文档内容
6.3 三角形的中位线
课堂知识梳理
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023春·天津河东·八年级校联考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，E是边AD的中点，连接OE，若AB+CD=12cm，则线段OE的长是（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，
PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF，点P在由C到D运动过程中，线段EF的长
度（ ）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
3．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，点A，B为定点，直线l∥AB，
P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④∠APB的大小；
⑤直线MN与AB之间的距离．
1其中会随点P的移动而发生变化的是______（填序号）．
4．（2023春·宁夏固原·八年级校联考期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点
O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，求△DOE的周长是多少？
5．（2023春·江苏南京·八年级校考期中）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
EF∥AB，求证：F是BC中点．
6．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线
的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中
1
点．求证：DE∥BC，且DE= BC．
2
2方法一证明：如图，延长DE至点F，使EF=DE，连 方法二证明：如图，过点E作
接CF． EF∥AB交BC于F．
7．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）如图所示，点D为△ABC
内一点，AD平分∠BAC，且AD⊥BD交AC于点G，点E为边BC的中点，点F在AC上，
且CF=DE．
(1)证明：四边形CEDF是平行四边形；
(2)请直接写出线段AB，CF，AC之间的数量关系：______．
3培优第二阶——拓展培优练
8．（2023·河南焦作·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F
分别是AD，OC的中点，若∠BAD=120°，EF=√7，则菱形ABCD的周长为
（ ）
A．8 B．16 C．8√3 D．16√3
9．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若
AC＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
1 3
A．1 B． C．2 D．
2 2
10．如图所示，已知△ABC的面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连
接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，⋯，依此类推，第2013个三角形的面积为
（ ）
41 1 1 1
A． B． C． D．
2011 2012 42011 42012
11．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD=2AD，E，F，G分别是OC,OD,AB的中点，点N为GE与BD的交点．下列结论：
①GN=NE；②AE⊥CF；③BE平分∠DBC；④EF=OC，其中必定正确的结论是（
）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．③④
12．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）如图，AB⊥MN于A，
CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，则
CD的长为________．
13．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）如图，D、E、F、G分别为
AC、AB、BO、CO的中点，∠BOC=90°，若AO=3，BO=4，CO=3，则四边形
DEFG的周长__________．
514．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=135°，
AD=3，AB=√2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、GH，点E为AH的
中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值为______．
15．如图所示，在△ABC中，∠A=40°，D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，
CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，求∠APQ的度数．
16．（2023·吉林长春·校考二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如
图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内
经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得，DE=AD，再连接BE（或
将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，
利用三角形的三边关系可得2EF．
(2)若∠A=90°，则线段BE、CF、EF之间的等量关系为 ．
(3)【应用拓展】如图③，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为边AC的中点，点E和点F
分别在边AB、BC上，点M为线段EF的中点．若AE=2，CF=5，则DM的长为 ．
17．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）（1）【方法探究】如图1，在四边形ABCD中，
AD=BC，点P是对角线BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点．求证：
∠PNM=∠PMN；
（2）【方法应用】
①如图2，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=8，BC=6，点P、Q分别为
AB、CD的中点，求PQ的长；
②如图3，在四边形ABCD中，AD=BC=4，∠A+∠ABC=120°，点P、Q分别为AB、
CD的中点，则PQ= ．
718．（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）教材知识储备
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
如图1，E、P分别是△ABC的中点，则EF就是△ABC的中位线，则有EF∥BC，
1
EF= BC，请依据以上知识点，回答下面问题：
2
如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，
AD=AE，连接DE，CD，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：
图2中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，连接MN，PM，PN，判断△PMN的形
状，并说明理由；
8(3)拓展延伸：
若AD=4，AB=9，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△PMN的面积取得
最大值时CD的长．
19．（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(6，0)，
点C(3，4)．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB．
(1)点B的坐标为______；
(2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中
点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求
出MN的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP
为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中∠PCQ=90°．试猜想PO2，PF2，PQ2三者之
间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
9培优第三阶——中考沙场点兵
20．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D、E分别是
直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．20°
21．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，
AB的中点．若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
22．（2022·西藏·统考中考真题）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外
取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB
的长为 _____米．
1023．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别
为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为________．
24．（2022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，
已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；
第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P．若BC=12，则MP+MN=
_____________．
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