文档内容
专题 09 菱形的性质和判定七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用菱形的性质求角度.......................................................................................................................1
类型二、利用菱形的性质求长度.......................................................................................................................3
类型三、利用菱形的性质求面积.......................................................................................................................7
类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题.................................................................................................9
类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题...............................................................................................14
类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）................................................................................18
类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题...........................................................................................22
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................26
解题知识必备
1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
压轴题型讲练
类型一、利用菱形的性质求角度
例2.（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形 的对角线 上一点，连接 ，若 ，
，则 的度数为 ．【答案】45
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形
的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求 ，由菱形的性质可得 ，即可求
解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
故答案为：45．
【变式训练】
1.（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在菱形 中， ，依次连接各边中点，得到四边形 ，
则 °．
【答案】35
【分析】本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接 ，先根据菱形的性质得出 ，再根据三角形中位线性质得出 ，最后根据平行线
的性质即可得出答案．
【详解】解：连接
四边形 为菱形，
F、G分别为 和 的中点故答案为： ．
2.（2024·四川成都·二模）如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ，连接
， ．若 ， ，则 的大小为 ．
【答案】 /40度
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“ ”即可证明 ，再得到
，因为 ，故 ．
【详解】∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
类型二、利用菱形的性质求长度
例3. （2024·重庆·二模）如图，在菱形 中，过点 作 交AC于点 ，若 ，
则 的长是 ．
【答案】【分析】本题考查了菱形的性质．连接 交 于 ，根据菱形的性质得 ，
，则利用勾股定理开始计算出 ，利用面积计算 长，再根据勾股定理求出 ，最
后根据 即可解决问题．
【详解】解：连接 交 于 ，
∵菱形 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形 中， ，点E在边 上，点F在边
上，且 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出 解答．
延长 ， 相交于点 ，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ，进而利用勾
股定理解答即可．
【详解】解：延长 ， 相交于点 ，作 于点 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
设 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得： ，
，
故答案为： ．
2.（23-24八年级下·河南信阳·期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，
他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ，测得 ， ，直线交两对边于E、F，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到 ， ，
，根据勾股定理得到 ，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 的长为 ，
故答案为： ．
类型三、利用菱形的性质求面积
例4. （23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形 中，若 ，周长是16，则菱形的面积是
．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得 ，
，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得 ，求出 ， 由
即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键．【详解】解：如图， 与 交于 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案： ．
【变式训练】
1.（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形 中， ，对角线 与 相交于点O，若 ，
则该菱形的面积为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质得到 ，
，则 ，根据勾股定理求出 ，进而求出 ，根据菱形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形的面积为 ．
故答案为：
2.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 分别是边
， 的中点，连接 ．若 ，则 (用含 的代数式表示)；若 ，
，则菱形 的面积为
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中位线的性质和菱形的面积公式，连接 ，根据三
角形的中线的性质可得 ；根据 是 的中位线，根据三角形中位线定理
求的 的长，然后根据菱形的面积公式求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， 、 是 和 的中点，
∴
∵ 、 是 和 的中点，即 是 的中位线，∴
∴菱形 的面积为
故答案为： ， ．
类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题
例6. （2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是 的边 上的点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若四边形 是菱形，且 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用平行四边形的性质得出 ，从而得出 ，进而求解即可．
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出 ，可求得 ，再利用直角三角形的性质得
出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
，且 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形 中，对角线 相交于点 ，过点
作 于点 ，交 于点 ．
(1)求 的度数；
(2)①求证： ；②若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由菱形性质得到 ，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得到 ，
再由直角三角形两锐角互余即可得到答案；
（2）①由菱形性质，结合三角形全等的判定得到 ，再由全等性质即可得到
；②过点 作 于点 ，如图所示，由角平分线的性质得到 ，设
，在等腰直角三角形 与 中应用勾股定理列式求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
；
（2）证明：① 四边形 是菱形，
，
，
又 ，
，，
②过点 作 于点 ，如图所示：
四边形 是菱形，
平分 ，
又 ，
，
设 ，
，
与 均为等腰直角三角形，
， ，
，
，解得 ，
．
【点睛】本题考查菱形综合，涉及菱性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、
全等三角形的判定与性质、角平分线性质和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握几何图形的判定与性质
并灵活运用是解决问题的关键．
2.（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形 和等边 中， ，P是 的中点．
(1)如图1，点G在 边上时，
①判断 的形状，并证明；
②请连接 ，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，当点F在 的延长线上时，连接 、 ．试判断 、 有怎样的关系，并给予证明．
【答案】(1)① 是直角三角形，证明见解析；②
(2) ，证明见解析
【分析】（1）①证明 ，可知： 是直角三角形；②如图2，过 作 于 ，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得 ，得 的长，根据
等边三角形的定义得 ，根据勾股定理可得 的长，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得 的
长；
（2）延长 交 于点 ，连接 ， ，先证明 ，再证得 ，利用在
中， ，所以 ．
【详解】（1）①如图1，
是直角三角形，
理由是： 四边形 是菱形， ，
，
是等边三角形，
，
，
是直角三角形；
②如图2，过 作 于 ，
， ，
，
，
中， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
由勾股定理得： ，由①知： 是直角三角形，且 是 的中点，
；
（2）如图3，
，理由是：
延长 交 于点 ，连接 ， ，
， 是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质等知
识点，第二问题有难度，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题
例13. 如图，分别以直角 的斜边 ，直角边 为边向 外作等边 和等边 ，F为
的中点， 与 交于点G， 与 交于点H， ， ．给出如下结论：①
平分 ；② ；③ ；④ ，其中正确结论的为（ ）
A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据已知先判断 ，则 ，可判断①，结合含 角的直角三角形
的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出 ，接着证得 ，
则 ，再由 ，得出四边形 为平行四边形而不是菱形，即有 不成立，根据平行
四边形的性质得出 ，即可判断②③，从而得到答案．
【详解】解： 、 是等边三角形，
， ， ，
，
， ，
为 的中点，
，
，
即在 与 中，
，
，
， ，
∴ ，即 平分 ，
故①正确，
由①知， ．
∵ ．
∴ ，即 ．∵ ，
∴ ，
∵F是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故④正确；
∵ ， ，
， ，
，
，
由①知， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 不是菱形，
∴ 不成立，故②说法不正确；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
则 ，故③说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质以及全
等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．【变式训练】
1.如图， 分别是 的中点，且 ，下列结论；① ；②四边
形 是矩形；③ 平分 ；④ ；⑤四边形 的周长等于 ，其中正确的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出 ，
， ， ，证明四边形 是菱形即可判断②，由菱形的性质即可判断
①③⑤，没有条件可证明 即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运是解此题的关键．
【详解】解： 分别是 的中点，
， ， ， ，
，
，
四边形 是菱形，故②错误，不符合题意；
， 平分 ，四边形 的周长等于 ，故①③⑤正确，符合题
意，
没有条件可证明 ，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③⑤，共 个，
故选：B．
2.如图，在菱形 中， ， 与 交于点 ， 为 延长线上一点，且 ，连接
，分别交 ， 于点 、 ，连接 、 ，则下列结论：
① ；
②四边形 是菱形；
③四边形 与四边形 面积相等．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】①由 证明 ，得出 ，证出 是 的中位线，得出
，①正确；
②先证四边形 是平行四边形，再证 是等边三角形，得 ，则四边形 是菱
形，②正确；
③由中线的性质和菱形的性质可得 ， ，可得四边形 与四边形 面积
相等，得出③正确．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是 的中位线，
，故①正确；
，
是等边三角形，
，
平行四边形 是菱形，故②正确；
四边形 是菱形，
，
，
，
，
四边形 与四边形 面积相等，故③正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：D．类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
例12. 如图， 在平行四边形 中，
(1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交 于点E，在线段 上截取 ，
使 (保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1) 所作的图形中， 连接 ， 求证∶ 四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是：
（1）根据基本作图，即可作得；
（2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形 是平行四边形，再根据平行线的性质
及角平分线的定义，可证得 ，据此即可证得结论．
【详解】（1）解：如图， ， 即为所求，
；
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ 且 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．∴ ，
∴四边形 是菱形．
【变式训练】
1.如图，在菱形 中，连接 ， 是 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作
图痕迹）．
(1)在图1中的 上找一点 ，连接 ，使得 ．
(2)在图2中的 上找一点 ，连接 ，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由菱形的性质得到 为 的中点，则 是 的中位线，即可得出
；
（2）连接 、 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，证明 ，即可推出
．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；（2）解：如图，即为所求作；
连接 、 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，
四边形 是菱形，
， 垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
即 ．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键．
2.如图，在菱形 中 是 的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
(1)在图1中，过点 作 的平行线，与 交于点 ．
(2)在图2中，作线段 的垂直平分线，垂足为点 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
（1）连接 和 交于点O，连接 并延长交 于点Q，则 即为所作；
（2）连接 和 交于点O，连接 交 于点E，过A、E作直线交 于点H，则 即为所作．
【详解】（1）解：连接 和 交于点O，连接 并延长交 于点Q，则 即为所作；
（2）解：连接 和 交于点O，连接 交 于点E，过A、E作直线交 于点H，则 即为所作．
类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题
例14. 如图，在等腰 中， ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于 ，连
接 ，过点 作 交 的延长线于 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)四边形 是菱形，见解析
(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质
是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得 ，再利用平行线的性质可得 ，
，从而利用 证明 ，进而可得 ，再利用对角线互相平分线的
四边形是平行四边形可得四边形 是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形 是菱形，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得 ，再利用菱形的性质可得 ，从而可得
是等边三角形，进而可得 ，然后利用垂直定义可得 ，从而可得 ，
进而可得 ，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】（1）四边形 是菱形，
理由： ， 平分 ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2） 平分 ， ，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为 ．
【变式训练】
1.如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)若菱形 的周长为 ， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）先证明四边形 为平行四边形，再证明 ，得到 ，即可得到四边
形 是菱形；
（ ）连接 交 于点 ，由菱形的性质可得 ， ， ，进而由 得
，又由菱形的周长得 ，由直角三角形的性质可得 ，利用勾股定
理得 ，即可求出 的长度；
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的应用，平行线
的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：连接 交 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵菱形 的周长为 ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
由勾股定理可得， ，
∴ ．
2.已知，四边形 是菱形．
(1)若 ，则菱形 的周长 ______；
(2)如图①， 、 是对角线，则 与 的位置关系是_______．
(3)如图②，点 、 分别在 、 上，且 ， ， ，点 、 分别在 、
上， 与 相交于点 ．求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)20
(2)垂直
(3)见解析
【分析】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，证得四边形 是平行四边形与
是解题的关键．
（1）根据菱形的性质即可得 ，即可得到结论；
（2）根据菱形的性质即可得到结论；
（3）由 ， ，可证得四边形 是平行四边形，又由四边形 是菱形，
，可得 ，即可证得四边形 是菱形．
【详解】（1）解：（1）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴菱形 的周长 ．
故答案为：20；
（2）∵四边形 是菱形， 、 是对角线，
∴ ，
∴ 与 的位置关系是垂直．
故答案为：垂直；（3）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在菱形 中， ，则菱形的边长是（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】设 的交点为O，根据菱形 ， ，得 ，
，利用勾股定理得 ，解答即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设 的交点为O，
∵菱形 ， ，
∴ ，，
∴ ．
故选：A．
2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在 中，如果只添加一个条件即可证明 是菱形，那么
这个条件可以是（ ）
A． B． C． D． 平分
【答案】D
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由题意可作出图形：
当 时，则 为矩形，故A错误；
当 时，则 为矩形，故B错误；
当 时，不能判定出 是菱形，故C错误；
当 平分 时，则 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为菱形，故D正确；
故选：D．
3．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图， 为菱形 的对角线，
，过点 作 ，垂足为点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含 直角三角形性
质求得 ，由菱形的性质得出 即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，且 平分 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
即 ，
故选：B．
4．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点A作
于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．14 B． C．15 D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积
【分析】由菱形的性质得出 ，得出菱形的面积54，勾股定理算出 ，最后结
合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的
关键．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ， ，，
，
在 中，
∵
，
∴ ，
故选：D．
5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， 分别
是 ， 的中点，下列结论：①四边形 是菱形；② ；③ ；④
，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．
根据菱形的性质得出 ， ， ，然后根据菱形的判定即可判断①；
根据菱形的面积结合 变形即可判断④；
根据菱形的性质得出 ， ，再根据平行线的性质得出 ， ，然
后利用角的和差即可判断②；
根据直角三角形的性质即可判断③．
【详解】解： 四边形 为菱形
， ，
， 分别是 ， 的中点，
，
四边形 为平行四边形四边形 是菱形，故①正确；
，故④正确；
四边形 是菱形，四边形 是菱形，
，
，
即 ，故②正确；
在 中， 为 的中线
，故③错误；
故选：C．
二、填空题
6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， 交于点 ，
则四边形 是 ．
【答案】菱形
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判
定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得 ， ，再结合勾股定理的逆定理证明
，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形 是菱形即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是菱形．
故答案为：菱形．
7．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ，分别以C、B为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点D，连接 、 、 ．若 ，则 °．
【答案】25
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度
【分析】根据作图，得到 ，得到菱形 ，根据菱形的性质解得即可．
本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：根据作图，得到 ，
故四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：25．
8．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，在菱形 中， ， ， 是一条对角线，
是 上一点，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作 于H，
先判断 ， 都是等边三角形，得出 ， ， ，利用含
的直角三角形的性质可得出 ，进而求出 ， ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作 于H，∵菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线交对角线
于点 ，垂足为 ，连接 ，求 度．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用菱形的性质求线段长
【分析】此题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定．根据菱形的性质求
出 ，再根据垂直平分线的性质得出 ，从而证明 ，计算出
的值．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交对角线 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，作 交
的延长线于点 ，连接 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得 ，进而由菱形
的性质和勾股定理可得 ，得到 ，即得 ，最后根据直角三
角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，BD是 的角平分线，过点D作 交AB于点E．
交 于点F．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)如果 ， ， ，求菱形 的边长．
【答案】(1)见解析
(2)菱形 的边长为
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与
性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键.
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（2）根据含 的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明： ,
四边形 是平行四边形，
是 的角平分线，
,
,,
,
,
平行四边形 是菱形；
（2）解：如图，过点 作 于 ,
, ,
,
由（1）得：四边形 是菱形,
,
,
,
平分 ,
,
,
,
,
由勾股定理得， ,
,
菱形 的边长为 ．
12．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形 为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要
求作图．
(1)如图（1），点P为 上任意一点，作直线 将菱形分为面积相等的两部分；
(2)如图（2），点E、F为 边中点，以 为边作一个矩形．【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明
【分析】（1）连接 交于点 ，连接 延长交 于 ，直线 即为所求．
（2）连接 交于点 ，连接 ，延长 交 于 ，连接 ，延长 交 于 ，连接
即可．
【详解】（1）解：如图中，连接 交于点 ，连接 延长交 于 ，直线 即为所求．
理由： 是菱形，
，
，
，
，
，
，
即直线 将菱形分为面积相等的两部分．
（2）解：如图中，连接 交于点 ，连接 ，延长 交 于 ，连接 ，延长 交 于 ，
连接 ，矩形 即为所求作．
理由： 是菱形，
，
，
，
，
∵点E、F为 边中点，
点H、G为 边中点，
，
，
是矩形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和
性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（24-25九年级上·四川成都·期末）在 中， ，现将 沿 翻折得到 ，
连接BD交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接DE．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、折叠问题
【分析】（1）先证明 ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形 是平
行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）先根据四边形 为菱形可得 ，再利用勾股定理列方程出 ，由此可求出
，然后根据菱形的四边相等可得菱形 的周长．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定和性质，
平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】（1）证明：由折叠可知： ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形．（2）解：∵ 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： （负值已经舍去）
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长
14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形 是菱形， 、 分别是 、 上的点，
且 ，连接 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ， ，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2) ， ， ，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、找出图中的等腰三角形、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定：
（1）证明 ，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质，结合等腰三角形的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ， 为等腰三角形，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
综上：图中一定是等腰三角形的有 ， ， ， ．
15．（24-25九年级上·福建南平·期中）在边长为6的菱形 中， ，点E，F分别在边 和
上，且 ．
(1)如图1，求证： 是等边三角形；
(2)如图2， 交 于点P，交 于点G，
①当 的周长最小时，求证 ；
②已知 交 的延长线于点H，求证 ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明
【分析】（1）连接 ，证明 ，则 ，即可证明结论；
（2）①连接 ，当 时， 的周长最小，由（1）得 ，得到
，在 中， ，由 即可得到结论；②连接 ，证明
，则 ，证明 ，则 ，结论得证．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，∵四边形 是菱形，
在 和 中，
是等边三角形．
（2）①如图2，连接 ，
当 时， 的周长最小
由（1）得
在 中，
②如图2，连接 ，在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定
理等知识．添加合适的辅助线是解题的关键．
16．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图 ，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸片
使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，
当点 与点 重合时（如图 ），求菱形 的边长；
若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) ； ．
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形
【分析】（ ）由折叠的性质得出 ， ， ，由平行线的性质得出
，证出 ，得出 ，因此 ，即可得出结论；
（ ） 由矩形的性质得出 ， ， ，由对称的性质得出
，在 中，由勾股定理求出 ，得出 ；在 中，
由勾股定理得出方程，解方程得出 即可；
当点 与点 重合时，点 离点 最近，由 知，此时 ；当点 与点 重合时，点 离点
最远，此时四边形 为正方形， ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，
∴点 与点 关于直线 对称，
∴ ， ， ；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）解： ∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴菱形 的边长为 ；
当点 与点 重合时，
如图 ，点 离点 最近，
由 知，此时 ；当点 与点 重合时，
如图 ，点 离点 最远，
此时四边形 为正方形， ，
∴点 在边 上移动的最大距离为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定
理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
