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第五章 分 式与分式方程
5.3 分式方程
第2课时 分式方程的解法
【素养目标】
1.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题
的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识．
2.了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．
重点：掌握解分式方程的基本思路和解法．
难点：了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．
【复习导入】
1.还记得什么是方程的解吗？
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？
.
3.二元一次方程组呢？
2+3x x+2
计算： − 2 =
3 6
【合作探究】
探究点：分式方程的解法
思考：你能求出上一节课列出的分式方程 的解吗？
(1) 如何把它转化为熟知的整式方程呢？
(2) 方程各分母最简公分母是：
第 1 页[归纳总结]
解分式方程的基本思路：
[典例精析]
例1 解方程：
[思考·交流]
在解方程 时，
小亮的解法如下：方程两边同乘 (x－2)，得 1－x = －1－2(x－2)，
解这个方程，得 x = 2.
问：x = 2 是原分式方程的解吗？
想一想：为什么 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？
使得原分式方程的分母为 0 的根，我们称为原方程的增根.
[归纳总结]
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方
程的解必须检验.
用图框的方式总结为：
第 2 页解分式方程一般需要经过哪几个步骤 ?
1. 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 检验整式方程的解，判断是否存在增根；
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
[典例精析]
2 3
例2 解方程： =
x−3 x
x 3
例3 解方程： −1= .
x−1 (x−1)(x+2)
[练一练]
1. 解方程：
2. 解方程： .
3. 如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______.
第 3 页当堂反馈
2 x＋2
1.解分式方程 ＋ ＝3时，去分母后变形正确的是( )
x－1 1－x
A.2＋(x＋2)＝3(x－1)
B.2－x＋2＝3(x－1)
C.2－(x＋2)＝3
D.2－(x＋2)＝3(x－1)
2 1
2.方程 ＝ 的解是( )
x＋3 x＋1
A.x＝2 B.x＝5
C.x＝1 D.x＝－2
x2 1
3.若分式方程 ＝ 有增根，则增根为( )
x－1 x－1
A.x＝－1 B.x＝1
C.x＝±1 D.x＝0
2 3
4.(1)当x＝ 时，分式 与 的值相等；
x－1 x
2x＋a
(2)若x＝－3是分式方程 ＝1的解，则a的值为 .
x－2
x＋2 m
5.关于x的方程 ＝2＋ 无解，则m的值为 .
x－1 x－1
6.解方程：
2－x 1
(1) ＝1－ ；
x－3 3－x
书写通关
解：方程两边同乘 ，得2－x＝x－3＋1，解得x＝ .
经检验，当x 时， ≠0，
∴原方程的解为 .
易错通关：解分式方程时，容易遗忘“检验增根”的关键步骤.
x 2x＋1
(2) ＋1＝ ；
x＋1 x
x 3
(3) － ＝1.
x－1 (x－1）（x＋2)
第 4 页参考答案
【复习导入】
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
3.加减消元法、代入消元法
计算： 解：去分母得2×(2+3x)−6×2= x+2
去括号得4+6x−6×2= x+2
移项合并得5x=10
解得 x=2
【合作探究】
探究点：分式方程的解法
(1) “去分母”
(2) 方程各分母最简公分母是：3x
解：方程两边同乘 2.8 x，得
174×3 − 174 = 2×3x
解得 x = 58.
检验：将 x = 58 代入原分式方程中，左边 = 右边，
因此 x = 58 是原分式方程的解.
[典例精析]
例1 解：方程两边都乘最简公分母 x(x－2)，得5x = 3(x－ 2).
解这个方程，得 x = －3.
检验：把 x = －3 代入原方程的左边和右边，得
所以 x = －3 是原方程的解．
想一想：x = 2 使得原分式方程的分母为 0 .
例2 解：方程两边同乘x(x−3) ，得2x=3x−9.
解得 x=9 .
检验：当 x=9 时，x(x−3)≠0，
所以，原分式方程的解为x=9.
第 5 页例3 解：方程两边同乘 (x−1)(x+2) ，
得 x(x+2)−(x−1)(x+2)=3.
解得 x=1 .
检验：当 x=1 时， (x−1)(x+2)=0 ，因此 x=1 不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
[练一练]
1. 解：方程两边都乘最简公分母 2x，得 960－600=90x.
解这个一元一次方程，得 x = 4.
经检验：x = 4 是原方程的根.且不存在增根．
2. 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得 4(x + 1) = 2x + 6.
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
3. 解：将方程两边同乘 (x－2) 得 ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2.
因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2，
所以 a＝1 或 2.
当堂反馈
1.D
2.C
3. B
4.(1) 3 (2) 1
5. 3 .
6.(1) x－3 ， 2 . ＝2 ， x－3 ， x＝2 .
1 1
(2)解：解得x＝－ .检验：当x＝－ 时，原分式方程有意义，所以原方程的解为x＝
2 2
1
－ .
2
(3)解：解得x＝1.经检验，x＝1是方程的增根，
∴原方程无解.
第 6 页
