文档内容
拔高点突破 04 新情景、新定义下的立体几何问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：曲率问题................................................................................................................................2
题型二：斜坐标系与定义新运算........................................................................................................6
题型三：定义新概念............................................................................................................................8
题型四：空间平面方程与直线方程..................................................................................................11
题型五：三面角问题..........................................................................................................................14
题型六：数学文化..............................................................................................................................19
03 过关测试.........................................................................................................................................24面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确
解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在
解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间
直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化
求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未
来遇到类似问题时能够迅速应对。
题型一：曲率问题
【典例1-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在
数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面
体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等
于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在
每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足
，则八面体的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，根据定义可得该类多面体的总曲率 ．
故选：C．
【典例1-2】阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体
的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所
有以 为公共点的面. ”已知在直四棱柱 中，底面 为菱形. . （角的运算均采
用弧度制）
(1)若 ，求四棱柱 在顶点 处的离散曲率；
(2)若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，求 与平面 的夹角的正弦值；
(3)截取四面体 ，若该四面体在点 处的离散曲率为 与平面 交于点 ，证明：
.
【解析】（1）若 ，则菱形 为正方形，即 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
所以直四棱柱 ，在顶点 处的离散曲率为 .
（2）因为 平面 平面 ，所以 ，
直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，
则 ，即 是等边三角形，
为菱形 ，又直四棱柱 ，
平面 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
设 ，则 即为 与平面 所成的角，
在 中， ，
，所以 与平面 的夹角的正弦值为 .
（3）在四面体 中 ，所以 ， ，
所以四面体 在点 处的离散曲率为 ，
所以 ，所以 为等边三角形，所以 ，
又在 中 ，所以 ，
所以直四棱柱 为正方体，
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
平面 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
是三棱锥 的高，设正方体 的棱长为 ，
，
，
，
.
【变式1-1】设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中 （ ，2，…，k， ）为多面体M的所
有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形，且 ．
(1)求直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和；
(2)若直四棱柱 在点A处的离散曲率为x，直四棱柱 体积为 ，求函数
的解析式及单调区间．
【解析】（1）在直四棱柱 中, ，底面ABCD为菱形，
由离散曲率的定义知： 的离散曲率相等， 的离散曲率相等，
所以 处的曲率为 ，而 处的曲率为
，又 ，
所以 、 两处的曲率和为 ，
故直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和 .
（2）由题设， 处的曲率 ，故 ，
所以直四棱柱底面面积为 ，
故直四棱柱 高为1，故体积为 ，
令 ， ，可得 ， ，即 ， 上 递增；
令 ， ，可得 ， ，即 ， 上 递减；
所以 增区间为 ，减区间为 ， .题型二：斜坐标系与定义新运算
【典例2-1】（多选题）设 是空间中两两夹角均为 的三条数轴， 分别是与
轴正方向同向的单位向量，若 ，则把有序数对 叫作向量 在
坐标系 中的坐标，则下列结论正确的是（ ）
A．若向量 ，向量 ，则
B．若向量 ，向量 ，则
C．若向量 ，向量 ，则当且仅当 时，
D．若向量 ，向量 ，向量 ，则二面角 的余弦值为
【答案】BD
【解析】对于A，若向量 ，
向量 ，
则 ，故A错误；
对于B，若向量 ，向量 ，
此时在空间直角坐标系中 ，故B正确；
对于C，若向量 ，向量 ，
当 时， ，则 ，
此时 ，显然 不成立，故C错误；
对于D，若向量 ，向量 ，向量 ，
则三棱锥 是棱长为1的正四面体，如图所示，取 中点 ，连接 ，在等边 中，易知 ， ,
则 即为二面角 的平面角，
在 中，由余弦定理得， ，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：BD
【典例2-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知 ， ， ，定义一种运
算： ，已知四棱锥 中，底面 是一
个平行四边形， ， ，
（1）试计算 的绝对值的值，并求证 面 ；
（2）求四棱锥 的体积，说明 的绝对值的值与四棱锥 体积的关系，并由
此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义.
【解析】（1）由题意 ＝
48．
， ，
∴ ，即 ． 是平面 内两相交直线，
∴ 平面 ．
（2）由题意 ， ，
，
，
∴ ．
∴ ，
猜想： 的绝对值表示以 为邻边的平行六面体的体积．
【变式2-1】已知 ， ， ，定义一种运算：
，在平行六面体 中， ，
， .(1)证明：平行六面体 是直四棱柱；
(2)计算 ，并求该平行六面体的体积，说明 的值与平行六面体
体积的关系.
【解析】（1）证明：由题意 ， ，
∴ ， ，即 ， ，
∵ ， 是平面 内两相交直线，∴ 平面 ，
∴平行六面体 是直四棱柱；
（2） ，
由题意 ， ， ，
，所以 ，
， ，
∴ .
∴ ，
故 的值表示以 ， ， 为邻边的平行六面体的体积.
题型三：定义新概念
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．
已知长方体 ，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（ ）
A． ， ， 的长度
B． ， ， 的长度
C． ， ， 的长度
D． ，BD， 的长度
【答案】A
【解析】设 ，对于选项A：可得 ，据此可以解出 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，据此无法解出 ，故B错误；
对于选项C：可得 ，据此无法解出 ，故C错误；
对于选项D：可得 ，据此无法解出 ，故D错误；
故选：A.
【典例3-2】（2024·河南·二模）等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体
的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】如图所示，等腰四面体 的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.
设长方体长，宽，高分别为 ，
则等腰四面体 的体积 .
故选：B.
【变式3-1】（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ，
，若线段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ， ， ，由正方体的性质及 、 分别为棱 、 的中点，
易得 ，所以线段 与 相交， 与 相交，故A、B错误；
连接 ， ，有 ， ，故 ，
所以线段 与 相交，C错误；
连接 ，直线 与 ，直线 与 均为异面直线，D正确.
故选：D.
【变式3-2】（2024·安徽合肥·三模）几何中常用表示 的测度，当 为曲线、平面图形和空间几何体时，
分别对应其长度、面积和体积．在 中， ， ， ， 为 内部一动点（含边
界），在空间中，到点 的距离为 的点的轨迹为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】空间中，到点 的距离为 的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面 的角度看，如下图
所示：其中： ， 和 区域内的几何体为底面半径为 的半圆柱； ， ， 区域内的几
何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为 ； 区域内的几何体是高为 的直三棱柱.
四边形 和 为矩形， ，
，
同理可得： ， ，
，
， ， 区域内的几何体合成一个完整的，半径为 的球，
则 ， ， 区域内的几何体的体积之和 ；
又 ， 和 区域内的几何体的体积之和 ； 区域内的直三棱
柱体积 ，
.
故选：D.
题型四：空间平面方程与直线方程
【典例4-1】（1）在空间直角坐标系中，已知平面 的法向量 ，且平面 经过点
，设点 是平面内 任意一点.求证： .
（2）我们称（1）中结论 为平面 的点法式方程，若平面 过点
，求平面 的点法式方程.
【解析】（1） 平面 经过点 ，点 是平面内 任意一点.
,
为平面 的法向量（2）设平面 的法向量为 ，
，
则 ，令 则 ， 平面 的法向量为
由（1）可知，平面 的点法式方程为： 即
【典例4-2】空间直角坐标系 中，经过点 ，且法向量为 的平面方程为
，经过点 且一个方向向量为 的直线
的方程为 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 的方程为
，经过 的直线 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线 与平面 所成角的
正弦值.因为平面 的方程为 ，故其法向量为 ，
因为直线 的方程为 ，故其方向向量为 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
故选：B.
【变式4-1】三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点 且
一个法向量为 的平面 的方程为 ，过点 且方向向量
为 的直线l的方程为 ．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：
“已知平面 的方程为 ，直线l是两个平面 与 的交线，则直线l与平面
所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请
问答案是 ．
【答案】
【解析】因为平面 的方程为 ，故其法向量可取为 ，
平面 的法向量可取为 ，平面 的法向量可取为 ，
直线l是两个平面 与 的交线，设其方向向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
故设直线l与平面 所成的角为 ，
则 ，
故答案为：
【变式4-2】在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为
，点 到平面 的距离
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于 ．
【答案】
【解析】如图，以底面中心 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的方程为 ，
将 坐标代入计算得
解得 ， ， ，
，
即 ，
．
故答案为：题型五：三面角问题
【典例5-1】类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线 ， ，
构成的三面角 ， ， ， ，二面角 的大小为 ，则
．
（1）当 、 时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体 中，平面 平面 ， ， ，
①求 的余弦值；
②在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：如图，过射线 上一点 作 交 于 点，
作 交 于 点，连接，
则 是二面角 的平面角．
在 中和 中分别用余弦定理，得
，
，两式相减得 ，
∴ ，
两边同除以 ，得 ．
（2）①由平面 平面 ，知 ，
∴由（1）得 ，
∵ ， ，
∴ ．
②在直线 上存在点 ，使 平面 ．
连结 ，延长 至 ，使 ，连结 ，
在棱柱 中， ， ，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
在四边形 中， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∴当点 在 的延长线上，且使 时， 平面 ．
【典例5-2】类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余
弦定理：如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ，记 ， ， ，
二面角 的大小为 ，则 ．如图2，四棱柱 中，
为菱形， ，A A =2√3， ，且 点在底面 内的射影为 的中点 ．
1(1)求 的值；
(2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；
(3)过点 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 ，若 ，求 值．
【解析】（1）连接 ，由已知得 平面 ， ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
所以二面角 的大小为 ，因为 为菱形， ，
所以 ，又 ，所以 ，
在 中， ，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，
若 过 点时，记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
若 不过 点时，过 点作 使得 ，记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；综上可得 .
（3）连接 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 ，又 即 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，显然 在 的延长线上，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
【变式5-1】（2024·高三·河北·期末）由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射线
所在平面构成的几何图形叫三面角，记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ， 叫
做三面角的面， ， ， 叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角
、 、 叫做三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图， ， ，
在 上取一点 ，过 在平面 内作 ，交 于 ，
过 在平面 内作 ，交 于 ，连接 ，
则 是二面角 的平面角，即 .
设 ，在直角三角形 中，
，
在直角三角形 中， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
即为
，
所以 .
故选：A.题型六：数学文化
【典例6-1】我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹
在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这
两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，
与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底
面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个
截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即 .现将椭圆
绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体
积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造一个底面半径为 ，高为 的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可
得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.构造一个底面半径为 ，高为 的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为 时，小圆锥底面半径为 ，
则 ，
，
故截面面积为： ，
把 代入 ，
即 ，解得： ，
橄榄球形几何体的截面面积为 ，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
.
圆柱 圆锥
故选：D.
【典例6-2】胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其
《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 ，泰勒还引用了古
希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若 ，
则由勾股定理， ，即 ，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856
英尺的正方形 ，顶点 的投影在底面中心 ， 为 中点，根据以上信息， 的长度（单位：
英尺）约为（ ）．
A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
【答案】C
【解析】由 和 可得 ，
故选：C
【变式6-1】球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，
其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心
的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点 ， ， ，过任意两点的大圆
上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面积为 .易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点分别为 ， ， ，则球面
与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和 所在平面交成的锐二面角 的大
小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的锐二面角的大小分别为 ， .记
.
（1）请写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）求 (用 ， ， ， 表示).
【解析】（1） ， ， .
猜测 .
（2）
因为 ，
所以 ，
即 .
【变式6-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C
为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设 表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆 的劣弧
AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角
分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为 ．(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
(2)若平面三角形ABC为直角三角形， ，设 ．则：
①求证： ；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ， ，S
为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球
O的面积．
【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有 ，
所以球面三角形ABC面积为 .
（2）①证明：由余弦定理有： ，且 ，
消掉 ，可得 ；
②由AD是球的直径，则 ，
且 ， ， 平面BCD，
所以 平面BCD，且 平面BCD，则 ，
且 ， 平面ABC，可得 平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ，所以 ，
不妨先令 ，则 ，
由 ， ， ，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标
系，设 ，则 ，
可得 ， ，
则 ，
设平面OBC法向量⃗m=(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1
取 ，则 ，可得 ，
设平面EST法向量⃗n=(x ,y ,z )，则 ，
2 2 2
取 ，则 ，可得 ，
要使sinθ取最小值时，则 取最大值，
因为
，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 取等．
则 取最大值 ， 为最小值，此时点 ，可得 ， ，
设平面AEC中的法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
可得球心O到平面AEC距离为 ，
设平面AEC截球O圆半径为r，则 ，
所以截面圆面积为 .
1．设 、 、…、 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 、 、…、 点的距离
之和最小，则称点 为 、 、…、 点的一个“中位点”，有下列命题：① 、 、 三个点共线，
在线段 上，则 是 、 、 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 、 、 、 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的
唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
【答案】C
【解析】①若三个点 共线, 在线段 上,根据两点之间线段最短,
则 是 的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为 的直角三角形 ,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为
,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点 共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯
一；故错误；
④如图,在梯形 中,对角线的交点 是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得
,∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.
故选：C
2．（多选题）（2024·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 的
半径为R，A，B， 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过B，C的圆，同
理，圆 的劣弧 的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做曲面三角形， ，则
称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面
．设 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面 是面积为 的等边三角形，则
B．若 ，则
C．若 ，则球面 的体积
D．若平面 为直角三角形，且 ，则
【答案】BC
【解析】对于A，因等边三角形 的面积为 ，则 ，
又 ，故 则 ，故A错误；
对于B，由 可得 ，故 ，即B正确；
对于C，由 可得， 故 .由正弦定理， 的外接圆半径为 ，点 到平面ABC的距离 ，
则三棱锥 的体积 ,
而球面 的体积 ，故C正确；
对于D，由余弦定理可知 由 可得， ，
即 ，化简得， ．
取 ，则 ，则 ，故D错误．
故选：BC
3．（多选题）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 ， 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共
点的面.已知在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值
为
【答案】CD
【解析】对于A.当直四棱柱 的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直
四棱柱 的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A
错误；对于B.若 ，则菱形 为正方形，
因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，
所以直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
，故 错误；
对于C.在四面体 中 ， ， ，所以 ，
所以四面体 在点 处的离散曲率为 ，解得 ，
易知 ，所以 ，所以 ，
所以直四棱柱 为正方体，
因为 平面 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，同理 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故 正确；
对于D.直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，
则 ，即 是等边三角形，
设 ，则 即为 与平面 所成的角， ，故 正确；
故选:CD.
4．（多选题）所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下
底面的距离)的 ，在拟柱体 中，平面 //平面 ， 分别是
A B C D
1 1 1 1
的中点， 为四边形 内一点，设四边形A B C D 的面积 的面积为 ，面
1 1 1 1
截得拟柱体的截面积为 ，平面
A B C D
与平面 的距离为 ，下列说法中正确的有（ ）
1 1 1 1
A．直线 与 是异面直线
B．四边形 的面积是 的面积的4倍
C．挖去四棱锥 与三棱锥 后，拟柱体剩余部分的体积为
D．拟柱体 的体积为
【答案】ABC
【解析】A：面 面 ，面 面 ，面 面 ，
，即 共面， 不在面 上，故 不共面，
所以直线 与 是异面直线，正确；
B：设 到 的距离为 ， 到 距离为 ，
同A分析易知 ，所以四边形 是梯形，
因为 分别是 的中点，所以 .
所以 ，正确；
D：由题意知：拟柱体体积为 ，错误；
C ： 挖 去 四 棱 锥 与 三 棱 锥 后 ， 拟 柱 体 剩 余 部 分 的 体 积 为
，正确；
故选：ABC
5．（多选题）如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为 ，则（ ）
A．三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为 的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为
【答案】AD
【解析】如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥 的四个面都是直角三角形，
其直度为1，A正确；
图1中三棱锥 ，三个面 都是直角三角形，
面 为正三角形，其直度为 ；
图2中三棱锥 ，三个面 都是直角三角形，
面 为正三角形，其直度为 ，故直度为 的三棱锥不止一种，B错误；
四棱锥的共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；
图3中的四棱锥 的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，
故四棱锥的直度的最大值为 ，D正确，
故选：AD
6．（多选题）（2024·安徽滁州·模拟预测）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体
在点 处的离散曲率为 ，其中
为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 为多
面体 的所有以 为公共点的面 ”解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 的夹角为
【答案】BC
【解析】A：当直四棱柱 的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，
当直四棱柱 的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，
故A错误；
B：若 ，则菱形 为正方形，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，故B正确；
C：在四面体 中 ， ， ，所以 ，
所以四面体 在点 处的离散曲率为 ，解得 ，
易知 ，所以 ，所以 ，
所以直四棱柱 为正方体，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，同理 ，
又 平面 ，所以 平面 ，故C正确，
D：直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ,
则 ,即 是等边三角形,设 ,则 即为 与平面 的所成角, ,故D错误;
故选：BC.
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率
为 ，其中 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共
点的面．已知在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
D．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
【答案】BD
【解析】A项，当直四棱柱 的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四
棱柱 的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故选项
A错误；
B项，若 ，则菱形 为正方形，因为 平面 ，所以 ， ，所以直
四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，选项B正确；
C项，若 ，则 ，又 ， ，所以直四棱柱 在顶点 处的离
散曲率为 ，选项C错误；
D项，在四面体 中， ， ， ，所以 ，所以四面
体 在点 处的离散曲率为 ，解得 ，易知 ，
所以 ，所以 ，所以直四棱柱 为正方体，结合正方体的结构特征可知
平面 ，选项D正确．
故选：BD8．将 个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱
的中点重合.设最下方正方体的下底面 的中心为 ，过 的直线 与平面 垂直，以 为顶点，
为对称轴的抛物线 可以被完全放入立体图形中.若 ，则 的最小值为 ；若
有解，则 的最大值为 .
【答案】 4 2
【解析】抛物线的一部分 可以被完全放入立体图形中，
当且仅当对任意的 ，在 时恒有 成立.
即对任意的 ，有 ， ，此即 ， .
这等价于 ，且对任意的 ，有 .
由于当 时必有 ，故条件等价于 ，且当 时，必有 .
这等价于 ，且当 时，必有 ，即 ，令
即 ，且当 时，有 .当 时，由于 关于 递增，
故条件等价于 ，且 .
回到原题.
当 时，条件等价于 ，所以 的最小值为 ；
若 有解，则等价于 或 ，即 ，解得 .
结合 是正整数，知 的最大值为 .
故答案为：4；2.
9．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：
，其中 （i=1，2，…，k， ）为多面体M的所
有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 遍历多面体M的所有以
P为公共点的面．
（1）任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为 ；
（2）已知长方体 ， ， ，点P为底面 内的一个动点，则四
A B C D
1 1 1 1
棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ．
【答案】
【解析】分析：（1）根据正四面体的结构特征和曲率的计算公式，即可求解；
（2）根据曲率的计算公式，得出即点P为正方形A B C D 的中心时，曲率取得最大值，即可求解.
1 1 1 1
解析：（1）由题意，可知正四面体的所有面都是正三角形，∴取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲
率为
；
（2）解法一：如图1，设点P在底面ABCD内的射影为O，棱AB、CD的中点为E、F．在 APB中，∵AB=1，∴ ．
△
又
，
∴ ．
同理， ．
∴
．
又
，
∴ ．
又
，
∴ ，又∠APB， ，∴ ，
即 ．同理可证： ，∴ ，∴四棱锥P－ABCD在点P处
的离散曲率 （当点P为上底中心时取等号）．
解法二：如图2，过点P作 的平行线交 ， 于M，N，设点 为线段MN的中点．
由米勒定理知： ， ，过 作与平面 平行的截面 ，再作 底
面ABCD于H，设 ，则 ，
记 ，则 ．
又 ，∴ ，记 ，同理可得 ，
∴ ，
设 ，则 ， ．
设 ，则 ，
∴ ，故 ．
又 ，∴ ，故 ，
于是可得 ．以下略．
10．（2024·高三·云南保山·期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯
曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体
的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为 .根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为
.
【答案】 /
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ；
由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为 .
故答案为： ； .
11．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 的统
一体积公式 )(其中 分别为 的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，
我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 ，可得该球的体积为
；已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，可得该正四棱锥的体积为
.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球 的表面积为36πcm2，
若用距离球心 都为 的两个平行平面去截球 ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为
.
【答案】
【解析】如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为 ，上底面截面小圆上一点 ，连接 ，
因为球 的表面积为 ，解得 ，所以 ，
又因为 且 ，
所以截面小圆半径 ,
根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：.
故答案为： .
12．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中 为多面体M的所有
与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以P为
公共点的面.已知在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形， .
①直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等；
②若 ，则直四棱柱 在顶点A处的离散曲率为 ；
③若 ，则直四棱柱 在顶点A处的离散曲率为 ；
④若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面 .
上述说法正确的有 （填写序号）
【答案】②④
【解析】对于①，当直四棱柱 的底面为正方形时，
其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱 的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻
的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误；
对于②，若 ，则菱形 为正方形，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，故②正确；
对于③，若 ，则 ，
又 ， ，
所以直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，故③错误；对于④，在四面体 中， ， ， ，
所以 ，
所以四面体 在点 处的离散曲率为 ，
解得 ，易知 ，
所以 ，所以 ，
所以直四棱柱 为正方体，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
同理 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，故④正确，
所以正确的有②④.
故答案为：②④.
13．（2024·江西南昌·三模）球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广
泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这
三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ．已知地球
半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且 ，则球面 的面
积为 ；若 ，则球面 的面积为 ．【答案】
【解析】现证明一个结论：如果确定球面三角形的三个大圆所成的二面角分别为 ，则球面三角形的
面积为 ，其中 为球的半径.
证明：如图，设 为 关于球心的对称点，则 均为球面上的点，
且 均为直径，我们用 表示球面三角形的面积.
设 ， ， ，
则 ，
同理 ， .
所以 ，
而 ，
故 ，
又 ，
故 .若P，Q在赤道上，因为 为极点且 ，故 ，
故确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，故球面面积为 .
若 ，则 ，
同理 .
过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，则 ，
因为 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，
故 且
故 ，而 为三角形内角，
故 ，故 的大小为 ，
故根据对称性可知确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，
故球面三角形的面积为 .故答案为： ， .
14．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．
用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的
内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面
体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的
曲率为 ，故其总曲率为 ，则四棱锥的总曲率为 ．
【答案】
【解析】由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由
4个为三角形，1个为四边形组成，所以面角和为 ，故总曲率为 ．
故答案为： ．
15．（2024·山东日照·一模）若点 在平面 外，过点 作面 的垂线，则称垂足 为点 在平面 内的正投影，记为 .如图，在棱长为1的正方体 中，记平面 为 ，平面
为 ，点 是棱 上一动点（与 ， 不重合） ， .给出下列三个
结论：
①线段 长度的取值范围是 ；
②存在点 使得 平面 ；
③存在点 使得 ；
其中正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】取 的中点 ，过点 在平面 内作 于 ，再过点 在平面 内作
于 ,
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，
则 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，如
图：设 ，
则 ， ， ， ， ，
对于命题①， ， ，则 ，
所以 ，所以 ，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
所以存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，
令 ，整理得 ，该方程无解，
所以不存在点 使得 ，命题③错误.
故答案为：①②.
16．（2024·高三·浙江·开学考试）已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距
离所构成的集合为 ，若 中元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.
(1)若 为 的1阶等距平面且1阶等距集为 ，求 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的4阶等距平面，且点 与点 分别位于 的两侧.若 的4阶等距集为 ，
其中点 到 的距离为 ，求平面 与 夹角的余弦值.
【解析】（1）①情形一：分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ，
此时平面 为 的一个1阶等距平面，为正四面体高的一半，等于 .
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面 平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则 为正方体棱长的一半，等于 .
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当 的值为 时， 有4个；当 的值为 时， 有3个.
（2）在线段 上分别取一点 ，
使得 ，则平面 即为平面 .
如图，取 中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 且与平面
垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，
，设
，
，设平面 法向量为⃗m=(x,y,z)
所以 ，即 ，
所以 ，
又平面 的法向量为 ，
设平面 与 夹角为
所以 ，
所以平面 与 夹角余弦值为 .
17．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，
记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为
探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l
与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M， ，
．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
【解析】（1）∵平面AOS截球T的截面圆与直线AO相切于F，
∴ ，
记P是平面 内不在直线OA上的点，平面TFP截球T的截面圆与直线FP相切于点F，
∴ ，
∵平面 内直线AO，FP相交于点F，
∴TF⊥平面 ，∵直线TF 平面AOS，
∴平面AOS⊥平面 ，
∴ ．连TO，TM，
∴ ， ，
∴球T的半径 且 ，
∴ .
（2）在平面AOS内圆锥的另一条母线与球T的切点记为N点
∵ ，
∴
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与TF平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.
∵OM，OF与球T相切，
∴ ，
∴ ， ，
设交线C上任意点 ，记圆锥S的母线SP与球T相切于E．
∵PF与球T相切于点F，
∴ ， ，
∴ ，
即 （1），
两边平方整理得： （2），
两边平方整理得： （3），
易知：（3） （2） （1），
∴交线C在坐标平面xOy中方程为 ，∴交线C是以F为焦点，O为顶点的抛物线.
18．（2024·全国·模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱
截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ， ，
分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所
示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，
而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内
角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于
减去三个菱形的内角和 ，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和 ，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为 .
（2）设底面正六边形的边长为1，
如图所示，连接AC，SH，则 ，
设点 在上底面ABCDEF的射影为O，则 ,
令 ，则 ，
菱形SAHC的面积 ，
的面积为 ，令正六棱柱的侧面积为定值 时，
蜂房的表面积为 ，
，令 得到 ，
经研究函数 的单调性，
得到函数 在 处取得极小值，
此时 ，
在 中，令 ，
由余弦定理得 ,
顶点 的曲率为 ，
其余弦值为 .
19．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中Q（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有
i
与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有以P
1 2 2 3 k﹣1 k k 1
为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面ABC D 内的一个动点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然
后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
【解析】（1）计∠QPQ+∠QPQ+…+∠QnPQ ＝θ，则离散曲率为1﹣ ，θ越大离散曲率越小．
1 2 2 3 1
P在底面ABCD的投影记为H，通过直观想象，当H点在平面ABCD中逐渐远离正方形ABCD的中心，以
至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0．所以当H点正好位于正方形ABCD的中心时，θ最大，离散
曲率最小．此时HA＝HB＝ ＝PH，所以PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB＝60°，θ＝ ，
离散曲率为1﹣ × ＝ ，所以四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ；
（2）区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小．
所以区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是区域β．
20．（1）如图，对于任一给定的四面体 ，找出依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，
使得 ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个
正四面体 的四个顶点满足： ，求该正四面体 的体积．
【解析】（1）取 的三等分点 ， ， 的中点 ， 的中点 ，
过三点 ， ， 作平面 ，过三点 ， ， 作平面 ，
因为 ， ，所以平面 平面 ，
再过点 ， 分别作平面 ， 与平面 平行，那么四个平面， ， ， 依次相互平行，
由线段 被平行平面 ， ， ， 截得的线段相等知，每相邻两个平面间的距离相等，故 ， ，
， 为所求平面．
（2）如图，将此正四面体补形为正方体 （如图），分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，
平面 与 是分别过点 、 的两平行平面，若其距离为1，
则正四面体 满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为 ，
若 ，因为 ， ，
在直角三角形 中， ，所以 ，所以 ，
又正四面体的棱长为 ，
所以此正四面体的体积为 ．
21．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离
散曲率为 ，其中 为多面体M的
所有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以
P为公共点的面．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，三棱锥 在顶点C处
的离散曲率为 ．①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
【解析】（1）由离散曲率的定义得： ，
，
，
，
四个式子相加得： .
（2）①如图，分别取 的中点 ，连接 ，显然有 ，
所以 为异面直线 与 的夹角或其补角，设 ，因为 ，所以 ，
，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ， ，
因为 ， ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
由 点处的离散曲率为 可得
，所以 ， ， ，而 ，
，
所以 ，故异面直线 与 的夹角的余弦值为 .
②如图，过 点做 交 与 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角，设 ，
在 中 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，
当分母最小时， 最大，即 最大，此时 ，即 （ 与 重合），
，所以 的最大值为 .
22．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散
曲率为 ，其中 为多面体 的
所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以
为公共点的面.
(1)求四棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，现已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，且 ，顶点 在底面的射影 为
的中点.
①若 ，求该四棱锥在 处的离散曲率 ；②若该四棱锥在 处的离散曲率 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）由题意可知四棱锥 在各个顶点处的角的和 ，
即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即 ，
故四棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和为： ；
（2）①连接 ，由于底面 是边长为2的菱形，故 交于点O，
，则 为正三角形，则 ,
底面 ， 底面 ，故 ， ，
则 ， ，
则
，
由于 为三角形内角，故 ；
同理求得 ，
故该四棱锥在 处的离散曲率 ；
②由题意可知四棱锥 的是个侧面三角形全等，
即得 ，
四棱锥在 处的离散曲率 ，则 ，
设 ，则 ，而 ，
故 ，解得 ，作 于E，则E为AB中点，结合题意知 为正三角形，故 ，
作 于F，则 ，且 ，
则 ;
连接 ，由于 底面 ， 底面 ，故 ，
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ，平面 平面 ，
作 于G，则 平面 ，
则 即 为直线 与平面 所成角，
则 .
