文档内容
八年级数学下学期期末解答压轴题 13 个必考点（60 题）
【人教版】
【必考点1 四边形折叠类综合题】..........................................................................................................................1
【必考点2 四边形旋转类综合题】..........................................................................................................................4
【必考点3 四边形动点类综合题】..........................................................................................................................7
【必考点4 新定义四边形综合题】..........................................................................................................................9
【必考点5 一次函数的实际应用题】....................................................................................................................12
【必考点6 一次函数与面积问题综合】................................................................................................................14
【必考点7 一次函数与角度问题综合】................................................................................................................15
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】...........................................................................................................18
【必考点9 一次函数与菱形综合】........................................................................................................................20
【必考点10 一次函数与正方形综合】..................................................................................................................23
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】..........................................................................................................25
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】.................................................................................................27
【必考点13 一次函数新定义问题】......................................................................................................................30
【必考点1 四边形折叠类综合题】
1．在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
（1）如图1，若设∠ABE＝ ，则∠DEF＝ （用含 的式子表示）；当点F恰好是BD的中点
时，则 ＝ 度． α α
（2）如α图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC．
①求证：△EDM是等腰三角形．
②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长．
③若设BE＝a，BM＝b，EM＝c，求证：a2＝b2+bc．
2．如图，正方形 ABCD的边长为4，点E在边AD上（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，连接DF，CF．
（1）当BF平分∠EBC时，求点F到BC的距离．
（2）求△DEF的周长的最小值，并求出此时ED的长．
（3）若△CDF为直角三角形，求AE的长．
3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的
延长线上，BE＝DF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点
H，与CE交于点Q．
（ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数；
（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．
4．综合实践数学活动——折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学
们的空间观念，积累了数学活动经验．
[动手操作]（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸
片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①，
求∠ENM的度数；
[拓展延伸]（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT，ST'．求证：四边形SATA'是菱形；
[解决问题]（3）如图③，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，点S是边AD上的一动点，折叠纸
片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕过点S，交AB边于点T，把纸片展平．请你求出线段AT
长度的取值范围．
5．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们
翻折正方形纸片ABCD进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经
验．
【问题背景】：
如图，在边AD上任意选取一点P，以BP为折痕，折叠纸片，使点A的对应点M落在正方形ABCD内
部．
探究一：
根据以上操作，如图1，若点E为折痕BP的中点，连接AE，ME，得到四边形AEMP，你知道当AD，
AP满足什么数量关系时，才能使得四边形AEMP为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长PM，交边CD于点Q，连接BQ．
①∠PBQ的度数大小会随着P点的位置变化而发生改变吗？请说明理由．
②已知正方形纸片ABCD的边长为10，当CQ＝2时，请计算AP的长．
【必考点2 四边形旋转类综合题】
6．【初步探究】（1）如图1，在△ABC中，BC＝8，∠ABC＝45°，AB＝2，将边AC绕点A逆时针旋转90°得AD，连接
BD．小明同学为求BD的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空：
将AB绕点A顺时针旋转90°得AE，连接BE，CE，则BE＝ ，∠EBC＝90°，再利用勾股定理求得
CE的长．继续得到△BAD≌△EAC，通过全等三角形的性质发现BD＝CE，则边BD的长为 ．
【变式拓展】
请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题：
（2）在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，且满足BE=2❑√6．
①如图2，若AE＝8，CE＝4，求∠BEC的度数．
②如图3，以BE为边向右按顺时针方向作正方形BEFG．在正方形BEFG绕点B旋转过程中，边EF交
对角线BD于点M，边FG与边BC交于点N．△MFN的周长是否为定值？如果是，求出△MFN的周
长；如果不是，请说明理由．
7．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接
PG，PC．
（1）直接写出PG与PC的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝
∠BEF＝60°．探究PG与PC的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边
AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出
你的猜想并加以证明．8．如图1，把一个含45°的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方
形的顶点C重合，连接AF，点M与N分别是AF、EF中点，连接MD，MN．
（1）如图1，点E、F分别在正方形的边 CB、CD上，连接AE．则MD、MN的数量关系是
；MD、MN的位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转，当点E落在线段AC上时，其他条件不变，
（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜90），其他条件不变，若AB＝
5，EC＝3，直接写出线段MD的最小值．
9．在正方形ABCD旁，正方形BEFG如图（1）放置，其中A、B、E在同一条直线上．
（1）H是DF中点，求证：2BH＝DF；
（2）如图（2），将正方形BEFG逆旋转 °（45°＜ ＜90°），连接CG、CE．
①若AB＝4，BE＝2，则AE2+CG2的值为 α ；α
②如图（3）若N是CG中点，连接BN，交AE于点M，求证：BM⊥AE．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得
到矩形EFCG，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．【知识技能】
（1）如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；
【数学理解】
（2）如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积；
【拓展探索】
（3）如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF，DG交于点H，连接BG，DF，求BG2+DF2的
值．
【必考点3 四边形动点类综合题】
11．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的
位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，CE
与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；
若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP，交边CD于点E，连接AE交
BD于点F．请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系．
12．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对
角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：AF+AD=❑√2AG；（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求
PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
13．四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的
平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
14．【问题初探】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与
BF相等吗？直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；
【问题迁移】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那
么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
（3）如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，
BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
【问题拓展】
（4）如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点．M 是 BF 上的动点，过点 M 作
EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E．直接写出（EF+BG）2的最小值为 ．15．在正方形ABCD中、点M，E，分别是AB，AD边上一动点（不与A，B，D点重合），连接EM，EM
的延长线交CB的延长线于点N．
（1）如图1，当∠AEM＝30°时，若AM＝4，CD＝12，求MN的长；
（2）如图2，过点A作AF⊥EN于点G，连接BG，有BM＝BF，求证：NG=AG+❑√2BG．
（3）如图3，AE＝4❑√3，CD＝12，将△AEM沿直线EM折叠，得到△EQM，过点E做EH⊥BC交BC
于点H，连接HQ并延长交线段AB于点P，连接EP，当EP最大时，直接写出AP的值．
【必考点4 新定义四边形综合题】
16．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．根据上述垂美四边形的定义，回答以下问
题．
（1）如图1，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说
明理由．
（2）如图2，探究垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的
猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结
CE，BG，GE．请解决以下问题：
①求证：△AGB≌△ACE；
②若AC＝2，AB＝5，求线段GE的长度．17．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的
有 （填字号）
（2）如图1，已知四边形ABCD是邻等对补四边形，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD＞AB，过点B作
BE⊥AD于点E，过C作CF，BE于点F；
①证明：BE＝DE；
②若AE＝6，AB﹣CD＝8，求AD的长．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，连接
MN，使四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN，求BN的长．
18．【定义】
在学习了“中心对称图形——平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴
趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样
的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探
究．
【理解】（1）如图①，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，DE，EF，CF，若DE＝
CF，求证：四边形CDFE为“双直四边形”．
【应用】
（2）如图②，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，且
∠DAC＝45°，求四边形ABCD的面积．
【拓展】
（3）如图③，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝4BC，若AB＝4，求线段AD的
长度．
19．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角
称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC．判断四边形ABCD是
否是邻等四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，在5×6的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出
所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过点B
作BE∥AC，交DA的延长线于点E．若AB＝4，AD＝2，求四边形EBCD的面积．
20．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．
如图1，∠D＝∠B＝90°且AB＝BC，则四边形ABCD是至善四边形．（1）下列四边形一定是至善四边形的有 ．
①平行四边形；
②矩形；
③菱形；
④正方形．
（2）如图2，四边形ABCD为至善四边形，AB＝AD，AC＝3，∠BAD＝60°，求BC+CD的长及∠ACD
的度数．
（3）如图3，正方形AOBH中，D为AB中点，在OB右边作等边△BOE，F为OE中点，连接AE交
OD于点C，交DF于点G，求线段CD与EG的数量关系．
【必考点5 一次函数的实际应用题】
21．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价
为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润
是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购
进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
22．今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品
店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件
的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪
念品获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款
纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中5＜a＜15），A款
纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进
货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？
23．某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如表所示：
水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克）
哈密瓜 a 10
苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分
16 14
已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310
元．
（1）求a，b的值；
（2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超
过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计），
①分别求出每天销售哈密瓜的利润y （单位：元），销售苹果的利润y （单位：元）与x（单位：千
1 2
克）的函数关系式，并写出x的取值范围；
②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保
证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．
1
24．某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的
4
1
．且不高于A种笔记本数量的 ，已知A，B两种笔记本的进货价分别是10元/个，15元/个，设购进A
3
种笔记本x个．
（1）求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式：
（2）求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？
（3）由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了2a元/个（a＞0），B笔记本单价下调了3a
元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值．
25．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商
主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售
价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果 x千克，付款
y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60
千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果
的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围．
【必考点6 一次函数与面积问题综合】
26．已知直线AB交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，3），点C（3，﹣1）．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）如图2，点P为直线y＝4上第一象限内一点，且∠PBC＝135°，求P点坐标；
（3）在直线y＝﹣x+5上是否存在点Q，使S△QAC ＝2S△BQC ．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存
在，请说明理由．
3
27．如图1，直线y= x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC
4
折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标；
（3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若
存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由．28．综合与探究：
1 12
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y= x+b与直线AC：y＝kx﹣4相交于点A(m，− )，与
2 5
x轴交于点B（4，0），直线AC与x轴交于点C．
（1）直接写出k，b，m的值．
（2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E，连接
AP．设点P的坐标为（0，n）．
①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示）
②当DE＝OB时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，线段BC上是否存在点Q，使S△ABQ ＝S△APD ？若存在，请直接写出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【必考点7 一次函数与角度问题综合】
1
29．如图1，函数 y= x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
2
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若PQ的长为4，求点M的坐标；
②如图2，连接BM，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，已知直线l ：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
1
（1）直接写出k的值为 ；
1
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l ：y= x+n经过AB的中点P，点Q（t，0）为x
2
2
轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l 、l 于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
1 2
（3）如图 3，已知点 M（﹣1，0），点 N（5m，3m+2）为直线 AB 右侧一点，且满足∠OBM＝
∠ABN，求点N坐标．
31．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），把
△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴的点D处，AC为折痕．
（1）求直线AD的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一个动点P（x，y）使得S△PAD ＝3，动点P的纵坐标y是否为横坐标x的
函数？若是，求出y关于x的函数解析式；若否，请说明理由；
（3）连接AD、CD，点E为边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交∠BCD外角的平分线CF于点F，求
证AE＝EF．32．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣x，直线l 与l 交于点A（﹣a，a），与y轴交
1 2 1
于点B（0，b），且（a﹣2）2+❑√b−6=0．
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP ＝S△AOB ，请求出点P的坐标；
（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
33．综合与实践
如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻
折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA＝4，OB＝3．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求S△ABC ：S△OCD 的值．（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】
34．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝kx+6k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，
且点B的坐标为（0，8）．
（1）求点A的坐标；
（2）P是x轴上一点，已知∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图（2），已知AC平分∠BAO，D为AB的中点．
①请直接写出直线CD的解析式；
②点M在直线CD上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写
出点N的坐标．
35．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC
＝90°，∠BCO＝45°，
BC=8❑√2，点C的坐标为（﹣12，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD＝3，在x轴上有一点M，求当MB+MD最小时，M的坐标．
（3）若点P平面内一个动点，是否存在点P，使以B，C，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5 3
36．在平面直角坐标系中，直线y=−3x− 交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=− x+3交x轴于点
2 4
C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
3
（2）如图2，在直线y=− x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
4
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在
3
平面中存在一点Q(− ，−2)，使得O，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请求出点P的坐
2
标．
37．综合与探究
2 8
如图，已知直线l ：y= x+ 与直线l ：y＝﹣2x+16相交于点C，直线l ，l 分别与x轴于点A，B．
1 3 3 2 1 2
（1）求△ABC的面积．
（2）点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线l ，l 于点M，N．当PM＝2MN
1 2
时，求m的值．
（3）过点B作x轴的垂线，交直线l 于点D，过点D作x轴的平行线，交直线l 于点E，是否存在一点
1 2
F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请
说明理由．2 8
38．综合与探究如图，已知直线l ：y= x+ 与直线l ：y＝﹣2x+16相交于点C，l 、l 分别交x轴于
1 3 3 2 1 2
A、B两点，
（1）求△ABC的面积；
（2）过点B作x轴垂线交直线l 于点D，过点D作x轴平行线交直线l 于点E，过点E作x轴的垂线交
1 2
x轴于点F，
①求线段EF的长；
②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐
标．
【必考点9 一次函数与菱形综合】
2
39．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数y=
3
x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求得b＝ ；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐
标．
1
40．如图1，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y= x相交于点B，与x轴相交于点
2C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴
的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请
直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，与直线OC相交
于点C（﹣2，1），点M直线AB上运动．
（1）求直线AB的解析式．
1
（2）是否存在点M，使△OMB的面积是△OBC面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，
2
说明理由．
（3）若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存
在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
3 1 1
42．如图，直线y=− x+3与直线y= x+3相交于y轴上一点C，点P是直线y= x+3上的一个动点（不与
4 2 2
3
点C重合），过点P作PM⊥x轴交直线y=− x+3于点M．设点P的横坐标为m．
4
（1）直接写出点P，M的坐标：P ，M （用含m的式子表示）；5
（2）若△POM的面积为 ，求m的值；
2
（3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？
若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
1
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=− x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），
2
分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM ＝20成立时，求点P的坐
标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶
点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【必考点10 一次函数与正方形综合】
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点
B，且与x轴交于点C（﹣6，0）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）点E为射线BC上一点，过点E作EF∥x轴交AB于点F，且EF＝7，设点E的横坐标为m．①求m的值；
②在y轴上取点M，在直线BC上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以
EN为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积．
45．如图1，已知直线l ：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与y轴交于点C（0，﹣
1 2
1），与直线l 交于点D（2，t）．
1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图2，若点P在直线l
1
上，过点P作PQ∥y轴交l
2
于点Q，交x轴于点G，使S△PCG ＝2S△QCG ，
求此时P点的坐标；
（3）如图3，点P是直线l 上一动点，点Q是直线l 上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、
1 2
P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
46．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝
﹣x+3上．
（1）求点A，B的坐标．
7
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC = S△AOB ，求直线PC的表达式．
9
（3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，
QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
47．综合与探究
3
如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直
4
线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D．
（1）求BE的长：
（2）求直线CE的解析式：
（3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 ；
（4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方
形，请直接写出点M的坐标．
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】
1
48．如图，一次函数y= x+1的图象交x轴于A点，交y轴于C点，以A，O，C三点为顶点作矩形
2
ABCO，将矩形ABCO绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于点M．（1）求直线DF的解析式；
（2）求证：MO是∠AMD的角平分线；
（3）在角平分线MO上，是否存在点N，使得以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存
在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
49．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=− x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与
1 2
2
x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝9，OD＝2OC．
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）连接AD，点Q为直线CD上一动点，若有S△QAD ＝5S△OAB ，求点Q的坐标；
（3）点M为直线l 上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以MN为直角边的等腰直角三角
1
形，求点M的坐标．
1
50．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线m：y= x+1交x，y轴于A，B，直线n：y＝
2
kx+2k（k为任意常实数）．
（1）直接写出点A，B坐标和线段AB的长；（2）第四象限的直线n上存在点P，使∠APB＝45°，且AB＝BP，求直线n的解析式；
（3）如图2，直线y＝﹣2x+2上有一点E，D（0，﹣3），过（4，0）且平行于y轴的直线上有点F，
若△DEF为等腰直角三角形，且∠DEF＝90°，直接写出E点坐标．
51．如图，A点坐标为（﹣6，0），直线l 经过点B（0，﹣2）和点C（﹣2，2），交x轴于点D．
1
（1）求直线l 的函数表达式．
1
（2）点E为线段CD上的一点，过点E作EF∥x轴交AC于点F，且EF＝4，设点E的横坐标为m．
①求m的值．
②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以EN为底边的等腰三角形ANE，若存在，直接写
出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
52．如图1，在平面直角坐标系中，直线l 交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l ：y
1 2
＝3x与直线l ，相交于点C，点C的横坐标为1．
1
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l ，l 于点M，N，当MN＝2时，求
1 2
点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存
在，说明理由．
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】
53．我们把关于x的一次函数y＝mx+n（m≠n且m、n都不为0）与一次函数y＝nx+m定义为交换函数．
（1）根据交换函数的定义，一次函数y＝2x﹣3的交换函数是 ；
（2）试说明一次函数y＝mx+n与其交换函数的交点坐标为（1，m+n）；
（3）如图，若点B（1，3）是一次函数y ＝﹣x+m与其交换函数y ＝mx﹣1的交点，y 与y轴交于点
1 2 2
A，点P为y 上一动点，当AP取得最小值时，求点P的坐标．
1
54．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段OB上一个动点，连接AP．
（1）如图1，若点P为线段OB中点，求△PAB的面积．
（2）如图2，经过点P的直线l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交x轴于点C，交直线y＝﹣2x+4于点D．当P
为线段CD的中点时，求k的值．
（3）如图3，以AP为边在AP的下方作等边三角形APQ，连接OQ．当OQ取最小值时，求点P的坐
标．55．如图1，将底角为30°，腰长为2的等腰△OAB置于平面直角坐标系中，腰OB与x轴重合，底边AB
与y轴交于点D．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）如图2，将△OAB沿AB对折，点O落在点C处，判断四边形OBCA的形状并求出点C的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F为线段BD上的两动点（不与点B、D重合），且BE＝DF，
连接CE、CF，请求出CE+CF的最小值及点E的坐标．
1
56．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+1与x轴、y轴交于点A、B，直线l关于y轴对称的
2
直线与x轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式：
（2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对
角线称为“界线”．在平面内是否存在一点D，使得四边形ABCD是以AC为“界线”的“等腰四边
形”，且AD＝AB？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
1
（3）如图2，点M在直线l上，横坐标为− ，直线ME与x轴正半轴交于点E，与y轴交于点F，当常
4
m 1
数m等于多少时， + 为定值？
OF OE57．在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，点M是直线AB上一动点，过点M作MN∥x轴交直线y＝﹣2x+9于点N，连接MN，若
MN＜6，设点M的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）如图2，点P为y轴正半轴上一动点，在线段AB上是否存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q
1 1
时， + 的值是定值？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
OP OQ
【必考点13 一次函数新定义问题】
58．定义：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），当x＜m时，自变量x对应的函数值不变；当x≥m
时，自变量x对应的函数值为原函数值的相反数．我们称这样的函数是一次函数 y＝kx+b的m级反联函
数．
例如：当m＝1时，一次函数y＝x的1级反联函数为y′=
{x，x＜1)
，对应的函数图象如图所示．
−x，x≥1
（1）若点M（2，t）在一次函数y＝2x﹣1的1级反联函数的图象上，求t的值；
（2）已知一次函数y＝x﹣3．
①当﹣1≤x≤6时，求这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围；
②当﹣2≤x≤n时，此时这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围为﹣5≤y′≤2，则n的取值范围为 ；（直接写出答案）
③已知点A（m﹣2，0），点B（m+2，0），在x轴上方作矩形ABCD，使BC＝2．当矩形ABCD与这
个函数的m级反联函数的图象有两个交点，且矩形ABCD与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积
为1时，求此时m的值．
59．已知y关于x的一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，我们称一次函数y＝kx+b为“原函数”，一次函
数y＝﹣kx﹣b为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线l ，它的“相关函数”的图象
1
记为直线l ．
2
例如：“原函数”y＝x+2的“相关函数”为y＝﹣x﹣2．
1
（1）直接写出“原函数”y= x+2的“相关函数”表达式；
3
（2）请说明：直线l ，直线l 与x轴的交点是同一个点；
1 2
1
（3）若“原函数”的表达式为y= x+1，点A在直线l 上，点B在直线l 上，AB∥x轴，AB＝2，求
1 2
2
点A的坐标；
（4）“原函数”的表达式为y＝mx+2m．
①点C（t，y ）在直线l 上，点D（t﹣2，y ）在直线l 上，若0＜y ＜y ，求t的取值范围；
C 1 D 2 D C
②若直线l ，直线l 与y轴围成的图形面积为8，点E在直线l 上，过E作EF∥y轴交直线l 于点F，
1 2 1 2
过E作EH∥x轴交直线l 于点H，过F作FG∥x轴交直线l 于点G，连接GH．设点E的横坐标为a（a
2 1
＞0），四边形EFGH的周长为C，直接写出C关于a的函数表达式．
60．定义：对于一次函数y ＝ax+b，y ＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数
1 2
y ，y 的“友好函数”．
1 2
（1）若m＝2，n＝3，试判断函数y＝8x+1是否为函数y ＝x﹣1，y ＝2x+1的“友好函数”，并说明理
1 2
由；
（2）设函数y ＝﹣x+4p与y ＝x﹣2p﹣4的图象相交于点M．
1 2①若m+n＞1，点M在函数y 、y 的“友好函数”图象的上方，求p的取值范围；
1 2
②若p≠2，函数y1、y2的“友好函数”图象经过点M，是否存在大小确定的m值，对于不等于2的任
意实数p，都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
