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专题 01 二次根式（五大题型）
【题型1 二次根式的概念】
【题型2 求二次根式的参数】
【题型3二次根式有意义的条件】
【题型4 利用二次根式的性质化简】
【题型5复合二次根式的化简】
【题型1 二次根式的概念】
1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
1
A． B．√3 4 C．❑√3 D．−2
2
√ x
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当x=−4时，二次根式❑6+ 的值是（ ）
2
A．4 B．2 C．−2 D．±2
3．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1， ， ， ，
❑√28 ❑√−1 ❑√m ❑√x2+1 √325
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√3 √35 ❑√a2 ❑√0.5
【题型2 求二次根式的参数】
5．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知n是正整数，❑√18n是整数，则n
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知❑√12−m是整数，则自然数m的最小值是
（ ）
A．2 B．3 C．8 D．111 1
7．（23-24九年级下·山东烟台·期中）若x+ =7，则❑√x+ 的值是（ ）
x ❑√x
A．3 B．±3 C．❑√5 D．±❑√5
8．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+ ＝0，则 的值为（ ）
❑√y−3 ❑√(xy) 2
A．5 B．﹣6 C．6 D．36
9．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当x=0时，二次根式❑√3x+1的值是
10．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）当a=2033时，二次根式❑√a−2024的值是
．
11．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知❑√a−6+|b−3)=0，则以a、b为边的等腰三
角形的底边长为 ．
12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 ❑√9−n是整数，则满足条件的正整数n共有
个．
13．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）若❑√150x是一个整数，则最小正整数x的值是
．
【题型3二次根式有意义的条件】
14．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数a满足|2021−a)+❑√a−2022=a．那
么a−20212的值是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
15．（24-25八年级上·四川达州·期末）若 ，a，b为实数，则 的
a=❑√b−2+❑√2−b−3 ❑√ab
值为 ．
1
16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）若❑√3x+2+ 在实数范围内有意义，则实
x−1
数x的取值范围是 ．
❑√x+2
17．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知函数y= ，则自变量x的取值范围是
x−3
．
18．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）若❑√m−3有意义，则m能取的最小整数值是
．
19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足y=❑√x−2+❑√2−x−3,yx值是．
【题型4 利用二次根式的性质化简】
20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列计算正确的是（ ）
A．
(❑√3) 2=3
B．
±❑√9=3
C．
❑√16=±4
D．
❑√(−3) 2=−3
21．（24-25八年级上·四川眉山·期中）
(−❑√9) 2
的平方根是为（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
√ 1
22．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把(2−x)❑ 中根号外的因式移入根号内，
x−2
下面式子正确的是 （ ）
A．❑√x−2 B．❑√2−x C．−❑√2−x D．−❑√x−2
23．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 ，则化简 的结
❑√2≤a≤❑√3 ❑√a2−2a+1−|a−2)
果是（ ）
A．2a−3 B．−1 C．−a D．1
24．（23-24 八年级下·全国·单元测试）若 ，则 的取值范围为
❑√(3a−1) 2=1−3a a
（ ）
1 1 1 1
A．a< B．a≤ C．a> D．a≥
3 3 3 3
25．（24-25八年级上·全国·期末）已知 ，则 化简后为 ．
ab<0 ❑√a2b
26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图：化简代数式
的值为 ．
❑√a2−|a+b)+❑√(c−a) 2+|b+c)
27．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）化简❑√16= ．
28．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简： √ (3 2) 2 |4 2)
❑ − + − =
5 5 5 3【题型5复合二次根式的化简】
29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足a+b❑√3=❑√12−6❑√3，
则a−b等于（ ）
A．−2 B．−4 C．2 D．4
30．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：
，
5+2❑√6=(2+3)+2❑√2×3=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
，……．请运用以上
8+2❑√7=(1+7)+2❑√1×7=12+(❑√7) 2+2×1×❑√7=(1+❑√7) 2
的方法化简❑√7+2❑√10= ．
31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些
含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如 ，善于思考的小明进
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
行了以下探索，若设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2
（其中，a，b，m，n
均为整数），则有a=m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b❑√2的式子
化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若
a+b❑√5=(m+n❑√5) 2
，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示
a，b，得：a＝ ，b＝ ．
(2)若
a+6❑√7=(m+n❑√7) 2
，当a，m，n均为正整数时，求a的值．．
(3)化简：❑√6−2❑√5+❑√6+2❑√5.
32．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．这样就可以将 进行化简，
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ❑√3+2❑√2
即： ．
❑√3+2❑√2=❑√ (1+❑√2) 2=1+❑√2
善于思考的小明进行了以下探索：对于a+2❑√b，若能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=❑√b，则a+2❑√b 可
变为 ，即变成 ，从而使得 ．
m2+n2+2mn (m+n) 2 ❑√a+2❑√b=❑√(m+n) 2=m+n
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵ ，
4+2❑√3=1+3+2❑√3=(❑√1) 2+(❑√3) 2+2❑√3=(1+❑√3) 2
∴ ．
❑√4+2❑√3=❑√ (1+❑√3) 2=1+❑√3
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简❑√6+2❑√5；
(2)化简❑√5−2❑√6；
(3)若，求a的值
