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专题 11 一次函数几何压轴训练
1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴
于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点
D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．
（1）求线段OC的长；
（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连
结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．
【答案】（1）OC＝4.8；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）∵直线 分别交x轴，y轴于点B，A，
∴当x＝0，则 y＝0，故A（0，6）；
当y＝0，则x＝8，故B（8，0）；
∴ ，
∵OC⊥AB，
∴ ，
即OA×OB＝OC×AB，
∴6×8＝10×OC，
∴OC＝4.8；
（2）依题意，设点D的坐标为（0，a），∵过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．且 ，
∴当y＝a，则 ，解得 ，
∴ ，即 ；
过点C作CH⊥OB，
由（1）知OC＝4.8，OB＝8
∴
根据等面积法 ，
得 ，
∴ ，
则C（2.88，3.84），
设直线OC的解析式为y＝kx，
把C（2.88，3.84）代入y＝kx，
解得 ，
∴直线OC的解析式为 ，
则点 ，
∴ ，
∵DE＝EF，∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）如图：在OB上取点H，OH＝AC，连接MH，
∵C（2.88，3.84），A（0，6），B（8，0），∠AOB＝90°，
∴AB＝10，
∵直线l过点C，
∴D（0，3.84），
∴AD＝6﹣3.84＝2.16，
∴ ，
∵OM＝CN，∠ACN＝∠HOM，AC＝OH，
∴△ACN≌△HOM（AAS），
∴AN＝HM，OH＝AC＝3.6
∵要求线段AN+AM的最小值，
∴要求出HM+AM最小值，
则点A，M，H三点共线时，则有最小值，
此时最小值＝ ．
2．（2023秋•和平县期末）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线
AB：y＝kx+ 与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）
和C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．
（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE
交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．
【答案】见解析．
【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx+ ，
∴﹣3k+ ＝0，
∴k＝ ，
∴直线AB的函数表达式为：y＝ x+ ，
把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4；
（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为P点，
如图：当﹣2x+4＝ x+ 时，
解得x＝1，
将x＝1，代入y＝﹣2x+4，
解得：y＝2．
所以A的坐标为：A（1，2）
作A关于y轴的对称点A′，则A′坐标为：A′（﹣1，2），
∵A′（﹣1，2），C（2，0）；
∴设A′C所在直线解析式为：y＝mx+n，将A′，C代入得：
，
解得： ，
即解析式为：y＝﹣ x+ ，
令x＝0，y＝ ，
即P点坐标为：P（0， ）．
（3）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝ ＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝2，
∵OG＝1，
∴OD＝1，
∴D（﹣1，0）；
②当∠ADE＝90°时，如图所示：
由图可知：BC＝OB+OG＝4，AF＝2，F（1，0），OG＝1，
由对折得，AE＝AB＝2 ，BD＝DE，
∴EF＝AE﹣AF＝2 ﹣2，
设DF＝a，BD＝4﹣a，则DE＝4﹣a，
由勾股定理可知：
DF2+EF2＝DE2，
a2+ ＝（4﹣a）2，
解得：a＝ ﹣1，
∴BD＝4﹣（ ﹣1）＝5﹣ ，
∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5﹣ ）＝ ﹣2，
∵D在x轴负半轴，
∴D（2﹣ ，0）．综上所述：D点坐标为：（﹣1，0）或（2﹣ ，0）．
3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线 和直线l 与x轴分别相交于A，B两
2
点，且两直线相交于点C，直线l 与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
2
（1）求出直线l 的函数表达式；
2
（2）E是x轴上一点，若S△ABC ＝2S△BCE ，求点E的坐标；
（3）若F是直线l 上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说
1
明理由．
【答案】（1）y＝2x﹣4；
（2）点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）y＝ x+2，令y＝0，则0＝ x+2得，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴B（2，0），
设直线l 的函数表达式为：y＝kx+b，
2
将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：
，解得 ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝2x﹣4；
2
（2）∵点C是直线l 和l 的交点，
1 2
∴ ，解得 ，
∴C（4，4），
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6．
∴△ABC的面积为： ×AB×y ＝ ×6×4＝12，
C
∵S△ABC ＝2S△BCE ，
∴S△BCE ＝6，
设E（m，0），
∴S△BCE ＝ ×4×|m﹣2|＝6，
∴m＝﹣1或5，
∴点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：
设直线l ：y＝ x+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，
1∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），
∵∠ACF＝2∠CAO，
∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，
∵A（﹣4，0），C（4，4），
∴OA＝MC＝4，
∵∠CMF＝AON，
∴△AON≌△CMF（ASA），
∴MF＝ON＝2，
∴F（0，6），
∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，
CB2＝42+（4﹣2）2＝20，
FB2＝22+62＝40，
∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，
∴△BCF是等腰直角三角形．
4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交
于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．
（1）求线段AC的长；
（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量 t的
取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为
直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）9；
（2）S＝ ×3×|6﹣t|＝ |6﹣t|，t＞0且t≠6；
（3）t的值为 或5．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，y＝3，
∴B（0，3），
把y＝0代入y＝﹣x+3，x＝3，
∴A（3，0），
∴AO＝3，
∵CO＝2AO，
∴CO＝6，
∴C（﹣6，0）；
∴AC＝6+3＝9；
（2）∵C（﹣6，0），动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，
∴CP＝t，
∴P（﹣6+t，0），
∴OP＝|6﹣t|，
∴S＝ ×3×|6﹣t|＝ |6﹣t|，t＞0且t≠6；
（3）存在点D，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当∠PBD＝90°时，过点B作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于G点，过点P
作PH⊥GH交于H点，∵∠PBD＝90°，
∴∠DBG+∠PBH＝90°，
∵∠GBD+∠BDG＝90°，
∴∠PBH＝∠BDG，
∵BD＝BP，
∴△BDG≌△PGH（AAS），
∴GB＝PH＝3，GD＝BH＝t﹣6，
∴D（﹣3，9﹣t），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∴﹣6k+3＝0，
解得k＝ ，
∴直线BC的解析式为y＝ x+3，
∴9﹣t＝﹣ +3，
解得t＝ ；
如图2，当∠PBD＝90°时，过点D作DM⊥x轴交于M点，同理可得△PDM≌△BPO
（AAS），∴DM＝OP＝6﹣t，MP＝OB＝3，
∴D（t﹣9，6﹣t），
∴6﹣t＝ （t﹣9）+3，
解得t＝5；
综上所述：t的值为 或5．
5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别
交于点A、点B，S△AOB ＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的
直线交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求m和b的值；
（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上
一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．
【答案】（1）m的值为2，b的值为﹣4；
（2）直线CD的解析式为y＝ x+1；
（3）P点的坐标为（ ，3 ﹣3）或（ ，﹣3 ﹣3）．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴B（0，b），A（﹣ ，0），
∵S△AOB ＝ OA•OB＝4，
∴ ×（﹣ ）×（﹣b）＝4，解得b＝﹣4或4（舍去），
∴b的值为﹣4，∴直线y＝2x+b＝2x﹣4，
∵点C（3，m）是直线AB上一点，
∴m＝2×3﹣4＝2，
∴m的值为2；
（2）∵b的值为﹣4，m的值为2，
∴B（0，﹣4），A（2，0），C（3，2），
过点A作AM⊥CD于M，过点M作MR⊥x轴于R，过点C作CT⊥MR于T，设M（m，
n），
∴∠ARM＝∠MTC＝90°，∠AMC＝90°，
∵∠ACD＝45°，∠AMR+∠MAR＝∠AMR+∠CMT＝90°，
∴∠ACD＝∠CAM＝45°，∠MAR＝∠CMT，
∴AM＝MC，
∴△AMR≌△MCT（AAS），
∴AR＝MT＝2﹣m＝2﹣n，MR＝CT＝n＝3﹣m，
∴n＝ ，m＝ ，
∴M（ ， ），
设直线CD的解析式为y＝rx+t，
∴ ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝ x+1；
（3）如图2，设P（p，2p﹣4），
∵A（2，0），CM⊥x轴，直线CM上一点H，
∴点H的横坐标为3，
∵四边形AHQP为菱形，
∴Q（p+1， p+ ），H（3， p），AP＝AH，
∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝（3﹣2）2+（ p）2，
解得p＝ 或 ，
∴P点的坐标为（ ，3 ﹣3）或（ ，﹣3 ﹣3）．
6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与
x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、
B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不
存在，请说明理由．【答案】（1） ；
（2）在该一次函数的图象上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全
等；点P的坐标为（6，16）或（4.8，14.4）．
【解答】解：（1）把A（﹣6，0），B（0，8）代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴直线AB的函数表达式为： ；
（2）在该一次函数的图象上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全
等，理由如下：
∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∴ ，
当△AOB≌△PCB时，如图1所示：
∵△AOB≌△PCB，
∴∠BCP＝∠AOB＝90°，PC＝OA＝6，BC＝OB＝8，
∴OC＝OB+BC＝8+8＝16，
∴此时点P的坐标为：（6，16）；
当△AOB≌△CPB时，过点P作PQ⊥y轴，如图2所示：∵△AOB≌△CPB，
∴PB＝OB＝8，PC＝OA＝6，BC＝10，∠CPB＝90°，
∵S△PBC ＝ BC×PQ＝ PC×PB，
∴PQ＝ ＝ ＝4.8，
把x＝4.8代入 得：
y＝ ×4.8+8＝14.4，
∴此时点P的坐标为：（4.8，14.4）；
综上分析可知，点P的坐标为：（6，16）或（4.8，14.4）．
7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B
两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．
（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．
（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为 ，若存在，求出点E坐标；若不
存在，说明理由．
（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内
作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发
生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线AB解析式：y＝﹣x+b且过点A（3，0），
∴﹣3+b＝0，∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
∴B（0，3），
由已知得点D为（6，0），
设直线BD为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线BD的解析式为 ；
（2）存在．理由如下：
∵S△BOD ＝ OB•OD＝ ×3×6＝9，S△AOB ＝ OA•OB＝ ×3×3＝ ，
∴S△ADE ＝S△BOD ﹣S△AOB ﹣S△ABE ＝9﹣ ﹣ ＝3，
又∵S△ADE ＝ AD•y
E
＝ y
E
，
∴y ＝2，
E
将y＝2代入 ，得x＝2，
∴点E为（2，2）；（3）K点的位置不发生变化．理由如下：
如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，
∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠OPB＝∠PQC，
∵PB＝PQ，
∴△BOP≌△PCQ（AAS），
∴BO＝PC＝3，OP＝CQ＝3+m，
∴AC＝3+m＝QC，
∴∠QAC＝∠OAK＝45°，
∴OA＝OK＝3，
∴K（0，﹣3）．
8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，
b），且a，b满足 +（a﹣4）2＝0．
（1）a＝ 4 ，b＝ ﹣ 4 ；
（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试
求点P的坐标；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作
DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM ﹣S△ADN 的
值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的
值．【答案】（1）4，﹣4；
（2）P（0，﹣1）；
（3）4．
【解答】解：（1）∵ +（a﹣4）2＝0，且 ≥0，（a﹣4）2≥0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4．
故答案为：4，﹣4；
（2）∵a＝4，b＝﹣4，则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1，
则P（0，﹣1）；
（3）S△BDM ﹣S△ADN 的值不发生改变．S△BDM ﹣S△ADN ＝4．
连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°
∴OD＝AD，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA，
在△ODM与△ADN中，，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM ＝S△ADN ，
∴S△BDM ﹣S△ADN ＝S△BDM ﹣S△ODM ＝S△BOD ＝ S△AOB ＝ × AO•BO＝ × ×4×4＝4．
9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ x+8分别与
x轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；
（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y
轴上时，求点Q的坐标．
【答案】（1）C（﹣ ，0）；
（2）直线CD的解析式为y＝ x+ ；（3）点Q的坐标为（ ，0）或（﹣24，0）．
【解答】解：（1）设C（﹣m，0），m＞0，
∵直线AB：y＝﹣ x+8分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝ ＝10，BC＝ ，AC＝m+6，
∴S△ABC ＝ AB•BC＝ AC•OB，
∴10× ＝8（m+6），解得m＝ ，
∴C（﹣ ，0）；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴AE＝CE，
∵A（6，0），C（﹣ ，0），
∴E（﹣ ，0），
∵点D为直线AB上一点，
∴D（﹣ ， ），
设直线CD的解析式为y＝sx+t，∴ ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝ x+ ；
（3）设点Q的坐标为（q，0）．
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴负半轴上时，设点A落在y轴负半轴
的点A′处，如图所示：
根据折叠的性质可得：QA＝QA′，AB＝A′B＝10，B（0，8），
∴A′（0，﹣2），
∴QA′＝2，
在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，
∴（6﹣q）2＝22+q2，解得q＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，0）；
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴正半轴上时，设点A落在y轴正半轴
的点A′处，如图所示：
′根据折叠的性质可得：QA＝QA′，A′B＝AB＝10，B（0，8），
∴A′（0，18），
∴QA′＝QA＝6﹣q，
在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，
∴（6﹣q）2＝182+q2，解得q＝﹣24，
∴点Q的坐标为（﹣24，0）；
综上，点Q的坐标为（ ，0）或（﹣24，0）．
10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
B，点C与点A关于y轴对称．
（1）请写出点A坐标 （﹣ 6 ， 0 ） ，点B坐标 （ 0 ， 3 ） ，直线BC的函数解析
式 y ＝﹣ x +3 ； ；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线
BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣ x+3；（2）①（ ，3﹣ ）或
（﹣ ，3+ ）；②（﹣ ， ）或（ ， ）．
【解答】解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．
由y＝0得： x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
故答案为：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣ x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m， m+3），点Q（m，﹣ m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣ m+3﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝ PQ•BD＝ m2＝ ，解得m＝± ，
故点Q的坐标为（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x， x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x
轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM ＝2S△AOC 时，求点M的坐标；
（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在
平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，
若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+2；
（2）M（2，4）或（﹣6，﹣4）；（3）存在，点F的坐标为：（ ， ）或（﹣ ， ）或（2，0）．
【解答】解：（1）由直线AB的表达式知，点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，
4），
∵C是BO中点，
∴C（0，2），
设直线AC的表达式为：y＝kx+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣2k+2，
解得：k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+2；
（2）∵S△AOC ＝×2×2＝2，且C是OB中点，
∴S△ABM ＝2S△AOC ＝4，S△ABC ＝×2×2＝2，
设M（x，x+2），
①当M在C点右侧，
∵S△ABM ＝S△ABC +S△BCM ，
∴4＝2+ ×2×x，
∴x＝2，
∴M（2，4）；
②当M在点C左侧，S△BCM ＝S△ABC +S△ABM ，
∴ ×2×（﹣x）＝2+4，
∴x＝﹣6，
∴M（﹣6，﹣4），
∴M（2，4）或（﹣6，﹣4）；
（3）存在，理由：
由题意得，直线l的表达式为：y＝2（x﹣3）+4＝2x﹣2，
设点E（m，2m﹣2）、点F（s，t），
当AF为对角线时，
由中点坐标公式和AC＝AE得：
，解得： 或 ，
即点F（ ， ）或（2，0）；
当AC为对角线时，
由中点坐标公式和AE＝AF得：
，解得： ，即点F（﹣ ， ），
综上，点F的坐标为：（ ， ）或（﹣ ， ）或（2，0）．
12．（2022秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A
的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存
在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′
恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．
【答案】（1）y＝﹣ x+4；
（2）点D的坐标为（﹣7，4）或（﹣4，7）；
（3）y＝﹣ x+ 或y＝2x﹣6．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4．
当x＝0时，y＝x+b＝b＝4，
∴点B的坐标为（0，4），即OB＝4．
∵OB：OC＝4：3，
∴OC＝3．
∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将B（0，4）、C（3，0）代入y＝kx+c，得： ，
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣ x+4；
（2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑（如图1）：
①当△BAD≌△ABC时，
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAC＝45°．
∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝7，
∴BD∥AC，
∴点D的坐标为（﹣7，4）；
②当△ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝7，
∴∠DAC＝90°，
∴点D的坐标为（﹣4，7）．
综上所述，点D的坐标为（﹣7，4）或（﹣4，7）；
（3）依照题意画出图形，如图2所示．由翻折得，PB＝PB′，B′C＝BC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴B′C＝BC＝ ＝5，
∴OB′＝5﹣3＝2或OB′＝5+3＝8，
∴设OP＝x，则PB＝PB′＝4﹣x或4+x．
在Rt△POB′中，∠POB′＝90°，
∴OP2+OB′2＝PB′2，即x2+22＝（4﹣x）2或x2+82＝（4+x）2，
解得：x＝ 或x＝6，
∴点P的坐标为（0， ）或（0，﹣6），
设直线CP的函数表达式为y＝mx+n，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴直线CP的函数表达式为y＝﹣ x+ 或y＝2x﹣6．
13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+5与y轴交于点
1
A，直线l 与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l 交于点D（2，
2 1m）．
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l 交于点
1
G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请
直接写出点H的坐标．
【答案】（1）y＝ x+2；（2）（﹣2，7）；（3）（2，0）或（2，6）或（﹣2，
4）．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，
∴D（2，3）．
设直线l 的解析式为y＝kx+b，由题意得：
2
，
解得： ．
∴直线l 的解析式为y＝ x+2．
2
（2）∵EF⊥x轴，
∴G，E的横坐标相同．
设G（n，﹣n+5），则E（n， n+2）．
∵E为线段BC上一个动点，
∴﹣n+5＞0， n+2＞0，
∴FG＝﹣n+5，FE＝ n+2．∴EG＝FG﹣FE＝﹣ n+3＝6．
解得：n＝﹣2．
∴G（﹣2，7）．
（3）如图，当四边形AHCD为平行四边形时，
令x＝0，则y＝ ，
∴C（0，2）．
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．
令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，
∴A（0，5）．
∵AH∥CD，
∴直线AH的解析式为：y＝ x+5．
∴ ．
解得： ．
∴H（﹣2，4）．
如图，当四边形AHDC为平行四边形时，∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵AH∥DC，
∴直线AH的解析式为y＝ x+5，
∴当x＝2时，y＝ ×2+5＝6，
∴H（2，6）．
当四边形ADHC为平行四边形时，如图，
∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，
∴H（2，0）．
综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：
（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．
14．（2022春•潮阳区期末）如图，直线y＝ x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；
（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）对于直线y＝ x﹣3，
令x＝0，得到y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
令y＝0，得到x＝4，
∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5．
（2）设OC＝x，则BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3，
在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝ ，
∴点C坐标为（0， ）．
（3）如图，当点D在x轴的负半轴上时，∵∠BAO＝2∠DBO，
∴∠ABD＝∠DBO+∠ABO
＝ ∠BAO+90°﹣∠BAO
＝90°﹣ ∠BAO
＝90°﹣∠DBO
＝∠ADB，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝5﹣4＝1，
∴D（﹣1，0），
根据对称性可知，当点D在x轴的正半轴上时，D′（1，0）．
综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣1，0）或（1，0）．
15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝x+2与x轴交于
1
点A，直线l ：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l 相交于点C．
2 1
（1）求点D的坐标；
（2）在y轴上一点E，若S△ACE ＝S△ACD ，求点E的坐标；
（3）直线l 上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD
1
全等，求点F的坐标．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直线l ：y＝3x﹣6与x轴交于点D，
2
∴令y＝0，则3x﹣6＝0，
∴x＝2，
∴D（2，0）；
（2）如图1，
∵直线l ：y＝x+2与x轴交于点A，
1
∴令y＝0．
∴x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
由（1）知，D（2，0），
∴AD＝4，
联立直线l ，l 的解析式得， ，
1 2
解得， ，
∴C（4，6），
∴S△ACD ＝ AD•|y
C
|＝ ×4×6＝12，
∵S△ACE ＝S△ACD ，
∴S△ACE ＝12，
直线l 与y轴的交点记作点B，
1
∴B（0，2），
设点E（0，m），
∴BE＝|m﹣2|，
∴S△ACE ＝ BE•|x
C
﹣x
A
|＝ |m﹣2|×|4+2|＝3|m﹣2|＝12，
∴m＝﹣2或m＝6，
∴点E（0，﹣2）或（0，6）；
（3）如图2，①当点F在直线l 上方时，
1
∵以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，
∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时，连接DF'，BD，
由（2）知，B（0，2），
由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），
∴OB＝OA＝OD，
∴∠ABO＝∠DBO＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴DB⊥l ，
1
∵△APF'≌△APD，
∴PF'＝PD，AF'＝AD，
∴直线l 是线段DF'的垂直平分线，
1
∴点D，F'关于直线l 对称，
1
∴DF'⊥l ，
1
∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，
∴F'（﹣2，4），
Ⅱ、当△PAF≌△APD时，
∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD，
∴PF∥AD，
∵点D（2，0），A（﹣2，0），
∴点D向左平移4个单位，
∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，3），
∴F（﹣3，3），
②当点F在直线l 下方时，
1
∵△PAF''≌△APD，
由①Ⅱ知，△PAF≌△APD，
∴△PAF≌△PAF''，
∴AF＝AF''，PF＝PF''，
∴点F与点F'关于直线l 对称，
1
∴FF''⊥l ，
1
∵DF'⊥l ，
1∴FF''∥DF'，
而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），
∴F''（1，﹣1），
当点F与点P重合时，符合题意，即F（2，0），
即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）或（2，0）．
16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰
好落在直线AB上．
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．
【答案】（1）y＝﹣ x+3；
（2）①点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；
②存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3， ）或（﹣
3， ）或（5， ）．
【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：
，解得： ，
∴直线AB的表达式为y＝﹣ x+3；
（2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE．
在△BOC和△CED中，
，∴△BOC≌△CED（AAS），
∴OC＝DE，BO＝CE＝3．
设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），
∵点D在直线AB上，
∴m＝﹣ （m+3）+3，
∴m＝1，
∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；
②存在，设点Q的坐标为（n，﹣ n+3）．
分两种情况考虑，
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，
∴n＝﹣3或n＝3，
∴点Q的坐标为（3， ）或（﹣3， ）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0＝1+4，∴n＝5，
∴点Q″的坐标为（5， ）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，
）或（﹣3， ）或（5， ）．
17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．
如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两条邻边分别在 x 轴、y 轴上，对角线
，点B的坐标为B（2a，a）．
（1）A （ 0 ， 4 ） ，C （ 8 ， 0 ） ．
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交
点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．
（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的
点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，4），（8，0）；
（2）y＝2x﹣6；
（3）存在，N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B（2a，a）
∴OA＝BC＝a，AB＝OC＝2a，
则 ，
∴a＝4，则2a＝8，
∴A（0，4），C（8，0），故答案为：（0，4），（8，0）；
（2）连接AD，CE，
∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE是AC的垂直平分线，AF＝CF，AB∥OC，则∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∴AD＝CD，AE＝CE，△EAF≌△DCF（AAS），
∴AE＝CD，则四边形ADCE是菱形，
∴AD＝CD＝AE＝CE，
设OD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，
在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴OD＝3，CD＝AE＝5，
∴D（3，0），E（5，4），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
将D、E坐标代入得：
，
解得： ，
∴直线DE的解析式为y＝2x﹣6．
（3）设M（0，m），
∵OA＝4，OD＝3，
∴ ，
①当AM＝AD时，
即|4﹣m|＝5，解得：m＝﹣1（m＝9时，点N在x轴上方，舍去）∴M（0，﹣1），
由中点坐标可得： ，
得 ，
即：N（3，﹣5）；
②当DM＝AD时， ，
解得：m＝﹣4（m＝4时，点M与点A重合，舍去），
∴M（0，﹣4），
由中点坐标可得： ，
得 ，
即：N（﹣3，0）；③当MA＝MD时，MA＝DM＝|4﹣m|，
由勾股定理可得：DM2＝OM2+OD2，即（4﹣m）2＝m2+32，解得： ，
此时点N在x轴上方，故不符合题意，
综上，当N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）时，使得以A、D、N、M为顶点的四边
形是菱形．
18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝
CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限
内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴
于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．【答案】（1）证明过程见解析；
（2）（5，2）；
（2）（6，0）．
【解答】（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD （SAS），
∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
在Rt△EDC中，∠C＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°．
∴∠AEB+∠DEC＝90°．
∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°．
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，
则∠AHC＝90°．
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．
在△AOB和△CHA中，，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO＝CH，OB＝HA，
∵A（2，0），B（0，3），
∴AO＝2，OB＝3，
∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，
∴OH＝OA+AH＝5，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点
F，
把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴OA＝2，
把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵AO⊥OB，EF⊥BD，
∴∠AOB＝∠BFE＝90°，
∵AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，
又∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠EBF，
在△AOB和△BFE中，，
∴△AOB≌△BFE（AAS），
∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，
∴OF＝3，
∴点E的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+2，
令y＝0，解得x＝6，
∴D（6，0）．
19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：
第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的
时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式
子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴
正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．
（1）直接写出以下点的坐标：A（ 6 ，0），B（0， 4 ）．
（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作
QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说
明理由．
（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD ＝
S△AOB ，求点H的坐标．【答案】（1）6，4；
（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由见解答过程；
（3）H（0， ）或（0，﹣ ）．
【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，
解得a＝6，b＝4，
故答案为：6，4；
（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由如下：
设QC交y轴于点M，
∵∠BAO＝34°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝56°，
∵QC∥AB，
∴∠PMQ＝∠ABO＝56°，
∵∠BPQ＝∠PQM+∠PMQ＝（180°﹣∠PQC）+∠PMQ＝236°﹣∠PQC，
即∠BPQ+∠PQC＝236°；
（3）设H（0，m），过D点作DN⊥y轴于N，∵D（3，2），A（6，0），B（0，4），
∴OB＝4，ON＝2，OA＝6，DN＝3，
∵S△AHD ＝ S△AOB ＝ × ×4×6＝8，
∴S△ABH ﹣S△BHD ＝8，
即 BH•OA﹣ BH•DN＝8，
∴BH＝16÷（OA﹣DN）＝16÷（6﹣3）＝ ，
∴m＝ ＝ 或m＝4﹣ ，
即H（0， ）或（0，﹣ ）．
20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝kx+8分别交x轴，y
1
轴于点A，B，点A（8，0）．直线l ： 经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y
2
轴于点C，D．
（1）请直接写出k的值；
（2）请求出直线l 的解析式；
2
（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l ，l 于点E，F；当EF＝2EP
1 2
时，求t的值．【答案】（1）k＝﹣1；
（2）y＝ x+2；
（3）t＝20，或t＝ ；
【解答】解：（1）∵A（8，0）过直线l ：y＝kx+8，
1
∴0＝k×8+8，
解得：k＝﹣1，
∴k＝﹣1；
（2）∵l ：y＝﹣x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
1
∴B（0，8），
∵AB的中点Q，A（8，0），
∴Q（ ）即Q（4，4），
∵l ：y＝ x+b过Q点，
2
∴4＝ ×4+b，
解得：b＝2，
∴l ：y＝ x+2；
2
（3）∵P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l ：y＝﹣x+8，l ：y＝ x+2于
1 2
点E，F；
∴E（t，﹣t+8），F（t， t+2），∴EF＝ ＝ ，EP＝ ，
当EF＝2EP时， ＝2 ，
解得：t＝20，或t＝ ；
21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax+b的图象与x
1
轴，y轴交于A，B；与直线y ＝kx交于P（2，1），且PO＝PA．
2
（1）求点A的坐标；
（2）求函数y ，y 的解析式；
1 2
（3）点D为直线y ＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y ＝
1 2
kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形
OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S ，S ．若 ≤2，直接写出m的取值
1 2
范围．
【答案】（1）A（4，0）．
（2） ， ．
（3） 或（﹣4，4）．
（4） ．
【解答】解：（1）如图，过点P作PQ⊥OA于Q，∵PO＝PA，PQ⊥OA，P（2，1），
∴OQ＝QA＝2，
∴OA＝4，
点A（4，0）．
（2）把P（2，1）代入y＝kx中，
得2k＝1，
解得 ，
则 ，
把A（4，0），P（2，1）代入y＝ax+b，
得 ，
解得 ，
∴ ．
（3）∵点D的横坐标为t，分别代入y ，y 中，
1 2
得 ， ，
∴ ， ，F（t，0），
∵DE＝2EF，
∴|﹣ |＝2| |，当 时，
解得 ，
∴ ，
当 时，
解得t＝﹣4，
∴D（﹣4，4）．
（4）由（3）可得： ， ， ，
在 中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∵直线y＝mx+n过点P（2，1），
∴1＝2m+n，即 n＝1﹣2m，
∴y＝mx+1﹣2m，
如图，设直线y＝mx+1﹣2m 与y轴交于点Q，与直线DE交于点R，
令x＝0，则y＝1﹣2m，
∴Q（0，1﹣2m），
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，BQ＝2﹣（1﹣2m）＝1+2m，
∵过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，且 ，
∴四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的 或 ，
∵ ，，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴m的范围是 ．
22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝
kx+b过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．
（i）求k、b的值；
（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为
S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点 D 在线段 AO 的延长线上，连接 CD、PD，且
，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于
点 F ， 若 AF ＝ DE ， 求 P 点 的 坐 标 ．【答案】（1） ，b＝5
（2）S＝ t+25；
（3）P（4，7）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝10，
∴B（0，10），
∴OB＝10，
∵C为线段OB的中点，
∴C（0，5），
当y＝0时，x＝﹣10，
∴A（﹣10，0），
将点A、C代入y＝kx+b，
∴ ，
解得 ；
（2）∵BC＝5，
∴S△PAB ＝ ×BC×（x
P
﹣x
A
）＝ ×（t+10）＝ t+25，
∴S＝ t+25；
（3）过点A作AM∥PD，延长CF与AM交于点M，
∵CF∥PE，
∴∠PED＝∠CFD，
∵∠AFM＝∠CFD，
∴∠AFM＝∠PED，
∵AM∥PD，
∴∠FAM＝∠PDE，
∵AF＝ED，
∴△PED≌△MFA（ASA），
∴∠M＝∠EPD＝45°，
过点D作PN⊥CP交于点N，设∠APE＝ ，
α∵CF∥PE，
∴∠ACF＝ ，
α
∵ ，
∴∠CDN＝ ∠CDP，
∴ND是∠CDP的角平分线，
∴CD＝DP，
∴∠PCD＝45°+ ，
∴∠ACD＝135°﹣α ，
∵∠CAM＝180°﹣α45°﹣ ＝135°﹣ ，
∴∠ACD＝∠CAM， α α
∵AC＝AC，∠ACD＝∠CAM，AM＝CD，
∴△AMC≌△CDA（SAS），
∴∠CDA＝∠M＝45°，
∴CO＝DO＝5，
∴D（5，0），
设P（m， m+5），
∴PD＝ ＝5 ，
解得m＝0（舍）或m＝4，
∴P（4，7）．
23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y
轴分别交于 A、B 两点．直线 交线段 AB 于点 C（1，m），且 S△AOB ＝2S△BOC ．
（1）求b的值；
（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的
四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）b＝4；
（2）存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为（﹣2，3）或（2，
4）．
【解答】解：（1）将点C（1，m）代入y＝ x+ 得，
m＝ ×1+ ＝2，
∴点C（1，2），
把点C（1，2）代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2+b，
∴b＝4；
（2）设点D（0，m），
∵直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点，b＝4．
∴A（2，0），B（0，4），
①当AB为矩形的边时，如图1，∵四边形ABED是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，
∴m2+22+22+42＝（4﹣m）2，解得m＝﹣1，
∴点D（0，﹣1），
∵A（2，0），B（0，4），
∴点E的坐标为（﹣2，3）；
②当AB为矩形的对角线时，如图2，
∵四边形ADBE是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴m2+22+（4﹣m）2＝22+42，解得m＝0或4（舍去），
∴点D（0，0），
∵A（2，0），B（0，4），
∴点E的坐标为（2，4）；综上，存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为（﹣2，3）或
（2，4）．
24．（2023春•台江区期末）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直
线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．
（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；
（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；
（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没
有，请说明理由．
【答案】（1）OP的长为 ；
（2）P（12，12）或（﹣ ， ）；
（3）P在AB上运动过程中，EF的长有最小值，EF的长最小值为 ．
【解答】解：（1）在y＝ x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∵点P为线段AB的中点，
∴P（﹣2， ），
∴OP＝ ＝ ，
∴OP的长为 ；（2）设P（m， m+3），
∴PE＝|m|，PF＝| m+3|，
∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，
∴PE＝PF时，四边形PEOF为正方形，
∴|m|＝| m+3|，
即m＝ m+3或﹣m＝ m+3，
解得m＝12或m＝﹣ ，
经检验，m＝12，m＝﹣ 均符合题意，
∴P（12，12）或（﹣ ， ）；
（3）点P在AB上运动过程中，EF的长有最小值，理由如下：
连接OP，如图：
∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP最小时，EF最小，此时OP⊥AB，
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝ ＝5，
∵2S△AOB ＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝ ＝ ＝ ，∴EF的长最小值为 ．
25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别
交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、
E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x﹣3；
（2）点E的坐标为（5，1）或（1，5）；
（3）存在，点Q的坐标为（﹣ ， ），（9，6）或（ ，﹣ ﹣3）．
【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝﹣x+6上，
∴﹣m+6＝3 解得m＝3，
∴点A的坐标为（3，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣3；
（2）设点E的坐标为（a，﹣a+6），
∵EF∥y轴，点F在直线y＝2x﹣3上，
∴点F的坐标为（a，2a﹣3），
∴EF＝|﹣a+6﹣（2a﹣3）|＝|﹣3a+9|，
∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC，∴EF＝OC，
∵直线y＝﹣x+6与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，6），
∴OC＝6，即|﹣3a+9|＝6，
解得：a＝5或a＝1，
∴点E的坐标为（5，1）或（1，5）；
（3）如图2，当BC为对角线时，PQ是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，
∵B（0，﹣3），C（0，6），
∴点P的纵坐标为 ，
将y＝ 代入y＝﹣x+6中，得﹣x+6＝ ，
∴x＝ ，
∴P（ ， ），
∴Q（﹣ ， ）；
如图3，当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（ ， ），
代入直线y＝﹣x+6中，得﹣ +6＝ ①，
∵CQ＝CB，
∴m2+（n﹣6）2＝（6+3）2②，
联立①②得， （舍）或 ，
∴Q（9，6）；
如图4，当PB是对角线时，PC＝BC＝9，
设P（c，﹣c+6），
∴c2+（﹣c+6﹣6）2＝81，
∴c＝﹣ （舍）或c＝ ，
∴P（ ，6﹣ ），
∴Q（ ，﹣ ﹣3），
综上，存在，点Q的坐标为（﹣ ， ），（9，6）或（ ，﹣ ﹣3）．
26．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l ：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l ：y＝﹣
1 2
2x﹣4与x轴交于点B，直线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求点A，C的坐标；
（2）点P在直线l
1
上运动，求出满足条件S△PBC ＝S△ABC 且异于点A的点P的坐标；
（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l 上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|
1
的最大值．【答案】（1）点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）（﹣2，﹣3）；
（3）|DQ﹣BQ|的最大值为 ．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝x﹣1，令x＝0，y＝﹣1，
1
∴点A的坐标为（0，﹣1），
联立直线l ：y＝x﹣1与直线l ：y＝﹣2x﹣4得 ，
1 2
解得 ，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）如图，
直线l ：y＝x﹣1，令y＝0，0＝x﹣1，
1
∴x＝1，
∴点M的坐标（1，0），
直线l ：y＝﹣2x﹣4，令y＝0，0＝﹣2x﹣4，
2
∴x＝﹣2，
∴点B的坐标（﹣2，0），
∴BM＝3，
∴S△ABC ＝S△MBC ﹣S△ABM ＝ ×3×2﹣ ××3×1＝ ，∵S△PBC ＝S△ABC ，
∴S△PBC ＝S△MBP ﹣S△CBM ＝ ×3×|y
P
|﹣ ××3×2＝ ，
∴|y |＝3，
P
∵点P在直线l 上运动，
1
∴x﹣1＝±3，解得x＝﹣2或4（舍去），
∴满足条件S△PBC ＝S△ABC 且异于点A的点P的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）如图，作点B关于直线l 的对称点B′，连接B′D并延长交直线l 于Q，
1 1
∴BQ＝B′Q，BE＝B′E，CE⊥BB′．
∴∠B′EB＝90°，
设直线l 交x轴于E，
1
∵直线l ：y＝x﹣1，令y＝0，则x＝1，
1
∴点E的坐标为（1，0），
∵点B的坐标（﹣2，0），
∴BE＝B′E＝3，
∴点B′的坐标（1，﹣3），
∴|DQ﹣BQ|的最大值为|DQ﹣B′Q|＝B′D．
∵点D（2，0），
∴B′D＝ ＝ ，
∴|DQ﹣BQ|的最大值为 ．27．（2022秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝kx+1交y轴于点A，
1
交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l 平行于y轴，交直线l 于点D，点P是
2 1
直线l 上一动点（异于点D），连接PA、PB．
2
（1）直线l 的表达式为 y ＝﹣ x +1 ，点D的坐标为 （ 2 ， ） ；
1
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的
代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C
的坐标．
【答案】（1）y＝﹣ x+1，（2， ）；
（2）S＝1﹣2m；
（3）点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
1
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣ ．∴直线l ：y＝﹣ x+1，
1
把x＝2代入y＝﹣ x+1得y＝ ，
∴点D的坐标为（2， ），
故答案为：y＝﹣ x+1；（2， ）；
（2）由 得： ．
∴D（2， ）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣ |．
∴S＝ ×|4﹣0|•PD＝ ×|m﹣ |×4＝|2m﹣1|．
当m＜ 时，S＝1﹣2m；
（3）当S△ABP ＝3时，2m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．
当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），
同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．
28．（2021秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两
点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，
且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；
（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点
M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（0，﹣2），A（2，0）；
（2）当PE+PD的值最小时，P（ ，0），△APE的面积为 ；
（3）存在，点M的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0）；
（2）∵点E是线段OB的中点，B（0，﹣2），
∴E（0，﹣1），
如图，过F点作FW⊥y轴交于点W，
∵OG⊥AE，
∴∠AOF+∠OAE＝90°，
∵∠AOE+∠EOF＝90°，
∴∠OAE＝∠EOF，
∵OF＝AE，∠AOE＝∠OWF，
∴△AOE≌△OWF（AAS）∴OE＝FW＝1，OA＝OW＝2，
∴F（1，﹣2），
作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，
∴EP＝E'P，
∴PE+PD＝PE'+PD≥E'D，
当E'、D、P三点共线时，PE+PD的值最小，
∵E（0，﹣1），
∴E'（0，1），
∵F（1，﹣2）在直线OG上，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣2x，
，联立 ，
∴x＝ ，
∴D（ ，﹣ ），
设直线E'D的解析式为y＝k'x+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+1，
令y＝0，则x＝ ，
∴P（ ，0），
∴当PE+PD的值最小时，P（ ，0），△APE的面积为 ×1•AP＝ ×（2﹣ ）＝ ；
（3）存在，
∵k＝﹣2，∴直线OG：y＝﹣2x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当y＝0时，即﹣2x﹣2＝0，
∴x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作OH⊥BC于H，延长HO交BM的延长线
于N，作HP⊥x轴于P，NQ⊥x轴于Q，
∵∠OBM+∠OBC＝45°，
∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HB＝HN，
∵B（0，﹣2），C（﹣1，0），OH⊥BC
∴BC＝ ＝ ，
∵S△OBC ＝ BC•OH＝ OC•OB，
∴OH＝ ＝ ，
∴CH＝ ＝ ，BH＝HN＝ ，
∴PH＝ ，OP＝ ，MN＝HN﹣OH＝ ＝OH，
∵∠POH＝∠QON，∠OPH＝∠OQN＝90°，∴△OPH≌△OQN（ASA），
∴OQ＝OP＝ ，QN＝PH＝ ，
∴N（ ， ），
设BN的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴BN的解析式为y＝3x﹣2，
令y＝0，则3x﹣2＝2，解得x＝ ，
∴M（ ，0）；
当点M在点O的左侧时，如图，
∵∠OBM+∠OBC＝45°，∠OBM′+∠OBC＝45°，
∴∠OBM＝∠OBM′，
∵OB＝OB，∠BOM＝∠BOM′，
∴△OBM≌△OBM′（ASA），
∴OM＝OM′，
∴M′（﹣ ，0）；
综上所述，点M的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）．
29．（2022春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积
之比为1：2，求M的坐标；
（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使
以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）C（7，0）， ；
（2）M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）存在，满足条件的点D的坐标为（13，0）或（﹣23，0）或（1，0）．
【解答】解：（1）直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣5，0），B（0，10），
即OA＝5，OB＝10，
∵△ABC面积为60，
∴ ，
∴OC＝7，
∴C（7，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得： ，∴直线BC的表达式为： ；
（2）令 ，
∵A（﹣5，0），C（7，0），
∴AC＝12，
①当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②若当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）当△ABM的面积为20时，△ABCM的面积为60﹣20＝40，由（2）知，此时M（ ， ），
设直线AM的表达式为y＝k′x+b′，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
∴直线AM的表达式为：y＝ x+ ．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：
∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝ x+ ．
∴ x+ ＝10，解得：x＝6，
∴E （6，10），
∴BE＝CD＝6，
∵C（7，0），
∴D（13，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴
于F，∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，10），
∴EF＝OB＝10，
∴点E的纵坐标是﹣10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝ x+ ．
∴ x+ ＝﹣10，解得：x＝﹣16，
∴OF＝16，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（7，0），
∴DF＝7，
∴OD＝7+16＝23，
∴D（﹣23，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝ x+ ．
∴ x+ ＝10，解得：x＝6，
∴E （6，10），
∴BE＝CD＝6，
∵C（7，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（13，0）或（﹣23，0）或（1，0）．
30．（2022春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形
纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M
使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．
（1）求B'点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的表达式；
（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存
在，请说出理由．
【答案】（1）B'（8，0）；（2） ；
（3）存在，最小值是 ．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是长方形，OA＝10，
∴BC＝OA＝10，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B'C＝BC＝10，
在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，
∴B'O＝ ，
∴B'（8，0）；
（2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，
∵OA＝10，B′O＝8，
∴B'A＝2，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B'M＝BM＝6﹣x，
在Rt△AB'M中，B′A2+AM2＝B′M2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，
解得x＝ ，
∴M（10， ），
设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10， ）代入得：
，解得： ，
∴CM所在直线的解析式为y＝﹣ x+6；
（3）折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点
P，连接PB'，如图，
∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点，
∴PB＝PB'，
∴PO+PB'＝PO+PB≥OB，
当O、P、B共线时，PO+PB'最小，
∵ ，
∴PO+PB'的最小值为 ．
