文档内容
专题 13 函数与函数的图象的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、函数的理解..........................................................................................................................................1
类型二、函数的三种表示方法...........................................................................................................................4
类型三、求自变量的值或函数值.......................................................................................................................7
类型四、动点问题画函数图象...........................................................................................................................9
类型五、从函数的图象获取信息.....................................................................................................................13
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................16
解题知识必备
1.变量与函数
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2.函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
3.函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
压轴题型讲练
类型一、函数的理解
例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中， 不是 的函数的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A．
1
x 0 5 10
5
3. 4.
y 3 4
5 5
B． C． D．
3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：① ；② ；③ ；④
，其中y是x的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
类型二、函数的三种表示方法
例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系：
气温 0 5 10 15 20
33
声速 331 337 340 343
4
(1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量；
(2)若用 表示气温， 表示声速，则随着 的增大， 将发生怎样的变化？
(3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出 与 之间的函数表达式．【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概
念所用的时间x（单位： ）之间有如下表所示的关系（其中 ）：
提出一个新概念所用的时间
2 5 7 10 12 13 14 17 20
对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强；
(3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温
的变化存在如下的关系：
气温 0 10 20 30
声音在空气中的传播速度 34
319 325 331 337 349
3
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？
(2)从表中数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了多少？
(3)用含t的代数式表示v；
(4)某日的气温为 ，小莹同学看到烟花燃放后 才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距
多远？
3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，
轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段 表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：
折线 表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在 段的速度为________千米/小时；轿车在 段的速度为
__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
类型三、求自变量的值或函数值
例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是
．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数 ，若 ，则x的值为 ．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是 和2
时，输出的y值相等，则 ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是 ，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积
也随之发生变化．
（1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ；
（2）如果圆柱底面半径为r（单位： ），那么圆柱的体积V（单位： ）可以表示为 ；
（3）当r由 变化到 时，V由 变化到 ．
类型四、动点问题画函数图象
例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在 中， ， 为边 上一定点，动点 从点
出发，沿折线 — 运动至点 后停止．设点 运动的路程为 ，令 ，图2是 与 的函数关
系图象，则点 到 的距离为 ．
【变式训练】1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点 从菱形 的点 出发，沿边 匀速运动，
运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ， 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，当点 运动到
中点时，则 的长为 ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形 中，点 是 中点，点 从点 开始，沿着
的路线匀速运动，设 的面积是 ，点 经过的路线长度为 ，如图坐标系中折线表
示 与 之间的函数关系，根据图象信息，长方形 的周长为 ．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E 在正方形 的边 上，且 ，点 P 沿 从点
B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x， ，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，
若图象的最低点M的纵坐标为 ，则最高点 N的纵坐标a的值为 ．
类型五、从函数的图象获取信息
例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加 迷你马拉松比赛，
为合理分配体能，运动员通常会记录每行进 所用的时间，即“配速”（单位： ）．他跑步的
“配速”如图所示，则下列说法中正确的是 ．（填写序号）
① 第 所用的时间最长； ② 前 的平均速度大于最后 的平均速度；
③ 第 和第 的平均速度相同； ④ 第 的平均速度最大．【变式训练】
1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从
地跑或游到 地，其中兔子从 地出发翻过一座山后到达 地，乌龟从 地下水游到 地．由于赛道不
同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达 地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的
是 ．（只填序号）
①兔子在上山过程中休息 后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同；
②乌龟在水中游动的速度是 ；
③兔子下山的速度比上山休息后的速度快 ；
④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明 先出发去
学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接
乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位： ）
的关系图，则下列说法正确的是 （填序号）．
①小明家离学校的距离是 ；②小华乘坐的公共汽车的速度是 ；③小华乘坐公共汽车后，
在 与小明离学校的距离一致．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速
步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟
后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时
的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离 （米）与小刚出发的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是
（填写序号）．
①小刚返回家的速度为250米/分钟； ②小亮与小刚家相距600米；
③小亮用了24分钟到达体育馆； ④小刚回家后用了0.6分钟取装备；
⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中
某一时刻的数据显示，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价
2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列选项中，不能表示某函数图像的是（ ）
A． B．C． D．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y= 中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D．
4．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度 与所挂物
体的质量 之间有下面的关系：
下列说法中，不正确的是（ ）
A． 是自变量， 是 的函数
B．弹簧不挂重物时长度为
C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加 ，弹簧长度 增加
D．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在等腰 中， ，动点 从点 出发，沿
运动至点 停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，若 关于 的函数图象如图所示，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度 （米 秒）向上抛一个小球，小球的高度 （米）与
小球的运动时间 （秒）之间的关系是 ，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．7．（24-25八年级上·上海·期中）已知 ，则 ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列式子中，y是x的函数关系的有 个．
① ；② ；③ ；④ ；
9．（24-25七年级上·山西运城·期末）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标，已知华氏
温标 （ ）与摄氏温标 （℃）之间的函数关系为 ，热力学温标T（K）与摄氏温标 （℃）
之间的函数关系为 ．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，
已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到
了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离 （千米）与渔船移动的时
间 （小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是 小时．
三、解答题
11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面半径是 ，当圆柱的高h（ ）大到小变化时，
圆柱的体积 随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________；
(2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________；
(3)当圆柱的高由 变化到 时，圆柱的体积由__________变化到__________．
12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间
x（分钟）之间有如下关系：
x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 …
y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 …
根据以上信息，回答下列问题：
(1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________．(2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
(4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？
13．（24-25七年级下·全国·单元测试）元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段
时间内小鹿在过山车上离地面的高度 （米）与乘坐时间 （分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下
列问题：
(1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米；
(2)在4分钟到10分钟时，随着时间 的增大，小鹿离地面的高度 的变化趋势是________（填“变大”或
“变小”）；
(3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？
14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的
一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示
了司机的视野 （度）随车速 （千米/时）变化而变化的情况．
速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中 _____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
15．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）一辆快车与慢车分别从 ， 两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达 地后停留 ，然后按原路原速返回，快车比慢车早 到达 地，两车距 地的路程
与慢车的行驶时间 的关系如图所示．
(1) ， 两地之间的距离为 ___ ；快车的速度为 ___ ；慢车的速度为 ___ ；
(2)两车出发多少小时相遇？
(3)两车出发后到慢车到达 地前，经过多少小时，两车相距 ？
16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底
边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长 ，三角形面积为 ，
变化情况如下表所示：
底边长x（cm） 1 2
三角形面积 3 6
(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
(2)由上表可知， 边上的高为________ ；
(3)y与x的关系式可以表示为________；
(4)当底边长由 变化到 时，三角形的面积从________ 变化到________ ．
