第19章 一次函数能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
x 2
1．在函数①y=2x−1；②y= ；③y=−x；④y= 中一次函数有（ ）
2 x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一
次例函数的定义：形如y=kx+b（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答．
【详解】解：①y=2x−1是一次函数；
x
②y= 是一次函数；
2
③y=−x是一次函数；
2
④y= 不是一次函数；
x
其中属于一次函数的有3个，
故选：C．
2．已知一次函数y=−3x+4，则下列说法中正确的是（ ）
A．y的值随x的值的增大而增大
B．该函数的图象不经过第四象限
C．该函数的图象经过点(1,1)
D．将一次函数y=−3x的图象向左平移4个单位长度得到函数y=−3x+4的图象
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的
性质是解答的关键．根据一次函数的图象与性质以及函数图象的平移规则逐项判断即可．
【详解】解：A、一次函数k=−3<0，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B、函数y=−3x+4，k=−3<0，b=4>0，函数图象经过第一、二、四象限，原说法
错误，不符合题意；
C、当x=1时，y=1，故该函数的图象经过点(1,1)，原说法正确，符合题意；
D、将一次函数y=−3x的图象向左平移4个单位长度得到函数y=−3(x+4)，即
y=−3x−12的图象，原说法错误，不符合题意；故选：C．
3．已知正比例函数y=kx（k为常数，k≠0），若y的值随着x值的增大而减小，则一次函
数y=kx+k在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数y=kx+b，当
k>0、b>0时，图象过一、二、三象限；当k>0、b<0时，图象过一、三、四象限；
k<0、b>0时，图象过一、二、四象限；k<0、b<0时，图象过二、三、四象限是解
决此题的关键，由于正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而减小，可得k<0，然
后，判断一次函数y=kx+k的图象经过象限即可．
【详解】解：正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）中的y的值随着x值的增大而减小，
∴k<0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；
故选：C．
4．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（ ）
A．当x>0时，y<2 B．当x=2时，y=0
C．当x>1时，y随x的增大而减小 D．当x<a时，y<0
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识
点，利用数形结合思想是解题的关键．
根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C．
【详解】解：A、当x>0时，y>2，故A错误，不符合题意；B、当x=2时，y>0，故B错误，不符合题意；
C、当x>1时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意；
D、当x<a时，y<0，正确，符合题意，
故选：D．
5．若点A(3,y )和点B(−2,y )都在直线y=−3x+a上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y >y B．y <y C．y = y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的增减性，根据k=−3<0，可得 y 随 x 的增大而减
小，从而可得答案．
【详解】解：直线方程为 y=−3x+a，
∴k=−3<0，
∴ y 随 x 的增大而减小．
∵3>−2，
∴y <y ，
1 2
故选：B
6．一次函数y=−x+2的图像与y轴的交点坐标为（ ）
A．(2，0) B．(0，2) C．(−2，0) D．(0，−2)
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与y轴的交点坐标，掌握一次函数与y轴交点的横坐
标为零是解题的关键．
把x=0代入一次函数y=−x+2求得y的值即可解答．
【详解】解：把x=0代入一次函数y=−x+2可得：y=2．
所以一次函数y=−x+2的图像与y轴的交点坐标为(0，2)．
故选B．
7．在一个装有进水管与出水管的容器中，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的
10min内既进水又出水，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关
系如图所示，当x=10时，水量y的值是（ ）A．40L B．38L C．36L D．35L
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质并能灵活运用是关
键，依据题意，先求出5≤x≤15时的函数关系式，然后将x=10代入计算可以得解．
【详解】解：设当5≤x≤15时的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵图象过(5,30)、(15,50)，
{5k+b=30
)
∴ ，
15k+b=50
{k=2
)
∴ ，
b=20
∴y=2x+20，
令x=10，
∴y=2×10+20=40，
故选：A．
8．如图1，在菱形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，动点P从点A出发，在菱形的边
上沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，△PAE的面积y随着运动时
间x的函数图象如图2所示，则△ADE的面积为（ ）
A．4 B．2❑√3 C．6 D．3❑√3
【答案】D
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为a，
过点A作AF⊥CD交CD于点F，根据图象可得，当点P运动到点B时，面积最大，为18❑√3
9❑√3，求出AF= ，根据当点P运动到点C时，停止运动，此时面积为6❑√3，求
a
2 1
出CE= a，再根据S = ×DE×AF，即可．
3 △ADE 2
【详解】解：设菱形ABCD的边长为：a，过点A作AF⊥CD交CD于点F，
由图可得，当点P运动到点B时，面积最大，为9❑√3，
1 1
∴S = AB×AF= a×AF=9❑√3，
△APE 2 2
18❑√3
解得：AF= ；
a
当点P运动到点C时，停止运动，此时面积为6❑√3，
1 1 1 18❑√3
∴S = CE×AF= ×CE×AF=6❑√3 ×CE× =6❑√3，
△APE 2 2 2 a
2
∴CE= a，
3
2 1
∴DE=DC−CE=a− a= a，
3 3
1 1 1 18❑√3
∴S = ×DE×AF= × a× =3❑√3．
△ADE 2 2 3 a
故选：D．
9．如图，一次函数y =ax+b（a，b为常数）与正比例函数y =kx（k为常数）的图象交
1 2
于点P(−4,−2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集是（ ）
A．x≥−2 B．x≤−2 C．x≥−4 D．x≤−4
【答案】D【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取
值范围是解答此题的关键．
直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当x≤−4时，函数y =ax+b的图象不在直线y =kx的
1 2
下方，
所以关于x的不等式ax+b≥kx的解集是x≤−4．
故选：D．
❑√3
10．如图所示，已知直线y=− x+1与x、y轴交于B、C两点，A(0,0)，在△ABC内
3
依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别
是第1个△A A B ，第2个△B A B ，第3个△B A B ，…则第2024个等边三角
1 1 1 2 2 2 3 3
形的边长等于（ ）
3 ❑√3 3 ❑√3
A． B． C． D．
22024 22024 22025 22025
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角
的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形
的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的
❑√3
关键，根据计算归纳总结出规律，第n个等边三角形的边长为 是解决问题的难点．
2n
先求出OB=❑√3，OC=1，BC=2，则∠OBC=30°，∠OCA=60°，根据等边三角
形性质得∠COA =90°−∠A OB =30°，则∠OA C=90°，在Rt△OA C中，
1 1 1 1 1
❑√3 ❑√3
由勾股定理得A B =OA = ，则第1个等边三角形的边长为 ，再分别计算出
1 1 1 2 2
∠A A B =30°，∠A B A =60°，则∠A A B =90°，在Rt△A B A 中，得
2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 21 ❑√3，则第2个等边三角形的边长为❑√3，同理第3个等边三
A B =A B = A B =
2 2 2 1 2 1 1 22 22
❑√3 ❑√3
角形的边长为 ，……，依次类推，第n个等边三角形的边长为 ，由此可得第
23 2n
2024个等边三角形的边长．
❑√3
【详解】解：对于y=− x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=❑√3，
3
∴点B(❑√3,0)，点C(0,1)，
∴OB=❑√3，OC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=❑√OB2+OC2=2，
∴∠OBC=30°，则∠OCA=60°，
∵ △OA B 是等边三角形，
1 1
∴∠A OB =∠OA B =∠A B O=60°，OA =OB =A B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠COA =90°−∠A OB =90°−60°=30°，
1 1 1
∴∠OA C=90°，
1
在Rt△OA C中，∠COA =30°，OC=1，
1 1
1 1
∴A1C= OC= ，
2 2
由勾股定理得：A B =OA =❑√OC2−A C2=❑
√
12−
(1) 2
=
❑√3
，
1 1 1 1 2 2
❑√3
即第1个等边三角形的边长为： ，
2
∴∠A A B =180°−(∠OA C+∠OA B )=180°−(90°+60°)=30°，
2 1 1 1 1 1
∵ △A B B 是等边三角形，
2 1 2
∴∠A B B =∠B A B =∠A B B =60°，A B =B B =A B ，
2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2
∴∠A B A =180°−(∠A B O+∠A B B )=180°−(60°+60°)=60°，
2 1 2 1 1 2 2 1
在△A B A 中，
1 1 2
∠A A B =180°−(∠A B A +∠A A B )=180°−(60°+30°)=90°，
1 2 1 2 1 2 2 1 1
❑√3
在Rt△A B A 中，∠A A B =30°，A B = ，
1 1 2 2 1 1 1 1 21 1 ❑√3 ❑√3
∴A B =A B = A B = × = ，
2 2 2 1 2 1 1 2 2 22
❑√3
即第2个等边三角形的边长为： ，
22
❑√3
同理：第3个等边三角形的边长为： ，
22
❑√3
……，依次类推，第n个等边三角形的边长为： ，
2n
❑√3
∴第2024个等边三角形的边长等于 ．
22024
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
5
11．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
2x−4
【答案】x≠2
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可，掌握相关
知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得，2x−4≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2．
12．如图，直线y=kx(k≠0)与y=ax+b(a≠0)在第二象限交于点A，y=ax+b交x轴于点
B．若AB=AO,BO=8，S =12，则方程组 { y=kx ) 的解为 ．
△ABO y=ax+b
【答案】¿
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点
A作AH⊥OB于点H，根据等腰三角形的性质得到OH=4，再根据三角形面积公式
计算出AH=3，从而得到点A的坐标为(−4,3)，然后根据方程组的解就是两个相应
的一次函数图像的交点坐标即可解答．【详解】解：过点A作AH⊥OB于点H，
∵AB=OA，
1
∴OH= AB=4，
2
1
∵S = AB×AH=4AH=12，
△ABO 2
∴AH=3，
又∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为(−4,3)，
{ y=kx )
∴方程组 的解为¿，
y=ax+b
故答案为：¿．
13．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段
OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省
的金额为 元．
【答案】8
【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关
系式，比较y值大小即可．
【详解】解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
当0≤x≤2时，将(0,0)、(2,20)代入y=kx+b中得：
{ b=0 )
，
2k+b=20{k=10)
解得： ，
b=0
∴y=10x(0≤x≤2)；
当x≥2时，将(2,20)、(4,36)代入y=kx+b中得：
{2k+b=20)
，
4k+b=36
{k=8)
解得： ，
b=4
∴y=8x+4(x≥2)；
当x=1时，y=10x=10，
当x=6时，y=52，
10×6−52=8（元）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图
象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和射
线AB的函数关系式是解题的关键．
14．某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时
间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所
收费用y（元)与上宽带网时间x（时)的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，
则这两种方式所收的费用最多相差 元．
【答案】50
【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当
0≤x≤25时，费用相差50−30=20(元)；第二段时当25<x≤50时，费用相差小于20
元；第三段当x>50时，根据函数图象列出两种收费方式的收费与时间之间的函数关
系式，根据关系式求出所收费用的差距．
【详解】解：由函数图象可知，当0≤x≤25时，费用相差50−30=20(元)，当25<x≤50时，费用相差小于20元，
当x>50时，两种收费方式的函数关系式分别是y =2.8(x−25)+30，
1
y =2.8(x−50)+50，
2
|y −y )=|2.8(x−25)+30−2.8(x−50)−50)=|2.8x−70+30−2.8x+140−50)=50
1 2
(元)，
∴这两种方式所收的费用最多相差50元．
故答案为： 50．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线
3
y= x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为 ．
4
【答案】(−2,6)
【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B(8,6)，由勾股定理求得BO=10，
再由菱形的性质得到BC=BO=10,BC∥x轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，
3
∵顶点B在直线y= x上，点B的横坐标是8，
4
3
∴y =8× =6，即BD=6，
B 4
∴B(8,6)，
∵BD⊥x轴，
∴由勾股定理得：BO=❑√BD2+DO2=10，∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=BO=10,BC∥x轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点C(−2,6)，
故答案为：(−2,6)．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练
掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
16．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停
止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动
到BC中点时，则PO的长为 ．
【答案】❑√5
【分析】根据题意可得点P从A→B时，AP=x逐渐增大，当x=0时，OP=OA=4，
当OP⊥AB时，y值最小，当点P继续运动到点B时，y值逐渐增大，即当点P运动到
点B时，OP=OB=2，由勾股定理得到AB=BC=2❑√5，再根据直线三角形斜边中线
等于斜边的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OA,OB是Rt△AOB的直角边，AB是斜边，
∴点P从A→B时，AP=x逐渐增大，
根据图2可得，当x=0时，OP=OA=4，
当OP⊥AB时，在Rt△BOP中，OP是直角边，OB是斜边，
∴OP<OB，即OP= y，逐渐减小，当OP⊥AB时，y值最小，当点P继续运动到点
B时，y值逐渐增大，即当点P运动到点B时，OP=OB=2，
同理，点P从B→C时，OP= y逐渐减小，到OP⊥BC时有最小值，之后逐渐增大，
当点P运动到点C时，OP=OC=4，此时停止运用，∴AB=❑√OA2+OB2=❑√42+22=2❑√5=BC，
1 1
∴点P运动到BC中点时，PO的长为 BC= ×2❑√5=❑√5，
2 2
故答案为：❑√5 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键．
三、解答题（本题共6小题，第17-20题每题8份，第21-22题每题10份，共52分，解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费
者追捧 某文具店果断订购了印有影片图案的A、B两种书签．经统计：订购15张A种
书签与25张B种书签，成本共计275元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需
花费340元．
(1)求A、B两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文具店计划购进A、B两种书签共60张，由于B种书签更契合消费者喜好，A种
书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，已知A、B两种书签的销售单价分别为
10元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？
最大利润是多少？
【答案】(1)A种书签每张进价5元，B种书签每张进价8元；
(2)购买15张A种书签、45张B种书签时，所获利润最大，最大利润为255元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的
关键是列出利润与购买A种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定
购买方案．
(1)设A种书签每张进价x元，B种书签每张进价y元，根据两种不同的购买方案所需要
的费用列方程组求解即可；
(2)设文具店共购进z张A种书签，则购进B种书签(60−z)张，可以得到所获利润ω与
购买A种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可．
【详解】（1）解：设A种书签每张进价x元，B种书签每张进价y元，
{15x+25 y=275)
根据题意可得： ，
20x+30 y=340
{x=5)
解方程组得： ，
y=8
答：A种书签每张进价5元，B种书签每张进价8元；（2）解：设文具店共购进z张A种书签，则购进B种书签(60−z)张，
1
根据题意可得：z≤ (60−z)，
3
解得：z≤15，
文具店在这批书签全部售出后获得利润为:
ω=(10−5)×z+(12−8)×(60−z)
=5z+240−4z
=z+240，
∴销售利润随着z的增大而增大，
∴当z=15时，销售利润最大，
最大利润为ω=z+240=255(元)，
∴60−z=60−15=45(张)，
∴当购买15张A种书签、45张B种书签时，所获利润最大，最大利润为255元．
18．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛
跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)填空：折线OABC表示赛跑过程中______的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑
过程中______的路程与时间的关系．赛跑的全程是______米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
(4)兔子醒来，以48千米／时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你
算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】(1)兔子、乌龟、1500
(2)兔子在起初每分钟跑700米，乌龟每分钟爬50米
(3)乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子
(4)兔子中间停下睡觉用了28.5分钟
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，能准确从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）观察图象，即可求解；
（2）观察图象可得兔子在起初每分钟跑700米．再用速度等于路程除以时间，即可求
解；
（3）根据时间等于路程除以速度即可求解；
（4）根据时间等于路程除以速度可得兔子醒来后，到达终点的所用时间，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关
系， 线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系．赛跑的全程是1500米；
故答案为：兔子、乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．
1500÷30=50（米）
乌龟每分钟爬50米．
（3）700÷50=14（分钟）
乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．
（4）∵48千米=48000米
∴48000÷60=800（米/分）
(1500−700)÷800=1（分钟）
30+0.5−1×2=28.5（分钟）
兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(2,0),(0,4)．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−2x+4
(2)P(−1,6)或P(5,−6)
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；
1
（2）根据S = OA⋅|y )，求出点P的坐标即可．
△AOP 2 P
【详解】（1）解：∵点A,B的坐标分别为(2,0),(0,4)，
∴设直线AB的解析式为：y=kx+4，
把(2,0)，代入，得：2k+4=0，解得：k=−2，
∴y=−2x+4；
（2）∵A(2,0)，
∴OA=2，
1
∴S = OA⋅|y )=6，
△AOP 2 P
∴|y )=6，
P
∴y =±6，
P
当y=6时，−2x+4=6，解得：x=−1；
当y=−6时，−2x+4=−6，解得：x=5；
∴P(−1,6)或P(5,−6)．
20．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B
地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原
速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均
匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之
间的函数图象（甲车的函数图象不完整）．
(1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)甲车的速度为______________千米/小时；当x=______________时，甲车刚好到达
C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象EF；
(3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离；(4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值．
【答案】(1)y=30x+80
(2)80，6
(3)224千米
10 14
(4)x= 或
11 5
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行
驶过程是解题的关键．
（1）由题意可知图中DG段图象是乙车从B地到C地的行驶过程，由图象可知
D(0,80)，G(8,320)，再利用待定系数法即可求解；
（2）结合题意，根据速度=路程÷时间即可求解；
（3）由题意可知，甲车从A地出发时，乙车已经出发了2小时，若距离出发x小时，
两车第一次相遇，列出方程即可求解；
（4）分四种种情况：当甲还没到A时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之前时，
两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达C地时，两车之间相距
100千米；当甲车到达C地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米；分别列出方程
求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知图中DG段图象是乙车从B地到C地的行驶过程，
由图象可知D(0,80)，G(8,320)，
{ b=80 ) {k=30)
可设y=kx+b，代入D(0,80)，G(8,320)，得 ，解得 ，
8k+b=320 b=80
∴乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式为：y=30x+80；
（2）由图象可知，甲车的速度为80÷1=80千米/小时，
甲车从A地出发达到C地所需时间为320÷80=4，
∴x=4+1+1=6，
则补全函数图象如图所示，故答案为：80，6；
（3）由题意可知，甲车从A地出发时，乙车已经出发了2小时，
若距离出发x小时，两车第一次相遇，
可得：30x+80=80(x−2)，解得：x=4.8，
此时，相遇点与A地的距离为80×(4.8−2)=224千米；
10
（4）当甲还没到A时，两车之间相距100千米，可得80x+30x=100，解得：x= ；
11
当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得：30x+80−80(x−2)=100，
14
解得：x= ；
5
当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达C地时，两车之间相距100千米，可得：
34
80(x−2)−(30x+80)=100，解得：x= >6（不符合题意，舍去）；
5
当甲车到达C地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得：
30x+80=320−100，解得：x=4<6（不符合题意，舍去）；
10 14
综上，当两车之间相距100千米时，x= 或 ．
11 5
21．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的
关系课题时，对函数y=|x+1|的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过
程，请补充完整：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 …
y … m 1 0 1 2 3 n 5 6 …(1)上表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：表格中m的值为 ，n的值为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象．
(3)请观察函数的图象，直接写出如下结论：
①当自变量x= 时，函数的最小值为 ；
②方程|x+1|>2的解集为 ；
1
③函数y=|x+1|与y=− x+m的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是(1,2)和
5
1
(a,3)．当|x+1|<− x+m时，直接写出不等式的解集．
5
【答案】(1)2，4；
(2)见解析；
(3)① −1，0；
② x>1或x<−3；
③ −4<x<1．
【分析】(1)根据表格中的数据可知y与 x的函数关系式应为y=|x+1)，分别把x=−3
和x=3代入函数的解析式求出m、n的值即可；
(2)根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象；
(3) ①由(2)中的函数图象可知：当x=0时，函数有最小值，最小值为y=1；
②因为不等式|x+1|>2，所以可得不等式：x+1>2或x+1<−2，解不等式求出解
集即可；
1
③把点(1,2)和(a,3)代入一次函数y=− x+m中，利用待定系数法求出m、a的值，
5
1 11
即可得到一次函数的解析式为y=− x+ ，画出函数图象，根据图象写出不等式的
5 5
解集即可．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知y与 x的函数关系式应为y=|x+1)，
当x=−3时，y=|x+1)=|−3+1)=2，
即m=2，
当x=3时，y=|x+1)=|3+1)=4，
即n=4，
故答案为：2，4；
（2）解：画图如下，（3）解：①由图象可知：当x=−1时，函数有最小值，最小值为
y=|x+1)=|−1+1)=0；
故答案为：−1，0；
② ∵不等式|x+1|>2，
∴可得：x+1>2或x+1<−2，
当x+1>2时，解得：x>1，
当x+1<−2，解得：x<−3，
∴不等式|x+1|>2的解集为：x>1或x<−3，
故答案为：x>1或x<−3；
1
③当一次函数y=− x+m的图象经过点是(1,2)和(a,3)时，
5
1
{ − ×1+m=2)
5
可得： ，
1
− a+m=3
5
{ m= 11 )
解得： 5 ，
a=−4
1 11
∴一次函数的解析式为y=− x+ ，
5 5
画函数图象如下，
1
从图象上可以看出：当|x+1|<− x+m时，−4<x<1．
5【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上
点的坐标的求法、函数图象的画法，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的
画法是解决本题关键．
22．定义：一次函数y=kx+b（k≠0且b≠0）和一次函数y=−bx−k为“逆反函数”，
如y=3x+2和y=−2x−3为“逆反函数”．如图1，一次函数l ：y=x−2的图象分
1
别交x轴、y轴于点A、B．
(1)请写出一次函数l 的“逆反函数”l 的解析式______；点C(a,0)在l 的函数图象上，
1 2 2
则a的值是______．
(2)一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，
1 2
①求出D点坐标；
②求出△ACD的面积．
(3)如图2，过点D作y轴的垂线段DE，垂足为E，M为y轴上的一点，且
∠MDE=∠CDA，请直接写出直线DM的解析式．
1
【答案】(1)y=2x−1； ；
29
(2)①D(−1,−3)；② ；
4
1 8 1 10
(3)y= x− ，y=− x− ．
3 3 3 3
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，
分类求解是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，即可求解；
（2）①一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，即可求
1 2
解；
1 1 3 9
②由△ACD的面积= ×AC×|y )= × ×3= ，即可求解；
2 D 2 2 4
(1 5)
（3）当点M在点E的上方时，证明△DHN≌△NGK(AAS)，得到N ,− ，即可
2 2
求解；当M(M′)在点E下方时，则直线M′D和MD关于DE对称，则M D′的表达式
1 10
为y=− (x+1)−3=−3x− ，即可求解．
3 3
【详解】（1）由新定义知，l 的解析式 y=2x−1，
2
1
把点C的坐标代入上式得：2a−1=0，则a= ，
2
1
故答案为：y=2x−1， ；
2
（2）①∵一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，
1 2
则点D是两个函数的交点，即2x−1=x−2，则x=−1，即点D(−1,−3)；
(1 ) 3
②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为： ,0 、(2,0)，则AC=
2 2
1 1 3 9
则△ACD的面积= ×AC×|y )= × ×3= ；
2 D 2 2 4
（3）设直线CD交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作KN⊥DM交AM的延长线于点N，过点N作y轴的平行线GH，
过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点DE的延长线于点H，由直线AB的表达式知，∠BDE=45°，即∠BDM+∠DAE=45°，
∵∠MDE=∠CDA，
则∠BDM+∠KDB=45°，则△KDN为等腰直角三角形，设点N(x,y)，
∵∠KNG+∠DNH=90°，∠DNH+∠NDH=90°，
∴∠KNG=∠NDH，
∵∠DHN=∠NGK=90°，NK=ND，
∴△DHN≌△NGK(AAS)，
∴KG=NH，DH=GN，即x+1=−y−1且x= y+3，
1 5
解得：x= ，y=− ，
2 2
(1 5)
即点N ,− ，
2 2
1 1 8
由点D、N的坐标得，直线DM的表达式为：y=− (x+1)−3= x− ，
3 3 3
当M(M′)在E下方时，
1 10
则直线M′D和MD关于DE对称，则MD′的表达式为：y=− (x+1)−3=−3x−
3 3
1 8 10
综上所述，y= x− 或y=−3x− ．
3 3 3
