文档内容
专题 13 函数与函数的图象的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、函数的理解..........................................................................................................................................1
类型二、函数的三种表示方法...........................................................................................................................4
类型三、求自变量的值或函数值.......................................................................................................................7
类型四、动点问题画函数图象...........................................................................................................................9
类型五、从函数的图象获取信息.....................................................................................................................13
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................16
解题知识必备
1.变量与函数
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2.函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
3.函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
压轴题型讲练
类型一、函数的理解
例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中， 不是 的函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了函数的定义，对于两个变量 、 ，当自变量 取一个确定的值时，因变量 有唯一
一个值与 对应，则称 是 的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断．
【详解】解：A选项：从图象上可知：当自变量 取一个确定的值时，因变量 有唯一一个值与 对应，
是 的函数，故A选项不符合题意；
B选项：从图象上可知：当自变量 取一个确定的值时，因变量 有唯一一个值与 对应， 是 的函数，
故B选项不符合题意；
C选项：从图象上可知：当自变量 取一个确定的值时，因变量 有 个值与 对应， 不是 的函数，
故C选项符合题意；
D选项：从图象上可知：当自变量 取一个确定的值时，因变量 有唯一一个值与 对应， 是 的函数，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个 的值， 都有唯一确定的值与之对应．
【详解】解：选项A：在这个图象中，对于 的某些值， 有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所
以选项A不表示 是 的函数．
选项B：在这个图象中，对于每一个 的值， 都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选
项B表示 是 的函数．
选项C：在这个图象中，对于 的某些值， 有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表
示 是 的函数．
选项D：在这个图象中，对于 的某些值， 有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表
示 是 的函数．
故答案为：B．
2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A．1
x 0 5 10
5
3. 4.
y 3 4
5 5
B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关
键．
【详解】解：A、表中每一个 值都对应一个 值，故 是 的函数，不符合题意；
B、图中每一个 值都对应一个 值，故 是 的函数，不符合题意；
C、图中每一个 值都对应一个 值，故 是 的函数，不符合题意；
D、在 的部分，每一个 值都对应两个 值，故 不是 的函数，符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：① ；② ；③ ；④
，其中y是x的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】函数的概念
【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于 的每一个取值， 都有唯一确定
的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 ， ，对
于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变量．
【详解】解： 对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值，
① ；③ 当 取值时， 有唯一的值对应；
即y是x的函数的是①③，
故选：C．
类型二、函数的三种表示方法
例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系：气温 0 5 10 15 20
33
声速 331 337 340 343
4
(1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量；
(2)若用 表示气温， 表示声速，则随着 的增大， 将发生怎样的变化？
(3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出 与 之间的函数表达式．
【答案】(1)气温，声速，气温
(2)随着 的增大， 也增大
(3)气温每升高 ，声速增加 ，
【知识点】用表格表示变量间的关系、函数解析式
【分析】本题考查了变量之间的关系，函数解析式．
（1）根据表格，结合变量的相关知识即可解答；
（2）根据表格中的数据即可解答；
（3）观察表格发现气温每升高 ，声速增加 ，据此可得函数解析式．
【详解】（1）解：上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量；
故答案为：气温，声速，气温；
（2）解：由表可知，随着 的增大， 也增大；
（3）解：从表中数据的变化．可知：气温每升高 ，声速增加 ，
所以 与 之间的函数表达式为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概
念所用的时间x（单位： ）之间有如下表所示的关系（其中 ）：
提出一个新概念所用的时间
2 5 7 10 12 13 14 17 20
对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强；
(3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
【答案】(1)反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出
一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量
(2)13
(3)学生对一个新概念的接受能力在 时间段内逐渐增强，在 时间段内逐渐减弱【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关
键．
（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化的数据可得出答案；
（3）根据表格提供变化情况得出结论．
【详解】（1）解：题表反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，
其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量．
（2）解：由题意可得：当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强；
（3）解：由表格中的数据可知，学生对一个新概念的接受能力在 时间段内逐渐增强，在
时间段内逐渐减弱．
2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温
的变化存在如下的关系：
气温 0 10 20 30
声音在空气中的传播速度 34
319 325 331 337 349
3
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？
(2)从表中数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了多少？
(3)用含t的代数式表示v；
(4)某日的气温为 ，小莹同学看到烟花燃放后 才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距
多远？
【答案】(1)气温和声音在空气中的传播速度
(2)气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，
(3)
(4)
【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，变量的定义以及变量之间的关系等等，正确理解题意
是解题的关键．
（1）根据声音在空气中的传播速度随着气温的变化而变化即可得到答案；
（2）由表格中的数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，据此可得答案；
（3）根据（2）所求列式计算即可；
（4）根据（3）所求求出此时声音在空气中传播的速度，再根据路程等于速度乘以时间列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中气温和声音在空气中的传播速度是变量；
（2）解：由表格中的数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，∴气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ；
（3）解：由题意得， ；
（4）解： ，
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距 ．
3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，
轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段 表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：
折线 表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在 段的速度为________千米/小时；轿车在 段的速度为
__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
【答案】(1)1.5
(2)60，80，110
(3)270
(4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）点 所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象结合速度 路程 时间，即可求得对应的速度；
（3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解；
（4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解．
【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点 所对应的数是1.5；
故答案为：1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是 千米/小时，
轿车在 段的速度为 千米/小时，轿车在 段的速度为 千米/小时，
故答案为：60，80，110；
（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，
货车行驶时间为 ，
此时，货车与甲地的距离为 千米；
（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，
货车达到时间为 小时，
可知，轿车比货车提前 小时，
即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达．
类型三、求自变量的值或函数值
例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是
．
【答案】 且
【知识点】求自变量的取值范围、求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求
解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ 且 ；
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数 ，若 ，则x的值为 ．
【答案】 或
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数值的概念，把 代入两个函数解析式求解 的值再检验即可．
【详解】解：由题意可得， ，
∴ ，
解得： ，符合题意，
当 ，
解得： ，符合题意；
综上： ，则x的值为 或 ，
故答案为： 或 ．2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是 和2
时，输出的y值相等，则 ．
【答案】5
【知识点】程序流程图与代数式求值、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数值，看懂程序图是解题的关键．
根据程序图分别求出 值是 和 时 的值，再列出方程即可求解，
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
∵输入的 值是 和 时，输出的 值相等，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是 ，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积
也随之发生变化．
（1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ；
（2）如果圆柱底面半径为r（单位： ），那么圆柱的体积V（单位： ）可以表示为 ；
（3）当r由 变化到 时，V由 变化到 ．
【答案】 圆柱的底面半径 圆柱的体积
【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的概念
【分析】本题考查了函数定义，求解函数关系式，利用圆柱体积公式求解函数关系式是本题解题的关键．
（1）根据函数之间两变量之间的关系即可得到答案．
（2）根据圆柱的体积公式即可求得关系式．
（3）将自变量r的变化值代入（2）中求得的解析式中即可．
【详解】解：（1）在这个变化的过程中，自变量为圆柱的底面半径，因变量为圆柱的体积；
（2）如果圆柱底面半径为r（单位： ），那么圆柱的体积V（单位： ）可以表示为 ；
（3）当 时， ,
当 时， ；
当r由 变化到 时，V由 变化到 ．
故答案为：圆柱的底面半径，圆柱的体积， ， ， ；类型四、动点问题画函数图象
例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在 中， ， 为边 上一定点，动点 从点
出发，沿折线 — 运动至点 后停止．设点 运动的路程为 ，令 ，图2是 与 的函数关
系图象，则点 到 的距离为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解
题的关键．过点 作 于点 ，连接 ，由图象可知 ；当点N与点B重合时，
； ，先求得 ，推出 ，在利用勾股定理求得 ．
【详解】解：过点 作 于点 ，连接 ，如图所示：
由图象可知 ；当点N与点B重合时， ； ．
在 中，由勾股定理，可得 ．
，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点 从菱形 的点 出发，沿边 匀速运动，
运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ， 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，当点 运动到
中点时，则 的长为 ．【答案】
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求
线段长
【分析】根据题意可得点 从 时， 逐渐增大，当 时， ，当 时，
值最小，当点 继续运动到点 时， 值逐渐增大，即当点 运动到点 时， ，由勾股定理得
到 ，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是 的直角边， 是斜边，
∴点 从 时， 逐渐增大，
根据图2可得，当 时， ，
当 时，在 中， 是直角边， 是斜边，
∴ ，即 ，逐渐减小，当 时， 值最小，当点 继续运动到点 时， 值逐渐增大，
即当点 运动到点 时， ，
同理，点 从 时， 逐渐减小，到 时有最小值，之后逐渐增大，当点 运动到点 时，
，此时停止运用，
∴ ，
∴点 运动到 中点时， 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综
合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形 中，点 是 中点，点 从点 开始，沿着
的路线匀速运动，设 的面积是 ，点 经过的路线长度为 ，如图坐标系中折线表
示 与 之间的函数关系，根据图象信息，长方形 的周长为 ．【答案】
【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键．
根据点的运动，函数图形的信息可得，当点 运动到点 时， ，即 ，则 ，
当点 从点 运动到点 时， 的面积是 ，可得 ，根据长
方形的周长计算公式即可求解．
【详解】解：点 是 中点，点 从点 开始，沿着 的路线匀速运动，
当点 运动到点 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当点 从点 运动到点 时， 的面积是 ，
∴ ，
解得， ，
∴长方形 的周长为 ，
故答案为： ．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E 在正方形 的边 上，且 ，点 P 沿 从点
B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x， ，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，
若图象的最低点M的纵坐标为 ，则最高点 N的纵坐标a的值为 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、动点问
题的函数图象
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关
键是准确分析图1与图2的对应变化关系．根据正方形的对角线的轴对称性得到 ，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最
低点M的纵坐标 ，结合 之间的关系及勾股定理可求得 的长，再观察到当点P运动到D点
时，y达到最大值a，勾股定理求得 长，则可求得a的值．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是正方形， 是其对角线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
，
连接 交 于点 ，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到 时，
，
解得 ，
．
连接 ，则 ．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a， ，
故答案为： ．
类型五、从函数的图象获取信息
例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加 迷你马拉松比赛，
为合理分配体能，运动员通常会记录每行进 所用的时间，即“配速”（单位： ）．他跑步的
“配速”如图所示，则下列说法中正确的是 ．（填写序号）① 第 所用的时间最长； ② 前 的平均速度大于最后 的平均速度；
③ 第 和第 的平均速度相同； ④ 第 的平均速度最大．
【答案】①③④
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进 所用的时间，故从图中可知，第 所用的时间最长，故①说法正确；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程 时间，由图可知，第 配速最小，故第 所用
时间最短，故第 的平均速度最大，故④说法正确；
第 所用的时间与第 所用的时间一致，故第 的和第 的平均速度相同，故选③说法正确；
由于前 的时间大于最后 的时间，故前 的平均速度小于最后 的平均速度，故②说法错误；
综上所述：说法正确的是①③④．
故答案为①③④．
【变式训练】
1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从
地跑或游到 地，其中兔子从 地出发翻过一座山后到达 地，乌龟从 地下水游到 地．由于赛道不
同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达 地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的
是 ．（只填序号）
①兔子在上山过程中休息 后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同；
②乌龟在水中游动的速度是 ；
③兔子下山的速度比上山休息后的速度快 ；
④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢．
【答案】①②④
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．观察图象，横坐标是比赛用时，纵坐标是路程 分钟
内，乌龟一直匀速运动，24分钟共行进的路程为 ， 分钟，兔子一直匀速运动，第 分钟内路程不变，说明兔子在休息， 分内，兔子匀速上山，第18分后开始下山， 分钟内匀速运动，
第24分到达终点 ，兔子的总路程为 ．要能根据函数图象的性质对图象上的数据分析得出有用信息
将问题解决．
【详解】解：兔子在上山过程中休息6分钟后，乌龟游过的路程是 ，兔子跑过的路程是 ．故①正
确；
乌龟在水中游动的速度 （千米 分） （千米 时），故②正确；
兔子下山的速度 （千米 分） （千米 时），
上山休息后的速度 （千米 分） （千米 时），
（千米 时），
兔子下山的速度比上山休息后的速度快50千米 时．故③错误；
这场比赛，只要兔子在上山过程中少休息一会儿，则它到达终点 的时间就小于 分钟，兔子用的时间就
比乌龟少了，它就能赢．故④正确．
故答案为：①②④．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明 先出发去
学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接
乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位： ）
的关系图，则下列说法正确的是 （填序号）．
①小明家离学校的距离是 ；②小华乘坐的公共汽车的速度是 ；③小华乘坐公共汽车后，
在 与小明离学校的距离一致．
【答案】①②③
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查的是一次函数图象的综合应用，根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项．
【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校 ，故①正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了 ，所以公共汽车的速度为
，故②正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超
过小明，所以二人相遇所用的时间是 ，即 相遇，即在 与小明离学校的距
离一致，故③正确．故答案为：①②③．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速
步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟
后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时
的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和
体育馆之间的距离 （米）与小刚出发的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是
（填写序号）．
①小刚返回家的速度为250米/分钟； ②小亮与小刚家相距600米；
③小亮用了24分钟到达体育馆； ④小刚回家后用了0.6分钟取装备；
⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．
【答案】①②③④
【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是
否正确，从而可以判断哪个小题符合题意．
【详解】解：由图象可得，
小刚返回家的速度为：
（米/分钟），
故①正确，符合题意；
小亮与小刚家相距为：
（米），
故②正确，符合题意；
小亮到体育馆用的时间为： （分），
故③正确，符合题意；
小刚从家到体育馆用的时间为：
（分），
小刚回家后取装备用的时间为：
（分），
故④正确，符合题意；
小刚取了装备后追上小亮时用的时间为 分钟，
，解得 ，
∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为：
（米），
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中
某一时刻的数据显示，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查常量和变量．根据常量的定义即可作答．
【详解】解：由题意得，单价是常量．
故选：D．
2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列选项中，不能表示某函数图像的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念可以判断哪个选项中的图象是 与 的函数图象，解题
的关键是正确理解函数的概念，利用数形结合的思想解答．
【详解】解： 、 与 不是一一对应的，不符合函数的定义，符合题意；
、 与 是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
、 与 是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
、 与 是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
故选： ．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y= 中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键．
根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围．
【详解】因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以自变量x的取值范围为 ．
故选：D．
4．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度 与所挂物
体的质量 之间有下面的关系：
下列说法中，不正确的是（ ）
A． 是自变量， 是 的函数B．弹簧不挂重物时长度为
C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加 ，弹簧长度 增加
D．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
【答案】B
【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式，根据表格可得
到函数的关系式，再根据关系式即可判断．
【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为 ，物体质量每增加 ，弹簧长度y增加 ，
故弹簧的长度y（ ）与所挂的物体的质量x（ ）之间函数关系式为 ，
∴A，C正确；B错误；
所挂物体质量为 时，弹簧长度 ，故D正确，
故选：B．
5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在等腰 中， ，动点 从点 出发，沿
运动至点 停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，若 关于 的函数图象如图所示，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过 作 于点 ，由图
象可知： ， ，通过面积求出 ，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点
的应用是解题的关键．
【详解】解：过 作 于点 ，由函数图象可知： ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
6．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度 （米 秒）向上抛一个小球，小球的高度 （米）与
小球的运动时间 （秒）之间的关系是 ，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
【答案】 ， ，
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始
终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量．
根据常量与变量的定义即可直接得出答案．
【详解】解：由常量与变量的定义可知：
在关系式 中，常量是 ， ，变量是 ， ，
故答案为： ， ； ， ．
7．（24-25八年级上·上海·期中）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查了求函数值，直接把 代入到 中，计算求出结果即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列式子中，y是x的函数关系的有 个．① ；② ；③ ；④ ；
【答案】3
【知识点】函数的概念
【解析】略
9．（24-25七年级上·山西运城·期末）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标，已知华氏
温标 （ ）与摄氏温标 （℃）之间的函数关系为 ，热力学温标T（K）与摄氏温标 （℃）
之间的函数关系为 ．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了方程的应用和函数关系式，解题关键是根据题意代入 求出c，再代入c，
通过解方程求解．
【详解】解：把 代入 得，
，
解得 ，
把 代入 得，
，
故答案为： ．
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，
已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到
了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离 （千米）与渔船移动的时
间 （小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是 小时．
【答案】
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，先根据函数图象求出渔船从B返回A的速度，进而求出返
回到A所用的时间，再加上从A到B的时间即可得到答案．
【详解】解：由图象得，渔船返回A地时的速度为 （千米/小时），∴渔船返回A地的时间为 （小时），
∴该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是 （小时），
故答案为： ．
三、解答题
11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面半径是 ，当圆柱的高h（ ）大到小变化时，
圆柱的体积 随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________；
(2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________；
(3)当圆柱的高由 变化到 时，圆柱的体积由__________变化到__________．
【答案】(1)圆柱的高h；圆柱的体积V
(2)
(3) ；
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查函数的概念，函数关系式，函数值，掌握相关概念是解题的关键．
（1）利用函数的概念进行回答；
（2）利用圆柱的体积公式求解；
（3）分别计算出 和 应的函数值可得到V的变化情况．
【详解】（1）解：∵当圆柱的高h从大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化，
∴自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V．
故答案为：圆柱的高h；圆柱的体积V
（2）解：∵ ，
∴圆柱的体积V与高h之间的关系式是 ．
故答案为：
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
∴当圆柱的高由 变化到 时，圆柱的体积由 变化到 ．
故答案为： ；
12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：
x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 …
y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 …
根据以上信息，回答下列问题：
(1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________．
(2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
(4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？
【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y
(2)56.3
(3)13分钟
(4)见解析
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键．
（1）利用表格中数据得出答案；
（2）利用表格中数据得出答案；
（3）利用表格中数据得出答案；
（4）先根据表格可知：当 时，y的值最大是59.9，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y
随x的增大而减小，从而得出答案．
【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受
能力y．
故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y
（2）解：观察表格可知，当 时， ，
∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3．
（3）解：∵当 时，y的值最大是59.9，
∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
（4）解：当 时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大；
当 时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小．
13．（24-25七年级下·全国·单元测试）元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段
时间内小鹿在过山车上离地面的高度 （米）与乘坐时间 （分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下
列问题：(1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米；
(2)在4分钟到10分钟时，随着时间 的增大，小鹿离地面的高度 的变化趋势是________（填“变大”或
“变小”）；
(3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？
【答案】(1)
(2)变小
(3) 或
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，学会从函数的图象获取正确信息是解题的关键．
（1）由图象即可直接得出答案；
（2）由图象即可直接得出答案；
（3）由图象即可直接得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知：
在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是 米，
故答案为： ；
（2）解：由图象可知：
在4分钟到10分钟时，随着时间 的增大，小鹿离地面的高度 的变化趋势是变小，
故答案为：变小；
（3）解：由图象可知：
在 分钟或 分钟时，小鹿离地面的高度是 米，
答：在 分钟或 分钟时，小鹿离地面的高度是 米．
14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的
一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示
了司机的视野 （度）随车速 （千米/时）变化而变化的情况．速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中 _____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
【答案】(1)高铁的速度，司机的视野
(2) ，
(3) 千米/时
(4)某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由函数图象即可得出答案；
（2）由表格可得 ，计算即可得出答案；
（3）由函数图象即可得出答案；
（4）写出生活中的例子即可．
【详解】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野；
（2）解：由表格可得： ，
∴ ， ；
（3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是 千米/时；
（4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）
15．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）一辆快车与慢车分别从 ， 两地同时相向出发，匀速行驶，
快车到达 地后停留 ，然后按原路原速返回，快车比慢车早 到达 地，两车距 地的路程
与慢车的行驶时间 的关系如图所示．(1) ， 两地之间的距离为 ___ ；快车的速度为 ___ ；慢车的速度为 ___ ；
(2)两车出发多少小时相遇？
(3)两车出发后到慢车到达 地前，经过多少小时，两车相距 ？
【答案】(1)400；150；50；
(2)两车出发 或 后相遇．
(3)经过 、 或 后，两车相距 ．
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数的图象、一元一次方程的几何应用，理解题意，看懂图象，能从图象中准确获取信
息是解答的关键．
（1）先从图象中获取 ， 两地距离和快车单程时间，然后利用路程、时间、速度的关系求解即可；
（2）根据图象，分快车与慢车第一次相遇和快车返回追上慢车第二次相遇两种情况分别求解即可；
（3）分①在两车第一次相遇前，经过 两车相距 ；②两车第一次相遇后，快车未到 地；③当快
车在 地，经过 两车相距 ；④当快车从 地出发后，超过了慢车四种情况，设经过 两车相距
，根据题意，结合图象列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意，根据图象可得， ， 两地距离为 ；
快车的速度为： ．
快车单程时间为 ，
又快车比慢车早 ，
慢车全程时间为 ．
慢车的速度为： ．
故答案为：400；150；50．
（2）解：由题意，分成两种情形．
①经过 ，快车与慢车第一次相遇，
．
．
②经过 快车返回追上慢车第二次相遇，．
．
综上，两车出发 或 后相遇．
（3）（3）由题意，分以下几种情形．
①在两车第一次相遇前，经过 两车相距 ，
．
．
②两车第一次相遇后，快车未到 地，经过了 两车相距 ，
．
，不合题意．
③当快车在 地，经过 两车相距 ，
．
．
④当快车从 地出发后，超过了慢车，经过 两车相距 ，
．
，符合题意．
答：经过 、 或 后，两车相距 ．
16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底
边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长 ，三角形面积为 ，
变化情况如下表所示：
底边长x（cm） 1 2
三角形面积 3 6
(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
(2)由上表可知， 边上的高为________ ；
(3)y与x的关系式可以表示为________；
(4)当底边长由 变化到 时，三角形的面积从________ 变化到________ ．【答案】(1)底边长x，三角形面积y
(2)6
(3)
(4)9，36
【知识点】求自变量的值或函数值、与三角形的高有关的计算问题、用表格表示变量间的关系、用关系式
表示变量间的关系
【分析】本题主要考查的是函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与
x的关系式．
（1）根据函数的定义找出自变量和函数；
（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设 边上的高为h，有三角形面积即可计算出高；
（3）根据三角形面积公式表示出y与x的关系式；
（4）根据三角形的面积公式求出面积，根据面积即可得出结论．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是底边长 即x，函数是 的面积即y，
故答案为：底边长x，三角形面积y；
（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，
设 边上的高为h，
，
，
故答案为：6；
（3） ，
故答案为： ；
（4）当 时， ，
当 时， ，
当底边长由 变化到 时，三角形的面积从 变化到 ，
故答案为：9，36．
