文档内容
专题 02 二次根式的运算的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、最简二次根式......................................................................................................................................2
类型二、同类二次根式......................................................................................................................................4
类型三、二次根式的混合运算...........................................................................................................................6
类型四、二次根式中的分母有理化...................................................................................................................8
类型五、利用二次根式有关运算比较大小......................................................................................................12
类型六、二次根式中的新定义型探究问题......................................................................................................16
类型七、二次根式中的规律探究问题..............................................................................................................19
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................23
解题知识必备
知识点1 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
知识点2 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
知识点3 最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
知识点4 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
分配律，如
知识点5 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点6 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
压轴题型讲练
类型一、最简二次根式
例题：（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；
②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可．
【详解】解：A． 被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误；
B． 是最简二次根式，故该选项正确；
C． 被开方数含有开的尽的因数 ，故该选项错误；
D． 被开方数含有分母，故该选项错误．
故选：B．
【变式训练1】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方
数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ 是最简二次根式，
故选：A．
【变式训练2】（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故 不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. ，故 不是最简二次根式；
D. ，故 不是最简二次根式；
故选：B．
【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分
母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可．
【详解】A、 ，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、 符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意；C、 ，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、 ，被开方数里含有能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
类型二、同类二次根式
例题：（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与 合并的二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断
【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，
判断是否为 的同类二次根式，即可判断各选项．
【详解】解：A. ，不能与 合并，故该选项不符合题意；
B. ，能与 合并，故该选项符合题意；
C. ，不能与 合并，故该选项不符合题意；
D. ，不能与 合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在 ， ， 中与 可以合并的个数有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把
各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解： ，与 可以合并，
，与 可以合并；
，与 不可以合并；
则与 可以合并的个数有2个．故选：C．
【变式训练2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是
（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果
被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键．
先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可，
【详解】解：A、 ， ，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、 ， 与 ，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
C、 ， 与 ，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
D、 与 ，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：A．
【变式训练3】（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那
么 的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求 的值．
【详解】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
解得： ，
故选：C．
类型三、二次根式的混合运算
例题：（24-25八年级上·全国·期末）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练1】（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算、化简绝对值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算．
（1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌
握相关运算法则．
（1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题；
（2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解
题．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
．
类型四、二次根式中的分母有理化
例题：（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：
，像上述解题过程中， 与 相乘的
积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算： ；
【答案】(1) ； ；
(2)2023
【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；
（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．
【详解】（1）解：
；；
；
（2）解：原式
．
【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知 ，求
的值．小明是这样解答的：∵ ， ．请你根据小明的解
题过程，解决下列问题：
(1)填空： _______， _______；
(2)化简： ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：
（1）先分子和分母都乘 进行分母有理化即可；分子和分母都乘 进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解： ，，
故答案为： ； ；
（2）解：
．
【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如 ，
的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有
理化．
例如：
．
(1)用上述方法化简 ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)2024
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解；
（2）将每一项都分母有理化，继而即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知 求 的值”，小明
是这样分析与解答的:
请你根据小明的分析过程，解决如下问题
(1)化简：
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、
分母有理化，乘法公式等知识点．
（1）分子分母都乘 ，利用平方差公式计算化简即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以 得 ，将其配方 代入计算
可得答案．
【详解】（1）解： ；（2）解： ，
∴ ，
∴ ．
类型五、利用二次根式有关运算比较大小
例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积
不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式， 和 互为有理化
因式．
（1） 的有理化因式是______（写出一个即可）， 的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简： ．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较 和 的大小．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是
解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
（3）利用分母有理化得到 ， ，然后比较 大小即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；（2）解：
；
（3） ．
理由如下：
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简： ______， ______；
(2)利用上面的规律，比较 ______ （填“ ”或“ ”或“ ”）．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到 ， ，根据
，得到 ， ．【详解】（1）解：
；
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简
的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如 ，
，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把 叫做 的有理化
因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1) 的有理化因式是_________， 的有理化因式是_________；(2)化简： ；
(3)比较 ， 的大小，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键．
（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可；
（2）分子分母同乘以 即可得出答案；
（3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小．
【详解】（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；
（2） ；
（3） ； ；
，
．
【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：(1)化简 ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查的是分母有理化：
（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以 ，再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ， ，且
，
∴ ．
类型六、二次根式中的新定义型探究问题
例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若 ，则称x和y是关于1的平衡数．
(1)4与______是关于1的平衡数； 与______是关于1的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，判断 与 是不是关于1的平衡数，并说明
理由．
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据平衡数的定义，进行求解即可；
（2）根据 ，求出 的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可．【详解】（1）解： ， ；
故答案为： ；
（2）解：不是，理由如下：
，
∴ ， ，
∴ ；
∴ ，
∴ 与 不是关于1的平衡数．
【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理
数，则称 与 是关于 的“友好二次根式”．
(1)若 与 是关于15的友好二次根式，求 ；
(2)若 与 是关于4的友好二次根式，求 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键：
（1）根据定义，得到 ，求解即可；
（2）根据定义，得到： ，求解即可．
【详解】（1）解：由题意， ，
∴ ；
（2）由题意：
∴ ，
∴ ．
【变式训练2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，
则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于6的共轭二次根式，求a的值；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分母有理化、二次根式的应用【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）由题意得： ，即可求解；
（2）由题意得： ，化简 即可求解；
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；
【变式训练3】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记
， ，其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如；
的一对“对称数对”为 和 ．
(1)有序数对 的一对“对称数对”是＿＿＿；
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿；
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则x的值为＿＿＿；
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．
【答案】(1) 和
(2)
(3)
(4)6或
【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键．
（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；（3）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程 或 ，解方程进而得出结论．
【详解】（1）解： ，
有序数对 的一对“对称数对”是 和 ，
故答案为： 和 ；
（2）解： 有序数对 的一对“对称数对”相同，
，
，
故答案为： ；
（3）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ，
，
，
故答案为： ；
（4）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ，
或 ，
或 ，
或 ．
即 的值为6或 ．类型七、二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一
般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规
律．
（1）根据前 个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：等式④： ；
（2）解：若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律为 ，
证明如下：等式左边 右边；
（3）解：∵ （ 均为正整数），
∴ ， ，
∴．
【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) ，验证见解析
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系可得： ．
【详解】（1）
验证：；
（2） ．
验证：
．
【变式训练2】10．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程
，
验证：
，
验证：
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为自然数且 ）表示的等式并给出说明．
【答案】(1)猜想 ，验证见详解
(2) ，验证见详解
【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键．
（1）根据题目中所提供的方法进行验证即可；
（2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可．
【详解】（1）解：猜想 ，
验证： ；（2）解： ，
验证： ．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，本选项符合题意；
D、 ， 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列根式中能与 合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，
灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A. ，与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. ，与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C. ，与 是同类二次根式，能合并，符合题意；
D. ，与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A． 和 不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，
B． 和 不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，
C． ，故该选项计算正确，符合题意，
D． ，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先求得 ，即 ，然后利用运算程序计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
二、填空题
5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式 与 是同类根式，则
．
【答案】9
【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二
次根式的概念进行解答即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
解得 ， ，
；
故答案为：9．
6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得 是最简二次根式， ．
【答案】1
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得 或 等，从而可得答
案．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，m为正整数，
∴正整数m的值可以为1或3等，
故答案为：1（答案不唯一）．
7．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式 与 能进行合并，且 ，
化简： ．
【答案】4
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、化简绝对值、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根
式的定义，二次根式的性质是解题的关键．
同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得 ，解出 的值，可确定
，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解．
【详解】解：由题意可知： ，
解得， ，
，
，
，．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算 如下：
，如 ，那么 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化
【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有
理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键．
三、解答题
9．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减即可；
（2）先计算算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值，再计算加减即可；（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数 ， ，定义“★”运算规则如下：
，求 的值．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照新定义运算规则求解即可得到答案，看懂新定义实数
运算是解决问题的关键．
【详解】解： ， ，
，则 ，
，
．
11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用：(1)填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
(2)化简： ；
(3)利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，理由见解析
【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了二次根式的混运算；
（1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解；
（2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解；
（3）比较两数的倒数的大小，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ， ；
（2）
；
（3） 理由如下：
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ．12．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 为有理数，则称
与 是关于 的共轭二次根式．
(1) 与 是关于______的共轭二次根式；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，则 ______；
(3)若 与 是关于12的共轭二次根式，求 的值．
【答案】(1)1；
(2) ；
(3) ．
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
（1）根据共轭二次根式的定义，即可得解；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得 的值即可；
（3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得 的值即可；
【详解】（1）解： ，
∴ 与 是关于1的共轭二次根式，
故答案为：1；
（2）解：∵ 与 是关于2的共轭二次根式，
∴
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：∵ 与 是关于12的共轭二次根式，
∴
∴ ，
∴ ．
13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，回答下列问题．
【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如： ，我们称 和 互为有理化因式， 和
互为有理化因式．
（1） 的有理化因式是______， 的有理化因式是______；（写出一个即可）
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简： ；
【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这
种变形叫做分子有理化．例如： ．
（3）用分子有理化直接比较 和 的大小．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是
解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
（3）利用分母有理化得到 ， ，然后比较 ，
大小即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
故答案为： ； ；
（2）解：
．
（3） ．理由如下：
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的
方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3： ＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析；
(4) ．
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；（4）根据材料提示的方法把 ，再根据二次根式的乘法运算计算即可．
【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为： ，
故答案为： ；
（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为： ，
故答案为： ；
（3）解： ，
等式左边 等式右边；
（4）解：
．
15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律：
；
；
；…
利用发现的规律解决下列问题．
(1)化简式子 ______；
(2)直接写出式子的值： ；
(3)计算： （n为正整数）．
【答案】(1) ；
(2)2023；(3) ．
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答．
（2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答．
（3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，
故答案为： ；
（2）解：
．
故答案为：2023，
（3）解：依题意，
．
