文档内容
专题 19.6 难点探究专题：一次函数与几何图形的综合问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】....................................................................................................1
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】..........................................................................................12
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】......................................................................................................19
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】......................................................................................................29
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】..................................................................................................37
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线 与 轴交于点A，与直线
交于点B，且直线 与 轴交于点C，求 的面积．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，且两个函数图象相交于点 ．
(1)填空： ______；
(2)求 的面积；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 的面积与四边形 的面积比为 ？若存在，诸求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标
分别为 、 ，且 ；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）
(1)求 的长；
(2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线 匀速运动，设点P运动时间为t秒．连接 ，若
的面积为s，求s与t之间的关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过P作直线 的垂线，垂足为D，直线 与y轴交于点E，连接 ，连接 并
延长交 于点F，在点P运动的过程中，当 的面积等于8时，请求出点F的坐标．3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x
轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)若直线 上有一点P，且 ，求点P的坐标；
(3)直线 上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与 全等？若存在，请直接写出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，
点 是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，过点 作 轴于点 ．点 是 轴上一动点，过
作 轴的垂线，分别与直线 ， 交于点 ， ．
(1)设 的长为 ， 点的横坐标为 ，求 与 的函数表达式；
(2)若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求 的值．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图1，平行四边形 中， ，两动点M，N同时从点
A出发，点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿 的路径匀
速运动，到达点B时停止运动， 的面积S（ ）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，
已知 ，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是 ；
②AD的长度为3cm；
③a的值为7；
④当 时，t的值为 或9．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2.如图，已知四边形 是平行四边形， 、 两点的坐标分别为 ， ．
(1)点 的坐标为： ；
(2)求直线 的函数解析式．
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形 中， ， ，动点
分别以每秒1个单位长度的速度同时从点 出发，点 沿折线 方向运动到点 停止，点
沿折线 方向运动到点 停止（点 可以与线段端点重合），设运动时间是 （秒），点
的距离是 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当 时 的取值范围．
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A在 轴的
正半轴上，点 在 轴的正半轴上，线段 的长分别是 且满足 ，点 是线
段 上一点，将 沿直线 翻折，点 落在矩形的对角线 上的点 处．
(1)求 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)点 在直线 上，在 轴上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形 为矩形， ，将矩形
沿直线 折叠，使点A落在点 处．(1)求证： ；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)在y轴上作点 ，连接 ，点N是x轴上一动点，直线 上是否存在点M，使以M，N，E，F
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ，现将矩
形 绕点O逆时针旋转（ ）得到矩形 ，点B、C、D的对应点分别为点E、
F、G．
(1)如图1，当点E落在边 上时，求直线 的函数表达式；
(2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时， 所在直线与 分别交于点H、M，求线段 的长
度；
(3)如图3，设点P为边 的中点，连接 ，在矩形 旋转过程中，点B到直线 的距离是否存在
最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】例题：（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点B在y轴上，菱形
的顶点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点P是对角线 上的一个动点，当 取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使 的面积等于菱形 的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，
说明理由．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系 中，点A，D的坐标分别为 ，
以 为边作菱形 ，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转 得到点N，连接 ，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得 ，求点P的坐标；
②试探究 的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形
是菱形，点A的坐标为 ，点C在x轴正半轴上， 边交y轴于点H．
(1)求直线 的函数解析式及 的长；
(2)连接 ，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设
的面积为 ），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段 上运动时，是否存在以 为腰的等腰三角形 ？若存在，直
接写出t的值；如不存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴
分别交于 、 两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ．
(1)直接写出：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)能否在 轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由．【变式训练】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角
形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形 的两直角边分别在坐标轴上，点 的坐标
是 ．
(1)在正方形 的边上找一点 ，使得 是 边上的“中线三角形”，求点 的坐标．
(2)直线 与正方形 的两边的交点为 ， ， 能否是“中线三角形”？若能，求该直线
的函数表达式；若不能，试说明理由．
2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 、 ，四边形 是正方
形，点 是 轴正半轴上一动点， ， 交正方形 外角的平分线 于点 ．
(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；(2)点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴上．若四边形 为菱形，求直线 的解析式．
(3)连 ，点 是 的中点，当点 在 轴正半轴上运动时，点 随之而运动，点 到 的距离是否为
定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
