文档内容
专题 04 一次函数的实际应用（五大类型）
【题型1：根式实际问题列出一次函数表达式】
【题型2：利用一次函数解决方案问题】
【题型3：利用一次函数解决销售利润问题】
【题型4：利用一次函数解决行程问题】
【题型5：利用一次函数解决运输问题】
【题型1：根式实际问题列除一次函数表达式】
1．（2022秋•永丰县期末）百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基
础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，
正确的是（ ）
长度x/m 1 2 3 4 …
售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x
C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x
【答案】B
【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x；
故选：B．
2．（2023春•迁安市期末）平行四边形的周长为 240，两邻边长为x、y，则y与x之间的
关系是（ ）
A．y＝120﹣x（0＜x＜120） B．y＝120﹣x（0≤x≤120）
C．y＝240﹣x（0＜x＜240） D．y＝240﹣x（0≤x≤240）
【答案】A
【解答】解：∵平行四边形的周长为240，两邻边长为x、y，
∴2（x+y）＝240，
则y＝120﹣x（0＜x＜120）．
故选：A．3．（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加
汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关
系是（ ）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【答案】B
【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，
则0≤x≤20．
故选：B．
4．（2022秋•东营区校级期末）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30
千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取
值范围是（ ）
A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4）
C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4）
【答案】A
【解答】解：汽车行驶路程为：30t，
∴车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是：S
＝120﹣30t（0≤t≤4）．
故选：A．
5．（2023秋•宿豫区期末）声音在常温空气中的传播速度是340m/s，则传播距离l（m）与
传播时间t（s）之间的函数表达式为 l ＝ 34 0 t ．
【答案】l＝340t．
【解答】解：传播距离l（m）与传播时间t（s）之间的函数表达式为l＝340t．
故答案为：l＝340t．
6．（2023•济南模拟）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，y表
示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 y ＝ 2 x + 2
．
【答案】见试题解答内容【解答】解：观察图形：x＝1时，y＝4，x＝2时，y＝6；x＝3时，y＝8；…
可见每增加一张桌子，便增加2个座位，
∴x张餐桌共有2x+2个座位．
∴可坐人数y＝2x+2，
故函数关系式可以为y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
7．（2023•天河区二模）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂
1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关
系式为 y ＝ 0. 3 x + 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，
∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长0.3x cm，
∴弹簧总长y＝0.3x+6．
故答案为：y＝0.3x+6．
8．（2023春•硚口区期末）已知等腰三角形的周长是 20cm，底边长y（cm）是腰长x
（cm）的函数关系式为 y ＝ 2 0 ﹣ 2 x ，自变量x的取值范围是 5 ＜ X ＜ 1 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2x+y＝20
∴y＝20﹣2x，即x＜10，
∵两边之和大于第三边
∴x＞5，
综上可得5＜x＜10．
故答案为：y＝20﹣2x，5＜x＜10．
9．（2023春•紫金县期中）地面温度为15℃，如果高度每升高1千米，气温下降6℃，则
高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为h＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为：h＝ ．
10．（2022秋•东至县期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里
时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 y ＝ 2. 4 x +6. 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．
故答案为：y＝2.4x+6.8
【题型2：利用一次函数解决方案问题】
11．（2023秋•西安期中）剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，
剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购
买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞
4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y（元）和y（元）．
1 2
（1）分别求出y、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
【答案】（1）y＝5x+60，y＝4.5x+72；
1 2
（2）当学生有24人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝4×20+5（x﹣4）＝5x+60，
1
y＝（4×20+5x）×90%＝4.5x+72；
2
（2）当5x+60＝4.5x+72，得x＝24，
答：当学生有24人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
12．（2023秋•肇源县期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾
客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300元之后，超出部分按8
折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8.5折优惠．设顾客预计
累计购物x元（x＞300），甲，乙两家超市所付费用分别为y 元和y 元．
1 2
（1）请用含x的代数式分别表示y 和y；
1 2
（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
【答案】（1）y ＝0.8x+60（x＞300），y ＝0.85x+30（x＞300（x＞300）；（2）当购
1 2
物超过600元时，到甲超市购物更优惠：当购物少于600元时，到乙超市购物更优惠；
当购物等于600元时，两家超市花费一样多．
【解答】（1）解：由题意，得
y＝300+0.8（x﹣300）
1
即y＝0.8x+60（x＞300），
1
y＝200+0.85（x﹣200），
2即y＝0.85x+30（x＞300（x＞300）；
2
（2）当y＜y 可得：0.8x+60＜0.85x+30，
1 2
∴x＞600；
当y＝y 可得：
1 2
0.8x+60＝0.85x+30，
得：x＝600；
当y＞y 可得：
1 2
0.8x+60＜0.85x+30，
得：x＜600
∴当购物超过600元时，到甲超市购物更优惠：
当购物少于600元时，到乙超市购物更优惠；
当购物等于600元时，两家超市花费一样多．
13．（2023秋•文圣区期中）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我
国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔每
支的价格为5元，宣纸每张的价格为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸x张（x＞
200），该超市给出以下两种优惠方案，顾客只能选择其中一种方案．
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
设方案A所需的总费用为y 元，方案B所需的总费用为y 元．
1 2
（1）请分别求出y，y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）该校选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】（1）y＝0.36x+232；y＝0.27x+268；
1 2
（2）当200＜x＜400时，选择方案A划算；当x＝400时，选择两种方案一样划算；当
x＞400时，选择方案B划算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝5×50+0.36（x﹣50）＝0.36x+232；
1
y＝5×50+0.36×200+0.36×（x﹣200）×0.75＝0.27x+268；
2
（2）当0.36x+232＝0.27x+268时，
解得x＝400，
即当x＝400时，选择两种方案一样划算；
当0.36x+232＜0.27x+268时，解得x＜400，
即当200＜x＜400时，选择方案A划算；
当0.36x+232＞0.27x+268时，
解得x＞400，
即当x＞400时，选择方案B划算；
答：当200＜x＜400时，选择方案A划算；当x＝400时，选择两种方案一样划算；当x
＞400时，选择方案B划算．
14．（2023秋•叶县期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出厂价为50
元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损
耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：
（1）设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污
水时y与x的函数关系式；
（2）工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；
（3）工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计
算加以说明．
【答案】（1）方案1y与x的函数关系式y＝24x﹣30000，方案2处理污水时y与x的函
1
数关系式y＝18x；
2
（2）工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同；
（3）工厂采用方案1时所获利润更大．
【解答】解：（1）按方案1处理污水时，y ＝50x﹣25x﹣0.5x×2﹣30000＝24x﹣30000
1
（x≥0）．
按方案2处理污水时，y＝50x﹣25x﹣0.5x×14＝18x（x≥0）；
2
（2）工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同，
理由：当24x﹣30000＝18x时，解得x＝5000，
所以工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同；
（3）当x＝6000时，y＝24×6000﹣30000＝114000；
1
y＝18×6000＝108000．
2
因为y＞y，
1 2所以工厂采用方案1时所获利润更大．
15．（2023秋•晋中期中）某商店购进一批牛奶进行销售，据了解，每箱甲种牛奶的进价
比每箱乙种牛奶的进价少5元，且购进2箱甲种牛奶和3箱乙种牛奶共需215元．
（1）问甲、乙两种牛奶每箱的进价分别为多少元？
（2）若每箱甲种牛奶的售价为50元，每箱乙种牛奶的售价为60元，考虑到市场需求，
商店决定共购进这两种牛奶共300箱，且购进甲种牛奶的数量不少于100箱．设购进甲
种牛奶m箱，总利润为W元，请求出总利润W（元）与m（箱）的函数关系式，并根
据函数关系式求出获得最大利润的进货方案．
【答案】（1）甲种牛奶每箱的进价为40元，乙种牛奶每箱的进价为45元；
（2）W＝﹣5m+4500，购进甲种牛奶100箱，乙种牛奶200箱，获得最大利润4000元．
【解答】解：（1）设甲种牛奶每箱的进价为x元，则乙种牛奶每箱的进价为（x+5）元，
根据题意得：2x+3（x+5）＝215，
解得x＝40，
∴x+5＝40+5＝45，
∴甲种牛奶每箱的进价为40元，乙种牛奶每箱的进价为45元；
（2）∵购进甲种牛奶的数量不少于100箱，
∴m≥100，
根据题意得：W＝（50﹣40）m+（60﹣45）（300﹣m）＝﹣5m+4500，
∵﹣5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝100时，W取最大值﹣5×100+4500＝4000，
此时300﹣m＝300﹣100＝200，
∴购进甲种牛奶100箱，乙种牛奶200箱，获得最大利润4000元．
16．（2023秋•淮北月考）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生
动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种
购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总
价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金
额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；
（2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；
（3）若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【答案】（1）y＝18x+54，y＝14.4x+86.4；
1 2
（2）当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；3≤x＜9时，，选方案一较划算；当
x＞9时，选方案二较划算．
（3）14人．
【解答】解：（1）按优惠方案一可得
y＝36×3+（x﹣3）×36× ＝18x+54（x≥3），
1
按优惠方案二可得
y＝（18x+36×3）×80%＝14.4x+86.4（x≥3）；
2
（2）∵y﹣y＝3.6x﹣32.4（x≥3），
1 2
①当y﹣y＝0时，得3.6x﹣32.4＝0，解得x＝9，
1 2
∴当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；
②当y﹣y＜0时，得3.6x﹣32.4＜0，解得x＜9，
1 2
∴3≤x＜9时，y＜y，选方案一较划算；
1 2
③当y﹣y＞0时，得3.6x﹣32.4＞0，解得x＞9，
1 2
当x＞9时，y＞y，选方案二较划算．
1 2
（3）当x＜9时，18x+54＝288，解得x＝13，不满足x＜9，
当x＞9时，14.4x+86.4＝288，解得x＝14，满足题意，
∴学生有14人．
【题型3：利用一次函数解决销售利润问题】
17．（2023秋•连城县期中）“奔赴山海•直通厦马”马拉松联赛（连城站）2023环冠豸山
马拉松赛于11月19日在福建省连城县举办，我县某工艺厂为2023环马拉松赛设计了一
款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x
（元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件
时，每天的销售量为750件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂
销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣成本）
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；
（2）当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为15000元．
【解答】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝20，y＝800和x＝25，y＝750代入y＝kx+b，得：
，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）设该工艺品每天获得的利润为W元，
则 W＝y（x﹣20）＝（﹣10x+1000）（x﹣20）＝﹣10（x﹣60）2+16000，
（20≤x≤50）
∵﹣10＜0，对称轴x＝60，
∴当20＜x≤50时，W随x的增大而增大，
所以当售价定为50元/件时，该工艺品每天获得的利润最大，
W ＝﹣10（50﹣60）2+16000＝15000元，
最大
答：当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为15000元．
18．（2023春•白银区校级期末）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的
西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出
售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合
图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？
（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是
450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？
（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图可得农民自带的零钱为50元，答：农民自带的零钱为50元；
（2）（330﹣50）÷80
＝280÷80
＝3.5（元），
答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元；
（3）（450﹣330）÷（3.5﹣0.5）＝120÷3＝40（千克），
80+40＝120（千克），
答：他一共批发了120千克的西瓜；
（4）450﹣120×1.8﹣50＝184（元），
答：这个水果贩子一共赚了184元钱．
19．（2022秋•镇江期末）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，
某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进
价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
（1）若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利 800 0 元；
（2）为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为
W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式；
②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？
【答案】（1）8000；
（2）①获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式为W＝﹣8m+28000；
②此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售375箱苹果．
【解答】解：（1）根据题意得：120×（60﹣40）+200（88﹣60）＝2400+5600＝8000
（元），
故答案为：8000；
（2）①根据题意得：W＝（60﹣40）m+（88﹣60）（1000﹣m）＝20m+28（1000﹣
m）＝﹣8m+28000，
∴获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式为W＝﹣8m+28000；
②根据①得，﹣8m+28000≥25000，解得m≤375，
答：此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售375箱苹果．
20．（2023春•新城区校级期末）为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本
地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和体恤衫进行线上销售，它们的进价
和售价如下表．已知购进一件衬衣比一件体恤衫的进价贵 180元，用3000元恰好可购
进衬衣10件和体恤衫5件．
（1）分别求出表中a和b的值；
（2）若该电商计划购进衬衣和体恤衫两种服饰共300件，据市场销售分析，体恤衫进
货件数不低于衬衣件数的2倍．如何进货才能使木次销售获得的利润最大？最大利润是
多少元？
种类 衬衣 体恤衫
进价（元/件） a b
售价（元/件） 300 100
【答案】（1）a的值为260，b的值为80；
（2）当购进衬衣100件，体恤衫200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利
润是8000元．
【解答】解：（1）依题意得： ，
解得
答：a的值为260，b的值为80；
（2）设购进衬衣x件，则购进体恤衫（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300
﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100
＝200．
答：当购进衬衣100件，体恤衫200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
21．（2023•原平市模拟）2022 年第 19 届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou
2022），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江
杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为
“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历
史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专
卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼
盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼盒 168 198
B种礼盒 138 158
（1）求A，B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
（2）由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划
用不超过12000元购进A，B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒
全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
（2）购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【解答】解：（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒（50﹣x）个，
根据题意：168x+138（50﹣x）＝7500，
解得x＝20，
此时50﹣x＝30，
答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒（80﹣a）个，获得利润为y元，
根据题意得：y＝（198﹣168）a+（158﹣138）（80﹣a）＝10a+1600，
∵购买A，B两种礼盒的费用不超过12000元，
∴168a+138（80﹣a）≤12000，
解得a≤32，
∵10＞0，∴当a＝32时，y有最大值，最大值为320+1600＝1920，
此时80﹣a＝48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
22．（2023•青秀区校级模拟）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和
100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为
1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 3
倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习
本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣x）个，
由题意可得：W＝（3﹣2）x+（10﹣7）（500﹣x）＝﹣2x+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴x≥3（500﹣x），
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2x+1500（375≤x≤500）；
②∵W＝﹣2x+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤x≤500，
∴当x＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣x＝125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为 750
元．
23．（2023•济源一模）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：
类别 A种 B种
价格
进货价（元/盒） 25 30
销售价（元/盒） 32 40
（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4
盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒？
（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划
购进两 种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利
润？最大利润为多少？
【答案】（1）购进A种粽子36盒，购进B种粽子20．
（2）当购进A种粽子40盒，购进B种粽子20盒时，销售完后获得的利润最大，最大
利润为480元．
【解答】解：（1）设购进A种“粽子”x盒，则购进B种“粽子“y盒，
由题意得， ，
解得， ，
答：购进A种粽子36盒，购进B种粽子20．
（2）设购进B种粽子m盒，则购进A种粽子（60﹣m）盒，总利润为w，
由题意可知60﹣m≥2m，解得m≤20，
w＝（32﹣25）（60﹣m）+（40﹣30）m＝3m+420，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w ＝3×20+420＝480，
最大值
答：当购进A种粽子40盒，购进B种粽子20盒时，销售完后获得的利润最大，最大利
润为480元．
【题型4：利用一次函数解决行程问题】
24．（2023秋•福田区期中）甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一
段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，
乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数关系的图象，根据题意填空：
（1）在跑步的全过程中，甲的速度为 1. 5 米/秒；
（2）a＝ 75 0 ；b＝ 40 0 ；
（3）求乙出发多少秒后与甲第一次相遇．
【答案】（1）1.5；
（2）750，400；
（3）乙出发150秒后与甲第一次相遇．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲的速度为：900÷600＝1.5（米/秒），
故答案为：1.5；
（2）由图象可得，
a＝500×1.5＝750，c＝750﹣150＝600，b＝600÷1.5＝400，
故答案为：750，400；
（3）乙刚开始的速度为：750÷（400﹣100）＝750÷300＝2.5（米/秒），
设乙出发a秒后与甲第一次相遇，
1.5（a+100）＝2.5a，
解得a＝150，
即乙出发150秒后与甲第一次相遇．
25．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步
行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象
分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s＝100t+b，
1
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s＝100t﹣900．
1
当s＝1900时，t ＝28．
1 哥哥
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s＝160t+b，
2
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s＝160t﹣2400．
2
令s＝s，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
1 2
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
26．（2023秋•历城区校级期中）在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区
C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务
区C的路程y 、y （单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，
1 2
结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 7 0 千米/时；
（2）求图象中线段DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【答案】（1）70；
（2）DF所在直线的函数解析式为y＝60x﹣120；
2
（3）当乙车 小时或8小时时两车距服务区C的路程之和是360千米．
【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为 ＝70（千米/小时），
故答案为：70；
（2）由图象可知，乙车的速度为 ＝60（千米/小时），
∴乙车到达A地所用时间为 ＝7（小时），
∴乙车从B地到A地所用时间为2+7＝9（小时），
∴F（9，420），
设DF所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把D（2，0）和F（9，420）代入解析式得：
，解得 ，
∴DF所在直线的函数解析式为y＝60x﹣120；
2
（3）依题意得：y＝﹣70x+420（0≤x≤2），
1
y＝ ，
2
设乙车的行驶x小时后，两车距服务区C的路程之和是360千米，
①甲乙未相遇时，
则﹣70x+420﹣60x+120＝360，
解得x＝ ；
②当乙车经过服务区C，
﹣70x+420+60x﹣120＝360，
解得x＝﹣6（舍）；
③当甲乙相遇后，
60x﹣120＝360，
解得x＝8．
综上所述，当乙车 小时或8小时时两车距服务区C的路程之和是360千米．
27．（2023春•岳阳县期末）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往
B地，其中甲先出发1h，如图是甲，乙行驶路程y （km），y （km）随行驶时间x
甲 乙
（h）变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：
（1）分别求出y ，y 与x之间的函数解析式；
甲 乙
（2）求出点C的坐标；
（3）在乙的行驶过程中，当x为何值时，甲乙相距20千米．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
∴y 与x之间的函数解析式为y ＝60x（0＜x≤5）；
甲 甲
设y 与x之间的函数解析式为y ＝kx+b，
乙 乙
根据题意得： ，
解得 ，
∴y ＝100x﹣100（1≤x≤4），
乙
∴y ＝ ；
乙
（2）根据题意，得60x＝100x﹣100，
解得x＝2.5，
∵60×2.5＝150（km），
∴点C的坐标为（2.5，150）；
（3）当甲在乙前面时，60x﹣（100x﹣100）＝20，
解得x＝2，
当乙在甲前面时，100x﹣100﹣60x＝20，
解得x＝3，
∴在乙的行驶过程中，当x为2或3时，甲乙相距20千米．
28．（2023•大安市四模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，
两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间
的路程为s（单位：km），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示．
（1）M，N两地之间的公路路程是 30 0 km，乙车的速度是 6 0 km/h，m的值为5 ；
（2）求线段EF的解析式．
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距140km．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图象和题意可知M、N两地之间公路路程是300km；
乙车的速度为： ＝60（km/h），
甲车的速度是：210÷（3﹣ ）﹣60＝80（km/h），
∴m＝（3﹣ ）×80÷60+3＝5h，
故答案为：300，60，5；
（2）设EF的表达式为：s＝kt+b（ ≤t≤3），
将（ ，210）、（3，0）代入表达式得，
，
解得：
∴s＝﹣140t+420（ ≤t≤3），
（3）两车相遇前：（300﹣140﹣ ×60）÷（60+80）＝ h，两车相遇后：140÷（60+80）+（3﹣ ）＝ h，
故甲车出发 h或 h，两车相距140km．
【题型5：利用一次函数解决运输问题】
29．（2023秋•文圣区月考）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要
手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输
车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运
输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车
一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种
方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
【解答】解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得， ，
解得 ，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆，
由题意可得， ，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12
辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A
型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
30．（2023春•古冶区期末）2022年春，新冠肺炎疫情再次爆发后，全国人民众志成城抗
击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的 C，D
市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．
已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B
两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B
两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：
A（吨） B（吨） 合计（吨）
C（吨） a b 240
D（吨） c x 260
总计（吨） 200 300 500
（1）a＝ x ﹣ 6 0 ，b＝ 30 0 ﹣ x ，c＝ 26 0 ﹣ x （用含x的代数式表示）；
（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取
值范围；
（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输
时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小
值为10320元，求m的值．
【答案】（1）x﹣60，300﹣x，260﹣x；
（2）w 与 x 之间的函数关系式为 w＝10x+10200，自变量 x 的取值范围为：
60≤x≤260；
（3）m＝8．
【解答】解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260
﹣x）＝x﹣60（吨），
故答案为：x﹣60，300﹣x，260﹣x；
（2）依题意得：w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，∵x≥0，x﹣60≥0，300﹣x≥0，260﹣x≥0，
∴60≤x≤260，
∴w与x之间的函数关系式为w＝10x+10200，自变量x的取值范围为：60≤x≤260；
（3）依题意可得，w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，
当10﹣m＞0时，即0＜m＜10，此时w随着x的增大而增大，
当x＝60时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×60+10200＝10320，
解得：m＝8，
当10﹣m＜0时，即m＞10，此时w随着x的增大而减小，
当x＝260时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×260+10200＝10320，
解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意，
∴m＝8．
31．（2023春•石嘴山校级期末）某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，
果品基地对购买量在3000kg以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每
千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司
租车从基地到公司的运输费用为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的
函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）甲方案：每千克9元，由基地送货上门，
根据题意得：y＝9x；x≥3000，
乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为
5000元，
根据题意得：y＝8x+5000；x≥3000．
（2）根据题意可得：当9x＝8x+5000时，
x＝5000，当购买5000千克时两种购买方案付款相同，
当大于5000千克时，9x＞8x+5000，
∴甲方案付款多，乙付款少，
当小于5000千克时，9x＜8x+5000，
∴甲方案付款少，乙付款多．
32．（2023春•固原期末）某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地
运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是x千米，两家运输单位除都要
收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，其他要收取的费用和有关运输资料由下表列
出：
运输单位 运输速度 运费单价 运输途中冷藏 装卸总费用
（元）
（千米/时） 元/（吨•千米） 元/（吨•时）
汽车货运公 75 1.5 5 4000
司
火车货运站 100 1.3 5 6600
（1）用含x的式子分别表示汽车货运公司和火车货运站运送这批水果所要收取的总费
用（总运费＝运费+运输途中冷藏费+装卸总费用）；
（2）果品公司应该选择哪家运输单位运送水果花费少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）用汽车运输，需要花费：y ＝（1.5×60）x+5× ×60+4000＝
1
94x+4000；
用火车运输，需要花费：y＝（1.3×60）x+5× ×60+6600＝81x+6600；
2
（2）当y＝y 时，即94x+4000＝81x+6600，
1 2
解得：x＝200，
故当x＝200km时，用火车和汽车运输花费一样，
当x＞200km时，用火车运输比较划算，
当x＜200km时，用汽车运输比较划算．
33．（2023春•江陵县期末）为落实“精准联防联控，构筑群防群治严密防线”政策，某
区现对A，B，C，D四个防疫物资存储站进行检查，发现A，B两个存储站的防疫物资
仍有50吨和80吨的缺口，经防疫部门统筹调控，决定从 C，D两个存储站进行调运．
现已知C站有防疫物资100吨，D站有防疫物资30吨．假设共有x吨物资将从C站运往A站：
（1）请你完成表格中其余吨数的填写：
A站 B站
C站 x （ 10 0 ﹣ x ）
D站 （ 5 0 ﹣ x ） （ x ﹣ 2 0 ）
（2）已知从C站调往A站的运费为350元/吨，从D站调往A站的运费为200元/吨，从
C站调往B站的运费为450元/吨，从D站调往B站的运费为500元/吨，试求出总运费
W（元）与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，通过优化运输方式，C站到A站的运费每吨减少了m元，并经
核算，总运费的最小值不低于46000元，试求m的取值范围．
【答案】（1）（100﹣x），（50﹣x），（x﹣20）；
（2）W＝200x+45000（20≤x≤50）；
（3）0＜m≤150．
【解答】解：（1）由题知，从C站运往B站（100﹣x）吨，
D站运往A站（50﹣x）吨，
D站运往B站30﹣（50﹣x）＝（x﹣20）吨．
故答案为：（100﹣x），（50﹣x），（x﹣20）．
（2）由题意有：W＝350x+450（100﹣x）+200（50﹣x）+500（x﹣20）＝200x+45000
（20≤x≤50），
（3）由题知：W＝（350﹣m）x+450（100﹣x）+200（50﹣x）+500（x﹣20）＝（200
﹣m）x+45000，
当200﹣m＞0时，
y关于x的函数是y随x的增大而增大，
∴x＝20时w最小，此时：w＝（200﹣m）×20+45000≥46000，
解得：0＜m≤150，
当200﹣m＜0时，
y关于x的函数是y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，w取最小值，此时w＝（200﹣m）×50+45000≥46000，
解得：m≤180，与200﹣m＜0矛盾，
∴0＜m≤150．
34．（2023春•龙泉驿区期中）龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早
中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的
美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为 200吨和300吨，打算成熟后运到
A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运
往两仓费用的单价如表：
甲果园 乙果园
A仓库 150元/吨 140元/吨
B仓库 200元/吨 180元/吨
设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费
用分别为y 元，y 元．
甲 乙
（1）求出y ，y 的函数关系式；
甲 乙
（2）甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超
过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果
园的运费之和最小？并求出最小值．
【答案】（1）y ＝﹣50x+40000，y ＝40x+44400；
甲 乙
（2）甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元．
【解答】解：（1）由从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x吨，可得从甲果园运往B仓库
（200﹣x）吨，乙果园运往A仓库（240﹣x）吨，乙果园运往B仓库300﹣（240﹣x）
＝（x+60）吨，
根据题意：y ＝150x+200（200﹣x）＝﹣50x+40000，
甲
y ＝140（240﹣x）+180（x+60）＝40x+44400，
乙
∴y ＝﹣50x+40000，y ＝40x+44400；
甲 乙
（2）∵甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不
超过50000元的费用作为运费，
∴ ，
解得80≤x≤140，
设两地运费之和为W元，由题意得：
W＝﹣50x+40000+40x+44400＝﹣10x+84400，
∵k＝﹣10，
∴W随x的增大而减小，∴当x＝140时，W ＝83000，
最小
∴甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元．
