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专题 02 二次根式的乘除（五大题型）
【题型1 二次根式的乘法运算】
【题型2 二次根式的除法运算】
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【题型4 最简二次根式的判定】
【题型4 化简二次根式】
【题型5 已知最简二次根式求参数】
【题型1 二次根式的乘法运算】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算(❑√2−1) 2023 ⋅(❑√2+1) 2024的结果为（ ）
A．❑√2+1 B．❑√2−1 C．1−❑√2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，积的乘方的逆运算．熟练掌握二次
根式的乘法，平方差公式，积的乘方的逆运算是解题的关键．
根据(❑√2−1) 2023 ⋅(❑√2+1) 2024 =[(❑√2−1)⋅(❑√2+1)) 2023 ⋅(❑√2+1)，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，
(❑√2−1) 2023 ⋅(❑√2+1) 2024=[(❑√2−1) 2023 ⋅(❑√2+1) 2023) ⋅(❑√2+1)
2023
=[(❑√2−1)⋅(❑√2+1)) ⋅(❑√2+1)
=❑√2+1，
故选：A．
2．（23-24八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（ ）
A．3❑√3×4❑√3=36 B．3❑√3×4❑√3=7❑√3
C．3❑√3×4❑√3=12❑√3 D．3❑√3×4❑√3=12×9=108
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根
式的乘法法则a❑√b·c❑√d=(a·c)·❑√b·d=ac❑√bd(b≥0，d≥0)即可求解．【详解】解：3❑√3×4❑√3=3×4×❑√3×3=3×4×3=36，
∴只有A正确，符合题意，B、C、D错误，不符合题意；
故选：A ．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算(−❑√1) 2= ．
【答案】1
【分析】本题考查了实数的平方，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
根据实数的平方运算法则进行运算即可．
【详解】解：(−❑√1) 2=1；
故答案为：1．
4．（23-24八年级下·全国·期末）已知a=❑√3+❑√5，b=❑√3−❑√5，则代数式 ab的值为
．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握平方差公式成
为解题的关键．
将a=❑√3+❑√5，b=❑√3−❑√5代入ab运用二次根式的乘法、平方差公式计算即可．
【详解】解： ．
ab=(❑√3+❑√5)(❑√3−❑√5)=(❑√3) 2 −(❑√5) 2=3−5=−2
故答案为：−2．
5．（23-24八年级下·吉林·期末）计算： ．
(2❑√6+❑√5)(2❑√6−❑√5)=
【答案】19
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接利用平方差公式进行求解即可．
【详解】解： ，
(2❑√6+❑√5)(2❑√6−❑√5)=(2❑√6) 2 −(❑√5) 2=24−5=19
故答案为：19．
6．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题
(1) ；
(2❑√5+❑√3)(2❑√5−❑√3)
(2)( √1)(√1 )
❑√24−❑ ❑ +❑√6
2 8
【答案】(1)173
(2)11
4
【分析】本题考查二次根式的运算：
（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
=(2❑√5) 2 −(❑√3) 2=20−3=17
；
（2）解：原式 ( ❑√2)(❑√2 )
= 2❑√6− +❑√6
2 4
( ❑√2)(❑√2 )
=2 ❑√6− +❑√6
4 4
=2
[
(❑√6) 2 −
(❑√2) 2 )
4
( 1)
=2 6−
8
1
=12−
4
3
=11 ．
4
7．（2024八年级下·北京·专题练习）计算：
(1) ；
(2−❑√2)(3+2❑√2)
(2) ．
(❑√2+❑√3−❑√5)(❑√2−❑√3+❑√5)
【答案】(1)2+❑√2
(2)−6+2❑√15
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算．
（1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可．
（2）利用平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）解：
(2−❑√2)(3+2❑√2)
=6+4❑√2−3❑√2−4=2+❑√2
（2）
(❑√2+❑√3−❑√5)(❑√2−❑√3+❑√5)
=(❑√2+❑√3−❑√5)[❑√2−(❑√3−❑√5))
=(❑√2) 2 −(❑√3−❑√5) 2
=2−(3−2❑√15+5)
=2−3+2❑√15−5
=−6+2❑√15
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
1
(1) ❑√18×(−3❑√8)；
4
(2)❑√8×❑√15×❑√20；
√ 8 √ 1
(3)−5❑ ×❑1 ×(−3❑√54)；
27 4
1
(4)4❑√x2y× ❑√x y2．
3
【答案】(1)−9
(2)20❑√6
(3)30❑√5
4
(4) xy❑√xy
3
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
（4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
1
【详解】（1）解： ❑√18×(−3❑√8)
4
3
= ❑√2×(−6❑√2)
4
3
= ×(−6)×(❑√2) 2
4=−9
（2）❑√8×❑√15×❑√20
=2❑√2×❑√15×2❑√5
=4❑√2×15×5
=4×5❑√6
=20❑√6
√ 8 √ 1
（3）−5❑ ×❑1 ×(−3❑√54)
27 4
√ 8 5
=−5×(−3)×❑ × ×54
27 4
=15×2❑√5
=30❑√5
1
（4）4❑√x2y× ❑√x y2
3
1
=4× ×❑√x2y⋅x y2
3
4
= xy❑√xy
3
【题型2 二次根式的除法运算】
√x
9．（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）计算4❑√6x3÷2❑ 的结果是（ ）
3
2❑√2
A．2❑√2x B．x C．6❑√2x D． x
3
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算
即可．
√x
【详解】解：4❑√6x3÷2❑
3
√ 3
=2❑6x3×
x
=2❑√18x2
=6❑√2x，故选：C
10．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：
❑√2.7×104
=
❑√3×102
【答案】3❑√10
【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可．
【详解】 ❑√2.7×104 √27000 ，
=❑ =❑√90=3❑√10
❑√3×102 300
故答案为：3❑√10．
❑√24
11．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）化简 的结果是 ．
❑√2
【答案】2❑√3
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘
以❑√2，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果．
❑√24 ❑√24×❑√2 ❑√48 4❑√3
【详解】解： = = = =2❑√3，
❑√2 ❑√2×❑√2 2 2
故答案为：2❑√3．
√ 9 √1
12．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）❑ ÷❑ = ．
16 4
3
【答案】
2
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可．
√ 9 √1
【详解】解：原式 ❑ ÷❑ ，
16 4
❑√9 ❑√1
= ÷ ，
❑√16 ❑√4
3 1
= ÷ ，
4 2
3
= ×2，
4
3
= ，
23
故答案为： ．
2
4❑√15
13．（23-24八年级下·山东临沂·期末）计算 = ．
2❑√5
【答案】2❑√3
【分析】本题主要考查二次根式的除法，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
根据二次根式的除法法则，即可求解；
【详解】解：4❑√15 4 √15 ，
= ×❑ =2❑√3
2❑√5 2 5
故答案为：2❑√3．
【题型3 二次根式的乘除法运算】
√1
14．（23-24八年级下·河北承德·期中）计算❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12= ．
2
【答案】4−❑√6/−❑√6+4
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次
根式，最后合并即可．
√1
【详解】解：=❑√48÷3−❑ ×12
2
=❑√16−❑√6
=4−❑√6．
15．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
√25
(1)❑ ÷❑√5；
4
3 √ 2 √ 1
(2)❑√30× ❑2 ÷2❑2 ；
2 3 2
(3) √12 1 √ 3 ( 3 √ 18 )．
3❑ ⋅ ❑ ÷ − ❑
x 2 xy 4 x y3
❑√5
【答案】(1)
2
(2)3❑√2
2y❑√2x
(3)−
x√25 √5 ❑√5
【详解】解：（1）原式=❑ ÷5=❑ = ．
4 4 2
3 √8 1 √2 3 1 √ 8 2
（2）原式=❑√30× ❑ × ❑ = × ❑30× × =3❑√2．
2 3 2 5 2 2 3 5
（3）原式
√12 1 √ 3 ( 4 √x y3) 1 4 √12 3 x y3 2y❑√2x．
=3❑ ⋅ ❑ ⋅ − ❑ =−3× × ❑ ⋅ ⋅ =−
x 2 xy 3 18 2 3 x xy 18 x
√8 √ 1
16．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：3❑√54×❑ ÷❑1 ；
9 5
【答案】6❑√10
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合
计算法则求解即可．
√8 √ 1
【详解】解：3❑√54×❑ ÷❑1
9 5
√ 8 5
=3❑54× ×
9 6
=3❑√40
=6❑√10．
17．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：2 ❑√ab5 ⋅ ( − 3 ❑√a3b ) ÷ ( 3❑ √b ) ( b>0 ) ；
b 2 a
【答案】−a2b❑√ab
【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算
即可
【详解】解：∵b>0
∴a>0，
∴2 ❑√ab5 ⋅ ( − 3 ❑√a3b ) ÷ ( 3❑ √b )
b 2 a
= 2 ⋅ ( − 3) × 1 ❑ √ ab5 ⋅a3b⋅ a
b 2 3 b
1
=− ❑√a5b5
b1
=− ⋅a2b2❑√ab
b
=−a2b❑√ab
√5 √5 ❑√3
18．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：❑ ÷❑ −❑√6× ．
3 6 3
【答案】0
【分析】本题考查了二次根式乘除法的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是
解题的关键．根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可．
√5 5 ❑√3×6
【详解】解：原式=❑ ÷ −
3 6 3
√5 6 ❑√18
=❑ × −
3 5 3
3❑√2
=❑√2−
3
=❑√2−❑√2
=0．
√1
19．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）计算：2❑√6×❑ ÷❑√3．
2
【答案】2
【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
根据二次根式的乘除法法则计算即可．
√ 1
【详解】解：原式=2❑6× ÷3 =2．
2
20．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3 ( 1 ) √ 2；
❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
(2)❑√3a (√ b √ 1 )．
⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
【答案】(1)−3❑√10
3❑√2
(2)
8
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
【详解】（1）解：3 ( 1 ) √ 2
❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
3 ( 4❑√3) 2❑√6
= ×2❑√5× − ÷
2 3 3
( 4❑√3) 3
=3❑√5× − ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
=−3❑√10
（2）❑√3a (√ b √ 1 )
⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
❑√3a (√ b √ 4 )
= ⋅ ❑ ÷❑
2b 2a 3b
❑√3a √ b 4
= ⋅❑ ÷
2b 2a 3b
❑√3a √ b 3b
= ⋅❑ ×
2b 2a 4
❑√3a b❑√6a
= ⋅
2b 4a
3❑√2
=
8
√1 3 √ 2
21．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）化简计算9❑√45÷3❑ × ❑2 ．
5 20 3
9
【答案】 ❑√6
2
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进
行乘除运算即可．
√1 3 √ 2
【详解】解：9❑√45÷3❑ × ❑2
5 20 31 3 √ 8
=9× × ×❑45×5×
3 20 3
9
= ×❑√25×4×6
20
9
= ×10×❑√6
20
9
= ❑√6．
2
√ 1 1 √5
22．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）计算：−❑√3×2❑2 ÷ ❑ ．
3 4 2
8❑√70
【答案】−
5
√7 ❑√10
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得−❑√3×2❑ ÷ ，再把除法
3 8
2❑√21 4❑√10
化为乘法，得−❑√3× × ，再化简运算，即可作答．
3 5
√7 ❑√10 2❑√21 4❑√10 8❑√70
【详解】解：原式=−❑√3×2❑ ÷ =−❑√3× × =− ．
3 8 3 5 5
【题型4 最简二次根式的判定】
23．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）下列根式中，最简二次根式是（ ）
√1
A．❑√9 B．❑√10 C．❑√a2 D．❑
3
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开
方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方
式的因数或因式．利用最简二次根式定义进行解答即可．
【详解】解：A．❑√9=3，则❑√9不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．❑√10是最简二次根式，故此选项符合题意；
C． ，则 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
❑√a2=|a) ❑√a2
√1 ❑√3 √1
D．❑ = ，则❑ 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
3 3 3
故选：B．
24．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）下列各式①❑√8；②❑√0.3；③❑√12；④❑√3；⑤；其中一定是最简二次根式的有（ ）
❑√a2+1
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】此题考查最简二次根式，根据最简二次根式条件进行判断即可，熟记最简二次
根式满足的条件即可正确解题．
【详解】解：①❑√8=2❑√2， 故①不符合题意；
❑√30
②❑√0.3= ，故②不符合题意；
10
③❑√12=2❑√3，故③不符合题意；
④❑√3是最简二次根式，故④符合题意；
⑤ 是最简二次根式，故⑤符合题意；
❑√a2+1
∴最简二次根式的有两个，
故选：C．
25．（22-23九年级上·河南南阳·期中）下列根式中的最简二次根式是（ ）
√1
A．❑√7 B．❑√8 C．❑ D．❑√m2
4
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开
方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可．
【详解】解：A．❑√7符合最简二次根式的定义，因此❑√7是最简二次根式，所以选项A
符合题意；
B．❑√8=2❑√2，因此选项B不符合题意；
√1 1
C．❑ = ，因此选项C不符合题意；
4 2
D． ，因此选项D不符合题意；
❑√m2=|m|
故选：A．
26．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
4 √m
A．❑√8x B． C．❑ D．❑√x2+4
❑√a 2
【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故该选项不符
合题意；
4 4❑√a
B、 = ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
❑√a a
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、 ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
❑√x2+4
故选：D．
27．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√3
A．❑ B．❑√a2+b2 C．❑√4 D．❑√0.3
5
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，根据最简二次根式的判定条件逐项判断即
可得出答案，熟练掌握二次根式的判定条件是解此题的关键．
√3
【详解】解：A、❑ 中被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意；
5
B、 是最简二次根式，符合题意；
❑√a2+b2
C、❑√4中被开方数是开得尽方的数，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、❑√0.3中被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
28．（23-24八年级下·广西防城港·期末）下列是最简二次根式的是（ ）
A．❑√3 B．❑√0.5 C．❑√8 D．❑√9
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数
不含能开的尽的因数或因式；被开方数不含分母的二次根式叫做最简二次根式．
【详解】解：A、❑√3是最简二次根式，符合题意；
B、❑√0.5被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、❑√8=2❑√2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、❑√9=3，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．
【题型4 化简二次根式】
29．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简❑√18的结果是（ ）．
A．4 B．2 C．8 D．3❑√2
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，利用❑√ab=❑√a⋅❑√b(a≥0,b≥0)进行化简即
可；
【详解】解：❑√18=❑√9×2=❑√9×❑√2=3❑√2，
故选D
30．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 ❑√1.5化为最简二次根式为 ．
❑√6 1
【答案】 / ❑√6
2 2
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键．
最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方
的因数或因式”，依据概念化简即可．
【详解】解： √3 ❑√3 ❑√6，
❑√1.5=❑ = =
2 ❑√2 2
❑√6
故答案为： ．
2
31．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式：
√3 √ 1
(1)❑√28 (2)❑ (3)❑2 (4)❑√9a2b5
5 4
【答案】(1)2❑√7
1
(2) ❑√15
5
3
(3)
2
(4)
3|a)b2❑√b
【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解
答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简即可．（2）根据二次根式的性质化简即可．
（3）根据二次根式的性质化简即可．
（4）根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）❑√28=❑√4×7=2❑√7
√3 √3×5 1
（2）❑ =❑ = ❑√15
5 5×5 5
√ 1 √9 3
（3）❑2 =❑ =
4 4 2
（4）
❑√9a2b5=3|a)b2❑√b
【题型5 已知最简二次根式求参数】
√ 1
32．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把(a−b)❑− (a
