）的解集 y axb 的函数值大于 y cxd 的函数值时的 自变量x取值范围直线 y axb 在直线 y cxd 的上方对应的点的横坐标范围．知识点三：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】如图为函数 （k、b为常数， ）的图象，则关于x的方程 的解为（） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】观察图象找到当 时 的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点 ， 即当 时 ， 所以关于 的方程 的解为 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 【变式训练】 1．一次函数 和 的图象相交于点 ，则关于 的方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的交点坐标进行判断即可求解． 【详解】解：∵一次函数 和 的图象相交于点 ， ∴关于 的方程 的解为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程．理解方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点的横坐 标是解决问题的关键． 2．直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，则关于x的方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．先根 据一次函数的图象交x轴交于点可知，当 时函数图象在x轴上，代入即可得出结论． 【详解】解： 直线 与x轴交于点 ， 当 时函数图象在x轴上，即 ， ∴ 的解是 ． 故答案为： ． 3．已知 关于 的函数： 为常数 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ． (1)求 的取值范围； (2) 为坐标原点，设 的面积为 ，求直线 的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；（1）根据一次函数的图象与系数的关系求解； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：函数可化为： ， 函数交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， ； （2）∵函数交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， 当 时， ， 解得： ，则 当 时， ，则 ∴ ， 解得： ， ∴直线l的函数解析式为： ． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】在直角坐标系中，有 两点，在x轴上有一动点 ，当 周长最小时，n的 值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】C 【分析】此题考查轴对称--最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点．先 作出点A关于x轴的对称点 ，再连接 ，求出直线 的函数解析式，再把 代入即可得． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点 ，连接A'B交x轴于C，此时 的值最小，设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ， 解得 ， ∴直线 的函数解析式为 ， 当 时， ，解得 ， ∴ ， 故选：C． 【变式训练】 1、如图，点A的坐标为 ，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线 上 运动，当线段 取得最小值时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，再根据垂线段最短可知，当 时， 线段 最短，过点D作 轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得 ，再然后将 代入 直线 可得点D的纵坐标，由此即可得． 【详解】解：对于直线 ， 当 时， ，解得 ，即 ， ， 当 时，y＝﹣5，即 ， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， 由垂线段最短可知，如图，当 时，线段 最短， 则 是等腰直角三角形， 过点D作 轴于点E， ∴点E是 的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴点E的坐标为 ，即为 ， ∴点D的横坐标为 ， 将 代入直线 得， ， 则点D的坐标为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键． 2．将函数 的图象以直线 为对称轴进行翻折，则所得函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】先求出 与坐标轴的交点，再求出关于直线 的对称点，然后用待定系数法求解即 可． 【详解】当 时， ， ∴ 的图象与y轴的交点坐标为 ． 当 时， ， ， ∴ 的图象与x轴的交点坐标为 ． ∴ ， 关于直线 的对称点分别是 ， ， 设所得函数图象的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练 掌握待定系数法是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数 的 图象交于点 ．(1)求m和b的值； (2)函数 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正 方向运动．设点E的运动时间为t秒．当 的面积为12时，求t的值． 【答案】(1) ， (2) 或11 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形面积问题，分类讨论是解题 的关键． （1）将点 代入 ，得 ，然后将点 代入 ，即可求得b的值； （2）根据题意得出点 ，点 ，继而得出 ，根据三角形面积得出 ，分E在A 点的左侧与右侧建立方程即可求解． 【详解】（1）将点 代入 ，得 ， ∴点 ， 将点 代入 ， ∴ 解得： ， ∴ ， （2）∵函数 的图象与x轴交于点A， 令 ，得 ，∴点 ， ∵函数 的图象与x轴交于点D， ∴ 时， ， ∴点D的坐标为 ， ∴ ， ∵ 的面积为12， ， ∴ ， ∴ ， 根据题意 或 ， ∴ 或 ， 解得： 或11． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】如图，直线 和直线 相交于点 ，根据图像可知，关于 的方程 的解 是（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】∵直线 和直线 相交于点 ，∴ 的解是： ， 故选： ． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图 象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式训练】 1．如图，函数 的图象经过点 ，与函数 的图象交于点 ，则关于 的方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程 的 解． 【详解】解：当 时， ，解得 ，则 ， 当 时， ， 关于 的方程 的解为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键． 2．一次函数 的图像如图所示，则关于x的方程 的解为 ．【答案】 / 【分析】根据图像可知，一次函数 的图像过点 ，即当 时， ，由此得出关于 的方程 的解． 【详解】解：由图可知，一次函数 的图像经过点 ， 关于x的方程 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了利用一次函数图像解一元一次方程，利用数形结合是解题的关键． 3．某班“数学兴趣小组”对函数 的图像和性质进行了探究，过程如下，请补充完整． (1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下： 其中， ________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图 象的另一部分．(3)观察图象，写出该函数的两条性质： ①________； ②________； (4)进一步探究函数图象发现： ①方程 的解是________； ②关于 的方程 有两个不相等实数根，则 的取值范围是________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①函数值 ；②当 时， 随 的增大而增大； (4)① ；② 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题 意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出 时的函数值即可； （2）利用描点法画出函数图像即可； （3）结合图像写出两个性质即可； （4）分别求出方程的解即可解决问题； 【详解】（1）解： 时， ， ， 故答案为： ； （2）函数图像如图所示：（3）①函数值 ； ②当 时， 随 的增大而增大； 故答案为：函数值 ；当 时， 随 的增大而增大； （4）①方程 的解是 ； ②关于 的方程 有两个不相等实数根，则 的取值范围是 ， 故答案为： ， ． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】取一次函数 部分的自变量x值和对应函数y值如表： 202 x … －2023 0 … 3 y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（ ） ① ； ②当 时 ； ③ ； ④不等式 的解集是 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不 等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知， 时， ，即 ，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知， 时， ，且y随x的增大而增大，即当 时 ，故本选项说法正确，符合 题意； ③由表格可知， 时， ，即 ，则有 ，故本选项说法错误，不符 合题意； ④由表格可知， 时， ，且y随x的增大而增大，即不等不等式 的解集是 ， 故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．在直角坐标平面内，一次函数 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A．当 时， B．方程 的解是 C．当 时， D．不等式 的解集是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是 解题的关键． 【详解】解：一次函数 的图象与 轴， 轴的交点为 ， ， 当 时， ，故 错误，不符合题意；方程 的解是 ，故 正确，符合题意； 当 时， ，故 错误，不符合题意； 不等式 的解集是 ，故 错误，不符合题意； 故选： ． 2．一次函数 与 的图象如图，则下列结论：① ；②关于 的方程 的 解是 ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大 于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）方 部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利 用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解： 直线 经过第一、三象限， ， 直线 与 轴的交点在 轴下方， ， ，故①正确； 一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3， 关于 的方程 的解是 ，故②错误； 当 时， ，故③错误； 当 时，函数 ，一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3， 关于 的方程 的解是 ， ， ，故④正确； 故答案为：①④． 3．已知一次函数 （k，b是常数，且 ）． (1)若 ，此函数的图象过下列哪个点 ； A． B． C． D． (2)若该函数的图象经过 ， 两点， 当 时，函数 值的范围是 ； 当 时，对于x的每一个值，函数 的值都大于函数 的值，则t的取值范围为 ； (3)若 ，点 在该一次函数图象上，求k的取值范围． 【答案】(1)D (2) ； (3) 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能够明确题意，利用一次函数的性质是解题 的关键． （1）把 代入 得 ，即可判断此函数的图象过点 ； （2）先用待定系数法求出一次函数解析式， 由 ，y随x的增大而减小，即可求解； 根据 的结论，结合函数 的值都大于函数 的值，列出不等式，解不等式即可求解； （3）由点 在该一次函数 的图象上得到 ，即 ，根据 可知 ，即可求解． 【详解】（1）解：若 ，此函数的图象过点 ，故答案为：D； （2）解：将 ， 两点，代入 得 ， 解得 ， 所以一次函数为 ， ， ，y随x的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， 故答案为： ； 当 时 ， ， 函数 的值都大于函数 的值， ， 解得 ， 故答案为： ； （3）解： 点 在该一次函数 的图象上， ， ， ， ， ， ， ．【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论x取何值， 始终有 ，则m的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的综合应用，根据无论x取何值，始终有 ，得到两条直线平行，且 与 轴的交 点位置在 与 轴的交点位置的上方，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴当 时， ， ∵无论x取何值，始终有 ， ∴两条直线平行，且 与 轴的交点位置在 与 轴的交点位置的上方， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，一次函数 ，当 时，对于x的每一个值，正比例函数 的值都小于一次函数 的值，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，当 时，可得 ，当 时，则 时，对于任意的x， 不一定都成立，当 时，则 ，对于任 意的x， 都成立，符合题意；当 时，则 ，可得 ，进而得到 ，解之即可得到答案． 【详解】解：当 时，则 ， ∴ ， 当 时，则 时，对于任意的x， 不一定都成立， 当 ，即 时，则 ，对于任意的x， 都成立，符合题意； 当 时，则 ， ∵当 时，对于x的每一个值，正比例函数 的值都小于一次函数 的值， ∴当 时， 一定成立， ∴ ， ∴ ， 综上所述， ， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于x的不等式 组 的解集为 ．【答案】 【分析】根据 得 ，结合直线 与直线 交于点 ，利用数形结 合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据 得 ， ∵直线 与直线 交于点 ， ， ∴ ， 故答案为： ． 3．我们曾探究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一 次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式 的解集是函数 图象在x轴上方的 点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在x轴上方（或x轴下 方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是 ． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式 的解是______； 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．①结合图象，直接写出关于x的不等式组 的解集是______． ②若x轴上有一动点 ，是否存在点P，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ， ；（3）① ；②P点坐标为 或 或 或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨 论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出 ， ， ，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即 可． 【详解】解：（1）∵ 的图象经过点 ， ∴观察图象，不等式 的解集是 ， 故答案为： ； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为 ， ∵ 的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当 时， ， ∴不等式 的解是 ，故答案为： ， ； （3）①联立方程组 ， 解得 ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ； 由 的图象可知，当 时， ， 当 时， ， ∴关于x的不等式组 的解集为 ， 故答案为： ； ②存在点P，使得 为等腰三角形，理由如下： 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， 当 时，则 ， 解得 （舍）或 ， ∴P点坐标为 ；当 时，则 ， ∴ 或 ， ∴P点坐标为 或 ； 当 时，则 ， 解得 ， ∴P点坐标为 ； 综上所述：P点坐标为 或 或 或 ． 【经典例题六 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的 解． 【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，∴方程组 的解为 ． 即：方程组 的解为 ． 故选：A． 【变式训练】 1．如图，直线 与 交于点 ，则关于 的二元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组 的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线 与 交于点 ， ∴关于 的二元一次方程组 的解为 ， 故选：A．2．如图，函数 的图象经过点 ，与函数 的图象交于点A，则关于x、y 方程组 的解是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程组，先求出 点坐标，再观察图象，即可解答，从函数图象的角度看， 就是确定直线 与函数 的图象的交点，熟知上述概念是解题的关键． 【详解】 解：解：在 中，令 时，则 ， ， ， 由图可得：关于x、y方程组 的解是 ， 故答案为： ． 3．一次函数 和 的图象如图所示，且 ．(1)根据图象可得，不等式 的解集是______； (2)若不等式 的解集是 ． ①求点 的坐标； ②写出不等式组 的解集______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式 的解集； （2）①由题意可以求得 、 的值，然后将 代入 即可求得点 的坐标； ②根据点 的横坐标，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可得，不等式 的解集是 ， 故答案为 ； （2）① ， 在一次函数 上， ，得 ， 一次函数 ， 不等式 的解集是 ＞ ， 点 的横坐标是 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ；②∵点 的坐标为 ； 根据函数图象可得： 的解集为 ， 故答案为： ． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】对于每个 ，函数 是 、 这两个函数中的最小值，则函数 的最大值是 ( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数 、 的图像如下： 则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得： ， 解得： ， ∴当 时，函数 有最大值 ． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式训练】1．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（ 、4）代入 ，求出 的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】 一次函数 与 的交点为P（ 、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 2．如图，已知函数 和 的图象交于点P，则二元一次方程组 ，解是 ； 当 时， 的取值范围是 ．【答案】 【分析】由函数 和 的图象交于点P 得到二元一次方程组 的解为 ； 图象可得，当 时， ． 【详解】 函数 和 的图象交于点P 二元一次方程组 的解为 由图象可得，当 时， ． 故答案为： ； ． 【点睛】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与 二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键． 3．已知 ， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：(1)当 时，x______； (2)当 时，x_______； (3)当 时，x_______； (4)当 时，x________； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先画出两个函数图象，然后根据图象可得两函数交点坐标为 ，进而得到 的解； （2）根据函数图象可得 ， 的图象在 的上方； （3）根据函数图象可得 ， 的图象在 的上方； （4）根据函数图象可得 ， ． 【详解】（1）解∶如图，由图象知：当 时， ， 故答案为： ； （2）由图象知：当 时， ， 故答案为： ； （3）由图象知：当 时， ， 故答案为： ； （4）由图象知：当 时， ， 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，关键是正确画出两函数图象，能 从图象上得到正确信息． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，与直线 的交点C的纵坐标是 ， 则 的面积为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 求出 的值，从而得到点 的坐标，再根据点 的纵坐标得到点 到 轴的距离，然后利 用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令 ，则 ， 解得 ， 所以，点 的坐标为 ， ∵点 的纵坐标是 ， ∴点C到 轴的距离为 ， ∴ 的面积 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点 的坐标是解题的关键． 【变式训练】 1．一次函数 ， ，点 是 ， 与 轴围成的三角形内一点（含边 界），令 ， 的最大值为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点 在交点 处面积最大是解题的关键． 根据题意可求出 点的坐标，可得 ，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得 ，再根据 即可求解． 【详解】解：一次函数 ，令 ，则 ；令 ，则 ； 一次函数 与 轴的交点为 ， ∵点 是 ， 与 轴围成的三角形内一点（含边界）， ∴ ， 如图所示， ∴当点 在点 处， 的值最大，即点 在直线 的图象上， ∴ ， ∴ ， 解得， ， ∴交点坐标为： ， ∴点 在一次函数 的图象上， ∴ ， 解得， ，故选： ． 2．已知一次函数 与 的图象都经过点 ，且与 轴分别交于点 ， ，若点 在一次函数 的图象上，则 的面积为 ． 【答案】3 【分析】将两一次函数的解析式联立，求出 点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出 、 、 的坐标，然后根据 的面积 的面积 的面积求解． 【详解】解：由 ，解得 ，则 ． 一次函数 与 的图象与 轴分别交于点 ， ， ， ． 点 在一次函数 的图象上， ，解得 ， ． 的面积 的面积 的面积 ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表 达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，经过点 的直线与 轴 交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)点 是线段 上一动点，若直线 把 的面积分成 ： 的两部分，请求点 的坐标； (3)直线 上有一个点 ，过 作 轴的垂线交直线 于点 ，当 时，求出点 的坐标． 【答案】(1)直线 的解析式为 (2)点 的坐标为 或 (3) 或 【分析】本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点， 注意分类讨论． （1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）求出 的面积；设 ， ，分两种情况考虑： 当 ： ： 时； ②当 ： ： 时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标；（3）设 ，则 ，从而求得 ，由 即可求得n的值，从而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ； ∴ ， ， 点 ． 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ， 直线 的解析式为 ； （2）解： ， ， ． ， ， 设 ， ， 当 ： ： 时，即 ， ， ， ； ②当 ： ： 时，即 ， ， ，． 综上，点 的坐标为 或 ； （3）解：设 ，则 ， ， ， ， 或 ， 或 ． 【拓展培优】 1．（2024·辽宁盘锦·一模）如图是一次函数 与 的图象，则下列结论：① ；② ；③ ：④方程 的解是 ，错误的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键．根据一次函数的性质和 一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数 ＝ 经过第一、二、四象限， ∴ ， ，故①③正确；∵直线 ＝ 的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴ ，故②错误； ∵一次函数 与 的图象的交点横坐标为3， ∴方程 的解是 ，故④正确； 综上所述，错误的有1个． 故选：A． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知一次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的平移结合函数图象得出 经过 ，进而即可求解． 【详解】解：∵ 经过 ， ∴ 经过 ， ∴不等式 的解集是 ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，函数 与 的图像相交于点 ，则关 于 的不等式组 的解集是( )A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，先求得交点 的坐标，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】解：将 代入 ， ∴ ， 解得： ， ∴ 将 代入 ∴ 解得： ∴ 当 时， ，即 与 轴的交点为 ， 根据函数图象可得关于 的不等式组 的解集是 ， 故选：D． 4．（2023·贵州·模拟预测）已知，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单 位长度得到．当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律，得到一次函数表达式 ，求出交点 ，结合图象，即可求解，本题考查了，一次函数图象得平移，根据两条直线的交点求不等式解集，解题的关键是：熟练掌握数形结 合的方法． 【详解】解：∵函数 的图象向下平移1个单位长度得到： ， ∴一次函数 的表达式为： ， 将 代入， ，得： ， ∴函数 与函数 的交点为 ， 把 代入 ，得： ，解得： ， ∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值， ∴ ， 故选： ． 5．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，点 在直线 ： 上．将正方形 沿 轴正方向向右平移 （ ）个单位长度后，点 恰好落 在直线 上．则 的值为（ ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，根据“ ”定理证得 ， ，根据全等三角形的性质求出 点的坐标为 ，由待定系数法求出直线 的解析式为 ，设平移后点 的坐标为 ，代入解析式即可求出 ． 【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ，如下图，∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可证 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在直线 ： 上， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 设正方形 沿 轴向右平移 个单位长度后点 的坐标为 ， ∵点 在直线 上，∴ ， 解得 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识， 正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．（2024·浙江杭州·一模）如图，函数 和 的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 直接利用函数图象上点的坐标特征得出 的值，再利用函数图象得出答案． 【详解】解： 函数 和 的图象相交于点 ， ， 解得： ， 故 点坐标为： ， 时， ， 则关于 的不等式 的解集为： ． 故答案为： ．7．（2024·重庆·一模）正比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于A点，其中点A的横 坐标为2，当 时， x的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，求一次函数解析式，求函数值，先求出A点坐标，再利用 待定系数法求出一次函数解析式，根据 ，得到不等式 ，进行求解即可． 【详解】解： 正比例函数 的图象经过点A，且A的横坐标为2， 时， ， ， ，解得： ， 一次函数 ， 当 时， ， 解得： ， 故答案为： ． 8．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，直线 与 在第二象限交于点 ， 交 轴于点 ，且 ，关于 ， 的方程组 的解为 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质等知识点，掌握方程组的解 就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解答本题的关键．过点 作 于点 ，利用等腰三角形的性质得到 ，根据题意得到 ，即可解题． 【详解】解：过点 作 于点 ， ， ， 由题知， ， ， ． 故答案为： ． 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ， 是 轴上的动点（不与点 重合），若将 沿直线 翻折，点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，解题关键是分两种情况讨论， 避免遗漏．首先确定点 坐标，利用勾股定理解得 ，然后分点 在 轴负半轴上和 点 在 轴正半轴上两种情况讨论，结合折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：对于直线 ， 令 ，则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ，∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 分两种情况讨论： ①点 在 轴负半轴上时，如下图， 由折叠可知， ， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，可有 ， 即 ，解得 ， ∴ ， ∴ ； ②点 在 轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知， ， ， ∴ ， 设 ，则 ，在 中，可有 ， 即 ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 综上所述，点 的坐标为为 或 ． 故答案为： 或 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数 （m为实数），当 时， ， 则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义及图象与性质，一元一次不等式的解法，根据 ， ，得出 ，即可求出m的取值范围． 【详解】解：当 时， ， 解得： ， 时， ， ， ， 故答案为： ． 11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知函数 ， （m为常数， ）．(1)若点 在 的图象上，求m的值． (2)如图，当 时，求自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与不等式： （1）将点 代入解析式进行求解即可； （2）图象法求自变量x的取值范围即可． 【详解】（1）解：把 代入 ，得到 ， ∴ ； （2）联立 ，解得 ， ∴两条直线的交点的横坐标为 ， ∵ ， ∴当 时： ，解得： ， 由图可知：当 时， ． 12．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点A． (1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 （ ）的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问 题的关键．也考查了一次函数的性质． （1）先利用待定系数法求出函数解析式为 ，然后计算自变量为0时对应的函数值得到 点坐 标； （2）当函数 与 轴的交点在点 （含 点）上方时，当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值． 【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过点 ， ， ， 解得 ， 该一次函数的表达式为 ， 令 ，得 ， ， ； （2）解：当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值， ， ．13．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为 的图象 经 过点 ，且与正比例函数 的图象 交于点 ，与 轴交于点C． (1)填空：①直线 的表达式为______ ②当 时， 的取值范围是______ (2)在y轴上是否存在一点P，满足 ，若存在请求出点P坐标． 【答案】(1)① ；②(2) 或 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，熟练 掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）①先将点 代入正比例函数解析式，求出 的值，再将点A和点 坐标代入一次函数解析式求解即可； ②根据一次函数的交点坐标即可得到结论； （2）先求出 的面积，根据 求出 ，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：①将点 代入正比例函数 ， 得 ， 解得 ， 点 坐标为 ， 将点 ，点 代入一次函数 ， 得 ， 解得 ， 一次函数解析式为 ， 故答案为： ； ② 一次函数 的图象 与正比例函数 的图象 交于点 ， 当 时， 的取值范围是 ； 故答案为： ； （2）解： 一次函数解析式为 ， 当 时， ，点 的坐标为 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ , 解得： ， ∴点P的坐标为 或 ． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，直线 与坐 标轴交于C、D两点． (1)求交点E的坐标； (2)直接写出不等式 的解集； (3)求四边形 的面积． 【答案】(1)点E的坐标是 (2) (3)4 【分析】 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不 等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线 的解析式，利用二元一次方程组求出点E的坐标；（2）根据函数图象写出不等式 的解集； （3）根据坐标轴上点的特征求出 两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1） 解：由题意得 ， 解得 ， 故直线 的解析式是 ， 则 ， 解得 ， 故点E的坐标是 ； （2）解：由图象可知， 时， 的图象在 的图象的上方， 故不等式 的解集是 ； （3）解：当 时，则 ，解得 ， 当 时，则 ，解得 ， 则点C的坐标是 ，点D的坐标是 ， ∴ 15．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线 ： 与 轴交于点 ，直线 分 别与 轴交于点 ，与 轴交于点 两条直线相交于点 ，连接 ．(1)求直线 的表达式； (2)求两直线交点 的坐标； (3)根据图象直接写出 时自变量 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变量取 值范围， （1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可； （2）先求出 的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可； （3）观察图象直线 在直线 上方的部分，即可得出自变量的取值范围. 【详解】（1）设 的表达式为 ， 将 、 代入 得， ， 解得 ， 所以 的表达式为 ；（2）将 代入 得， ， 所以直线 的表达式为 . 由方程组得 ， 解得 ， 故D点坐标为 ； （3）由图象可知，在 点左侧时， ，即 时， ．