文档内容
专题 06 利用勾股定理求最短路径问题的四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、圆柱中的最短路径模型.......................................................................................................................3
类型二、长方体中的最短路径模型...................................................................................................................7
类型三、阶梯中的最短路径模型.....................................................................................................................15
类型四、将军饮马与最短路径模型..................................................................................................................18
压轴能力测评（14题）....................................................................................................................................22
解题知识必备
【模型一 圆柱中的最短路径模型】
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
【模型二 长方体中的最短路径模型】
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
【模型三 阶梯中的最短路径模型】
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
【模型四 将军饮马与最短路径模型】
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
压轴题型讲练
类型一、圆柱中的最短路径模型
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬
行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路径长多少厘米：(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【变式训练】
1．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱
表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂
蚁沿侧面爬行的最短路程是 ．
2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为 ，高 ， 的中点B处有一块面
包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ．
3．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 ，底面圆的直径为 ，在外
侧距下底 的点 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 的 处有一苍蝇，试求
急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常
常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，
难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
类型二、长方体中的最短路径模型
例题：（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长 、宽 、高 的长方体
容器．
(1)求底面矩形 的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形
象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形 ，现已知 ， ，
蜘蛛侠欲从点 开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点 处，则蜘蛛侠行走的最短距离
为 ．2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从
顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为 m．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，
现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 开始经过四个侧面绕到上底
面的顶点 ，如果缠绕的圈数是 ，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长 ，宽 ，高
，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长
为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
5．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点
之间的距离为 ，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖．
(1)求点 到点 的距离；(2)蚂蚁从点 爬到点 的最短路程是多少？
类型三、阶梯中的最短路径模型
例题：（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、
，则它爬行的最短路程为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片 折叠，如图所示，已知 ，
， ，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是
．
2．（23-24八年级下·河北·期中）如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为
，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ．
3．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，若
，点 到 的距离是 ，有一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则它的最短行程是
m．4．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在一张长方形纸板 上放着一根长方体木块．已知
米， 米．该木块的长与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块
到达点 需要走的最短路程是 米．
类型四、将军饮马与最短路径模型
例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为
千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水
管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是
多少？
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高
，水深 ，在水面上紧贴内壁的 处有一块面包屑， 在水面线 上，且
，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为
．
2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线
的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，
B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展
开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度
不计）
压轴能力测评（14题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长 ，高 ，现计划在楼梯的表面铺地毯，
则地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均
是边长为 的正方形，且深为 ，两个格子之间的隔断厚 ．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点 处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点 处，则蚂
蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作
了一个底面周长为 ，高为 的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰
带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为 的中点），则装饰带的长度
最短为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五
育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为 ，宽均
为 ，1，2，3号台的高度分别是 ， ， ．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面
爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为 的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也
无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点 爬行到点 的最短路线长为 cm．6．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型
池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 （即
）的半圆，其边缘 ，点 在 上， ．一名滑板爱好者从 点滑到 点，则他滑
行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计， 取3）
三、解答题
7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点
B的最短路程长是多少？
8．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河 去饮水一次，再回
到营地A，已知A到河岸的距离 公里，B到河岸的距离 公里， 公里，求将军最短需
要走多远．
9．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，
点M在 上．且 ．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是
多少?10．（23-24八年级上·四川眉山·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在
其侧面从点 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点 停止．求彩条的最短长度．
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高 ，水深
，在水面线 上紧贴内壁 处有一粒食物，且 ，一只小虫想从水缸外的 处沿水缸
壁爬到水缸内的 处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．
12．（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
13．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
14．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们
在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结
合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题
途径的目的．
(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且 ，求 的最小值．通过分析，小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点E是线段
上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设 ， ．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出 的最小值 ．
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是 ．
(3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且 ，试运用构图法，写出
的最小值 ．
