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专题 01 二次根式（五大题型）
【题型1 二次根式的概念】
【题型2 求二次根式的参数】
【题型3二次根式有意义的条件】
【题型4 利用二次根式的性质化简】
【题型5复合二次根式的化简】
【题型1 二次根式的概念】
1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
1
A． B．√3 4 C．❑√3 D．−2
2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如❑√a(a≥0)的式子叫做
二次根式是解题的关键．
【详解】根据二次根式的定义可得：❑√3是二次根式
故选：C．
√ x
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当x=−4时，二次根式❑6+ 的值是（ ）
2
A．4 B．2 C．−2 D．±2
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确
运算．
√ x √ 4
【详解】解：当x=−4时，❑6+ =❑6− =❑√4=2．
2 2
故选：B．
3．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1， ， ， ，
❑√28 ❑√−1 ❑√m ❑√x2+1 √325A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：❑√28，1，❑√−1，❑√m，x2+1，√325中一定是二次根式的有❑√28、
，共2个，故D正确．
❑√x2+1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如
❑√a(a≥0)的代数式叫做二次根式．
4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√3 √35 ❑√a2 ❑√0.5
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．
【详解】一般的，形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，因此√35不是二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键．
【题型2 求二次根式的参数】
5．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知n是正整数，❑√18n是整数，则n
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据n是正整数，❑√18n是正整数，得出18n是
一个完全平方数，再将18分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：∵ n是正整数，❑√18n是正整数，
∴ 18n是一个完全平方数，
，
∵18n=2×32×n=32×(2n)
∴ 2n是一个完全平方数，
∴ n的最小值为2，
故选：A．
6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知❑√12−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据❑√12−m是整数对m的值进行分
析讨论．
【详解】解：由题意得：12−m≥0，解得m≤12，
又因为❑√12−m是整数，
∴12−m是完全平方数，
当12−m=0时，即m=12，
当12−m=1时，即m=11，
当12−m=4时，即m=8，
当12−m=9时，即m=3，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然
数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
1 1
7．（23-24九年级下·山东烟台·期中）若x+ =7，则❑√x+ 的值是（ ）
x ❑√x
A．3 B．±3 C．❑√5 D．±❑√5
【答案】A
【分析】根据题意，利用完全平方式和二次根式的性质进行计算，即可得到答案．
1
【详解】解：∵x+ =7，
x
1 1
∴（❑√x+ ）2＝x+2+ =7+2＝9，
❑√x x
1
∵❑√x+ ＞0，
❑√x
1
∴❑√x+ =3，
❑√x
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方式，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，
正确的进行解题．8．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+ ＝0，则 的值为（ ）
❑√y−3 ❑√(xy) 2
A．5 B．﹣6 C．6 D．36
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方
根的定义解答即可．
【详解】解：∵|x+2|+❑√y−3＝0，
∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3，
∴ ．
❑√(xy) 2=❑√(−2×3) 2=6
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本
知识是解题的关键．
9．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当x=0时，二次根式❑√3x+1的值是
【答案】1
【分析】本题考查二次根式求值．
将x的值代入计算可得．
【详解】解：将x=0代入，得：❑√3x+1=❑√3×0+1=❑√1=1，
故答案为：1．
10．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）当a=2033时，二次根式❑√a−2024的值是
．
【答案】3
【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将a=2033代入二次
根式❑√a−2024求值即可．
【详解】解：当a=2033时，二次根式❑√a−2024=❑√2033−2024=❑√9=3．
故答案为：3．
11．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知❑√a−6+|b−3)=0，则以a、b为边的等腰三
角形的底边长为 ．
【答案】3
【分析】由题意得，a−6=0，b−3=0，可求a=6，b=3，由等腰三角形可知，第
三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可．
【详解】解：∵❑√a−6+|b−3)=0，∴a−6=0，b−3=0，
解得，a=6，b=3，
由等腰三角形可知，第三条边为3或6，
当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去；
当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3，
综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角
形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定
义，三角形三边关系的应用是解题的关键．
12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 ❑√9−n是整数，则满足条件的正整数n共有
个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到n≤9，再根据❑√9−n
是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵9−n≥0，
∴n≤9，
∵❑√9−n是整数，9−n=4或9−n=1或9−n=0，
∴满足条件的正整数n是5或8或9．
即满足条件的正整数n共有3个，
故答案为：3．
13．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）若❑√150x是一个整数，则最小正整数x的值是
．
【答案】6
【分析】先将❑√150化简为最简二次根式，再取x的最小正整数值，使被开方数开得尽．
【详解】解：∵ ❑√150x=5❑√6x，
当x=0，6，24…时，都可以开方，
∵6是最小正整数，
∴x=6时，被开方数开得尽，结果为整数，故x=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握．【题型3二次根式有意义的条件】
14．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数a满足|2021−a)+❑√a−2022=a．那
么a−20212的值是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被
开方数是非负数，得到a−2021+❑√a−2022=a，即可得．解题的关键是掌握二次根
式中的被开方数是非负数，绝对值的意义．
【详解】解：∵实数a满足|2021−a)+❑√a−2022=a，
∴a−2022≥0，
∴a≥2022，
∴a−2021+❑√a−2022=a，
∴❑√a−2022=2021，
∴a−2022=20212，
∴a−20212=2022．
故选：A．
15．（24-25八年级上·四川达州·期末）若 ，a，b为实数，则 的
a=❑√b−2+❑√2−b−3 ❑√ab
值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集．
根据二次根式有意义的条件求出 ，进而求出 ，然后代入 计算即可．
b=2 a=−3 ❑√ab
【详解】解：∵a=❑√b−2+❑√2−b−3，
{b−2≥0)
∴ ，
2−b≥0
解得b=2，
∴a=❑√2−2+❑√2−2−3=−3，
∴ ．
❑√ab=❑√(−3) 2=3
故答案为：3．1
16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）若❑√3x+2+ 在实数范围内有意义，则实
x−1
数x的取值范围是 ．
2
【答案】x≥− 且x≠1
3
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：
被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式
与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：3x+2≥0，且x−1≠0，
2
解得：x≥− 且x≠1，
3
2
故答案为：x≥− 且x≠1．
3
❑√x+2
17．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知函数y= ，则自变量x的取值范围是
x−3
．
【答案】x≥−2且x≠3
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握
相关有意义的条件成为解题的关键．
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
❑√x+2
【详解】解：∵y= ，
x−3
{x+2≥0)
∴ ，
x−3≠0
解得：x≥−2且x≠3．
故答案为：x≥−2且x≠3．
18．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）若❑√m−3有意义，则m能取的最小整数值是
．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数
为非负数，可得不等式m−3≥0，解不等式可得m≥3，在这个范围内的最小整数为3．
【详解】解：∵❑√m−3有意义，
∴m−3≥0，解得：m≥3，
∴m能取的最小整数值是3．
故答案为：3 ．
19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足y=❑√x−2+❑√2−x−3,yx值是
．
【答案】9
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式
中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出
x=2，然后可得y=−3，再进行求解即可．
【详解】解：∵❑√x−2≥0,❑√2−x≥0，
∴¿
∴¿
∴x=2，则y=0+0−3=−3，
∴ ．
yx=(−3) 2=9
故答案为：9．
【题型4 利用二次根式的性质化简】
20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列计算正确的是（ ）
A．
(❑√3) 2=3
B．
±❑√9=3
C．
❑√16=±4
D．
❑√(−3) 2=−3
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质， ，
❑√a2=|a)
，是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，然后分析作出判断即可．
(❑√a) 2=a
【详解】解：A．
(❑√3) 2=3
，故A正确，符合题意；
B．±❑√9=±3，故B错误，不符合题意；
C．❑√16=4，故C错误，不符合题意；
D． ，故D错误，不符合题意．
❑√(−3) 2=3
故选：A．21．（24-25八年级上·四川眉山·期中）
(−❑√9) 2
的平方根是为（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
【答案】C
【分析】本题考查平方根，平方根的计算，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；
根据平方根的定义计算即可求解；
【详解】解： ，
(−❑√9) 2=9
9的平方根是±3；
故选：C
√ 1
22．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把(2−x)❑ 中根号外的因式移入根号内，
x−2
下面式子正确的是 （ ）
A．❑√x−2 B．❑√2−x C．−❑√2−x D．−❑√x−2
【答案】D
【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得x−2>0，
√ 1 √ 1
故(2−x)❑ =−(x−2)❑
x−2 x−2
√ 1
=−❑ ×(x−2) 2=−❑√x−2，
x−2
故选：D．
23．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 ，则化简 的结
❑√2≤a≤❑√3 ❑√a2−2a+1−|a−2)
果是（ ）
A．2a−3 B．−1 C．−a D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．
先利用完全平方公式，二次根式性质 ，绝对值的性质，结合 进行
❑√a2=|a) ❑√2≤a≤❑√3
化简，再合并同类项即可得解．
【详解】解：∵ 1<❑√2≤a≤❑√3<2，∴ a−1>0，a−2<0，
∴❑√a2−2a+1−|a−2)
=❑√(a−1) 2−(2−a)
=|a−1)−(2−a)
=a−1−(2−a)
=2a−3．
故选A．
24．（23-24 八年级下·全国·单元测试）若 ，则 的取值范围为
❑√(3a−1) 2=1−3a a
（ ）
1 1 1 1
A．a< B．a≤ C．a> D．a≥
3 3 3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据 可得
❑√a2=|a)
1
1−3a≥0，则a≤ ．
3
【详解】解：∵ ，
❑√(3a−1) 2=1−3a
∴1−3a≥0，
1
∴a≤ ，
3
故选：B．
25．（24-25八年级上·全国·期末）已知 ，则 化简后为 ．
ab<0 ❑√a2b
【答案】−a❑√b
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵ab<0，a2b>0
∴a<0,b>0
∴ ，
❑√a2b=|a)❑√b=−a❑√b
故答案为：−a❑√b．26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图：化简代数式
的值为 ．
❑√a2−|a+b)+❑√(c−a) 2+|b+c)
【答案】−a
【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等
知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．
先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、
二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：由图示可得：b0，b+c<0，
所以
❑√a2−|a+b)+❑√(c−a) 2+|b+c)
=−a−[−(a+b))+c−a−(b+c)
=−a+a+b+c−a−b−c
=−a．
故答案为−a．
27．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）化简❑√16= ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行
化简．
【详解】解：❑√16=4，
故答案为：4．
28．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简： √ (3 2) 2 |4 2)
❑ − + − =
5 5 5 3
1
【答案】
3
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，先根据二次根式的性质，绝对
值的意义化简，再算加法．【详解】解：原式 √ (1) 2 | 2 ) 1 2 1．
=❑ + − = + =
5 15 5 15 3
1
故答案为： ．
3
【题型5复合二次根式的化简】
29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足a+b❑√3=❑√12−6❑√3，
则a−b等于（ ）
A．−2 B．−4 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把❑√12−6❑√3化简为
3−❑√3．
先把❑√12−6❑√3化简为3−❑√3，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算a−b的
值．
【详解】解：∵ ，
❑√12−6❑√3=❑√(3−❑√3) 2=3−❑√3
又∵a+b❑√3=❑√12−6❑√3，
∴a+b❑√3=3−❑√3，
∴a=3，b=−1，
∴a−b=3−(−1)=3+1=4，
故选：D．
30．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：
，
5+2❑√6=(2+3)+2❑√2×3=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
，……．请运用以上
8+2❑√7=(1+7)+2❑√1×7=12+(❑√7) 2+2×1×❑√7=(1+❑√7) 2
的方法化简❑√7+2❑√10= ．
【答案】❑√5+❑√2/❑√2+❑√5
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方
法进行化简即可．
【详解】解：❑√7+2❑√10=❑√5+2+2❑√10
=❑√ (❑√5) 2+(❑√2) 2+2×❑√5×❑√2=❑√ (❑√5+❑√2) 2
=❑√5+❑√2；
故答案为：❑√5+❑√2．
31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些
含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如 ，善于思考的小明进
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
行了以下探索，若设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2
（其中，a，b，m，n
均为整数），则有a=m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b❑√2的式子
化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若
a+b❑√5=(m+n❑√5) 2
，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示
a，b，得：a＝ ，b＝ ．
(2)若
a+6❑√7=(m+n❑√7) 2
，当a，m，n均为正整数时，求a的值．．
(3)化简：❑√6−2❑√5+❑√6+2❑√5.
【答案】(1)a=m2+5n2；b=2mn
(2)a=16或64
(3)2❑√5
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌
握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出a、b；
（2）在（1）的基础上，求出a=m2+7n2，2mn=6，根据a，b，m，n均为整数，分
两种情况求出m，n；
（3）在前面两问的基础上探究结果．
【详解】（1）解：
∵a+b❑√5=(m+n❑√5) 2
，
， ， ， 均为整数），
∴a+b❑√5=m2+2mn❑√5+5n2 (a b m n
∴a=m2+5n2，b=2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；（2）
∵a+6❑√7=(m+n❑√7) 2
，
， ， ， 均为整数），
∴a+6❑√7=m2+2nm❑√7+7n2 (a b m n
∴a=m2+7n2，2mn=6，
∴mn=3，
①m=1，n=3，a=64，
②m=3，n=1，a=16，
综上所述：a=64或16；
（3）
∵ (1−❑√5) 2=1−2×1×❑√5+5=6−2❑√5
，
，
(1+❑√5) 2=1+2×1×❑√5+5=6+2❑√5
∴ ❑√6−2❑√5+❑√6+2❑√5
=(❑√5−1)+(❑√5+1)
=2❑√5．
32．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．这样就可以将 进行化简，
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ❑√3+2❑√2
即： ．
❑√3+2❑√2=❑√ (1+❑√2) 2=1+❑√2
善于思考的小明进行了以下探索：
对于a+2❑√b，若能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=❑√b，则a+2❑√b 可
变为 ，即变成 ，从而使得 ．
m2+n2+2mn (m+n) 2 ❑√a+2❑√b=❑√(m+n) 2=m+n
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵ ，
4+2❑√3=1+3+2❑√3=(❑√1) 2+(❑√3) 2+2❑√3=(1+❑√3) 2
∴ ．
❑√4+2❑√3=❑√ (1+❑√3) 2=1+❑√3
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简❑√6+2❑√5；
(2)化简❑√5−2❑√6；(3)若 ，求a的值．
❑√a2+4❑√5=2+❑√5
【答案】(1)1+❑√5
(2)❑√3−❑√2
(3)a=±3
【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
6+2❑√5=1+5+2❑√5=12+2❑√5+(❑√5) 2=(1+❑√5) 2
，
∴ ；
❑√6+2❑√5=❑√(1+❑√5) 2=1+❑√5
（2）解：∵
5−2❑√6=3+2−2❑√6=(❑√3) 2 −2❑√3×❑√2+(❑√2) 2=(❑√3−❑√2) 2
，
∴ ；
❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2
（3）解：∵
(2+❑√5) 2=22+2×2×❑√5+(❑√5) 2=4+5+4❑√5=9+4❑√5
，
∴a2=9，则a=±3．
【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思
想求解是解答的关键．
