文档内容
第 15 讲 一次函数的实际应用【5 个必考点】
【人教版】
【必考点1 一次函数的应用与行程问题】.............................................................................................................1
【必考点2 一次函数的应用与费用最少问题】...................................................................................................13
【必考点3 一次函数的应用与利润最大问题】...................................................................................................18
【必考点4 一次函数的应用与分段计费问题】...................................................................................................24
【必考点5 一次函数的应用与含参问题】...........................................................................................................29
【必考点1 一次函数的应用与行程问题】
【例1】如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y
（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ）
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
15 25
④甲乙两车相距50千米时，t= 或t= ．
4 4
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开 A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的
交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．
【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为600km，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2
小时后出发的，且用时6小时，即比甲早到2小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲 ＝kt，
把（10，600）代入可求得k＝60，∴y甲 ＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙 ＝mt+n，
{ 2m+n=0 )
把（2，0）和（8，600）代入可得 ，
8m+n=600
{m=100 )
解得 ，
n=−100
∴y乙 ＝100t﹣100，
令y甲 ＝y乙 可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
当乙追上甲后，令y乙 ﹣y甲 ＝50，100t﹣100﹣60t＝50
15
解得t= ，
4
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲 ＝60t＝250，
25
解得y= ，
6
15 25
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t= 或 ，故④错误；
4 6
综上可知正确的有①②，共2个．
故选：C．
【例2】甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，
甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离 y（米）和骑行的时间x
（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：
①a＝450；
②b＝150；
③甲的速度为8米/秒；
④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．
其中不正确的结论有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】当x＝100时甲到达B地，根据速度＝路程÷时间求出甲的速度；当x＝60时两人相遇，从而求
出乙的速度，由时间＝路程÷速度可以求出b的值，根据甲、乙二人的速度可以求出 a的值；分别写出
相遇前后y关于x的函数表达式，当y＝50时求出对应x的值即可．
【解答】解：甲的速度是600÷100＝6（米/秒），
∴③不正确，符合题意；
设乙的速度是v米/秒，则60（6+v）＝600，
解得v＝4，
∴乙的速度是4米/秒，
600÷4＝150（秒），
∴b＝150，
∴②正确，不符合题意；
（100﹣60）×（6+4）＝400，
∴a＝400，
∴①不正确，符合题意；
当0≤x≤60时，y＝600﹣（6+4）x＝﹣10x+600，
当y＝50时，得﹣10x+600＝50，
解得x＝55；
当60＜x≤100时，y＝（6+4）（x﹣60）＝10x﹣600，
当y＝50时，得10x﹣600＝50，
解得x＝65，
∴当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒，
∴④不正确，符合题意．
综上，不正确的结论有3个，分别是①③④．
故选：D．【例3】甲车从A地匀速驶向相距360km的B地，乙车比甲车晚出发20min从B地驶往A地，途中在C地
休息了20min，然后比之前提高了45km/h的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40min乙才到达A
地．甲，乙两车距B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象所提
供的信息解答下列问题：
（1）直接写出甲车的速度和a的值；
（2）求乙车从C地到A地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数解析式（不需要写出自变
量x的取值范围）；
（3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55km．
【分析】（1）依据题意，根据图像可得答案；
（2）依据题意，先求出乙车从B地到C的速度，可得乙车从C地到A的速度，再将点B的坐标代入直
线的关系式可得答案；
（3）依据题意，由甲车行驶的函数关系式，乙车在AD段的函数关系式，再分两种情况：当相遇前两
车相距55km时，当相遇后两车相距55km时，两种情况列出方程，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）根据图象可知甲车从A地用了4小时行驶到了B地，
360 7
∴甲车的速度是 =90(km/ ℎ)，a=360− ×90=150．
4 3
20 1 1
（2）由题意，由 = ，可知点A( ，0)，
60 3 3
7 1
∴乙车从B地到C的速度为150÷( − )=75(km/ ℎ)．
3 3
40 14
∴乙车从C地到A的速度为75+45＝120（km/h），点B的坐标为(4+ ，360)，即( ，360)．
60 3
设直线的关系式为 y＝120x+b，
14
∴360=120× +b．
3
∴b＝﹣200．∴函数关系式为 y＝120x﹣200；
5 7
（3）乙车出发 或 小时两车相距 55km，理由如下：根据题意可知甲车行驶的函数关系式为 y＝﹣
3 3
90x+360；
1 7
又∵乙车在AD段过点( ，0)，( ，150)，其函数关系式为y＝75x﹣25，
3 3
∴分两种情况：①当相遇前两车相距55km时，﹣90x+360﹣（75x﹣25）＝55，
∴x＝2；
②当相遇后两车相距55km时，75x﹣25﹣（﹣90x+360）＝55，
8
∴x= ．
3
设点D的横坐标为t，
1
∴点E的横坐标为t+ ．
3
1
∴75t−25=120(t+ )−200．
3
8
∴t＝3，由 ＜3，符合题意．
3
1 5 8 1 7
∴2− = ， − = ．
3 3 3 3 3
5 7
∴乙车出发 或 小时两车相距55km．
3 3
【变式1】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离y
（km）与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．有下列结论：①A、B两城相距300km；②乙
车比甲车晚出发1h，却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲；④当甲、乙两车相距50km时，甲车行驶
5
了 ℎ．其中正确的结论有（ ）
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意用待定系数法分别求出甲、乙的函数关系，图形结合分析即可求解．
【解答】解：根据题意可知，设甲车行驶的时间与离开 A城的距离 y（km）的函数关系为 y ＝k t
1 1
（k ≠0），
1
y 300
∴当t＝5时，y ＝300，则k = 1 = =60，
1 1 t 5
∴甲的函数关系式为y ＝60t，
1
设乙车行驶的时间与离开A城的距离y（km）的函数关系为y ＝k t+b（k ≠0），
2 2 2
∴当t＝1时，y ＝0；当t＝4时，y ＝300；
2 2
∴ { k 2 +b=0 ) ，解得， {k 2 =100 ) ，
4k +b=300 b=−100
2
∴乙的函数关系式为y ＝100t﹣100，
2
∴结论①A、B两城相距300km，
根据图示可得，结论①正确；
结论②乙车比甲车晚出发1h，却早到1h，
根据图示可得，结论②正确；
结论③乙车出发后2.5h追上甲，
{ y=60t ) {t=2.5 )
令y ＝y ，则 ，解得， ，
1 2 y=100t−100 y=150
∴当t＝2.5时，甲乙相遇，乙行驶的时间为2.5﹣1＝1.5（h），
∴乙车出发后1.5h追上甲，故结论③错误；
5
结论④当甲、乙两车相距50km时，甲车行驶了 ℎ，
4
5
令y ﹣y ＝50，则60t﹣（100t﹣100）＝50，解得，t= ，
1 2 4
∵当t＝2.5时，甲乙相遇，
15
令相遇后y ﹣y ＝50，则100t﹣100﹣60t＝50，解得，t= ，
2 1 4
50 5
∵当y ＝50时，t= = ＜1，此时乙还未出发；当t＝4时，乙已经到达B地，甲离B地的路程为
1 60 6
250 25
60×4＝240（km），若甲、乙相距50（km），则甲需要行驶到y ＝250时，则t= = ，
1 60 65 15 5 25
∴当t= 或t= 或t= 或t= 时，甲、乙相距50km，故结论④错误；
4 4 6 6
综上所述，正确的有①②，
故选：B．
【变式2】已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路
从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距
2
120km，货车改变速度继续出发 ℎ后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车
3
早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图
象，则下列说法错误的是（ ）
A．a＝120
B．点F的坐标为（8，0）
C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h
125 123
D．出租车返回的过程中，货车出发 ℎ或 ℎ都与出租车相距12km
17 15
【分析】由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为：y＝kx，则直线OC的解析式为y＝120x，
3
进而求得：a＝120；由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为 小时，
2
此时出租车距离乙地为240（km），可得B（2，120），而租车的速度为120km/h，相遇时，货车的速
2
度为120÷ −120＝60（km/h），则可设直线BG的解析式为y＝60x+b，所以直线BG的解析式为y＝
3
60x（2＜x＜8），可得G（8，480），F（8，0），出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，分两种
情况求解即可．
【解答】解：由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为：y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
则直线OC的解析式为y＝120x，
∴把（1，a）代入y＝120x，
解得：a＝120，故A正确；
3
由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为 小时，
2
∵a＝120（km），
∴货车卸货时与乙地相距120km，
∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得240＝120x
解得：x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，则B（2，120）
2
根据货车继续出发 h后与出租车相遇，
3
2
可得 ×（出租车的速度+货车的速度）＝120，
3
根据直线OC的解析式为y＝120x（0＜x＜4），
可得出租车的速度为120km/h
2
∴相遇时，货车的速度为120÷ −120＝60（km/h），
3
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，
可得120＝120+b，
：解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x（2＜x＜8），
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式
为y＝60x，
把y＝480代入y＝60x，
可得：480＝60x，
解得x＝8，∴G（8，480），
∴F（8，0），故B正确；
根据出租车到达乙地后立即按原路返回经过比货车早15分钟到达甲地，
15 1
可得EF= = ，
60 4
31
∴E（ ，0），
4
31
∴出租车返回后的速度为：480÷（ −4）＝128km/h，故C正确；
4
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，
可得60t ﹣（128t ﹣512）＝12，
1 1
125
解得t = ；
1 17
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，
可得（128t ﹣512）﹣60t ＝12，
2 2
131
解得t = ；
2 17
125 131
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 h或 h与出租车相距12km，故D错误，
17 17
故答案选：D．
【变式3】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400米，先到终点的人原地
休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之
间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
240
【解答】解：由题意可得：甲步行速度= =60（米/分）；
4
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，
解得x＝80，
∴乙的速度为80米/分；
2400
∴乙走完全程的时间= =30（分），
80
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；
故③结论错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①共1个．
故选：A．
【变式4】“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出
行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以
250m/min的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以a m/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一
速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距
离；
（3）在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距200m？
【分析】（1）利用速度，路程，时间的关系式和函数图象解答即可；
（2）利用待定系数法求得线段BC，OD的解析式，联立组成方程组解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分别令180x﹣2500＝200或260x﹣1400﹣180x＝200，解方程求得x值，再结
合题意解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：b＝2500÷250＝10（分钟），
∴c＝10+5＝15（分钟）．
a＝（5100﹣2500）÷（25﹣15）＝260（m/min）．
∴a＝260，b＝10，c＝15；
故答案为：260；10；15；
（2）设线段BC的函数表达式是y＝kx+b，
把点B（15，2500）和点C（25，5100）代入，
{15k+b=2500)
得： ，
25k+b=5100
{ k=260 )
解得： ，
b=−1400
∴线段BC的函数表达式是y＝260x﹣1400．
根据题意：线段OD的函数表达式是：y＝180x．
{ y=180x ) {x=17.5)
解方程组： ，得： ，
y=260x−1400 y=3150
∴5100﹣3150＝1950（m）．
∴李明与姐姐第二次相遇时，距绿博园1950m．
（3）由题意得：180x﹣200＝2500，
∴x＝15．（260x﹣1400）﹣180x＝200，
∴x＝20．
∵李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园，
∴李明自第二次出发至到达绿博园前，在9：15或9：20时，李明与姐姐 相距200m．
【变式5】甲、乙两车在连通A，B，C三地的公路上行驶，甲、乙两车同时从A地匀速出发，甲车到达C
地后装货1小时，再以原速原路返回A地，乙车到达B地后装货1小时，再以原速前往C地，结果甲、
乙两车同时到达目的地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距A地的路程y（单位：千米）与所用时间
x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出甲、乙两车的速度
（2）求乙车从B地到C地的过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两车经过多长时间相距120千米？请直接写出答案．
【分析】（1）根据图象可得AB两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲、乙的速
度；
（2）先根据题意确定点E、F的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）根据A，C，B三地在同一直线上，先分别求得直线 OG、OD、HI的解析式，然后再分两种情况
解答即可．
【解答】解：（1）由函数图象可得：A、C两地之间的距离为600km，甲到达C点用时（11﹣1）÷2＝
5h，乙到达C点用时11﹣1＝10h，
∴甲的速度为600÷5＝120km/h，乙的速度为600÷10＝60km/h；
（2）由函数图象可得乙机从 B地到C地行驶过程对应函数图象为 EF，点E（5，240），F（11，
600），
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
{240=5k+b )
则 ，
600=11k+b{ k=60 )
解得： ，
b=−60
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60（5≤x≤11）；
（3）如图，
①当甲车到达C地前时，由函数图象可得G（5，600），D（4，240），
由待定系数法同理可得：OG的解析式为：y＝120x；OD的解析式为：y＝60x，
由两车相距120米，则：120x﹣60x＝120，
解得x＝2，
②当甲车到达C地返回，乙从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H（6，600），I（11，0），
由待定系数法同理可得：y＝﹣120x+1320，
由（2）可得直线EF的解析式为：y＝60x﹣60，
∴|﹣120x+1320﹣（60x﹣60）|＝120，
25
解得：x＝7或 ，
3
25
综上，两车经过2h或7h或 ℎ相距120米．
3
【必考点2 一次函数的应用与费用最少问题】
【例1】【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，
某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
1
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ；
3
【问题解决】问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案．
【分析】问题一：根据题意和题目中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
问题二：根据题意，可以写出w与a的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求出费用最少时的
购买方案．
【解答】解：问题一：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为x（1+20%）＝1.2x元，
14400 9000
− =6，
1.2x x
解得x＝500，
经检验，x＝500是原分式方程的解，
∴1.2x＝600，
答：A种书架的单价为600元，B种书架的单价为500元；
问题二：由题意可得，
w＝600a+500（20﹣a）＝100a+10000，
1
∵A种书架数量不少于B种书架数量的 ，
3
1
∴a≥ （20﹣a），
3
解得a≥5，
∴当a＝5时，w取得最小值，此时w＝10500，20﹣a＝15，
即w与a的函数关系式为w＝100a+10000，费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15
个．
【例2】南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜
居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面
积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元．
（1）当0≤x≤200时，甲种绿植的种植费用为每平方米 元；
（2）请求出当x＞200时，y与x之间的函数解析式；
（3）已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不
超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最
少为多少元？【分析】（1）由图可知甲种绿植的种植费用为每平方米的费用；
（2）用待定系数法求解析式即可；
（3）设种植总费用为W元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植（600﹣x）平方米，根据实际
意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论，从
而得到最少费用．
24000
【解答】解：（1）由函数图象可知，当0≤x≤200时，甲种绿植的种植费用为每平方米为： =
200
120（元），
故答案为：120；
（2）当x＞200时，设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
{200k+b=24000)
把（200，24000），（500，48000）代入解析式得： ，
500k+b=48000
{ k=80 )
解得 ，
b=8000
∴y与x之间的函数解析式为y＝80x+8000；
（3）设甲种绿植的种植面积为x平方米，则乙种绿植的种植面积为（600﹣x）平方米，
{ x≥150 )
由题意，得 ，
x≤2(600−x)
解得不等式组的解集为150≤x≤400，
设种植总费用为w元，
当150≤x≤200时，w＝120x+80（600﹣x）＝40x+48000，
∵k＝40＞0，
∴w随x的增大而增大．
∴当x＝150时，w小 ＝40×150+48000＝54000；
当200＜x≤400时，w＝80x+8000+80（600﹣x）＝56000．
∵54000＜56000，所以，当甲种绿植的种植面积为150平方米，乙种绿植的种植面积为350平方米时，总费用最少为
54000元．
【变式1】某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置新购进的绿
植，调查发现，甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元
购买乙花架的数量少10个．
（1）甲、乙两种花架的单价分别是多少元？
（2）该校计划购进这两种规格的花架共28个，要求甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种
花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数
关系式，并求出当a为何值时，费用w最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设乙种花架的单价是m元，根据用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的
2160 2160
数量少10个得： = +10，解方程并检验可得答案；
m 1.5m
（2）由甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于 10个，可得14≤a≤18，
根据题意得w＝108a+72（28﹣a）＝36a+2016，由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设乙种花架的单价是m元，则甲种花架的单价是1.5m元；
2160 2160
根据题意得： = +10，
m 1.5m
解得m＝72，
经检验，m＝10是元方程的解，
∴1.5m＝1.5×72＝108，
∴甲种花架的单价是108元，乙种花架的单价是72元；
（2）∵甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，
{a≥28−a )
∴ ，
28−a≥10
解得14≤a≤18，
根据题意得w＝108a+72（28﹣a）＝36a+2016，
∵36＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝14时，w取最小值36×14+2016＝2520，
∴w与a之间的函数关系式为w＝36a+2016，当a为14时，费用w最少，最少费用是2520元．
【变式2】学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共 580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量（人/辆） 55 35
租车费用（元/辆） 1200 800
（1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车
多少辆？
（2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元．
①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围；
②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设租用甲型号大客车m辆，乙型号大客车n辆，根据租用的12辆大客车恰好能一次将八
年级师生580人送到研学基地，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据x辆甲型号大客车和（12﹣m）辆乙型号大客车载客量不少于580人，列一元一次不等
式，求出x取值范围，再根据租车总费用＝甲型号大客车费用+乙型号大客车费用，表示出y与x的函数
关系式即可；
②根据一次函数的增减性即可确定租车总费用最少时租用甲型号大客车的数量，并求出最少费用即
可．
【解答】解：（1）设租用甲型号大客车m辆，乙型号大客车n辆，
{55m+35n=580)
根据题意，得 ，
m+n=12
{m=8)
解得 ，
n=4
答：租用甲型号大客车8辆，乙型号大客车4辆；
（2）①由题意得，55x+35（12﹣x）≥580，且0≤x≤12，
解得8≤x≤12，
y＝1200x+800（12﹣x）＝400x+9600，
∴y＝400x+9600（8≤x≤12）；
②∵400＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝8时，y取得最小值，此时租用甲型号大客车8辆，最少费用为400×8+9600＝12800（元），
答：当租用甲型号大客车8辆时，租车总费用最少，最少费用为12800元．
【变式3】为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共120个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2
个A型篮球和3个B型篮球共需要240元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为m个，求W关于m的函数
关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，则该校至少需要投入资金多少
元？
【分析】（1）设设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，由题意列二元一次方程组，求解
即可；
（2）设购进的A型篮球为m个，根据总费用等于A、B两种型号篮球的费用之和列出函数关系式即
可；
（3）在（2）条件下，根据购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，求出t的取值范围，然后根据一
次函数的性质求最小值即可．
【解答】（1）解：设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，
{3x+2y=260)
由题意得： ，
2x+3 y=240
{x=60)
解得 ，
y=40
答：购买一个A型篮球需60元，一个B型篮球需40元；
（2）由题意得：购买B型篮球的个数为（120﹣m）个，
则W＝60m+40（120﹣m），
即W＝20m+4800，
则W关于m的函数关系式为W＝20m+4800；．
（3）∵购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，
∴120﹣m≤m，
解得m≥60，
又∵120﹣m＞0，
∴60≤m＜120，
∵W＝20m+4800，k＝20＞0，
∴在60≤m＜120内，W随m的增大而增大，
∴当m＝60时，W取得最小值，最小值为20×60+4800＝6000，答：该校至少需要投入资金6000元．
【必考点3 一次函数的应用与利润最大问题】
【例1】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息
浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购
进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
（2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数
关系式；
（3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的
总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方
案，并求出最大利润．
【分析】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为m元，则甲种剪纸装饰套装单价为（m+10）元，根据题意列
方程，解方程即可；
（2）购进甲种剪纸装饰x套乙种剪纸装饰（60﹣x）套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列
出一次函数即可；
（3）甲种剪纸装饰套装利润为（65﹣50）x元，乙种剪纸装饰套装利润为（50﹣40）（60﹣x）元，则
利润为 w＝5x+600，根据5＞0，w随x的增大而增大，x≤40，且x为非负整数可得当x＝40时，w取最
大值．
【解答】解：（1）设乙种剪纸装饰套装单价为m元，则甲种剪纸装饰套装单价为（m+10）元，根据题
意，得2（m+10）+3m＝220，
解得m＝40，
m+10＝40+10＝50，
∴甲种剪纸装饰套装单价为 50元，乙种剪纸装饰套装单价为 40元．
（2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），则购进乙种剪纸装饰（60﹣x）套，购买甲、乙两种剪纸装
饰共花费y元，根据题意，得：
y＝50x+40（60﹣x），
即y＝10x+2400，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+2400（0≤x≤60）；
（3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为w元，根据题意，得
w＝（65﹣50）x+（50﹣40）（60﹣x）即w＝5x+600，∵5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，
∴y≤2800，即10x+2400≤2800，
解得x≤40，
∵x为非负整数，
∴当 x＝40时，w取最大值，w最大 ＝5×40+600＝800（元），
此时60﹣x＝60﹣40＝20套，
即商家购进甲种剪纸装饰 40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元．
【例2】近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂
购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200件（进货价和销售
价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售
利润，最大销售利润是多少？
{ x+y=50 )
【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，可得 ，计算
80x+90 y=4300
即可得解；
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装，从而80m+90（200﹣
m）≤16800，故m≥120，又设利润为w元，进而w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣
10m+6000，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
{ x+y=50 )
∴ ．
80x+90 y=4300
{x=20)
∴ ．
y=30
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
（2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装，
∴80m+90（200﹣m）≤16800．∴m≥120．
又设利润为w元，
则w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．
∵﹣10＜0
∴w随m的增大而减小．
∴当m＝120时，利润w最大为：﹣10×120+6000＝4800（元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【变式1】茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化
的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A
种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知
销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价
格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如
果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获
得最大的利润？最大的利润是多少？
【分析】（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可；
（2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购
进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数≤6240”列关于x的一元一次不等式并求
解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种
茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，
确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时（80﹣x）的值即可．
【解答】解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．
{ a+2b=250 )
根据题意，得 ，
3a+4b=600
{a=100)
解得 ，
b=75
∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．
（2）再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为100×（1+8%）＝108（元），B种茶具每套进价
为75×0.8＝60（元）．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具（80﹣x）套．根据题意，得108x+60（80﹣x）≤6240，
解得x≤30；
设获得的利润为W元，则W＝30x+20（80﹣x）＝10x+1600，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵x≤30，
∴当x＝30时，W的值最大，W最大 ＝10×30+1600＝1900，此时购进B种茶具80﹣30＝50（套），
购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．
【变式2】某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 380 940
餐椅 a﹣140 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）用含a的代数式表示600元购进的餐椅，1300元购进的餐桌数量分别为 ， ；
（2）求表中a的值；
（3）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．
若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎
样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论；
（2）根据用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同列出方程，解方程即可求出a；
（3）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x
的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝整套销
售的利润+餐桌零售的利润+餐椅零售的利润，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即
可解决最值问题．
600
【解答】解：（1）600元购进的餐椅为 （张），
a−140
1300
1300元购进的餐桌数量为 （张），
a
600 1300
故答案为： ， ；
a−140 a
600 1300
（2）根据题意得： = ，
a−140 a解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260；
（3）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30，
设销售利润为y元，
1 1
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4（160﹣140）]× x+（380﹣260）× x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20
2 2
1
﹣4× x）
2
＝100x+60x+120x+800
＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200，
此时5×30+20＝170（张），
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【变式3】某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备
制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A
款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：
手工制品 A款挂件 B款挂件
售价（元/个） 12 8
（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？
（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过
590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w
元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总
利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款
挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可以写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，再根据制
作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值．
【解答】解：（1）设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元，
{3x+5 y=46 )
由题意可得： ，
5x+10 y=85
{x=7)
解得 ，
y=5
答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元；
（2）设安排m人制作A款挂件，则安排（40﹣m）人制作B款挂件，
由题意可得：w＝（12﹣7）×2m+（8﹣5）×3（40﹣m）＝m+360，
∴w随m的增大而增大，
∵制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，
{7×2m+5×3(40−m)≤590)
∴ ，
3(40−m)≥2×2m
1
解得10≤m≤17 ，
7
∵m为整数，
∴10≤m≤17且m为正整数，
∴当m＝17时，w取得最大值，此时w＝377，40﹣m＝23，
答：w（元）与m（人）之间的函数表达式是w＝m+360（10≤m≤17且m为正整数），当安排17人制
作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为377元．
【必考点4 一次函数的应用与分段计费问题】
【例1】为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置
A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每
个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总费
1
用为y 元．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
【分析】（1）根据总费用＝A，B两种奖品费用之和列出y 、y 关于x的函数解析式；
1 2（2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可．
x
【解答】解：（1）根据题意，得y =20x+15(300−x− )=2x+4500，
1 5
y ＝20x+15×80%×（300﹣x）＝8x+3600．
2
（2）由y ＞y ，得2x+4500＞8x+3600．
1 2
解得x＜150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y ＝y ，得2x+4500＝8x+3600．
1 2
解得x＝150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y ＜y ，得2x+4500＜8x+3600．
1 2
解得x＞150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种
奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方
案一支付的费用较少．
【例2】某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2
元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过
20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为 x（x为非负整
数）．
（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y
1 2
元，分别写出y ，y 关于x的函数关系式；
1 2
（2）当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
【分析】（1）根据“甲文具店购买这种笔记本的付款金额＝每本价格×购买数量”写出y 关于x的函数
1
关系式；“当0≤x≤20时，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额＝20本的金额+超过20本部分的金
额”写出y 关于x的函数关系式即可；
2
（2）在同一平面直角坐标系中分别画出y ，y 关于x的图象，根据图象解答即可．
1 2
【解答】解：（1）y ＝2x；
1
当0≤x≤20时，y ＝2.4x；当x＞20时，y ＝2.4×20+1.8（x﹣20）＝1.8x+12；
2 2{ 2.4x(0≤x≤20) )
∴y 关于x的函数关系式为y ＝2x，y 关于x的函数关系式为y = ．
1 1 2 2 1.8x+12(x＞20)
（2）当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x＝60时，在两家文具店购买这种笔
记本的花费相等；当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．理由如下：
如图，画出y ，y 关于x的图象：
1 2
由图象可知，当50≤x＜60时，y ＜y ；当x＝60时，y ＝y ；当x＞60时，y ＞y ，
1 2 1 2 1 2
∴当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x＝60时，在两家文具店购买这种笔记本
的花费相等；当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
【变式1】王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，
报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五
折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五
折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择
收取总费用较少的一家．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y
与x之间的函数关系式；
（2）将x﹣32代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的函数值，然后比较大小即可．【解答】解：（1）由题意可得，
y甲 ＝620×0.85x＝527x，
当x≤20时，y乙 ＝620×0.9x＝558x，
当 x＞20时，y乙 ＝620×0.9×20+620×0.75（x﹣20）＝465x+1860，
{ 558x (0≤x≤20))
由上可得，y乙 =
465x+1860 (x＞20)
；
（2）当x＝32时，
y甲 ＝527×32＝16864（元），
y乙 ＝465×32+1860＝16740（元），
∵16864＞16740，
∴王老师选择乙旅行社．
【变式2】【教材变式】
甲、乙两家商店销售同款蛇年吉祥物，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案：
甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个吉祥物标价的八折出售．
乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个吉祥物标价的九五折再优惠10元出售．
若用x表示购买吉祥物的数量，y表示购买吉祥物的总价，其函数图象如图所示．
（1）每个吉祥物的标价是多少元？
（2）当x＞20时，在甲商店购买吉祥物应付的总价y甲 与数量x之间的函数关系式为 ；
当x＞15时，在乙商店购买吉祥物应付的总价y乙 与数量x之间的函数关系式为 ；
（3）选择哪家商店购买吉祥物更合算．
【分析】（1）根据图象分别计算两个商店每个吉祥物的标价即可；
（2）根据两家商店的优惠方案分别计算即可；
（3）根据图象比较y甲 与y乙 的大小即可．
【解答】解：（1）甲商店每个吉祥物的标价是（1）2000÷20＝100（元），乙商店每个吉祥物的标价是1500÷15＝100（元），
∴每个吉祥物的标价是100元．
（2）当x＞20时，y甲 与数量x之间的函数关系式为y甲 ＝20×100+0.8×100（x﹣20）＝80x+400，
当x＞15时，y乙 与数量x之间的函数关系式为y乙 ＝15×100+（0.95×100﹣10）（x﹣15）＝85x+225．
故答案为：y甲 ＝80x+400，y乙 ＝85x+225．
（3）当x＞20，y甲 ＝y乙 时，得80x+400＝85x+225，
解得x＝35，
由图象可知，当0≤x≤15或x＝35时，y甲 ＝y乙 ，
当15＜x＜35时，y甲 ＞y乙 ，
当x＞35时，y甲 ＜y乙 ，
∴当0≤x≤15或x＝35时，在两家购买的实付款一样多，任选一家购买即可；当15＜x＜35时，选择乙
商店购买更合算；当x＞35时，选择甲商店购买更合算．
【变式3】为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通
知》．长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合
规套餐，引导居民安全、经济充电．
套餐 计费规则 制定依据
A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51 居民合表电价及服务费标准
元/度及充电服务费0.49元/度）
B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患
（含充电服务费）
（1）分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为x度，费用为y元）；
（2）若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由．
【分析】（1）根据计费规则分别写出两种套餐费用的函数表达式即可；
（2）将x＝2.5分别代入两函数表达式，求出对应的函数值并比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）y ＝（0.51+0.49）x＝x，
A
∴A套餐费用的函数表达式为y ＝x；
A
当0≤x≤1时，y ＝0，
B
当x＞1时，y ＝1.5（x﹣1）＝1.5x﹣1.5，
B
{ 0(0≤x≤1) )
∴B套餐费用的函数表达式为y = ．
B 1.5x−1.5(x＞1)
（2）选择B套餐更经济．理由如下：当x＝2.5时，y ＝2.5，y ＝1.5×2.5﹣1.5＝2.25，
A B
∵2.25＜2.5，即y ＜y ，
B A
∴选择B套餐更经济．
【必考点5 一次函数的应用与含参问题】
【例1】石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼
图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600
元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元．
若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出．
①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠 a（0＜a≤5，且a≠2）元，其他条件不
变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示）
【分析】（1）分别设甲、乙两类拼图的每盒进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）①设购进并售出甲类拼图x盒，则购进并售出乙类拼图（200﹣x）盒，根据题意列关于x的一元
一次不等式组并求其解集，设所获得总利润为 W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增
减性与x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值即可；
②设甲类拼图优惠后所获得总利润为y元，写出y关于x的函数关系式，讨论a的取值情况，根据一次
函数的增减性与x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值即可．
【解答】解：（1）设甲类拼图每盒进价a元，乙类拼图每盒进价b元．
{ a−b=5 )
根据题意，得 ，
20a+30b=600
{a=15)
解得 ．
b=10
答：甲类拼图每盒进价15元，乙类拼图每盒进价10元．
（2）①设购进并售出甲类拼图x盒，则购进并售出乙类拼图（200﹣x）盒，
{ x≥20 )
根据题意，得 ，
15x+10(200−x)≤2200
解得20≤x≤40，
设所获得总利润为W元，则W＝（25﹣15）x+（18﹣10）（200﹣x）＝2x+1600，
∵2＞0，∴W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时W的值最大，W最大 ＝2×40+1600＝1680．
答：购进并售出甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元．
②设甲类拼图优惠后所获得总利润为y元，则y＝（25﹣15﹣a）x+（18﹣10）（200﹣x）＝（2﹣a）
x+1600，
当0＜a＜2时，2﹣a＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时y值最大，y最大 ＝40（2﹣a）+1600＝1680﹣40a；
当2＜a≤5时，2﹣a＜0，
∴y随x的减小而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x＝20时y值最大，y最大 ＝20（2﹣a）+1600＝1640﹣20a．
综上，当0＜a＜2时，甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为（1680﹣40a）元；当2＜
a≤5时，甲类拼图为20盒时，所获得总利润最大，最大利润为（1640﹣20a）元．
【例2】盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且
不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
（1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式 ；
（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批
发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【分析】（1）依据题意，根据单价乘以数量等于总价，表示出购 A种盆栽和B种盆栽的总价，然后将
其相加就是总共所需要的费用；
（2）依据题意，设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确
定何时获得最大利润；（3）依据题意，根据将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元分情况讨论得出结果，最终确定
出m的值．
【解答】解：（1）由题意得，该超市采购（300﹣x）盆B种盆栽，
∴该超市采购费用y＝12x+10（300﹣x）＝2x+3000．
∵A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，
{x≥300−x )
∴ ．
x≤160
∴150≤x≤160．
故答案为：y＝2x+3000（150≤x≤160）．
（2）由题意，该超市这300盆盆栽的利润W＝（19﹣12）x+（15﹣10）（300﹣x）＝2x+1500．
∵2＞0，
∴利润W随x的增大而增大．
又150≤x≤160，
∴当x＝160时，利润W最大为：2×160+1500＝1820（元）．
（3）由题意，利润W＝（19﹣12﹣2m）x+（15﹣10+m）（300﹣x）＝（2﹣3m）x+300m+1500．
2
①当2﹣3m＞0时，即m＜ 时，W随x的增大而增大，
3
又∵150≤x≤160，
∴当x＝150时，W最小＝1460，
即：（2﹣3m）×150+300m+1500＝1460，
34 2
解得：m= ＞ ，舍去，
15 3
2
②当2﹣3m＜0时，即m＞ 时，W随x的增大而减小，
3
又∵150≤x≤160，
∴当x＝160时，W最小＝1460，
即：（2﹣3m）×160+300m+1500＝1460，
解得：m＝2，符合题意．
综上所述，m的值为2．
【变式1】某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共 300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运
动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式 甲款 乙款进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
（1）求y与x的函数关系式．
（2）该服装店计划最多投入2万元购进这两款运动服，且最多购进甲运动服 240套，则甲、乙两款运
动服全部售完后，服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，由于甲款运动服畅销，服装店决定将甲款运动服的售价提高a元（其中20＜a
＜40且a≠30），其他条件不变，请写出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．
【分析】（1）用甲款利润加上乙款利润即可得总利润；
（ 2 ） 根 据 最 多 投 入 2 万 元 购 进 这 两 款 运 动 服 ， 且 最 多 购 进 甲 运 动 服 240 套 ， 得
{60x+80(300−x)≤20000)
，求出200≤x≤240，再根据一次函数性质可得答案；
x≤240
（3）求出y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x）＝（a﹣30）x+21000，分两种情况：①当20＜
a＜30时，a﹣30＜0，故y随x的增大而减小，从而可知服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服
100套，获利最大；②当30＜a＜40时，a﹣30＞0，y随x的增大而增大，知服装店应购进甲款运动服
240套、乙款运动服60套，获利最大．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣30x+21000；
（2）∵最多投入2万元购进这两款运动服，且最多购进甲运动服240套，
{60x+80(300−x)≤20000)
∴ ，
x≤240
解得：200≤x≤240，
在y＝﹣30x+21000中，﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，y最大 ＝﹣30×200+21000＝15000，
∴甲、乙两款运动服全部售完后，服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x）＝（a﹣30）x+21000，其中
200≤x≤240，20＜a＜40且a≠30，
①当20＜a＜30时，a﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵200≤x≤240，
∴当x＝200时，y有最大值，∴服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当30＜a＜40时，a﹣30＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x＝240时，y有最大利润，
∴服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
【变式2】某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元，该店计
划一次购进这两种蔬菜共50千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这50千克蔬菜获
得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
3
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总
2
利润最大？
1
（3）由于蔬菜自身的特点，有 的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0），若获
2
得的总利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得y＝x+1.5（50﹣x）＝﹣0.5x+75；
3 3
（2）根据乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ，知50﹣x≤ x，x≥20，结合（1），由一次函数性质
2 2
可得答案；
50−x 50−x a
（3）根据题意得y＝x+ ×1.5+ ×（1.5﹣a）＝（ −0.5）x+75﹣25a，根据y随x的增大而
2 2 2
a 1 1
减小，知 −0.5＜0，故a＜ ，a的取值范围是0＜a＜ ．
2 4 4
【解答】解：（1）根据题意得：y＝x+1.5（50﹣x）＝﹣0.5x+75，
∴y与x的关系式为y＝﹣0.5x+75；
3
（2）∵乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ，
2
3
∴50﹣x≤ x，
2
解得x≥20，
在y＝﹣0.5x+75中，y随x的增大而减小，∴当x＝20时，y取最大值﹣0.5×20+75＝65，
此时50﹣x＝50﹣20＝30，
∴该店购进甲种蔬菜20千克，乙种蔬菜30千克时，获得的总利润最大为65元；
50−x 50−x a
（3）根据题意得：y＝x+ ×1.5+ ×（1.5﹣a）＝（ −0.5）x+75﹣25a，
2 2 2
∵y随x的增大而减小，
a
∴ −0.5＜0，
2
1
解得a＜ ，
4
1
∴a的取值范围是0＜a＜ ．
4
【变式3】某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多10元，用1800
元购进A种商品和用800元购进B种商品的件数相同，商店将A种商品每件的售价定为28元，B种商
品每件的售价定为13元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过660元的资金购进A，B两种商品共60件，其中B种商品的数量不超过A种商
品数量的3倍，该商品有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（2≤m≤8）元，B种商
品售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件商品获总利润最大，应如何进货？
【分析】（1）设A种商品每件的进价和B种商品每件的进价分别为x元和y元，根据题意列二元一次
方程组并求解即可；
（2）设购进A商品a件，则购进B商品（60﹣a）件．根据题意列一元一次不等式组并求解，a取整
数．a可能取几个整数，就有几种不同的进货方案；
（3）在（2）的基础上，写出总利润关于a的表达式．分别求当2≤m＜5、m＝5、5＜m≤8三种情况下
a取何值时总利润最大．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价和B种商品每件的进价分别为x元和y元．
{ x−y=10 )
{x=18)
由题意得 1800 800 ，解得 ．
= y=8
x y
∴A种商品每件的进价和B种商品每件的进价分别为18元和8元．
（2）设购进A商品a件，则购进B商品（60﹣a）件．{18a+8(60−a)≤660)
由题意得， ，解得15≤a≤18．
60−a≤3a
∴a＝15，16，17或18．
∴该商品有4种进货方案．
（3）根据题意，总利润p＝（28﹣m﹣18）a+（13﹣8）（60﹣a）＝（5﹣m）a+300．
①当2≤m＜5时，p随a的增大而增大，
∴当a＝18时，p最大．
②当m＝5时，p不随a的变化而变化，为恒定值300．
③当5＜m≤8时，p随a的减小而增大，
∴当a＝15时，p最大．
综上，当2≤m＜5时，A种商品进货18件、B种商品进货42件，获总利润最大；
当m＝5时，不管A种商品进货多少件，获总利润为一恒定值；
当5＜m≤8时，A种商品进货15件、B种商品进货45件，获总利润最大．
【变式4】某商家计划购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元购买A品牌红酒的数量是
用9000元购买B品牌红酒数量的3倍．一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元．
（1）求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒
数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且
全部售出，设购进A品牌红酒m箱．
①求商家销售这批红酒的利润W与m之间的函数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案；
②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫
困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
【分析】（1）设一箱B品牌红酒的进价为x元，根据用30000元购买A品牌红酒的数量是用9000元购
30000 9000
买B品牌红酒数量的3倍得： = ×3，解方程并检验可得答案；
x+20 x
（2）①由题意得W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m）＝20m+21000，根据A品牌红酒的数
{m≤2(210−m))
量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，可得 ，故100≤m≤140，根据一
m≥100
次函数性质可得答案；
②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，可得：Q＝20m+21000﹣am＝
（20﹣a）m+21000（100≤m≤140），当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，故m＝140时，Q最大为（20﹣a）×140+21000＝23800﹣140a；当a＝20时，Q＝21000；当a＞20时，m＝100时，Q最大为
（20﹣a）×100+21000＝23000﹣100a．
【解答】解：（1）设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为 （x+20）元，
30000 9000
根据题意得： = ×3，
x+20 x
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，
∴x+20＝180+20＝200，
答：一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元；
（2）①由题意得：W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m）＝20m+21000，
∵A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，
{m≤2(210−m))
∴ ，
m≥100
解得100≤m≤140，
∵在W＝20m+21000中，20＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝140时，W最大，
∴当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大；
②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得：Q＝20m+21000﹣am＝（20﹣a）m+21000（100≤m≤140），
当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，
∴m＝140时，Q最大，最大值为（20﹣a）×140+21000＝23800﹣140a；
当a＝20时，Q＝21000；
当a＞20时，Q随m的增大而减小，
∴m＝100时，Q最大，最大值为（20﹣a）×100+21000＝23000﹣100a，
∴当0＜a＜20时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）
元；当a＝20时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是 21000元；当a＞20
时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
