文档内容
专题 19.6 难点探究专题：一次函数与几何图形的综合问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】....................................................................................................1
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】..........................................................................................12
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】......................................................................................................19
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】......................................................................................................29
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】..................................................................................................37
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线 与 轴交于点A，与直线
交于点B，且直线 与 轴交于点C，求 的面积．
【答案】 的面积为4
【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方
程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据
的面积 的面积 的面积求出答案．
【详解】解：令 中 ，得 ，解得： ，
∴ ，
令 中 ，得 ，
∴ ，
解方程组 ，得： ，
∴ ，
过点B作 轴，则 ，
令 中 ，得 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，,
∴
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，且两个函数图象相交于点 ．
(1)填空： ______；
(2)求 的面积；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 的面积与四边形 的面积比为 ？若存在，诸求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的面积为50
(3)存在点M，且
【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将 代入一次函数 与
；
（2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D
的坐标；
（3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出
【详解】（1）解： 是一次函数 与 的图象的交点，
，解得 ，
，解得 ；
（2）一次函数 中，当 时， ；当 时， ，
，
一次函数 中，当 时， ，，
，
的面积为 ；
（3） 的面积与四边形 的面积比为 ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
存在点M，且 ．
2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标
分别为 、 ，且 ；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）
(1)求 的长；
(2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线 匀速运动，设点P运动时间为t秒．连接 ，若
的面积为s，求s与t之间的关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过P作直线 的垂线，垂足为D，直线 与y轴交于点E，连接 ，连接 并延长交 于点F，在点P运动的过程中，当 的面积等于8时，请求出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、面
积的计算等：
（1）把 变形为 ，根据非负数的性质即可，求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）当点P在线段 时，证明 ，得到 为等腰直角三角形，即可求解；当点P
在 延长线时，同理可解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ， ，
即 ；
（2）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线 匀速运动，点P运动时间为t秒，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当点P在线段 时，如下图，
过点F作 于点M，则 ，则 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，则 ，
则 为等腰直角三角形，
则 ，
则点 ；
当点P在 延长线时，如下图：
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，而 ，则 ，
则 为等腰直角三角形，
则 ，
则点 ；
综上，点F的坐标为： 或 ．
3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x
轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)若直线 上有一点P，且 ，求点P的坐标；
(3)直线 上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与 全等？若存在，请直接写出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)点 或
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、两点之间的距离和全等三角形的性质，
（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线 的函数表达式．
（2）先求出 点坐标，再结合 ，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P；（3）分情况：当 ，则点M即为点A；当 ，求得过点A与直线 平行的直
线l的表达式，设点 ，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点 ．
【详解】（1）解：一次函数 的图象与y轴交于点B，
∴当 时， ，
∴ ，
又
设直线 的函数表达式为： ，
把 代入 ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ．
（2）一次函数 的图象与x轴交于点A，
∴当 时， ，
∴ ，
设 上有一点 使得 ，
如图，
，得 ，解得 ，则点 ；，得 ，解得 ，则点 ；
综上所述，点 或 ．
（3）①当 ，则点M即为点A，此时点
②当 ，
设过点A与直线 平行的直线l∶ ，
代入 ，
解得l∶ ，
设点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， （舍去），
则点 ，
故点 或 ．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，
点 是直线 上与 、 不重合的动点．(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；
(2)当点C运动到 或 的位置时， 的面积被直线 分成1：2的两部分
(3)存在，点 的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）由 得 ，根据 ，得 ，利用待定系数法即得直线 的解析式
为 ；
（2）可得 的面积 ，当 时， ，可得 ，
，即得 ，当 时，同理可得 ；
（3）在 中， ， ， ，分两种情况①若 ，②若
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
， ，
，，
，
把 代入 得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ， ，
的面积 ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
综上所述，当点C运动到 或 的位置时， 的面积被直线 分成1：2的两部分；
（3）解：存在点 ，使 与 全等，
在 中， ， ，
，
①若 ，过 作 交 轴于 ，过 作 于 ，如图：
， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
而 ，
，
解得 或 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去，∴ ，
同理可知， 时，
， ， ，
，
同理可得 ，
②若 时，如图：
， ，
，
在 中，令 得 ，
，
此时 ， ，符合题意，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，过点 作 轴于点 ．点 是 轴上一动点，过
作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于点 ， ．(1)设 的长为 ， 点的横坐标为 ，求 与 的函数表达式；
(2)若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求 的值．
【答案】(1)当 时， ；当 时，
(2) 的值为 或
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．
（1）用 分别表示出 、 的坐标，则可表示出 与 之间的关系式；
（2）由条件可知 ，利用平行四边形的性质可知 ，由（ ）的关系式可得到关于 的方程，
可求得 的值．
【详解】（1）解： 点的横坐标为 ，过 作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于 ， ，
把 代入 中可得 ，即 ， ，
把 代入 中可得 ，即 ， ，
当 时， ；
当 时， ．
（2）解：由题意可知 ，
若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
则 ，
，解得 或 ，
即当 的值为 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图1，平行四边形 中， ，两动点M，N同时从点
A出发，点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿 的路径匀速运动，到达点B时停止运动， 的面积S（ ）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，
已知 ，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是 ；
②AD的长度为3cm；
③a的值为7；
④当 时，t的值为 或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由点M的速度和路程可知， 时，点M和点B重合，过点N作 于点E，求出 的长，
进而求出 的长，得出N点的速度；由图2可得当 时，点N和点D重合，进而可求出 的长；根
据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当 时，有两种情况，根据图象分
别求解即可得出结论．
【详解】解：∵ ，点M的速度为 ，
∴当点M从点A到点B，用时 ，
当 时，过点N作 于点E，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴N点的运动速度是 ；故①正确；
∴点N从D到C，用时 ， 由图2可知，点N从A到D用时3s，
∴ ，故②正确；
∴ ，故③正确；
当点M未到点B时，过点N作 于点E，
同理可得： ，
∴ ，
解得 ，负值舍去；
当点N在 上时，过点N作 交 延长线于点F，
此时 ，
∴ ，
∴ ， 解得 ，
∴当 时，t的值为 或9．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含 直角三角形的性质，熟
练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键．
2.如图，已知四边形 是平行四边形， 、 两点的坐标分别为 ， ．(1)点 的坐标为： ；
(2)求直线 的函数解析式．
【答案】(1)
(2)直线 的函数解析式为y＝2x
【分析】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，平行四边形的性质，掌握
平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解
答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
、 两点的坐标分别为 ， ，
， ， ，
，
，
为等腰直角三角形，
．
四边形 是平行四边形，， ，
．
， 轴，
四边形 为矩形，
，
，
，
故答案为： ；
（2）设直线 的函数解析式为 ，将点 代入
得： ，
解得： ，
直线 的函数解析式为 ．
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形 中， ， ，动点
分别以每秒1个单位长度的速度同时从点 出发，点 沿折线 方向运动到点 停止，点
沿折线 方向运动到点 停止（点 可以与线段端点重合），设运动时间是 （秒），点
的距离是 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当 时 的取值范围．【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当 时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，得出总的运动时间为
7秒，分两种情况：当 时，当 ，当 时，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形 中， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴总的运动时间为： 秒，
当点P在 ，点Q在 上运动时，即 时，
由题意得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
当点Q在 ，点P在 上运动时，即 时，
如图，过点B作 于E，过点P作 于点F，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据题意，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当点Q在 ，点P在 上运动时，即 时，
如图所示：
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
综上可得： ；
（2）解：函数图象如图，性质：当 时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，解得 ，
由图象可知，当 时， ．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判
定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键．
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A在 轴的
正半轴上，点 在 轴的正半轴上，线段 的长分别是 且满足 ，点 是线
段 上一点，将 沿直线 翻折，点 落在矩形的对角线 上的点 处．
(1)求 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)点 在直线 上，在 轴上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，(2)
(3)点N的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得 、 的长；由勾股定理求得 ，由
翻折的性质可得： ， ， ，在 中，由勾股定理可得
，解方程求得x的值，即可得 ，
（2）由（1）可得点D的坐标为 ，再利用待定系数法求得直线 的解析式即可；
（3）过E作 ，在 中，根据直角三角形面积的两种表示法求得 的长，再利用勾股定理
求得 的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得 的解析式，再根据平行四边形的性质分两
种情况求得点N的坐标即可．
【详解】（1）解：∵线段 的长分别是 且满足 ，
∴ ， ，
∴ ， ；
设 ，
由翻折的性质可得： ， ， ，
而 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
（2）由（1）点D的坐标为 ，
设 的解析式为： ，
把 ， 代入解析式可得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（3）过E作 ，在 中， ，
即 ，
解得： ，
在 中， ，
∴点E的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入解析式可得： ，
解得： ，
所以 的解析式为： ，
把 代入 的解析式 ，可得： ，
此时 ，
即 ，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且 为边时，
∴ ，
∴ ， ，∴点N的坐标为 或 ．
如图，当 为平行四边形的对角线时，
设 ， ，而 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上： 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行
四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数
的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形 为矩形， ，将矩形
沿直线 折叠，使点A落在点 处．
(1)求证： ；
(2)求直线 的函数表达式；(3)在y轴上作点 ，连接 ，点N是x轴上一动点，直线 上是否存在点M，使以M，N，E，F
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ， ， ，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等
知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
（1）先说明 ，由折叠可得 ，进而得出 ，最后根据等角对
等边即可解答；
（2）先求出 ，进而得出 ，根据勾股定理求出 ，即 ，进而
得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）①当 为对角线时， 于 互相平分，即 的中点也是 的中点，再求出 的中点坐标，
设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a. 为对角线时，先求出直线 的解
析式，进而求出 的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b. 为对角线时， 的中点，也
是 的中点，得出 的中点在直线 上，先求出 的中点坐标，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得： ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 解得： ，
∴ ，
∵点E在 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当 为对角线时， 于 互相平分，
∴ 的中点也是 的中点，
由（2）知， ，
∵ ，
∴ 的中点坐标为 ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；②当 为边时，
a. 为对角线时， ，
由（2）知，直线 的解析式为 ，
∵点
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ， ，
根据待定系数法可得：直线 的解析式为 ，
∵
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： ，
∴ ；
② 为对角线时， 的中点，也是 的中点，
∴ 的中点在直线 上，
设 ，
∵ ，
∴ 的中点坐标为 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的中点坐标为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴满足条件的点 ， ， ．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ，现将矩
形 绕点O逆时针旋转（ ）得到矩形 ，点B、C、D的对应点分别为点E、
F、G．
(1)如图1，当点E落在边 上时，求直线 的函数表达式；
(2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时， 所在直线与 分别交于点H、M，求线段 的长
度；
(3)如图3，设点P为边 的中点，连接 ，在矩形 旋转过程中，点B到直线 的距离是否存在
最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（ 1 ） 由 矩 形 ， 点 ， 得 ， ， ， 可 得
，即知 ， ，设 的函数表达式为 ，
求出 ，代入可得 ，故 的函数表达式为 ；
（2）过点 作 于 ，连接 、 ，证明 ，可得 ，又
， 有 ， 可 得 ， 设 ， 由 勾 股 定 理 有
；解得 ，即 ，从而可得 ；
（3）当 在 的左侧且 时， 到直线 的距离最大，设 于 的交点为 ，求出
，由面积法得 ，故点 到直线 的距离最大值是
．
【详解】（1）
解： 矩形 ，点 ，
， ， ，
矩形 是由矩形 旋转得到，
， ，
在 中， ，
，
， ，
直线 表达式为 ，
设 的函数表达式为 ，由 ， 得 ，
，
解得 ，
的函数表达式为 ；
（2）
解：如图，过点 作 于 ，连接 、 ，
矩形 是由矩形 旋转得到，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，；
解得 ，
，
，
，
；
（3）
解：在矩形 旋转过程中，点 到直线 的距离存在最大值，这个最大值是 ，理由如下：
当 在 的左侧且 时， 到直线 的距离最大，设 于 的交点为 ，如图：
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点 到直线 的距离最大值是 ．
【点睛】
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，旋转问题等，解题的关键是掌握旋转的性质．
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点B在y轴上，菱形
的顶点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点P是对角线 上的一个动点，当 取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使 的面积等于菱形 的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式；
（2）先确定当 取到最小值时点P的位置是直线 与y轴的交点，即可根据 、 的解析式，
求出点P的坐标，即可解答；
（3）存在，设点Q的坐标为 ，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐
标．【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴ ；
（2）连接 ，交 于点P，连接 ，交 于点N，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
由三角形三边关系可知： ，
∴当A、P、D三点共线时， 最小，
设 的解析式为 ，
将 、 代入，得： ，
解得： ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴P点坐标为 ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
如图，设 交y轴于点E，则 ，设 ，
则
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴Q点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质和菱形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系 中，点A，D的坐标分别为 ，以 为边作菱形 ，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转 得到点N，连接 ，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得 ，求点P的坐标；
②试探究 的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点P的坐标为 或 ，② 存在最小值，最小值为7
【分析】（1）根据菱形的性质求出 两点坐标，直线 的函数解析式为 ，代入 两点坐
标，可得；
（2）①考虑点P在 上、在 延长线上两种情况；
②点M在x轴运动， ，运动到点N在 延长线上时， 的值最小．
【详解】（1）解：由题意得
∵点A，D的坐标分别为 ，
∴ ，
则 ，
由菱形 得， ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，代入B、C两点坐标，
，
解得： ， ，∴直线 的函数解析式为 ；
（2）解：①点M与点B重合，即 ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
过点N作 轴于点E，
∴ ，
点D绕点M顺时针旋转 得到点N，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点N的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，代入D、N两点坐标，
，
解得： ， ，
直线 的函数解析式为 ，
∵ ，
∴点P在如图所示两种情况，
图1：点P即为 与 的交点，
，解得： ， ，即点P的坐标为 ，
图2：设直线 的函数解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵过点 ，
∴ ，
∴ ，
此时 与 的交点即为点P，
，
解得： ， ，即点P的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ，
②如图所示，M运动到x轴负半轴 、原点 、正半轴 处，
则 ，M运动到正半轴 处， ，
由此可见，点M运动到 处时，点N在 延长线上时， 的值最小，
过N点作 轴于点E，即 ，
设点M的坐标为 ，则 ，
由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即
∵
∴在 中， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
解得： ，
∵M在x轴正半轴，
∴ ，舍去，
∴点M运动到 处， 的值最小，
，
那么 的值为 ，
∴ 存在最小值，最小值为7
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求
一次函数的解析式，一次函数的交点问题，难度大，综合性强，关键是注意分类讨论和动点问题．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形
是菱形，点A的坐标为 ，点C在x轴正半轴上， 边交y轴于点H．
(1)求直线 的函数解析式及 的长；
(2)连接 ，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设
的面积为 ），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段 上运动时，是否存在以 为腰的等腰三角形 ？若存在，直
接写出t的值；如不存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
【答案】(1) ，(2)
(3)存在，1或
【分析】（1）由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线
的解析式；令 ，解得y，得 的长，易得 ；
（2）设点M到 的距离为h，由 的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P
在直线 上运动；②当P运动到直线 上时，分别得 的面积；
（3）分类讨论：①当 时， ，解得t；②当 时，利用勾股定理可得 的长，易
得t．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，则C点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 得： ，
即 ，
∴ ；
（2）解：设点M到 的距离为h，由
即 ，
∴ ；
①当P在直线 上运动时， 的面积S与P的运动时间t的函数关系为：
，即 ；
②当P运动到直线 上时， 的面积S与P的运动时间t的函数关系为：
，即 ，
故 ；
（3）解：存在，
①当 时，则 ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，即 ，
解得： ，
综上所述，满足条件的t值为1或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面
积公式及待定系数法求函数解析式、解一元一次方程等知识，利用分类讨论的思想，数形结合的思想求解
是解题关键．
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】例题：（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴
分别交于 、 两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ．
(1)直接写出：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)能否在 轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1) ， ， ，
(2)能， 点的坐标为
【分析】（1）令 及 可以求出 ， 点的坐标，要求点 ， 的坐标首先需要证 ，
证出 ，即可求出 的坐标，同理可以求出点 的坐标；
（2）先作出 关于x轴的对称点 ，连接 ， 与 轴交点 就是符合条件的点，求出 的坐标，
进而求出直线 ，再求出与 轴交点即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
∴ 的坐标 ，
当 时， ，
∴ 的坐标 ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴D的坐标为 ，
同理可得C的坐标为 ；
故答案为： ， ， ， ．
（2） 点 关于 轴对称的点为
直线 与 轴的交点就是能使 的长最小的点
设直线 的函数解析式为
直线 的函数解析式为把 代入 得
点的坐标为
【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的
最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角
形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形 的两直角边分别在坐标轴上，点 的坐标
是 ．
(1)在正方形 的边上找一点 ，使得 是 边上的“中线三角形”，求点 的坐标．
(2)直线 与正方形 的两边的交点为 ， ， 能否是“中线三角形”？若能，求该直线
的函数表达式；若不能，试说明理由．
【答案】(1) 或 或
(2) 或
【分析】（1）利用正方形的性质得到 ， ，进而得到 中点D的坐标为 ，再分当点P
在 上时，当点P在 上时，当点P在 上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可；（2）先证明直线 与x轴，y轴的夹角（锐角）都为 ，则当 与 有交点时，一定
不满足 能否是“中线三角形”；当 与 交于E、F时，则 ，则
，再证明 ，进而证明 ，得到 ；当中线 时，由等腰
直角三角形的性质得到 ， ，同理 ，则 三点共线，则
，求出 ，得到 ，则 ，利用待定系数法即可
求出直线 解析式为 ；当中线 时，过点E作 于H，设 ，
点T为 中点，则 ， ，由勾股定理得到 ，
则 ， ，求出 ，同理可得 ，则 ，求出
，则直线 解析式为 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ 中点D的坐标为 ，
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ；如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ；（2）解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴直线 与x轴，y轴的交点到原点的距离相同，
∴直线 与x轴，y轴的夹角（锐角）都为 ，
∴当 与 有交点时，一定不满足 能否是“中线三角形”；
当当 与 交于E、F时，则 ，
∴ ，
由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当中线 时，
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
同理 ，
∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴直线 解析式为 ；
如图所示，当中线 时，过点E作 于H，设 ，点T为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴直线 解析式为 ；
综上所述，直线 解析式为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角
形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 、 ，四边形 是正方
形，点 是 轴正半轴上一动点， ， 交正方形 外角的平分线 于点 ．
(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；
(2)点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴上．若四边形 为菱形，求直线 的解析式．
(3)连 ，点 是 的中点，当点 在 轴正半轴上运动时，点 随之而运动，点 到 的距离是否为
定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)(3)是定值，
【分析】（1）如图1中，取 的中点 ，连接 ．只要证明 即可；
（2）如图2中，作 交 作于 ，则 ，由四边形 是正方形，可证 ，
四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，推出四边形 不
可能是菱形，推出点 在点 的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出 ，可得当 坐标，致力
于待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离即可．
【详解】（1）证明：如图1中，取 的中点 ，连接 ．
为正方形的外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图2中，作 交 作于 ，由四边形 是正方形，可证 ，，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，
∴四边形 不可能是菱形，
∴点 在点 的右侧，
如图3中，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）解：如图4或5，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
∵ 垂直平分 ，
∴点 在直线 上，
∵ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离，
∴点 到 的距离 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解
题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
