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第 04 讲 一次函数的应用
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【题型5：一次函数与几何综合】
一、分段函数
有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函
数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式
发生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或
射线，我们把这类函数归类为分段函数。
在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量进
行对比。
二、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立一次函数表达式；
（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；
（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值； （5）写出答案。【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【典例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际
准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对A、B两种奖杯推出了不同
的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进
行了如下研究：
选择更优惠的奖杯购买方案
在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种
奖杯和2个B种奖杯共需80元．
素
材
一
甲、乙两个商 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售．
场的优惠方案
素
材 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；
二 数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种
奖杯不打折．
问题解决
任 （1）求A、B两种奖杯的原价．
务
一
任
（2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯m个，选择在甲
务 商场购买的总费用为y 元，选择在乙商场购买的总费用为y 元．请直接写出y 和
1 2 1
二 y 关于m的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案．
2
【变式1-1】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）东风商场文具部的某种毛笔每支售价
25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一
支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．
(1)分别写出两种优惠方法实际付款金额y （元），y （元）与x（本）之间的函数关
甲 乙
系式；
(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？
【变式1-2】（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说
题比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是18元和15元．根
据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共24本，并且购买A种笔记本的数量要不少于B种
1
笔记本数量的 ．
2
(1)问至少购买A种笔记本多少本？
(2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？
【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．
与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人
次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费．
(1)分别写出甲、乙两旅行社的收费y 、y 与旅行人数x之间函数关系式；
1 2
(2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？
(3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【典例2】（24-25九年级下·四川广安·阶段练习）某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种
商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元
购进乙种商品的数量相同．(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
(2)若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划
用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售
出后，甲种商品购进多少件，该商店获得利润最大，最大利润是多少？
【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“世界那么大，我想去看看”一句话
红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市
场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后
A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相
同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％．
今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格（元／ 1100 1400
辆）
销售价格（元／ 今年的销售价格 2400
辆）
(1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
(2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超
过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【变式2-2】（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载
人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力
基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与
应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞
船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进
价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航
天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方
案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
【变式2-3】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某
乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘
礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元．用2000元购进A品种柑橘礼盒数与用2500元
购进B品种柑橘礼盒数相同．
(1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产
品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超
过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇
应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的
最大收益为多少元？
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【典例3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知A， B两地相距200km，甲、乙两辆货
车装满货物分别从A， B两地相向而行，图中l ,l 分别表示甲、乙两辆货车离A地的
1 2
距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)分别求出直线l ,l 所对应的函数关系式；
1 2
(2)经过多长时间甲、乙两货车离A地的距离相等？
(3)经过多长时间甲、乙两货车相距20km？
【变式3-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）A,B两地在一条笔直的公路上，一辆货车
从A地出发匀速驶向B地，0.25h后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它
们离B地的路程y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图像．
(1)求货车离B地的路程y₁(km)与它行驶的时间x(h)之间的函数表达式；
(2)求两车之间相距不超过54km时，货车行驶时间x的取值范围．
【变式3-2】（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面AB的长为120cm，两端竖直放置挡板
AC和BD，小球P（看作一点）从挡板AC出发，匀速向挡板BD运动，撞击挡板BD
后反弹，以原速返回挡板AC，过程中小球和挡板AC的距离y(cm)与时间x(s)的关系
图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）(1)图中m=______，n=______，小球的速度为______cm/s．
(2)求图2中直线EF的函数解析式．
(3)若小球从挡板AC向挡板BD运动的过程中，同时，挡板AC以6cm/s的速度匀速向
挡板BD运动，运动过程中（小球与挡板BD撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中
点处时，运动时间为ts，请直接写出t的值．
【变式3-3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小
佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，
按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中
线段OD和折线A−E−B−C分别表示小佳和小乐离甲小区的路程s（千米）与时间t
（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列
问题：
(1)求小佳骑电动车的速度．
(2)求线段BC所在直线的函数表达式．
(3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【典例4】（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，
探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为45℃，在真空冷却过程中，温度T（单位：℃）与冷却时间t（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降
2.5℃；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降2℃．同时，标本的细胞活性y与温度
T也满足一次函数关系，且当T=35℃时，y=0.7；当T=25℃时，y=0.3．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数解析式；
(2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间．
【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给
传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进
而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：
制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R(Ω)与踏板上人的质量
m(kg)之间的几组对应值如下表：
人的质量
0 30 60 90 120
m(kg)
可变电阻 240 180 120 60 0
R(Ω)
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关
系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式；
(3)当可变电阻R为100Ω时，求人的质量m应为多少kg？【变式4-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践
活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一
个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，
实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
(1)实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表：
时间x（小时） 0 1 2 3 4
圆柱体容器液面高度y 3 5 7 9 11
（厘米）
在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接；
(2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式；
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘
米时是几点？
【变式4-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）项目学习：认识杆秤
知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠
杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必
正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加
焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图
1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一．材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂
物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y
（斤）；则y是关于x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 8 10
y（斤） 1.5 2 3 4 5 6
材料2：
根据以上素材，解决下面问题：
(1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误
的；
(2)求出这个一次函数的关系式；
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？
【题型5：一次函数与几何综合】
1
【典例5】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y= x+1与
1 23
x轴交于点B，直线l 与直线l ，x轴分别交于点A(1, )，C(4,0)．
2 1 2
(1)求直线l 的表达式．
2
(2)若D，E分别是直线l 和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为
2
顶点，AB为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的
1
函数表达式为y=x，直线l 的函数表达式为y=kx−5k(k<0)．
2
(1)若直线l 与直线l 有交点C(1,1)，求△BCO的面积；
2 1
(2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△PAO的面积与△CAO的面积相等？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【变式5-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线y=− x+8与x轴、y轴分别交
3
于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点
B′处．求：(1)求A、B两点坐标；
(2)求M坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出
所有点P的坐标．
【变式5-3】（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点
A，交y轴于点B，点C 的坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求
2
点D的坐标．
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐
标．
一、单选题1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈
查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是29−38华氏度（℉）我国常用的摄氏温标
9
x(℃)．和华氏温标y(℉)满足一次函数关系：y= x+32，那么小王应建议妈妈抵达
5
目的地时穿（ ）
A．春季服装 B．夏季服装 C．秋季服装 D．冬季服装
2．（2025·陕西西安·一模）如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光
1
线NP交x轴于点P(−1,0)，若光线MN满足的一次函数关系式为y=ax+ ，则a的值
2
是（ ）
1 1 ❑√2 ❑√3
A．− B．− C．− D．−
2 3 2 3
3．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y=−❑√3x−3的图象与两坐标
轴所围成的三角形的面积为（ ）
3 3❑√3
A．❑√3 B． C．❑√2 D．
2 2
4．（2025·山西·模拟预测）温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，
随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速
度v(m/s)与温度t(°C)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的
函数关系式为（ ）
温度t/°C ⋯ 20 25 30 ⋯
声速 ⋯ 1480 1505 1530 ⋯
v/(m/s)
A．v=20t+1480 B．v=5t−1380 C．v=−5t+1380 D．v=5t+1380
二、填空题
5．（2025·湖北黄冈·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作
了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
ℎ
（单位：cm）是时间t（单位：
min）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当t为20min时，对应的高度
ℎ
为
cm．
t/min … 1 2 3 …
ℎ /cm … 2 2.3 2.6 …
6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周
时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的
原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
ℎ
（单位：cm）是时间t
（单位：min）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当t为18min时，对应的高
度
ℎ
为 cm．
t/min … 1 2 3 …
h/cm … 2 2.3 2.6 …
三、解答题7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体
育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体
育运动”的开展，学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价
格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之
间的关系如图所示．
(1)购买数量020时，y与x的函数表达式：
(3)若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购
买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表
是近两天两种套餐的收入统计：
数量 收入
套餐时
间
A套餐 B套餐
第一天 20次 10次 2800元
第二天 15次 20次 3350元
(1)求这两款套餐的单价；
(2)A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店
1
每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的 ，求火锅店每天在这
5
两种套餐上获得的最大利润．
9．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水
936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546
(1)请将上述表格补充完整；
(2)设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的函数关系式．
(3)泳池中水多长时间放完？
10．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过
非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某
文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成
本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑
兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a
件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将
自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位
售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为
260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
(1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
(2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先
生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭
配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源
汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行
销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B
型汽车的进价共计132万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽
车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利
3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？
最大利润是多少元？
13．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线
1
AB:y = x+1与直线CD:y =mx+n交于点A(4,a)，直线CD交y轴于点D(0,9)．
1 2 2(1)求出a的值；
(2)求直线CD的解析式；
(3)若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
14．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人
机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙
两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，
完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达
距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的
高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问
题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时
间．
