文档内容
专题 06 一次函数常考几何模型专训（8 大题型+15 道拓展培优题）
题型一 一次函数中的面积计算
题型二 一次函数中的动点问题
题型三 一次函数中的最值问题
题型四 一次函数中的存在性问题
题型五 一次函数中的新定义问题
题型六 一次函数中的翻折模型
题型七 一次函数中的旋转模型（45度等）
题型八 一次函数中的平移模型
【经典例题一 一次函数中的面积计算】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点 ，
的图象与x轴相交于点 ，这两个函数的图象相交于点A．
(1)求k，b的值和点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出 时x的取值范围；
(3)求 的面积．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标
特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据三角形面积公式即可得出答案
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与x轴相交于点 ， 的图象与x轴相交于
点 ，
， ，
， ，
两函数解析式联立，得 ，
解得： ，
；
（2）观察图象， 时x的取值范围是 ．
（3） ， ， ，
，点 到 轴的距离为 ，
．
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中， ， ，A、C分别在x
轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段 于点E．(1)直接写出A、C的坐标；
(2)写出直线 的解析式；
(3)若 与 的面积相等，求点E的坐标．
【答案】(1) 、
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形
结合是解此题的关键．
（1）根据 ， 求解即可；
（2）用待定系数法即可求出直线 的解析式；
（3）推出 和 的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：设直线 的解析式为 ．
∴
解得
∴直线 的解析式为 ；（3）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵点E在线段 上，
∴点E在第一象限，且 ，
∴
∴
把 代入直线 的解析式得：
∴
∴ ．
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 在直
线 上， 轴，顶点 的坐标为 ．
(1)求正方形 的面积；
(2)直线 将正方形 分成两个部分，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值
为__________．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是一次函数的图象和性质、正方形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，
求得点 和点 的坐标是解题的关键．
（1）将 代入 ，可求得 ，从而可求得 ，于是可求得正方形 的面积；
（2）由正方形的边长为 可求得点 的坐标为 ，从而可求得直线 的解析式，可求得点 坐标，
从而可求得被分割的两部分的面积，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵顶点 的坐标为 ， 轴，
∴点 横坐标为 ，
∵顶点 在直线 上，
∴当 时， ，即 ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．故答案为： ．
3．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，长方形 在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x
轴上， ， ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)对角线 的垂直平分线 交x轴于点M，试求M点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是直线 上的一个动点，当 的面积与长方形 的面积相等时，
求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，线段垂直平分线的性质等等，利用两
点距离计算公式建立方程求解是解题的关键．
（1）求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到 ，设出点M坐标，利用两点距离计算公式建立方程求解即
可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到 ，点N为 的中点，则可求出点N的坐标，进而求出
的长，再计算出长方形面积得到 的面积，根据三角形面积计算公式求出 的长，设出点P坐
标，利用两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：设点M的坐标为 ，
∵对角线 的垂直平分线 交x轴于点M，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：∵对角线 的垂直平分线 交x轴于点M，
∴ ，点N为 的中点，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ．
∴ ，
∵ 的面积与长方形 的面积相等，
∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 或 ．
【经典例题二 一次函数中的动点问题】
【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，过点 作 轴于点 ．点 是 轴上一动点，过
作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于点 ， ．
(1)设 的长为 ， 点的横坐标为 ，求 与 的函数表达式；
(2)若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求 的值．
【答案】(1)当 时， ；当 时，
(2)当 的值为 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解（2）题时，要注意到 ．
（1）用 分别表示出 、 的坐标，则可表示出 与 之间的关系式；
（2）由条件可知 ，利用平行四边形的性质可知 ，由（1）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：∵ 点的横坐标为 ，过 作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于 ， ，
把 代入 中可得 ，即 ，
把 代入 中可得 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
（2）由题意可知 ，
若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
则 ，
，解得 或 ，
即当 的值为 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数 的图象与 ， 轴分别交于 ， 两点，点
与点 关于 轴对称．动点 ， 分别在线段 ， 上（点 与点 ， 不重合），且满足
．
(1)线段 长为 ；
(2)当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)当 为等腰三角形时，点 的坐标是 或【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键
是运用分类讨论的思想，分情况求解．
首先根据一次函数的解析式可以求出点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，根据点 与点 关于
轴对称，可以求出点 的坐标是 ，利用勾股定理求出 的长度即可；
当 为等腰三角形时，共有三种情况： 当 时； 当 时； 当 时．
分情况讨论求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：当 时，
可得： ，
点 的坐标是 ，
当 时，
可得： ，
解得： ，
点 的坐标是 ，
点 与点 关于 轴对称，
点 的坐标是 ，
，
故答案为： ；
（2）解：当 为等腰三角形时，分为三种情况，
当 时，如下图所示，
在 中， ， ，
，
由 可知 和 关于 轴对称，
，在 和 中 ，
，
，
，
点 的坐标为 ；
当 时，
根据三角形的外角性质得： ，
此种情况不存在；
当 时，如下图所示，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
点 的坐标是 ．
综上，当 为等腰三角形时，点 的坐标是 或 ．2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形 中，宽 ，点P沿着四边按
方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢
复原速匀速运动，在运动过程中， 的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)长方形的长 ________，宽 ________；
(2)直接写出 ________， ________， _______；
(3)当P点运动到 中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿 运动，当一个
点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒， 的面积为y，求当 时，y与
x之间的关系式．
【答案】(1)6；4
(2)1；4；9
(3)
【分析】（1）根据题意，得 ，结合 ，计算得到 ，即可得出答案．
（2）根据题意，得 ，结合 ，计算得到 ，结合 得到 ，继而得到
运动时间为 （秒），结合图像可确定a值，m的值；根据 ，判定点P运动在 上，且速度为
每秒2个单位，设运动了t秒，从而得到 ， 计算可得到b．
（3）分三种情况：当 时，点P在 上，当 时，点P在 上，当 时，点P在
上，分别画出图形，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意，当点P在 上时，三角形的面积保持不变，且为 ，
∵ ，
∴ ，
根据长方形的性质可知： ；
（2）解：根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴运动时间为 （秒），
∴ （秒），
∴ （单位每秒）；
根据图像，得 ，点P运动在 上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故 ．
（3）解：当 时，点P在 上， ，
；
当 时，点P在 上， ，
；当 时，点P在 上， ，
∴ ；
综上分析可知： ．
【点睛】本题考查了运动问题，矩形的性质，图像信息综合题，正确读懂图像并获得信息是解题的关键．
3．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，且与正比例函数 的图像交于点 ．
(1)求一次函数 的表达式；
(2)点 是 轴上一动点，过点 作 轴的垂线（垂线位于点 的右侧），分别交两函数图像于点 ，连
接 ，若 的面积为15，求线段 的长度．
【答案】(1)(2)5
【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关
键．
（1）点 代入 ，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入 ，即可求解；
（2）设点P的坐标为 ，则 ，可得点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，从而
得到 ，然后根据 的面积为15，列出关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，解得： ，
∴点 ，
把点 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
∴一次函数 的表达式为 ；
（2）解：设点P的坐标为 ，则 ，
∵ 轴于点P，
∴点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的面积为15， ，∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ．
【经典例题三 一次函数中的最值问题】
【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系 中， 三个顶点的坐标分别
为 ， ， ．
(1)画出 关于 轴对称的 ，写出 的坐标_________；
(2)计算： 的面积是________， 边上的高是________；
(3)若点 为 轴上一动点，使得 的值最小，直接写出点 的坐标________．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积，再利用勾股定理求出 的长，再结合三角形的面积公式可得答案；
（3）连接 ，交 轴于点 ，连接 ，此时 的值最小，利用待定系数法求出直线 的解析
式，再令 ，求出 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
的坐标为 ．
故答案为： ．
（2） 的面积为 ，
由勾股定理得： ，
设 边上的高为 ，
则 ，
解得： ．
故答案为： ， ；
（3）连接 ，交 轴于点 ，连接 ，此时满足 的值最小，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
1、（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与直
线 交于点 ，B为直线 上一点．(1)求a，m的值；
(2)当线段 最短时，求 的长和点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3)存在， ．
【分析】（1）点 在直线 上求得m，结合两直线得交点求得点 ，代入即可求得a的值；
（2）过点A作直线 的垂线，垂足为C，求得点 ，结合直线 的解析式求得点 ，则
，根据直线 与坐标轴交点判定 为等腰直角三角形，过点C作y轴的垂线，交y轴于点
E，则 ，那么，线段 最短时，点B位于点C，其值为 ，且
；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，则 最小，
求得直线 的解析式为 ，令 解得 即可．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴ ，∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，解得 ；
（2）解：如图，过点A作直线 的垂线，垂足为C，
∵直线 与y轴交于点D，
∴点 ，即 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴点 ，即 ，
则 ，
∵直线 与坐标轴交于点 和 ，
∴ ，
则 为等腰直角三角形，
过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则 ，
那么，线段 最短时，点B位于点C，其值为 ，
此时， ，
即当线段 最短时，求 的长和点B ；
（3）解：存在，理由如下：
如图，作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，则 ，
∵直线 过点 ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵点
∴ ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
则 的值最小时，点 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角
三角形的判定和性质和轴对称的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和几何图形的结合．
2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，
交 轴于点 ．直线 交 于点 ，交 轴于点 ．(1)求直线 的解析式和 点坐标；
(2)设点 是 轴上一动点，是否存在点 使 的值最小？若存在，请求出 的最小值．
(3)如图2，点 坐标为 ，则 的面积是 ．
(4)以 为腰在第一象限作等腰直角三角形 ，写出点 的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为 ，点 坐标
(2)存在，
(3)
(4)满足条件的点C的坐标为 或
【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴
对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数
形结合思想作出图象是解题的关键．
（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把 代入函数式子即可得到点 的坐标；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，列式运算即可；
（3）利用三角形面积公式列式运算即可；
（）分类讨论 点的位置，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把 、 代入 得到 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 在直线 上，横坐标为 ，
把 代入 可得： ，
∴点 坐标 ；（2）存在．如图1中，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，
∵ ， ， ，
∴ 的最小值 ；
（3）如图2中，
∵点 坐标为 ， ，
∴ ，
．
故答案为18；
（4）如图3中，①当 是等腰直角三角形时，作 轴于 ，
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
②当 是等腰直角三角形时，同理可得等 ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相
交于点 ，直线 与 轴的交点为 ．(1)点 的坐标为______；
(2)在 轴上找一点 ，连接 ，使 的值最小，求出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在
求出直线 的解析式．
（1）设直线 的解析式为 ，把点A、C坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式，进而可求
出点 的坐标；
（2）作点 关于 轴的对称点P，连接 ，交 轴于点D，连接 ，此时 最小，根据点 关于
轴的对称点P，得出点P的坐标，然后根据待定系数法求出直线 的解析式，然后令 ，得出
，解出方程，即可得出点D的坐标．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，把点 ，点 代入，得
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解：存在，理由如下：
如图，作点 关于 轴的对称点P，连接 ，交 轴于点D，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 的值最小，
∵ ，
∴点 关于 轴的对称点P的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点D的坐标 ．
【经典例题四 一次函数中的存在性问题】
【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 的图象与轴、 轴分别交于 ， 两点．直线 的图象与 轴交于 ，直线 与直线 交于点
．
(1)求点 的坐标及直线 的表达式；
(2)若点 在直线 上，且 的面积为 ，求点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)存在，
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，面积的计算，数形结合
和分类求解是解题的关键．
（1）当 时， ，得到点 ，再由待定系数法即可求解；
（2）分为当点 在点 左侧时和当点 在 轴右侧时，列方程求解即可；
（3）设点 的坐标为 ，根据题意可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
解得： ，即点 ，∵直线 经过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ．
（2）解：设直线 和 轴交于点 ，
设点 ，
在函数 中，令 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，则 ，
当点 在 轴左侧时，则 的面积 ，
解得： ，即点 ；当点 在 轴右侧时，则 的面积 ，
解得： ，即点 ．
综上，即点 的坐标为： 或 ．
（3）解：存在，
设点 的坐标为 ，
由题意可得 ，
解得： ，
故点 的坐标为 ．
1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数 的图象与y
轴交于点 ，与x轴交于点B，与正比例函数 的图象相交于点C，点C的横坐标为3．(1)求一次函数 的表达式；
(2)如图2，过点C作直线 轴，M为射线 上一动点，若 为以 为腰的等腰三角形，直接
写出点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点 ，使 的面积等于 面积的一半？若存在，直接
写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为 或
(3)存在， 或
【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）设点M的坐标 ，求出点B的坐标为 ，从而得出 ，再根据等腰三角形的定义分
两种情况： 或 ，分别求解即可；
（3）根据三角形面积公式可得 ，过P作 轴交 于Q，则
，再由 ，结合 的面积等于 面积的一半，
列方程即可解答．
【详解】（1）解：∵点C的横坐标为3，
∴把 代入 中，得 ，
∴点C的坐标为 ，
把 ， 代入 ，得 ，解得 ，
∴一次函数表达式为 ；
（2）解：设点M的坐标 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ 为以 为腰的等腰三角形，
∴ 或 ，
当 时，
∴ 或 （舍去），
当 ，
过B作 于H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
综上所述，点M的坐标为 或 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
过P作 轴交 于Q，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ．
2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________；
(2)直线 上是否存在一点C（C与B不重合），使 的面积等于 的面积？若存在，求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)x轴上是否存在一点D，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明
理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，
(3)存在， 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数性质，掌握用取特殊值的方法求定点坐标，设C点坐标根据面积相等求出未
知数是解题关键．
（1）令 ， ，列出一元一次方程，解出即可；
（2）先求出 ，设点C的坐标为 ，再根据 的面积等于
的面积，列方程求解即可；
（3）设点 ，则 ， ， ，在根据 ， ，
分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，
∴A点的坐标为 ，B点的坐标为 ．
故答案为： ， ；
（2）解：存在，理由：∵A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵直线 上一点C，
∴设点C的坐标为 ，
∵ 的面积等于 的面积，
∴ ，
解得 ， （与点B重合，舍去），
∴点C的坐标为 ；
（3）解：存在，理由：
设点 ，
∵A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，
∴ ， ， ，
当 时，即 ，则 ，解得： ，此时点 或
；
当 时，即 ，则 ，解得： ，此时点 ；
当 时，即 ，则 ，解得： ， 时与 重合，此时点 ；
综上， 或 或 或 ．
3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 分
别在 轴和 轴上．已知 ， ，点 坐标为 ，点 从点 出发以每秒2个单位长度的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动的时间为 秒．
(1)如图1，当点 恰好到达点 时， 的长为______．
(2)如图2，把长方形沿着直线 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求直线 的函数关系式．
(3)在点 的运动过程中，是否存在某个时刻使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，并
求出 值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）分别求得 ， 的长度，然后利用勾股定理 解答即可；
（2）根据翻折的性质，可知 ，由勾股定理可以求出 的长，从而求出 的长，在根据勾股定
理求出 的长，进而待定系数法求解析式，即可求解．
（3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论： ； ； ，结合等腰直角三角形的
性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图1，
， ，；
故答案为： ；
（2）解：由折叠的性质可知， ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，代入 得
，解得：
∴直线 的函数关系式为 ；
（3）解：存在，
，
，
①当 时，
，
在 上，
由勾股定理可得： ，
，
②当 时， 在 的垂直平分线上，
在 上，
，③当 时， 在 上，
由①可知， ，
，
的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，合
理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键．
【经典例题五 一次函数中的新定义问题】
【例5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）定义：一次函数 和 (其中 、 为常数，
， )互为“友好函数”．比如 和 互为“友好函数”
(1)已知点 在 的“友好函数”上，则 ______．
(2) 上的点 也在它的“友好函数”上，求点 的坐标．
(3)若 和它的“友好函数”与 轴围成的三角形的面积是2，求 值．
【答案】(1)2
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题；
（1）根据“友好函数”的定义，可找出 的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，
可求出 的值；
（2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点 的坐标；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两函数图象与 轴的交点坐标及两函数的交点坐标，结合
三角形的面积公式，即可求出 的值．【详解】（1）解： 的“友好函数”是 ，
点 在一次函数 的图象上，
，
解得： ．
故答案为： ．
（2）解： 的“友好函数”是 ，
联立
解得：
∴
（3） 的“友好函数”是 ．
当 时， ，
一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ；
当 时， ，
一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ．
联立
解得：
和它的“友好函数”的交点坐标为 ，
和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是 ，
解得： 或 ，
的值为 或 ．1．（24-25八年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点 ， ，定义它们之间
的“直角距离”为 ．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定
义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么
称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作 ．
(1)已知 、 ，则 _______， _______；
(2)已知 、 ，若 ，则t的取值范围是_______；
(3)已知 ，若坐标平面内的点P满足 ，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______．
【答案】(1)3，1
(2) 或 ；
(3)作图见解析，2
【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出 的值；利用待定系数法求出 的表达式，
根据题意表示出 ，最后根据一次函数的增减性即可求解；
（2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和 的“直角距离”，然后根据 ，可判
断出 ，进而可求出t的取值范围；
（3）首先设出点P的坐标为 ，根据题意代入表示出 ，可得出关于x和y的方程，分情况讨
论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可．
【详解】（1）解： 、 ，
，
设 的表达式为 ，
将 、 ，代入得
，
解得： ，
，
设线段 上一点的坐标为 ，且 ，
，
，
，，
即 ，
，
∴ 随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， 有最小值，
最小值 ，
∴ ．
故答案为：3，1；
（2）∵设经过点 和点 的表达式为 ，
代入得： ，
解得： ，
∴ ．
∴点O和 “直角距离”， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
故答案为： 或 ；
（3）设点P的坐标为 ，
∵ ，
∴代入得 ，得∶，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
∴如图所示，正方形 即所有满足条件的点P所构成的图形，
， ，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，
解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解．
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这
个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．
如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点为 、 、 、 ．(1)判断直线 与正方形 是否相交，并说明理由；
(2)设d是点O到直线 的距离，若直线 与正方形 相交，求d的取值范围．
【答案】(1)相交，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确确定直线与正方形相交的位置是解决本题的关键．
（1）直线 的解析式是 ，直线 的解析式是 ，求出这两条直线与直线 的交点，判
断交点是否在正方形的边上，就可以判断；
（2）当直线 经过点 和 时，直线与正方形只有一个公共点，可以求出 的值，当直线在
的下方，在经过 点的直线的上方时，直线与正方形相交，据此求解即可．
【详解】（1）解：相交，理由如下：
直线 与线段 交于点 ，同时直线 与线段 交于点 ，
直线 与正方形 相交；
（2）解：当直线 经过点 时， ，此时 ；
当直线 经过点 时，
∴ ，
．
即 ，设直线 与 、 轴的交点分别为 、 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，解得 ，则 ，
，
如图，过 作 ，垂足为 ，则 ，
∵ ，
，
∵当直线在 的下方，在经过 点的直线的上方时，直线与正方形相交，
若直线 与正方形 相交，求d的取值范围为 ．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】
一次函数 与一次函数 称为一对和谐函数（其中 ， 为常数， ）．例如：
与 就是一对和谐函数．
【特殊化】
请以 与 这对和谐函数为例，完成以下两条结论：
（1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________
（2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________【一般化】
（3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数 与 （其中 ， 为常数， ）图象“成
轴对称”的结论依然成立．
【答案】（1） ；（2）x轴；（3）见解析
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到直线与直线，
直线与坐标轴的交点的 坐标是解题的关键．
（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（2）由直线与坐标轴的交点即可判断对称轴是x轴；
（3）求得直线与坐标轴的交点即证明结论．
【详解】（1）解：由 ，
解得： ，
∴这对和谐函数图象的交点坐标是 ；
（2）解：将 代入 ，则 ，
∴直线 与y轴交点为 ，
将 代入 ，则 ，
∴直线 与y轴交点为 ，
∵点 与点 关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是 在x轴上，
∴可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴；
（3）证明：由 ，解得： ，
∴谐函数 与 （其中 ， 为常数， ）图象交于x轴上一点，
将 代入 ，则 ，
∴直线 与y轴交点为 ，
将 代入 ，则 ，
∴直线 与y轴交点为 ，
∵点 与点 关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是 在x轴上，
∴一对和谐函数 与 （其中 ， 为常数， ）图象“成轴对称”．
【经典例题六 一次函数中的翻折模型】
【例6】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交
于点B，y轴上有一点 ．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，求出直线 的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点D为线段 上一点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，线段 交y轴于点F，当
为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】(1) ， ，
(2)20
(3) 或
【分析】（1）分别 ， ，求出对应的x、y的值，即可求出A、B坐标，设直线 的函数表达式
为 ，然后把A、C的坐标代入求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由翻折得出 ，则需分 ， 两种情况讨论，然后根据等腰直角三
角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵翻折，
∴ ， ，
∴分两种情况讨论：
①当 时，如图，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，
此时， 轴，
而 轴，
∴点E在x轴上，
在 中，根据勾股定理得 ，
∵翻折，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
综上，D的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定和性质、轴
对称的性质、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积、一次函数图象的交点问题，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将 的图象记作 ，
(1)图象 与 轴交点坐标为___________，与 轴交点坐标为___________；
(2)若点 、 均在图象 上，求 、 的值：
(3)将图象 上 （ 为常数）的部分沿 轴翻折，翻折后的图象记作 ，将 的部分记作 和
合起来记作图象 ．直接写出 对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(4)已知点 、 ，连结 ，在（3）的条件下，图象 与线段 有一个交点时，直接写出
的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ， ；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
（1）分别令 和 ，求得 和 ，据此求解即可；（2）分别将点 、 代入 ，求解即可；
（3）分情况讨论，求解即可；
（4）先求得线段 与 的交点 的坐标，与 的交点 的坐标，再根据四个特殊点
、 、 和 ，画出图形，根据图象即可求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，令 ，则 ，
∴图象 与 轴交点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：将点 代入 ，得
；
将点 代入 ，得
，
解得 ；
（3）解：当 时，图象 对应的函数表达式为 ，
当 时，图象 对应的函数表达式为 ，
综上，图象 对应的函数表达式为 ；
（4）解：设线段 与 交于点 ，与 交于点 ，
令 ，则 ，解得 ，
则 ；
令 ，则 ，解得 ，则 ；
①若图象 过点 ；图象 与线段 有一个交点 ，此时 ；
②若图象 过点 ；图象 与线段 有一个交点 ，此时 ；
综上， 时，图象 与线段 有一个交点；
③若图象 过点 ，此时 ；
如下两个图知当 时，图象 与线段 没有交点；④如图 时，图象 与线段 没有交点；
综上，图象 与线段 有一个交点时， 的取值范围为 ．
2．（24-25八年级上·全国·期中）如图， 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，
点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上， ．在 边上取一点E，将纸片沿 翻
折，使点O落在 边上的点D处．
(1)直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）；
(2)求直线 的表达式；
(3)若直线 与 平行，当它过长方形 的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求 的面积．
【答案】(1)4，8；0，5
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理求出 ，则 ，得出 ．由勾股定理得出 ，解
得 ，可求出点 的坐标；
（2）由待定系数法可求出直线解析式；
（3）求出直线 的解析式，可求出点 的坐标，由三角形面积可得出答案．
【详解】（1）解：依题意可知，折痕 是四边形 的对称轴，
在 中， ， ，
由勾股定理，得 ，
，
．
在 △ 中，由勾股定理，得 ，
又 ， ，
，
解得 ，
．
， ；
故答案为：4，8；0，5；
（2）解：设 、 两点所在的直线的解析式为 ，
则 ，解得 ，
所以过 、 两点的直线函数表达式为 ．
（3）解： 直线 与 平行，，
直线过长方形 的顶点 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
时， ，
，
，
的面积 ．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟知折叠是一
种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此
题的关键．
3．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，长方形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O
为原点，点A在x轴上，点C在y轴上， ， ．在 上取一点M，使得 沿 翻折后，
点B落在x轴上，记作 点．
(1) 点的坐标是______；
(2)求折痕 所在直线的解析式；
(3)在x轴上是否能找到一点P，使 的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合，考查了折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形
面积，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）由长方的性质及翻折的性质可得 ，在 中，由勾股定理即可求得
的长，从而求得点 的坐标；
（2）设 ，则 ，由翻折的性质，在 中由勾股定理建立关于t的方程，解得
t，则可得点M的坐标，用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（3）由面积条件可求得 的长，再根据点P的位置即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：在长方形 中，
∴ ， ，
∵ 沿 翻折后，点B落在x轴上，记作 点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ；
故答案为：
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴M点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 和 代入得，，解得∶ ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：存在，理由：
设点P的坐标为 ，
∵ 的面积为9，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当点P在点 的右侧时，点P的坐标为 ；
当点P在点 的左侧时，点P的坐标为 ；
∴点P的坐标为 或 ．
【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】
【例7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】
如图1，等腰 中， ， ，直线 经过点C，过点A作 于点D，过点
B作 于点E，求证： ．【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合， 和 所在直线分别为x轴、
y轴，若 ， ，请解答下列问题：
①点C的坐标是________，点A的坐标是________；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：
________；
（2）如图3，已知直线 ： 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线 绕点B旋转 至直线 ，
求直线 的函数表达式．
【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）① ， ；② 或 ；（2）
【分析】（1）利用 证明 即可；
（2）①根据 即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到 ， ，
从而得到 ，即可得到点A的坐标；
②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可；
（3）过点A作 交 于点C，过点C作 轴，求出 ， ，然后证明出， ， ，求出 ，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】模型建立：解：①∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（1）解：①∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ；
②如图所示，当M在原点右边时，连接 ， ，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S，
∴
∴ ，
∴点M的坐标为 ；
如图所示，当点M在原点左侧时，连接 ， ，∴
，
∴ ，
∴点M的坐标为 ；
综上所述，点M的坐标为 或 ；
（2）如图所示，过点A作 交 于点C，过点C作 轴
∵直线 ： 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当 时，
∴
∴
当 时，
解得
∴
∴ ，∵将直线 绕点B旋转 至直线 ，
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴ ，
∴
∴
∴设直线 表达式为
∴
解得
∴设直线 表达式为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，
坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为
．(1)求直线 的表达式；
(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出满足条件的所有点M的坐标；
(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点C，射线 交y轴的负半轴于
点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
【答案】(1)
(2)M点的坐标为 或 或
(3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论：①当 时，过A作 的垂线，交y轴于点 ，交x轴于点 ，
根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当 时，过点B作 的垂线
交y轴于点 ，用相同的方法即可求解；
（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明 ，得出 ，
即可得出 ．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为： ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：∵ 是以 为直角边的直角三角形，
∴有 或 ，
①当 时，如图：
设点 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
∴ ，
②当 时，如图：
过点B作 的垂线交y轴于点 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
综上：M点的坐标为： 或 或 ．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定
和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，
y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．【答案】
【分析】根据已知条件得到A（ ，0），B（0，﹣3），求得OA＝ ，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于
F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝
3，EF＝OA＝ ，求得F（ ，－ ），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x= ，
∴A（ ，0），B（0，﹣3），
∴OA= ，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+ ＝ ，EF＝OA＝ ，
∴F（ ，－ ）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（ ，－ ）代入y＝kx－3中，
∴－ ＝ k－3，
∴k＝ ，
∴直线BC的函数表达式为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性
质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l过
点C，过点A作 ，过点B作 ，垂足分别为D、E．求证： ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为 ，求点M的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线 绕P点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（ ，0）
【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出 ACD≌ CBE，即可得出结
论； △ △
（2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方
程组求解，即可得出结论；
（3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q
（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可
得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，
∴∠ACB＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．
∴ ACD≌ CBE，
∴△CD＝BE△，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得 OFM≌ MGN，
∴MF＝NG，△OF＝MG△，
设M（m，n），
∴MF＝m，OF＝n，
∴MG＝n，NG＝m，
∵点N的坐标为（4，2）
∴
解得
∴点M的坐标为（1，3）；
（3）如图3，
过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，
∴P（0，4），
∴OP＝4，
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．
∴PQ＝SQ．
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．
∴S（5，1），设直线PR为y＝kx+b，则
，
解得 ．
∴直线PR为y＝ x+4．
由y＝0得，x＝ ，
∴R（ ，0）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解
本题的关键．
【经典例题八 一次函数中的平移模型】
【例8】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中，将函数 向上平移2个单位，与
的图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函数
的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) 且 ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌
握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据一次函数的平移得到新函数 ，再求出两直线的交点坐标，得到 的值，再代入函数解析数求出 的值即可；
（2）根据题意得：当 时， 且 ，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后
确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将函数 向上平移2个单位，得到新函数 ，
当 时， ，
即函数 与函数 的图象交于点 ，
将点 代入函数 ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）得： ，
根据题意得：当 时， 且 ，
，
当 时， ，最大值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；
，
当 时， ，最小值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；
综上可得： 且 ．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴
于点A、B，点P为坐标平面内一点．(1)将直线 向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
(2)直接写出与直线 关于x轴对称的直线的解析式；
(3)若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)y x﹣4
(3) 或
【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称
的性质是解题的关键．
（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知 是等腰直角三角形，则 ，由此可求P点坐标．
【详解】（1）解：直线 向下平移5个单位，得到 ，
即 ，
故答案为： ；
（2）解∶令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴B点关于x轴的对称点 ，
设直线 ： 关于x轴对称的直线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵点P在x轴上， ， ，
∴
∴点P在直线 的两侧， ，
∴ 或 ．
2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 （ 为常数，且
）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知 ．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)若将直线 向左平移 个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式．
(3)若 为 轴上一点，将直线 沿 翻折，使得点 刚好落在坐标轴上，直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理；
（1）根据题意分别令 ，得出 ， ，根据勾股定理求得 ，即可求解；
（2）根据题意可得平移后的直线与 轴的交点为 ，设平移后的直线所对应的函数表达式为 ，
代入 ，即可求解；
（3）设 点关于 的对称点为 ， ，分 在 轴负半轴， 在 轴正半轴，当 在 轴正半轴，
三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得直线 解析式为 ，
∵将直线 向左平移 个单位长度， ，
∴平移后的直线与 轴的交点为 ，
设平移后的直线所对应的函数表达式为 ，代入 得，
，
∴ ，
∴平移后的直线所对应的函数表达式为 ．（3）解：设 点关于 的对称点为 ， ，
当 在 轴负半轴时，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 在 轴正半轴时，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 在 轴正半轴时， ，
∴ 点与 点重合，即 ，
综上所述， 或 或 ．
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 ： 与x轴交
于点A，直线 ： 与x轴交于点B，且与直线 交于点 ．
(1)求m和b的值；
(2)求 的面积；
(3)若将直线 向下平移 个单位长度后，所得到的直线与直线 的交点在第一象限，直接写出t的取
值范围．
【答案】(1) ，(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，第3
问有一定难度，写出直线 向下平移后的解析式，求出t的临界值是解题的关键．
（1）将 代入 可得m的值，将 代入 可得b的值；
（2）先根据解析式求出A，B坐标，再根据 求解；
（3）先求出直线 向下平移的所得直线的解析式，将直线 与y轴的交点坐标，以及点A坐标分别代入新
直线的解析式，求出t的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 得，
，
∴ ，
把 代入 得， ，
解得 ；
（2）解： 中，令 ，得： ，
解得 ，
∴ ，
中，令 ，得： ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）将直线 向下平移 个单位长度后，所得到的直线的解析式为 ，
直线 ： 与y轴的交点为 ，
把 代入 得， ，
解得 ；
把 代入 得， ，
解得 ，
∴平移后所得到的直线与直线 的交点在第一象限，t的取值范围是 ．
1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， 轴
上有一点 ， 分别为直线 和 轴上的两个动点，当 的周长最小时，点 的坐
标分别是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，解题的关键是掌握用对称的方法确定
周长最小时，E、F的位置．作 点关于直线 的对称点 和关于 轴的对称点 ，由
可得 ， ，所以 是等腰直角三角形，求得 ， ，待定系数法
求出直线 的解析式为 ，直线 与 轴的交点即为 点的坐标，直线 的交点即
为 点坐标．
【详解】解：作 点关于直线 的对称点 和关于 轴的对称点 ，如图，
则 ， ， ，
∴ ，
当 共线时 周长最小，
∵一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，
∴ ， ，
则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵C、 关于 对称，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
则点 ，
联立 ，解得 ，
则 ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的
负半轴上的一点，连接 ，过点C作 ，与线段 交于点D，若 ，则点D的坐标为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，由直线 求出点 坐标，得出 ，过点D作
于点E，证明 ，得 ，设点 ，则 ，
得出 ，代入 ，求出 的值即可．
【详解】解：对于 ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 于点E，如图，
则
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
又
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ，∴ ，
把 代入 ，得 ，
解得， ，
∴ ,
故选：D．
3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点
，若两直线所夹锐角为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，利用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
点 作直线 与直线 交于点 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于点 ，
判定 ，进而求解点 的坐标，．
【详解】解：如图，直线 与直线 的夹角为 ，过点 作直线 与直线 交
于点 ，
则 ，
，
，
，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于点 ，
则 ，
设点 ，
则 ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点 ，
点 在直线 上，
可得 ，解得： ，
把 代入 ，
可得： ，
点 坐标为 ；
故答案为：
4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，点
在第一象限，线段 上有一点 ，点P为x轴上一动点，连接 ， ，当 的值最
小时，此时 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出 ， ，作点 关于
轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则点 即为所求，由轴对称的性质可得 ， ，则
，当 、 、 在同一直线上时， 最小，为 ，由勾股定理求出
的长即可得解．
【详解】解：将 代入直线 得 ，即 ，故 ，
将 代入直线 得 ，解得 ，即 ；
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则点 即为所求，由轴对称的性质可得： ， ，
∴ ，
当 、 、 在同一直线上时， 最小，为 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在x轴上，
当 最大时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、一次函数的应用，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
延长 交 轴于点 ，点 即为所求，由对称的性质可得 ，求出直线 的解析式为
，令 ，则 ，求解即可得解．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，延长 交 轴于点 ，点 即为所求，，
由对称的性质可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为： ．
6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，并与直线 相交于点 ，点 在线段 上，过点 作 轴的垂线与直线 交于点，与 轴交于点 ，且 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，
设 ，则 ，列方程求出a值，进而求出结论即可；
【详解】解：联立 ，
解得： ，
∴点C的坐标为 ；
设 ，则 ，
，
，
，
解得： ，
，
的面积为 ，
故答案为： ．7．（24-25九年级上·山东·期末）已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴正半轴上
的一点，连接 ．当 的面积等于4时，直线 的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与几何的综合、求函数解析式等知识点，确定点 的坐标
是解题的关键．先求得 ， ，设点 的坐标为 ，则 ，再根据 的面
积等于4求得 ，即 ；然后运用待定系数法求解即可．
【详解】解：由条件可知 ， ，
设点 的坐标为 ，则 ，
的面积等于4，
，解得： 或 （不合题意，舍弃），
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的表达式为 ．
故答案为： ．
8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 与点
关于 轴对称，点 是直线 上的一个动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ．(1)求直线 的函数解析式：
(2)是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了一次函数与几何问题题，一次函数的性质，轴对称的性质，掌握一次函数的性质是解
题的关键．
（ ）由 ，得 ， ，由点 与点 关于 轴对称，得 ，设直线 解析式为
，再代入计算即可；
（ ）当 时，则直线 解析式为 ，联立 和 得， ；
（ ）设 ，故 ，由 的面积 ，得 ，
故 或 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，设 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：设 ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
解得： ，
∴ 或 ．
9．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 的函数表达式为 ，直
线 的函数表达式为(1)若直线 与直线 有交点 ，求 的面积；
(2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得 的面积与 的面积相等？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为 或
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析
式，三角形的面积公式是解决问题的关键．
过点C作 于点E， 于点D，将点 代入 得 ，则直线 的表达式
为 ，进而可求出点 ，点 ，则 ， ，再根据点 得 ，
，据此可得 的面积；
先求出 ，设点P的坐标为 ，则 ，进而得 ，进而得 ，由此解出
或 ，则点P的坐标为 或
【详解】（1）解：过点C作 于点E， 于点D，如图所示：
线 与直线 有交点 ，
，解得： ，
直线 的表达式为： ，
对于 ，当 时， ，
当 时， ，解得： ，
点 ，点 ，
， ，
点 ，
，
；
（2）存在．
， ，
，
点P在y轴上，
设点P的坐标为 ，
，
，
当 的面积与 的面积相等时，
，
，
或 ，点P的坐标为 或 ，
即当点的坐标为 或 时， 的面积与 的面积相等．
10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数 与x轴，y轴分别相交于点A和点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若 的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得 是以 为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为
(2)点P的坐标为 或
(3)存在，点Q的坐标为 或 或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键：
（1）分别令 ，求出点A和点B的坐标；
（ ）设 ，由（ ）得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ， ，
然后由 即可求出 的值，从而求解；
（ ）分 当 时和当 时进行分析即可；
【详解】（1）解：由 得，当 时 ；当 时， ，解得： ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）解：设 ，
由（ ）得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
（3）解：存在，理由：如图，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
当 时，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ，当 时，
∴ ，
∴ 的坐标为 ．
综上所述：存在，点Q的坐标为 或 或
11．（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点
和点 ．点 在线段 上．如图，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求 的长；
(3)点 为 轴上一点．且满足 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出 点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（ ）利用待定系数法可求解析式；
（ ）由勾股定理可求 ，由勾股定理可求 ，即可求解；
（ ）设点 ，分 和 两种情况讨论可求解．
【详解】（1）解：∵ 和点 在一次函数图象上，
∴ ，解答 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：∵ 和点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知， ， ， ，
∴ ， ．
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设点 ，
∵ 是以 为腰的等腰三角形，
当 时，则 ，
∴ 或 ，
∴点 或 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴点 ；综上所述，点 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，勾股定理，折叠的性质，等腰
三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
12．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、
轴交于点 、 两点．
(1)求 和 的值；
(2)点 的坐标为 ，将线段 沿 轴向右平移 个单位 得到线段 ，若线段 的垂直平分
线经过点 ，求 的值；
(3)若点 为 轴负半轴上的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（ ）由待定系数法即可求解；
（ ）在 中，由勾股定理得 ，即可求解；
（ ）证明 ，得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 过点 ，
∴ ，
∴一次函数表达式为 ，
将点 代入得， ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，∴ ， ；
（2）解：如图 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，
由图形平移的特征可得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵线段 的垂直平分线经过点 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
（3）解：如图 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，平移的性质，垂直
平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
13．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们称直线l：
为点P的“关联直线”．例如，点 的“关联直线”l的解析式为 ．(1)若点 ，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积；
(2)若点 在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接 ，过点P作 的垂线，交l于点B．
当 时，求点P的坐标．
【答案】(1) ，6
(2)
【分析】本题主要考查了新定义、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的性质与判定等知识点，正
确求得直线解析式是解题的关键．
（1）根据新定义写出直线解析式，进而求得直线与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形的面积公式求解
即可；
（2）根据题意点 在第一象限，其“关联直线”l为 ，求得 ，如图：过点P作
轴于点D，过点B作 于点C，证明 即可得出B的坐标，然后代入直线解析
式求解即可．
【详解】（1）解：∵点 ，
∴点P的“关联直线”l的解析式为 ，
∵当 时， ，当 时， ，∴点P的“关联直线”l过 ， ，
∴l与坐标轴围成的三角形面积为 ．
（2）解：∵点 在第一象限，
∴点P的“关联直线”l的解析式为 ，
∵点 “关联直线”l交x轴于点A，
∴当 时， ，则 ，
∵点 在第一象限，则 ，
如图：过点P作 轴于点D，过点B作 于点C，则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
将 代入 ，即 ，解得： ，
∴ ．
14．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、
轴分别交于点 的长为10，点 在 轴的负半轴上，以 为对称轴作 的轴对称图形，
点 的对称点为点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点 恰好落在 轴正半轴上，求点 的坐标以及直线 的解析式；
(3)当 时，直接写出点 的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；
(2)点 的坐标为 ，直线 的解析式为
(3) 点坐标为
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函
数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据题意求出 ，即 点坐标为 ，将 两点坐标分别带入 ，即可得
到答案；（2）以 为对称轴作 的轴对称图形为 ，设点 的坐标为 ，求出点 的坐标为
．设直线 的解析式为 ，即可得到答案．
（3）当 时，由题意得点 在第一象限，过 作 轴于点 ，证明 ，则可求
得点D的坐标；设直线 与 交点为 ，点 为 中点，可得点E的坐标，求出直线 的解析式为
，即可得到答案．
【详解】（1）解： 为直角三角形， ，
，即 ，
解得 ，
即 点坐标为 ，
将 两点坐标分别带入 ，
得 ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ．
（2）解： 以 为对称轴作 的轴对称图形为 ，
，
．
点 在 轴的正半轴上，
点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，由题意可知 ．
在 中，由勾股定理，得 ，解得 ．点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ．
点 在直线 上，
，解得 ．
直线 的解析式为 ．
（3）解：当 时，由题意得点 在第一象限，如图，
过 作 轴于点 ，
，
， ，
，
以 为对称轴作 的轴对称图形为 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
设直线 与 交点为 ，点 为 中点，
则 点坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 分别代入直线方程，
得 ，解得 ，
故直线 的解析式为 ，
上式中，令 ，则 ，
则 点坐标为 ．
15．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴
于 两点，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，交直线 于点 ．
(1)求一次函数 的表达式．
(2)若线段 上有一点 ，使得 ，求点 的坐标．
(3)若 是直线 上方且位于 轴上的一点， ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 是等腰直角三角形，理由见解析【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾
股定理、面积的计算等知识．
（1）运用待定系数法求出一次函数 的表达式即可；
（2）根据三角形面积公式求出 ，由 得 ，设 ，由
列式求解即可；
（3）根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，求出 ，从而可得出结论．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得：
，
解得 ，
所以，一次函数 的表达式为 ；
（2）解：联立方程组，得 ，
解得 ，
∴
过点 作 轴于点 如图，
∴∵
∴
对于 ，当 时，
∴ ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
设 ，则
∴
解得， 或 （舍去）
∴ ；
（3）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
过点C作 轴，交 轴于点 ，则 轴，如图，
∵ ，
∴∴
∵
∴
∴
∴
在 中，
∴ ，
∵
∴ 是直角三角形，且
在 中，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
