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专题 10 一次函数几何压轴（十九种题型）
模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
模型8：一次函数存在等角求动点坐标
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
模型11：一次函数过定点问题
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
模型13：一次函数与动点线段比例问题
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积
【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：
①知底求高、转化线段；
②图形割补、面积和差；
③平行交轨、等积变换。
【技巧点睛3】处理线段问题
（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，
不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，
不确定时相减后加绝对值）；
（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
【技巧点睛4】角度问题
（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外
角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。
（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下
是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。
【技巧点睛5】最值问题
（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于
第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；
（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型
【技巧点睛6】特殊三角形存在问题
等腰三角形存在性问题
1、找点方法：
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B
构成以 A 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B构成以 B 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰
三
角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
2、求点方法：
二、直角三角形存在性问题
若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利
用勾股定理解题。
【技巧点睛6】四边形存在问题
1．坐标系中的平行四边形：
（1）对边平行且相等：
（2）对角线互相平 分： 即 A、C 中点与 B、D 中点
重合．
以上两条可统一为：
总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否
符合题意
模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）
【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条
坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y
＝x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证：△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠ACO+∠BCE＝90°
BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°
∴∠ACO＝∠CBE
∴△AOC≌△CEB
（2）解：∵△AOC≌△CEB
∴BE＝OC＝2，CE＝OA＝4
∴点B的坐标为（6，2）
又一次函数y＝x+b经过点B（6，2）
∴2＝6+b
∴b＝﹣4
∴点D的坐标为（0，﹣4）∴|AD|＝4+4＝8
在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值．
∴S△ABD ＝ ×8×6＝24
∴△ABD的面积为24．
【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝kx+1交y轴
1
于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l 平行于y轴，交直线l 于点
2 1
D，点P是直线l 上一动点（异于点D），连接PA、PB．
2
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
【答案】（1）y＝﹣ x+1；
（2）当m 时，S＝2m﹣1；当m＜ 时，S＝1﹣2m；
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
1
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣ ．
∴直线l：y＝﹣ x+1；
1
（2）由 得： ．
∴D（2， ）．
∵P（2，m），∴PD＝|m﹣ |．
∴S＝ ×|4﹣0|•PD＝ ×|m﹣ |×4＝|2m﹣1|．
当m 时，S＝2m﹣1；
当m＜ 时，S＝1﹣2m；
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣
1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F
的坐标；
【答案】（1）（2，6）；
\（2）F（﹣5，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为y＝2x+2，
∵CD⊥x轴，
∴点D的横坐标为2，
∴y＝6，
∴点D的坐标为：（2，6）；
（2）设F（m，0）有两种情况；①当F在C点右侧时，
∵D（2，6），A（﹣1，0），B（0，2），DC⊥x轴．
∴S△ADF ＝ AF•DC＝ （m+1）×6＝3（m+1），S△ABF ＝ AF•OB＝ （m+1）×2＝
m+l．
∵S△BDF ＝8，
∴S△ADF ＝S△ABF +S△DBF ，即：3（m+1）＝m+1+8
∴m＝3．
∴F（3，0）；
②当F点在C点左侧时，
∵点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，0），D（2，6）．
∴S△ADF＝ AF×CD＝ （﹣1﹣m）×6＝﹣3﹣3m，S△ABF＝ AF×OB＝ （﹣1﹣
m）×2﹣＝﹣1﹣m，
∴S△BDF ＝S△ADF ﹣S△ABF ＝8，
∴﹣（﹣3﹣3m）﹣（﹣1﹣m）＝8，解得：m＝﹣5，
∴F（﹣5，0）；
综上所述：F（﹣5，0）或（3，0）．
【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝
﹣2x交于点C（a，﹣4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；
（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC ＝ ×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点
B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
【答案】（1）y＝ x+2；
（2）点P坐标为（4，4）或（﹣ ， ）；
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到 ，
解得 ，
∴直线l的表达式为y＝ x+2；
（2）如图1，
∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
∴OB＝2，OC＝2，设P（p， p+2），
∴S△BOP ＝ ×2×|p|＝|p|，
S△COP ＝ ×2×| p+2|＝| p+2|．
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴| p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣ ，
∴点P坐标为（4，4）或（﹣ ， ）；
【变式1】如图，直线l 的解析式为y＝﹣3x+3，且l 与x轴交于点D，直线l 经过点A
1 1 2
（4，0）、B（3， ），直线l 、l 交于点C．
1 2
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△ADC的面积；
（3）试问：在直线l 上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相
2
等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线l 的解析式是y＝kx+b，
2
根据题意得： ，解得： ，
则直线l 的解析式是y＝ x﹣6；
2
（2）在y＝﹣3x+3中，令y＝0，解得：x＝1．
则D的坐标是（1，0）．
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是（2，﹣3），
则AD＝4﹣1＝3，
S△ADC ＝ AD×3＝ ；
（3）点P的纵坐标是3，把y＝3代入y＝ x﹣6，得x＝6．
则P的坐标是（6，3）．
【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝kx+b
的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达
式；
（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点
D的上方，设点P的纵坐标为m．
①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；
②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐
标；
④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．【答案】（1）y＝ ；
（2）①2m﹣3；
②（﹣2，5）；
③Q ，
④P（﹣2，3）．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为 y＝kx+3，
∵直线过点B（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+3，
解得： ，
∴直线AB的表达式为：y＝ ；
（2）①过点P作PH⊥y轴，垂足为H，
∵直线a垂直平分OB，B（﹣4，0），
∴点E的坐标为（﹣2，0），∵点P是直线a上一动点，点P的纵坐标为m，
∴点P的坐标为（﹣2，m），
S ﹣S ﹣S ＝
梯形PBOH △AOB △PHA
＝3m﹣6﹣m+3
＝2m﹣3；
②2m﹣3＝7，
∴m＝5，
∴此时点P的坐标为（﹣2，5）；
③设点Q的坐标为（0，q），
当点Q在点A的上方时，
，
解得： ，
此时点Q的坐标为 ；
当点Q在点A的下方时，
，
解得： ，
此时点Q的坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ，
④∵△AOH与△PBH的面积相等，
∴S +S ＝S +S ，
△ADH △PHA △PHB △PHA
∴S ＝S ，
△PAB △PAO
∴底均为AP，高相同，面积相同，
∴P（﹣2，3）．
【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为
直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个
动点．（1）求直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【答案】（1）y＝﹣ x+2；
（2） ；
（3）a＝ 或a＝﹣ ．
【解答】解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线l的表达式为：y＝﹣ x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC ＝ AB2＝ ；
（3）①当P在y轴正半轴时，P点为：（0，a），如图1所示：S△ABP ＝ AO•BP＝ ，
∵AO＝3，
∴BP＝ ，
∵B（0，2），
∴a﹣2＝ ，
∴a＝ ．
②）①当P在y轴负半轴时，如图2所示：
S△ABP ＝S△ABO +S△APO ＝ ，
∵S△ABO ＝3，
∴S△APO ＝ ﹣3＝ ，
即有： ×AO×PO＝ ，∴PO＝ ，
∵P在y轴负半轴，
∴a＝﹣ ．
综上：a＝ 或a＝﹣ ．
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．
（1）求k，m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）k＝﹣1，m＝﹣2；
（2）9；
（3）（3﹣ ，0），（3+ ，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．
【解答】解：（1）将B（﹣1，4）代入y＝kx+3，可得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+3．
将A（5，m）代入y＝﹣x+3，可得m＝﹣2；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），即CO＝3，
∴S△AOB ＝S△BOC +S△AOC ＝ ×3×4+ ×3×2＝9；
（3）①如图所示，当CB＝CP ＝4 时，OP ＝ ﹣3，
1 1
∴P （3﹣ ，0）；
1②如图所示，当CB＝CP ＝4 时，OP ＝ +3，
2 2
∴P （3+ ，0）；
2
③如图所示，当CB＝BP 时，CP ＝2CD＝8，
3 3
∴OP ＝8﹣3＝5，
3
∴P （﹣5，0）；
3
④如图所示，当BP ＝CP 时，△BCP4是等腰直角三角形，
4 4
∴CP ＝BP ＝4，
4 4
∴OP ＝4﹣3＝1，
4
∴P （﹣1，0）．
4综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（3﹣ ，0），（3+ ，
0），（﹣5，0），（﹣1，0）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交
于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；
（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝2；
（2）S△A′BC ＝4；
（3）存在，点P的坐标为（2+2 ，0）或（2﹣2 ，0）或（﹣3，0）或（﹣2，
0）．
【解答】解：（1）一次函数y＝kx+4的图象与x轴交于A（2，0），
∴2k+4＝0，解得k＝﹣2，
∴一次函数y＝﹣2x+4，
∵一次函数y＝kx+4的图象经过点C（1，m）．
∴m＝﹣2+4＝2；
（2）∵点A关于y轴的对称点A'，A（2，0），
∴A′（﹣2，0），
∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，
∴点B坐标为（0，4），
∵m＝2，∴点C（1，2）．
∴S△A′BC ＝S△A′BA ﹣S△A′AC ＝ ×4×（2+2）﹣ ×4×2＝4；
（3）存在点P，使△PAB为等腰三角形，
设P（p，0），
∵点A（2，0），B（0，4），
∴AB2＝22+42＝20，
AP2＝（p﹣2）2，
BP2＝p2+42＝p2+16，
当AB＝AP时，
（p﹣2）2＝20，解得p＝2±2 ，
∴点P的坐标为（2+2 ，0）或（2﹣2 ，0）；
当AP＝BP时，
（p﹣2）2＝p2+16，解得p＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，0）；
当AB＝BP时，
p2+16＝20，解得p＝﹣2或2（舍去），
∴点P的坐标为（﹣2，0）；
综上所述：点P的坐标为（2+2 ，0）或（2﹣2 ，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）
【变式2】如图，直线 的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分
线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求OC的长；
（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出
所有满足条件的点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4；令y＝0，得x＝8；所以直线 与两轴交
点分别为A（8，0），B（0，4）．
∵CD垂直平分AB；
∴CA＝CB．
设C（m，0），在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即：
t2+42＝（8﹣t）2 解得：t＝3；
∴OC＝|3﹣0|＝3．
（2）设点E（m，0），则EA＝|8﹣m|；
∵D为AB的中点；
∴ ；
A、E在x轴上，OB⊥AE， ；
再依题意： ；
解得：m＝﹣2或18．
∴点E坐标为：（﹣2，0），（18，0）．
（3）P在y轴上，设P（0，p）．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①B为顶点，BP＝BC，由（1）得BC＝8﹣3＝5；∴|p﹣4|＝5，解得：P＝﹣1或9．
②C为顶点，BC＝PC，
又∵∠BOC＝∠POC＝90°，OC＝OC，
∴△BOC≌△POC（HL）．
∴PO＝BO＝4，即p＝﹣4．
③P为顶点，PB＝PC，在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP2+OC2＝PC2，即：
p2+32＝（4﹣p）2．
解得： ．
综上：满足条件的P点坐标为：（0， ），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，9）．
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线AC的解析式；
（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）S△AOB ＝6；
（2）直线AC的解析式为y＝ x+ ；
（3）点P的坐标为（1，2）或（2， ）．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y＝0，则 x+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝4，
∴点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴S△AOB ＝ ×3×4＝6；
（2）连接BB′交AC于M，
∵点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴AB＝ ＝5，
∵点B、点B'关于直线AC对称，
∴AB′＝AB＝5，BM＝B′M，
∴B′（2，0），
∵B（0，4），
∴M（1，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+ ；
（3）∵点P是直线AC上一点，直线AC的解析式为y＝ x+ ，设P（p， p+ ），
∵点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴AB2＝32+42＝25，
PA2＝（p+3）2+（ p+ ）2＝ p2+ p+ ，
PB2＝p2+（ p+ ﹣4）2＝ p2﹣ p+ ，
①当P为直角顶点时，AB2＝PA2+PB2，
∴ p2+ p+ + p2﹣ p+ ＝25，
解得p＝1或﹣3（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）；
②当A为直角顶点时，AB2+PA2＝PB2，
∴ p2+ p+ +25＝ p2﹣ p+ ，
解得p＝﹣3（舍去），
∴此种情况不存在；
③当B为直角顶点时，AB2+PB2＝PA2，
∴ p2+ p+ ＝ p2﹣ p+ +25，
解得p＝2，
∴点P的坐标为（2， ）；
综上，点P的坐标为（1，2）或（2， ）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，
0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC ＝2S△ABC ．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x+2；
（2）△ADC的面积为12；
（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，满足条件的点 M的坐标为
（0，0）或（ ，0）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴直线AB的表达式y＝2x+2；
（2）∵OC＝5OA，A（﹣1，0），
∴OC＝5，
∴AC＝OC+OA＝5+＝6，
∵B（0，2），
∴OB＝2，
∴S△ABC ＝6×2× ＝6，
∵S△ADC ＝2S△ABC ，
∴S△ADC ＝6×2＝12；
∴△ADC的面积为12；
（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，理由如下：∵OB＝2，OC＝5，
∴BC2＝22+52＝29，
△ABM是直角三角形，分两种情况：
①当∠BMC＝90°时，由图象可知点M的坐标为（0，0）；
②当∠CBM＝90°时，设M（m，0），
而B（0，2），C（5，0），
∴BM2＝m2+22，CM2＝（5﹣m）2，
∵BC2+BM2＝CM2，
∴29+m2+4＝（5﹣m）2，
解得：m＝﹣ ，
∴点M的坐标为（ ，0）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，0）或（ ，0）．
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点
D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD
全等，请直接写出点F的坐标．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则
，解得 ，
∴直线CD的函数表达式为y＝ x+1；
（2）y＝ x+1，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝2＝4＝6，
∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝ ×6×（4﹣2）＝6；
（3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B
两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC
上一个动点．
（1）BC的长为 5 ，OD的长为 ；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5， ；
（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，Q的坐标为（﹣ ， ）或
（﹣ ， ）．
【解答】解：（1）在y＝﹣ x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，4），
∵C（﹣3，0），
∴BC＝ ＝5；AB＝ ＝5；∵OD⊥AB，
∴2S△AOB ＝OA•OB＝AB•OD，
∴OD＝ ＝ ＝ ；
故答案为：5， ；
（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，理由如下：
∵OD⊥AB，
∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝∠DOA，
∵A（3，0），C（﹣3，0），
∴A，C关于y轴对称，
∴∠CBO＝∠OBD，
∴∠CBO＝∠DOA，
要使△BPQ与△OAD全等，只需夹∠CBO，∠DOA的两边对应相等即可；
当BQ＝OA，BP＝OD时，如图：
由（1）知，OD＝ ，
∴BP＝OD＝ ，
∴OP＝OB﹣BP＝4﹣ ＝ ，
由B（0，4），C（﹣3，0）可得直线BC解析式为y＝ x+4，
在y＝ x+4中，令y＝ 得x＝﹣ ，
∴Q（﹣ ， ），由Q（﹣ ， ），B（0，4）得BQ＝ ＝3，
此时BQ＝OA＝3符合题意；
∴Q的坐标为（﹣ ， ）；
当BP＝OA＝3，BQ＝OD＝ 时，如图：
设Q（m， m+4），
∵BQ＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝﹣ （正值已舍去）；
∴Q（﹣ ， ），
综上所述，Q的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与直线
交于点B（3，m）．（1）求m和b的值；
（2）求证：△OAB是直角三角形；
（3）直线l 上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存
1
在，请说明理由．
【答案】（1）m的值为2，b的值为 ；
（2）见解析；
（3）存在．点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．
【解答】（1）解：∵点B（3，m）在直线l ：y＝ x上，
2
∴m＝ ×3＝2，即m的值为2，
∴点B（3，2），
将点B（3，2）代入直线l ：y＝﹣ x+b得2＝﹣ ×3+b，
1
∴b＝ ；
（2）证明：∵b＝ ，
∴直线l ：y＝﹣ x+ ，
1
∴A（0， ），
∵B（3，2），
∴OM＝3，BM＝4．∴OB2＝32+22＝13，
AB2＝32+（ ﹣2）2＝ ，
OA2＝（ ）2＝ ，
∵OB2+AB2＝OA2，
∴∠OBA＝90°，
∴△OAB是直角三角形；
（3）解：存在．如图，
∵∠ODB＝45°，∠OBA＝90°．
∴BD＝OB＝ ＝ ，
∵点D是直线l ：y＝﹣ x+ 上一动点，
1
设D（n，﹣ n+ ），
则BD2＝（n﹣3）2+（﹣ n+ ﹣2）2＝13，
解得n＝1或5，
∴点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．
【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，
n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．
（1）求m、n的值；
（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；
（2）点P的坐标为（0，﹣1）；
【解答】解：（1）∵m2+n2+2m﹣4n+5＝0，
∴m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0
（m+1）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+1＝0，n﹣2＝0，
∴m＝﹣1，n＝2；
（2）∵m＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点P在y轴上，∠BPA＝45°，
∴OP＝OA＝1，
∴点P的坐标为（0，﹣1）；
【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与直线
交于点B（3，m）．
（1）求m的值；
（2）点D是直线l 上一动点．
1
①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）m的值为4；
（2）①直线OD的表达式为y＝ x；
②存在．点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．
【解答】解：（1）∵点B（3，m）在直线l ：y＝ x上，
2
∴m＝ ×3＝4，即m的值为4；
（2）①∵m＝4，
∴B（3，4），
∵直线l ：y＝﹣ x+b经过点B（3，4），
1
∴﹣ ×3+b＝4，
∴b＝ ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝﹣ x+ ；
1
令y＝0，则0＝﹣ x+ ，解得x＝ ，
∴A（ ，0），
如图2，过点B作BM⊥OA，垂足为点M，过D作DN⊥OA，垂足为点N，
∴∠BMO＝∠AMB＝90°．
∵B（3，4），∴OM＝3，BM＝4．
∴OB＝ ＝5，
∴AM＝OA﹣OM＝ ，
在Rt△AMB中，
AB＝ ＝ ，
∵OB2+AB2＝52+（ ）2＝ ＝（ ）2＝OA2，
∴∠OBA＝90°．
∴AB⊥OB，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠NOD，DB＝DN，
∵OD＝OD，
∴Rt△ODN≌Rt△ODB（HL）．
∴ON＝OB＝5．
在直线l ：y＝﹣ x+ 上，令x＝5，得y＝ ，
1
∴D（5， ），
设直线OD的函数表达式为y＝kx．
把D（5， ）代入，得k＝ ．
∴直线OD的表达式为y＝ x；
②存在．如图3，
∵∠DOB＝45°，∠OBA＝90°．∴BD＝OB＝5，
∵点D是直线l ：y＝﹣ x+ 上一动点，
1
设D（n，﹣ n+ ），
∴BD2＝（n﹣3）2+（﹣ n+ ﹣4）2＝25，解得n＝7或﹣1，
∴点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．
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模型8：一次函数存在等角求动点坐标
【典例8】如图，已知函数 与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y
轴对称．
（1）直接写出A、B、C的坐标：A（ ﹣ 4 ， 0 ）、B（ 0 ， 2 ）、C（ 4 ， 0
）；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，
交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；
②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【答案】（1）﹣4，0；0，2；4，0；
（2） ；
（3）①Q（﹣2，3）；
② ．【解答】解：（1）对于 ，
令x＝0，得y＝2，则B的坐标为B（0，2），
令y＝0，得x＝4，则C的坐标为C（4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴A的坐标为A（﹣4，0），
故答案为：﹣4，0；0，2；4，0；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0），B（0，2）代入得：
，
解得： ，
∴直线AB的函数解析式为 ；
（3）①由题意，设M（m，0），其中m＜0，则OM＝﹣m，
∵直线BC的解析式为： ；直线AB的解析式为： ；
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得：m＝﹣2（舍去正值），
将m＝﹣2代入直线BC的解析式，得y＝3，
∴点Q的坐标为Q（﹣2，3）；
②如图所示，由（1）知：A（﹣4，0），B（0，2），C（4，0），
∵点M在线段AO上运动，
∴设M（x，0），其中﹣4≤x≤0，
∴BM2＝x2+4，MC2＝（4﹣x）2，BC2＝20，∵点C与点A关于y轴对称，
∴∠BMP＝∠BAC＝∠ACB，
∵MP∥y轴，
∴∠PMC＝90°，
∴∠BMP+∠BMC＝∠ACB+∠BMC＝90°，
∴当∠BMP＝∠BAC时，∠MBC＝90°，
∴MB2+BC2＝CM2
∴x2+4+20＝（4﹣x）2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入直线AB的解析式，得 ，
∴点P的坐标为 ．
【变式1】如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于
y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线
BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得： x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m， m+3），点Q（m，﹣ m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣ m+3﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝ PQ•BD＝ m2＝ ，解得m＝± ，
故点Q的坐标为（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x， x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
【变式2】如图①，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y
轴对称．
（1）求BC的长．
（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于
点Q．①若△PQB的面积为 ，求点M的坐标．
②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．
【答案】（1）3 ；
（2）①点M的坐标为：（ ，0）；②点P的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，
）．
【解答】解：（1）对于y＝ x+3，当x＝0，y＝3，
令y＝ x+3＝0，则x＝﹣6，
即点A、B的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，3），
则点C（6，0），
由点B、C的坐标得，BC＝ ＝3 ；
（2）①由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣ x+3，
设点M（m，﹣ m+3），点P（m， m+3），
则PQ＝|m|，
则△PQB的面积＝ PQ×|m|＝ m2＝ ，解得：m＝ ，
即点M的坐标为：（ ，0）；
②∵∠BMP＝∠BAC，∠PBM＝∠MBA，
∴△PBM∽△MBA，
则MB2＝AB•PM，
由①中的点A、B、M、P的坐标得，BM2＝m2+9，PB＝ |m|，AB＝BC＝3 ，
则m2+9＝ |m|×3 ，
解得：m＝ （不合题意的值已舍去），
即点P的坐标为：（﹣ ， ）或（ ， ）．
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线 和直线l 与x轴分别相交于
2
A，B两点，且两直线相交于点C，直线l 与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
2
（1）求出直线l 的函数表达式；
2
（2）E是x轴上一点，若S△ABC ＝2S△BCE ，求点E的坐标；
（3）若F是直线l 上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说
1
明理由．
【答案】（1）y＝2x﹣4；
（2）点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由见解析．【解答】解：（1）y＝ x+2，令y＝0，则0＝ x+2得，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴B（2，0），
设直线l 的函数表达式为：y＝kx+b，
2
将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：
，解得 ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝2x﹣4；
2
（2）∵点C是直线l 和l 的交点，
1 2
∴ ，解得 ，
∴C（4，4），
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6．
∴△ABC的面积为： ×AB×y ＝ ×6×4＝12，
C
∵S△ABC ＝2S△BCE ，
∴S△BCE ＝6，
设E（m，0），
∴S△BCE ＝ ×4×|m﹣2|＝6，
∴m＝﹣1或5，
∴点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：设直线l ：y＝ x+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，
1
∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），
∵∠ACF＝2∠CAO，
∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，
∵A（﹣4，0），C（4，4），
∴OA＝MC＝4，
∵∠CMF＝AON，
∴△AON≌△CMF（ASA），
∴MF＝ON＝2，
∴F（0，6），
∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，
CB2＝42+（4﹣2）2＝20，
FB2＝22+62＝40，
∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，
∴△BCF是等腰直角三角形．
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l与x轴交于点A
（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请
求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝ x+2；
（2）点P坐标为（4，4）或（﹣ ， ）；
（3）存在，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到 ，
解得 ，
∴直线l的表达式为y＝ x+2；
（2）如图1，
∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
∴OB＝2，OC＝2，
设P（p， p+2），
∴S△BOP ＝ ×2×|p|＝|p|，
S△COP ＝ ×2×| p+2|＝| p+2|．
∵△BOP和△COP的面积相等，∴| p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣ ，
∴点P坐标为（4，4）或（﹣ ， ）；
（3）∵△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形，
∴∠AQB＝90°，AQ＝BQ，
设Q（m，n），
分两种情形：
①点Q在AB上方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，
∴∠ANQ＝∠QMB＝90°，∠AQN+∠BQM＝∠AQN+∠QAN＝90°，
∴∠QAN＝∠BQM，
∵AQ＝BQ，
∴△ANQ≌△QMB（AAS），
∴AN＝MQ＝﹣m＝n，NQ＝MB＝n﹣2，
∵点A（﹣4，0），
∴MN＝MQ+NQ＝n+n﹣2＝4，
∴n＝3，m＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣3，3）；
②点Q在AB下方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，同理得△ANQ≌△QMB（AAS），
∴AN＝MQ＝﹣m＝﹣n，NQ＝MB＝2﹣n，
∵点A（﹣4，0），
∴MN＝MQ+NQ＝﹣n+2﹣n＝4，
∴n＝﹣1，m＝﹣1，
∴点Q的坐标为（﹣1，﹣1）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．
【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 与x轴交于点A
1
（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l ： 交于点C，点C的横坐标为2．
2
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l 于点E．若 DE
1 2
＝2，求点M的坐标；
（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接
写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝ x+3；
（2）M的坐标为（ ，0）或（ ，0）；
（3）Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣ ， ）．
【解答】解：（1）在y＝ x中，令x＝2得y＝ ，
∴C（2， ）；
设直线l 的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（2， ）代入得：
1，
解得 ，
∴直线l 的解析式为y＝ x+3；
1
（2）如图：
设M（m，0），则D（m， m+3），E（m， m），
∵DE＝2，
∴| m+3﹣ m|＝2，
∴3﹣ m＝2或3﹣ m＝﹣2，
解得m＝ 或m＝ ，
∴M的坐标为（ ，0）或（ ，0）；
（3）在y＝ x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
①当B为直角顶点时，过B作BH⊥y轴于H，如图：∵△QAB为等腰直角三角形，
∴AB＝QB，∠QBA＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠QBH＝∠BQH，
∵∠AOB＝90°＝∠QHB，
∴△ABO≌△BQH（AAS），
∴OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，
∴OH＝OB+BH＝7，
∴Q的坐标为（﹣3，7）；
②当A为直角顶点时，过Q作QT⊥x轴于T，如图：
同理可得△AQT≌△BAO（AAS），
∴AT＝OB＝3，QT＝OA＝4，
∴OT＝OA+AT＝7，
∴Q的坐标为（﹣7，4）；
③当Q为直角顶点时，过Q作WG⊥y轴于G，过A作AW⊥WG于W，如图：同理可得△AQW≌△QBG（AAS），
∴AW＝QG，QW＝BG，
设Q（p，q），
∴ ，
解得 ，
∴Q的坐标为（﹣ ， ）；
综上所述，Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣ ， ）．
【变式2】（2023秋•温江区期末）如图 1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为
（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF ＝2S△ABC ，若存在求出F点坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，
求点P的坐标．
【答案】（1）直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点F的坐标为 或 ；
（3）点P的坐标为 或 或 ．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3，得y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），∵D（4，0），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝ ＝5，
∵点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，
∴OA＝AC＝3，OB＝BC，
∴CD＝AD﹣AC＝2，
设OB＝BC＝a，则BD＝4﹣a，
在Rt△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得 ，
∴点B的坐标为 ，
把B 代入y＝kx+3，得 ，
解得k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，得AO＝AC，OB＝CB，
∴△AOB≌△ACB（SSS），
∴ ，
由题得 ，
∵S△ABF ＝2S△ABC ，
∴ BF＝2× ，
解得BF＝3，
∵B ，
∴点F的坐标为 或 ；
（3）①若∠PAB＝90°，AP＝AB，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，
∴∠APM＝∠BAO，
∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，
∴△APM≌△BAO（AAS），
∴PM＝OA＝3，AM＝OB＝ ，
∴点P的坐标为 ；
②若∠ABP＝90°，BA＝BP，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，
∴∠BAO＝∠PBM，
∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM＝OA＝3，PM＝OB＝ ，
∴点P的坐标为 ；
③若∠APB＝90°，PA＝PB，过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作AM⊥PN，垂足为M，
设点P的坐标为（m，n），
∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，
∴∠PAM＝∠BPN，
∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝BN，
即 ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象
分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点
C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存
在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；
（2） ；
（3）存在，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．
【解答】解：（1）对于y＝ x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝ x﹣3＝0时，则x＝6，
即点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；
（2）将点B的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣3＝b，
则BC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则点C（﹣3，0）；
则△ABC的面积＝ AC×OB＝ 9×3＝ ；
（3）存在，理由：
过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
则∠PBA＝90°，BP＝BA，
∴∠ABO+∠PBQ＝90°，
∵∠PBQ+∠BPQ＝90°，∴∠ABO＝∠BPQ＝90°，
∵∠AOB＝∠BQP＝90°，BP＝BA，
∴△AOB≌△BQP（AAS），
∴BQ＝OA＝6，PQ＝OB＝3，
∴点P（3，﹣9）；
当点P（P′）在AB上方时，
则点B是PP的中点，
则点P′（﹣3，3），
综上，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．
综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3．
模型11：一次函数过定点问题
【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数 y＝mx﹣
（3m+2）的图象过定点（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵y＝mx﹣（3m+2），
整理得：3m+2＝mx﹣y，
要想这个式子恒成立，那么mx＝3m，﹣y＝2，
∴x＝3，y＝﹣2．
故选：B．
2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．
（1）该函数图象经过定点 （﹣ 1 ， 3 ） ．
（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是 0 ≤ k ＜ 3 ．
【答案】（1）（﹣1，3）；
（2）0≤k＜3．
【解答】解：（1）∵y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，
∴该函数过定点（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
（2）∵一次函数y＝（k﹣3）x+k的图象不经过第三象限，∴ ，
解得0≤k＜3，
故答案为：0≤k＜3．
【变式1】（2023春•都昌县期中）对于一次函数y＝kx﹣k+4的图象，无论k为何值，都过
一个定点，则这个点的坐标是 （ 1 ， 4 ） ．
【答案】（1，4）．
【解答】解：y＝kx﹣k+4＝（x﹣1）k+4，
当x﹣1＝0，即x＝1时，无论k为何值，y的值都为4，
因此这个点的坐标是（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的
坐标是 （ 1 ，﹣ 3 ） ．
【答案】（1，﹣3）．
【解答】解：y＝﹣3x+mx﹣m＝m（x﹣1）﹣3x，
当x＝1时，y＝﹣3，
因此该函数的图象一定经过点（1，﹣3），
即点A的坐标是（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
【典例12】（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于点A、B两点，
直线CP与直线AB相交于点P（﹣ ，a），交x轴于点C，且△PAC的面积为 ．
（1）则A点的坐标为 （ 3 ， 0 ） ；a＝ ；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点D是线段AB上一动点，过点D作DE∥x轴交直线PC于点E，若DE＝2，求
点D的坐标．【答案】（1）（3，0）； ；
（2）y＝2x+4；
（3）点D的坐标为（1，2）．
【解答】解：（1）当x＝﹣ 时，a＝﹣x+3＝ ，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）； ；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图：
由（1）得：PH＝ ，
∴S△PAC ＝ AC•PH＝ ，即 × •AC＝ ，
∴AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点P （﹣ ， ）、C（﹣2，0）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴直线PC的解析式为y＝2x+4；（3）如图：
设点D的坐标为（t，﹣t+3），
∵DE∥x轴交直线PC于点E，DE＝2，
∴点E的坐标为（t﹣2，﹣t+3），
代入直线PC的解析式为y＝2x+4得，2（t﹣2）+4＝﹣t+3，
解得t＝1，
∴点D的坐标为（1，2）．
模型13：一次函数与动点线段比例问题
【典例13】（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b
的图象经过点A（﹣2，9），且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x
的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是 x ＞ 1 ；
（2）求一次函数的函数解析式；
（3）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，
求点M的坐标．
【答案】（1）x＞1；
（2）y＝﹣2x+5；（3）点M的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，7）．
【解答】解：（1）由图象可得x＞1时，直线y＝kx+b落在直线y＝3x下方，即kx+b＜
3x，
∴kx+b﹣3x＜0的解集为x＞1．
故答案为：x＞1；
（2）把x＝1代入y＝3x，得y＝3，
点C坐标为（1，3），
把（1，3），（﹣2，9）代入y＝kx+b，
得 ，
解得： ，
∴一次函数的函数解析式为y＝﹣2x+5；
（3）设M（m，﹣2m+5），则N（m，3m），
∴MN＝|3m﹣（﹣2m+5）|＝|5m﹣5|，
在y＝﹣2x+5中，令x＝0，得y＝5，
∴D（0，5），
∴OD＝5，
∵MN＝2OD，
∴|5m﹣5|＝5×2，
解得：m＝3或﹣1，
∴点M的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，7）．
【变式1】（2023秋•淮安期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象分别
交x轴、y轴于点A、B，一次函数y＝kx+b的图象经过点B，并与x轴交于点C（3，
0），点D是直线AB上的一个动点．（1）k＝ ﹣ ，b＝ 1 ；
（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线BC于
点F．若 ，求点D的坐标；
【答案】（1）﹣ ，1；
（2）点D的坐标为（ ， ）；
【解答】解：（1）在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
把B（0，1），C（3，0）代入y＝kx+b得： ，
解得 ，
故答案为：﹣ ，1；
（2）∵k＝﹣ ，b＝1，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣ x+1，
∵A（﹣1，0），C（3，0），
∴AC＝4，
设D（m，m+1），则F（﹣3m，m+1），
∴DF＝m+3m＝4m，
∵DF＝ AC＝2，
∴4m＝2，
∴m＝ ，
∴点D的坐标为（ ， ）；
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标【典例14】如图，直线l ：y＝k x+b与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，3），
1 1
直线l ：y＝k x与直线l 相交于点C（ ，n）．
2 2 1
（1）求直线l 和l 的解析式；
1 2
（2）求△BCO的面积；
（3）点M为y轴上的一动点，连接MA，MC．当MA+MC的值最小时，则点M的坐标
是 （ 0 ， ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）A（﹣3，0），B（0，3）代入y＝k x+b得：
1
，解得 ，
∴直线l 的解析式为：y＝x+3，
1
C（ ，n）代入y＝x+3得：
n＝﹣ +3＝ ，
∴C（﹣ ， ），
C（﹣ ， ）代入y＝k x得：
2
＝﹣ •k ，解得k ＝﹣3，
2 2
∴直线l 的解析式为：y＝﹣3x；
2（2）∵B（0，3），
∴OB＝3，
而C（﹣ ， ），
∴△BCO的面积S△BCO ＝ OB•|x
C
|＝ ×3× ＝ ；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，交y轴于M′，连接AM，如图：
∵A关于y轴的对称点A′，
∴MA＝A′M，
MA+MC的值最小即是A′M+MC的值最小，
此时A′、M、C共线，即M与M′重合，
∵A（﹣3，0），A关于y轴的对称点A′，
∴A′（3，0），
而C（﹣ ， ），
设A′C解析式为y＝mx+t，则 ，
解得： ，
∴A′C解析式为y＝﹣ x+ ，
令x＝0得y＝ ，∴M′（0， ），即MA+MC的值最小时，则点M的坐标是（0， ），
故答案为：（0， ）．
【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，点D
1
在直线l 上，且点D的横坐标为3．直线l 经过点C（1，0），D两点，与y轴交于点
1 2
E．
（1）求点D的坐标和直线l 的函数表达式；
2
（2）在x轴上找一点P使得PB+PD的值最小，最小值为多少？
【答案】（1）点D的坐标为（3，4），直线l 的函数表达式为y＝2x﹣2；
2
（2）点P的坐标为（ ），PB+PD的值最小值为 ；
【解答】解：（1）将x＝3代入y＝x+1得，
y＝3+1＝4，
所以点D的坐标为（3，4）．
令直线l 的函数解析式为y＝kx+b，
2
则 ，
解得 ，
所以直线l 的函数表达式为y＝2x﹣2．
2
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴的交点即为PB+PD取得最小值时点P的位置，
将x＝0代入y＝x+1得，
y＝1，
所以点B的坐标为（0，1），
则点B′的坐标为（0，﹣1）．
令直线B′D的函数表达式为y＝mx+n，
则 ，
解得 ，
所以直线B′D的函数表达式为y＝ ，
令y＝0得，
，
解得x＝ ，
所以点P的坐标为（ ）．
由B′，D两点坐标可得，
B′D＝ ，
所以PB+PD的值最小值为 ．【变式2】如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b
经过点C（﹣1，0），D ，与直线AB交于点E．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）连接BC，求△BCE的面积；
（3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线CD解析式为y＝kx+b，
把C（﹣1，0），D（0， ）代入得： ，
解得：k＝b＝ ，
则直线CD解析式为y＝ x+ ；
（2）对于直线y＝﹣x+2，
令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝2，即A（2，0），B（0，2），
∴OB＝OA＝2，AC＝OA+OC＝2+1＝3，
∴S△ABC ＝ ×2×3＝3，
联立得： ，
解得： ，即E（ ， ），∴S△ACE ＝ ×3× ＝ ，
则S△BCE ＝S△ABC ﹣S△ACE ＝3﹣ ＝ ；
（3）作出A关于y＝2的对称点A′，连接A′E，与y＝2交于点Q，此时AQ+EQ最小，
可得A′（2，4），
设直线A′E解析式为y＝px+q，
把A′与E坐标代入得： ，
解得： ，即直线A′E解析式为y＝ x﹣ ，
把（m，2）代入得：2＝ m﹣ ，
解得：m＝ ．
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
【典例15】（2020春•海淀区校级期末）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣ ，0）
且与x轴相交夹角为30°，P为直线l上的动点，A（ ，0）、B（3 ，0）为x轴上
两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（1， ） C．（ ，3） D．（2， ）
【答案】A【解答】解：如图，∵直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣ ，0）且与x轴相交夹角为
30°，
∴OM＝ ，
∴ON＝ OM＝1，MN＝ ＝2，
∴直线l为y＝ x+1，
∵OM＝OA＝ ，
∴AN＝MN＝2，
过A点作直线l的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′＝60°，
∴OA′＝ OA＝3，
∴A′N＝2，
∴A′N＝AN，
∵A′A⊥直线l，
∴直线l平分AA′，
∴A′是点A关于直线l的对称点，
连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB＝A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′＝3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
把A′（0，3），B（3 ，0）代入得 ，解得 ，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣ x+3
由 解得 ，
∴P点的坐标为（ ，2），故选：A．
【变式1】（2023•涧西区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝x﹣5与x轴交
于点B，与y轴交于点C，点D在直线y＝x﹣5上运动．当线段AD取得最小值时，点D
的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（2，﹣2） C．（1，﹣ ） D．（ 0，﹣4）
【答案】A
【解答】解：对于直线y＝x﹣5，
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，即B（5，0），OB＝5，
当x＝0时，y＝﹣5，即C（0，﹣5），OC＝5，
Rt△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
由垂线段最短可知，如图，当AD⊥BC时，线段AD最短，
则Rt△ABD是等腰直角三角形，过点D作DE⊥轴于点E，
∴点E是AB的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为E（ ，0），即为E（ ，0），
∴点D的横坐标为 ，
将x＝ 代入直线y＝x﹣5得：y＝ ﹣5＝﹣ ，则点D的坐标为（ ，﹣ ）．
故选：A．
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
【典例16】如图，直线l 过点A（0，2）、B（2，0），直线l 和直线l 交于点C（3，
1 1 2
a），直线l 与y轴交于点D（0，﹣7）．
2
（1）求直线l 和直线l 对应的函数解析式；
1 2
（2）直线l 上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；
1
（3）y轴上有一动点M，直线l 上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平
2
行四边形，求出点M的坐标．
【答案】（1）直线l 的函数解析式为y＝﹣x+2，直线l 对应的函数解析式为y＝2x﹣
1 2
7；
（2）P的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）M的坐标为（0，5）或（0，﹣13）或（0，﹣1）．
【解答】解：（1）设直线l 的函数解析式为y＝kx+b，把A（0，2）、B（2，0）代入
1
得：
，解得 ，
∴直线l 的函数解析式为y＝﹣x+2，
1
把C（3，a）代入y＝﹣x+2得：
a＝﹣3+2＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
设直线l 对应的函数解析式为y＝k'x+b'，把C（3，﹣1），D（0，﹣7）代入得：
2
，
解得 ，
∴直线l 对应的函数解析式为y＝2x﹣7；
2
（2）当P在直线CD左侧时，如图；
∵A（0，2），C（3，﹣1），D（0，﹣7），
∴AD＝2﹣（﹣7）＝9，
∴S△ACD ＝ AD•x
C
＝ ×9×3＝ ，
∵S△PCD ＝12，
∴S△APD ＝ ﹣12＝ ，
∴ ×9•x ＝ ，
P
∴x ＝ ，
P
在y＝﹣x+2中，令x＝ 得y＝ ，∴P的坐标为（ ， ）；
当P在直线CD右侧时，如图：
同理可得S△APD ＝S△ACD +S△PCD ＝ +12＝ ，
∴ ×9•x ＝ ，
P
∴x ＝ ，
P
在y＝﹣x+2中，令x＝ 得y＝﹣ ，
∴P的坐标为（ ，﹣ ）；
综上所述，P的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）设M（0，m），N（n，2n﹣7），
又A（0，2）、B（2，0），
①若MN，AB为对角线，则MN，AB的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴M（0，5）；
②若MA，NB为对角线，则MA，NB的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴M（0，﹣13）；
③若MB，NA为对角线，则MB，NA的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴M（0，﹣1）；
综上所述，M的坐标为（0，5）或（0，﹣13）或（0，﹣1）．
【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A
在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足
，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩
形的对角线AC上的点E处．
（1）求OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、
N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）OD＝3；
（2）点E的坐标为（4.8，2.4），
（3）存在，N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
【解答】解：（1）设OD＝x，
∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足 ，∴OA＝m＝6，OC＝n＝8，
由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，
AC＝ ＝10，
可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
可得：DE＝OD＝3；
（2）过E作EG⊥OC，
在Rt△DEC中，S△ACD ＝ DE•EC＝ DC•EG，
即 ×3×4＝ 5•EG，
解得：EG＝2.4，
在Rt△DEG中，DG＝ ＝1.8，
所以点E的坐标为（4.8，2.4），
（3）存在，理由：
由点D、E的坐标得，DE的解析式为：y＝ x﹣4，
把y＝6代入DE的解析式y＝ x﹣4，可得：x＝7.5，
即AM＝7.5，当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
CN＝AM＝7.5，
所以ON＝8+7.5＝15.5，ON'＝8﹣7.5＝0.5，
即存在点N，且点N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x+18的图象分
别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的
中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B 处，连接OB ，则四边形AMB O的形状为
1 1 1
平行四边形 ；
（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、
Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 Q的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）平行四边形；（3）存在，点Q的坐标为：（﹣ ， ）或（﹣3，﹣3）．
【解答】解：（1）对于y＝2x+18，令x＝0，则y＝18，
令y＝2x+18＝0，则x＝﹣9，
即点A、B的坐标分别为：（﹣9，0）、（0，18），
∵点M为线段OB的中点，则点M（0，9），
设直线AM的表达式为：y＝kx+9，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣9k+9，则k＝1，
即直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）设点B 的坐标为：（x，y），
1
由题意得，B M＝BM，AB＝AB ，
1 1
则 ，
解得： （不合题意的值已舍去），
即点B 的坐标为：（9，9）；
1
由点A、M的坐标得，AM＝9 ＝OB ，
1
∵AO＝B M＝9，
1
∴四边形AMB O的形状为平行四边形，
1
故答案为：平行四边形；
（3）存在，理由：
设点Q（s，t）、点H（m，m+9），
由点AB的坐标得，AB2＝405，同理可得：AH2＝2（m+9）2，
当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH得：
，解得： （不合题意的值已舍去），即点Q的坐标为：（﹣ ， ）；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BH得：
，解得： ，
即点Q的坐标为：（﹣ ， ）（舍去）；
当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH＝BQ得：
，解得： ，
即点Q的坐标为：（﹣3，﹣3），
综上，点Q的坐标为：（﹣ ， ）或（﹣3，﹣3）．
【变式1】（2023春•离石区期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线
1
l ：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C（0，1），连接AC，直线l l 交于点D，且点
2 12
D的横坐标为 ．
（1）求直线l 的函数解析式；
2
（2）求△ACD的面积；
（3）若点E在直线l 上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点 B，C，
1
E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理
由．【答案】（1） ；
（2）S△ACD ＝ ；
（3）存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，点 F的坐标为 或
（1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点D在直线直线l ：y＝2x﹣1上，且点D的横坐标为 ，
1
∴y ＝ ＝ ，
D
∴D ，
将点C（0，1），D 代入直线l ：y＝kx+b中，得 ，
2
解得： ，
∴直线l 的函数解析式为 ；
2
（2）在l ：y＝2x﹣1中，令y＝0，得0＝2x﹣1，
1
解得：x＝ ，
∴A ，
在l ： 中，令y＝0得， ，
2解得：x＝2，
∴P（2，0），
∴AP＝ ＝ ，
∵S△ACD ＝S△ACP ﹣S△ADP ，
∴S△ACD ＝ ＝ ＝ ；
（3）存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，理由如下：
设E（m，2m﹣1），
∵直线l ：y＝2x﹣1与y轴分别交于点B，
1
∴B（0，﹣1），
∵C（0，1），
∴BC2＝4，
CE2＝（m﹣0）2+（2m﹣1﹣1）2＝5m2﹣8m+4，
BE2＝（m﹣0）2+[2m﹣1﹣（﹣1）]2＝5m2，
如图，当BC为对角线时，
∵以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，CE2+BE2＝BC2，
∴5m2﹣8m+4+5m2＝4，
解得：m ＝0（舍去），m ＝ ，
1 2
∴E ，∴F ；
如图，当BC为边时，
∵以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
∴4+5m2﹣8m+4＝5m2，
解得：m＝1，
∴E（1，1），
∴F（1，﹣1）．
综上，点F的坐标为 或（1，﹣1）．
【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的
图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与
点C对应，点B与点D对应）．
（1）直接写出直线CD的解析式；
（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线
AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．
且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点 N的坐标，
并写出其中一种求解点N坐标的过程．【答案】（1）y＝﹣ x+2；
（2）点E的坐标为（ ， ）；
（3）点N的坐标为（2，1）或（﹣ ， ）或（0，2）．
【解答】解：（1）一次函数y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），即OA＝2，OB＝4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，
∴C（0，2），D（4，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣ x+2；
（2）设E（a，﹣ a+2），则F（a，2a+4），
∵EG∥x轴，
∴点G的纵坐标为﹣ a+2，
将y＝﹣ a+2代入一次函数y＝2x+4得：2x+4＝﹣ a+2，∴x＝﹣ a﹣1，即点G的横坐标为﹣ a﹣1，
∴EF＝2a+4﹣（﹣ a+2）＝ a+2，EG＝a﹣（﹣ a﹣1）＝ a+1，
∵A（﹣2，0），D（4，0），
∴AD＝6，
∵EF+EG＝AD，
∴ a+2+ a+1＝6，
∴a＝ ，
∴点E的坐标为（ ， ）；
（3）①OM为矩形的边时，如图，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作
MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作
N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，
∵A（﹣2，0），B（0，4），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，2），OM＝AM＝BM＝ AB，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC＝2，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴ON＝OM，CN＝AM，
∴ON＝CN＝ CD，
∴点N为线段CD的中点，
∵C（0，2），D（4，0），
∴N（2，1）；
设直线ON的解析式为y＝mx，则2m＝1，
∴m＝ ，
∴直线ON的解析式为y＝ x，
∵MN′⊥OM，ON⊥OM，
∴MN′∥ON，
∴可设直线MN′的解析式为y＝ x+n，
将M（﹣1，2）代入得，﹣ +n＝2，
∴n＝ ，
∴直线MN′的解析式为y＝ x+ ，
联立直线CDy＝﹣ x+2得 ，
解得 ，
∴N′（﹣ ， ）；
综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（2，1）或（﹣ ， ）；②OM为矩形的对角线时，如图，
∵M（﹣1，2），C（0，2），
∴MC⊥y轴，
∵四边形MNOP为矩形，
∴MN⊥y轴，
∴点N与点C重合，
∴N（0，2）．
综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（2，1）或（﹣ ，
）或（0，2）．
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
【典例18】已知：在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两
1
点，直线l 经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
2
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图1，点P为直线l 上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐
1
标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A B C .请问在平面
1 1 1
内是否存在点D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点
1 1
D的坐标．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线l 的解析式y＝kx+b，
2
∵直线l ：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
1
∴A（2，0），B（0，2），
∵直线l 经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4），
2
∴ ，
∴ ，
∴直线l 的解析式：y＝2x﹣4；
2
（2）由题意可知，BC＝6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC ＝ •|x
A
﹣x
P
|•BC＝ |2﹣m|×6＝9，
∴m＝﹣1或m＝5．
∴P（﹣1，3）或P（5，﹣3）；
（3）设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A B C ，
1 1 1
∴A （2﹣t，0），
1
∴CC ＝t，A C ＝AC＝2 ，
1 1 1
设D点坐标为（p，q），
①当CC 为以A 、C 、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
1 1 1当CC ＝A C ＝2 时，即t＝2 ，
1 1 1
此时CC ∥A D，即点D在x轴上，
1 1
且A D＝A C ＝2 ，
1 1 1
∴点D与点A重合，即D（2，0）．
当CC ＝A C＝t时，
1 1
∵A （2﹣t，0），C（0，﹣4），
1
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝t2，
解得t＝5，
此时CC ∥A D，即点D在x轴上，
1 1
且A D＝CC ＝5，
1 1
∴D（﹣8，0）．
②当CC 为以A 、C 、C、D为顶点的菱形对角线时，A C ＝A C＝2 ，即点A 在
1 1 1 1 1 1 1
CC 的垂直平分线上，且A ，D关于CC 对称，
1 1 1
当△ABC向左一移动，A （2﹣t，0），C（0，﹣4），C （﹣t，﹣4），
1 1
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝（2 ）2，
解得t＝4或t＝0（舍），
当△ABC向右移动时，A （2+t，0），C（0，﹣4），C （t，﹣4），
1 1
∴（﹣4）2+（2+t）2＝（2 ）2，
解得t＝﹣4（舍）或t＝0（舍），
∴A （﹣2，0），
1
∴D（﹣2，﹣8）．
综上所述，存在点D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为
1 1
（2，0），（﹣8，0），（﹣2，﹣8）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2
相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．（1）求直线CD的解析表达式；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，
D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）y＝ x﹣2；
（2）点P（﹣4，﹣5）或（12，7）；
（3）点N的坐标为（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）或（﹣5， ）．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣ x+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k＝ ，
∴a＝1，k＝ ；
∴直线CD的表达式为：y＝ x﹣2；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：y＝ x﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM +S△BDP ＝ ×BD×|x
M
﹣x
P
|＝ ×（3+2）|4﹣x
P
|＝20，
解得：x ＝﹣4或x ＝12，
P P故点P（﹣4，﹣5）或P（12，7）；
（3）设点F的坐标为（m，﹣ m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（﹣ m）2，
解得m＝±2 ，
则点F的坐标为（2 ，﹣ +3）或（﹣2 ， +3）；
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）；
当BD是对角线时，
同理可得，点N的坐标为（﹣5， ）；
综上，点N的坐标为（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）或（﹣5， ）．
【变式2】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣ 交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝
﹣ x+3交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣ x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在
直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为
菱形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）11；
（2）点E（2， ）；
（3）点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣3x﹣ ，令x＝0，则y＝﹣ ，故点B（0，﹣ ）；
对于y＝﹣ x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即﹣ x+3＝0，解得：x＝4，故点D
（0，3）、（4，0），
则BD＝3+ ＝ ，OC＝4，
△BCD的面积＝ ×BD×OC＝ ×4＝11；
（2）由题意，∠ABE＝45°，观察图象可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE
的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B
与x轴的平行线于点H，设点E（m，﹣ m+3），点R（n，﹣3n﹣ ），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣ + m﹣3，﹣ m+3+ ＝m﹣n，解得 ，
故点E（2， ）；
（3）∵直线CD的表达式为y＝﹣ x+3，
而CD⊥EF，则设直线EF的表达式为y＝ x+b，
将点E的坐标代入上式并解得：b＝﹣ ，
故直线EF的表达式为y＝ x﹣ ，
设点P（a， a﹣ ），点Q（s，t），
点O向右平移2个单位向上平移 个单位得到E，
同样点P（Q）向右平移2个单位向上平移 个单位得到Q（P），
当点P在点Q的下方时，
则a+2＝s且 a﹣ + ＝t①，
OE＝OP，即22+（ ）2＝a2+（ a﹣ ）2②，
联立①②并解得：a＝2或﹣ ，
故点Q的坐标为（ ，﹣ ）（不合题意的值已舍去）；当点P在点Q的上方时，
同理可得，点Q的坐标为（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
综上，点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标
【典例19】（2023秋•顺德区月考）如图，一次函数的图象与坐标轴交于 A（0，5），B
（10，0）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O，B重合），过点B作BF⊥AE，垂
足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求点E的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣ x+5；
（2）E的坐标为（ ，0）或（5，0）．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象与坐标轴交于A（0，5），B（10，0）两点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣ x+5；
（2）当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q，如图：∵四边形EFMN是正方形，
∴FE＝FM，∠EFM＝∠PFQ＝90°，
∴∠EFP＝∠MFQ，
∵∠FPE＝∠FQM＝90°，
∴△FPE≌△FQM（AAS），
∴FP＝FQ，四边形OPFQ是正方形，
设正方形OPFQ的边长为m，
∵∠AEO＝∠BEF，∠AOE＝∠BFE＝90°，
∴∠FAQ＝∠FBP，
∵∠AQF＝∠BPF＝90°，
∴△AQF≌△BPF（AAS），
∴AQ＝BP，
∴5+m＝10﹣m，
∴m＝2.5，
∴F（2.5，﹣2.5），
由A（0，5），F（2.5，﹣2.5）得直线AF的解析式为y＝﹣3x+5，
在y＝﹣3x+5中，令y＝0得x＝ ，
∴E（ ，0）；
当点M在x轴上时，如图：此时M与B重合，∠MEF＝45°＝∠AEO，
∴OA＝OE＝5，可得E（5，0）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（ ，0）或（5，0）．
【变式1】（2023春•郧阳区期末）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C
在x轴的正半轴上，△ABC面积为11．
（1）求出点C的坐标；
（2）如图1，过点C的直线CD交y轴于点D，若∠OCD＝∠OBC，求点D的坐标；
（3）如图2，F为线段AB的中点，点G在y轴上，以FG为边，向右作正方形FGQP，
点Q落在直线BC上，求点G的坐标．
【答案】（1）（ ，0）；
（2）D点坐标为（0，﹣ ）或（0， ）；（3）G点坐标为（0， ）或（0，﹣5）；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵△ABC的面积为11，
∴ AC×BO＝ AC×4＝11，
∴AC＝ ，
∴C点坐标为（ ，0）；
（2）当D点在y轴负半轴时，
∵∠OCD＝∠OBC，
∴∠OCD+∠OCB＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
∴BC2+CD2＝BD2，
∵OC＝ ，OB＝4，
∴（16+ ）+（OD2+ ）＝（4+OD）2，
解得OD＝ ，
∴D（0，﹣ ）；
当D点关于x轴对称时，对称点为D'（0， ），此时∠OCD＝∠OCD'，
∴D'（0， ）；
综上所述：D点坐标为（0， ）或（0，﹣ ）；
（3）∵F为线段AB的中点，
∴F（﹣1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+4，
设G（0，n），
①当n＞2时，Q点落在BC上，如图2，
过点G作KH∥x轴，过点F作FK⊥KH交于K点，过点Q作QH⊥KH交于H点，
∵∠FGQ＝90°，
∴∠KGF+∠HBQ＝90°，
∵∠KFG+∠KGF＝90°，
∴∠HBQ＝∠KGF，
∵FG＝GQ，
∴△KGF≌△HQB（AAS），
∴KF＝BH＝n﹣2，KG＝HQ＝1，
∴Q（n﹣2，n﹣1），
∴n﹣1＝﹣ （n﹣2）+4，
解得n＝ ，
∴G（0， ）；
②当n＜2时，如图3，
过点G作MN∥x轴，过点F作FM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于点N，
同理可得△FMG≌△GNQ（AAS），
∴FM＝GN＝2﹣n，MG＝QN＝1，
∴Q（2﹣n，n+1），
∴n+1＝﹣ （2﹣n）+4，
解得n＝﹣5，
∴G（0，﹣5）；综上所述：G点坐标为（0， ）或（0，﹣5）；
【变式2】（2023春•天桥区期末）已知一次函数的图象y＝﹣ x+6与x轴，y轴分别交于
点A，点B，与直线y＝ x交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个
动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC ＝S△BCP ，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝ x上的一个动点，在平面内是否存在点F，使四边形APEF是
正方形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）点A（8，0），点B（0，6）．
（2） 或 ．
（3）存在， 或（16，20）．
【解答】解：（1）令x＝0，
解得y＝6，
令y＝0，
解得x＝8，
∴点A（8，0），点B（0，6）．
（2）联立 ，
解得 ，
∴C为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴P为 或 ．（3）存在．
设点 ，点P（n，6），
当四边形APEF是正方形时，∠EPA＝90°，
①点P在点E的左侧时，
如图，过P作MN⊥x轴于N，过E作EM⊥MN于M，
∴∠MEP+∠MPE＝90°，
∴∠NPA+∠MPE＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，
∵PE＝PA，∠M＝∠ANP＝90°
∴△EMP≌△PNA（AAS），
∴ME＝PN＝6，MP＝AN，
即 ，
∴m＝ ， m＝ ．
∴E为 ．
②当点P在点E的右侧时，
如图，同理可得△AMP≌△PNE（AAS），
∴NE＝PM＝6，NP＝AM，即 ，
解得 ，
∴E为（16，20），
综上， 或（16，20）．
