文档内容
专题 01 二次根式性质的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、二次根式..............................................................................................................................................2
类型二、二次根式有意义的条件.......................................................................................................................3
类型三、已知二次根式求参数的值...................................................................................................................5
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式..................................................................................6
类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式.................................................................................................8
类型五、复杂的复合二次根式化简...................................................................................................................9
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................13
解题知识必备
知识点1 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
知识点2 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
知识点3 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
.二次根式 的性质：
3压轴题型讲练
类型一、二次根式
例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如 的式子是二次根
式．
根据二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ， ， 不是二次根式， 是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故选：C．
【变式训练1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键．
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A．当 时，原式无意义，故A不一定不是二次根式；
B．当 时，原式无意义，故B不一定是二次根式；
C． 恒成立，故C一定是二次根式；
D．当 时，原式无意义，故D不一定是二次根式；
故选：C．
【变式训练2】（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子 ， ， ， ，
， ， 中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“ ”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义
解答即可．【详解】解： ， ， ， ，是二次根式，
，没有意义，
不是二次根式，
是整式，
即二次根式有4个，
故选：C．
【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如 的式子叫做二次
根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可．
【详解】解：① 符合二次根式的定义，故正确；
② 无意义，故错误；
③ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确；
④ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确；
⑤ 是开3次方，故错误；
⑥ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确．
正确的有①③④⑥，共4个．
故选：B．
类型二、二次根式有意义的条件
例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式 有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次
根式有意义的条件得到 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ．故选：D．
【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到 ，再解不
等式即可．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ，
故选：C．
【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不
等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、负整数指数幂
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式 中，要求
字母 必须满足条件 ，即被开方数是非负的，则当 时，二次根式 有意义，当 时，二次
根式 无意义．据此得到关于 的不等式组，继而得到 、 的值，再代入 计算即可．也考查了负整数
指数幂．
【详解】解：根据题意，得 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴代数式 的值为 ．
故选：A．
类型三、已知二次根式求参数的值
例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
【答案】3
【知识点】求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到 ，再根据 是整数，进行解答即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是整数， 或 或 ，
∴满足条件的正整数 是 或 或 ．
即满足条件的正整数 共有3个，
故答案为：3．
【变式训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知 是整数，则自然数 的值是 ．
【答案】 或
【知识点】求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出 的范围，再分析
求出 的值．
【详解】解：根据被开方数是非负数可得， 中的 ，
解得： ，
∵ 是自然数，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ ， ，
∴自然数 的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若 是正整数，则整数 可取的最小值为 ．【答案】15
【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，整理 ，再结合“ 是正整数”以及“ 是整
数”，进行作答．
【详解】解：依题意，得 ，
∵ 是正整数，且 是整数，
∴整数 可取的最小值为15，
故答案为：15．
【变式训练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是
．
【答案】35
【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意 可变形为 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， 是整数，n是正整数，
∴n的最小值为35．
故答案为：35
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质 化简即可求解，掌握二
次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即 中， ，
∴ 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知 ，化简 的结果是
．
【答案】5
【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.
根据 ，判断 ， 的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.【详解】解：∵
∴ .
故答案为：5
【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到 ，再由 进行化解求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，
化简代数式 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解
题的关键．
根据数轴的特点确定 的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得， ， ， ，
∴
，
故答案为： ．
类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据 ，得出 ，二次根
式的性质化简 ，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
【详解】∵ ， ，
∴原式 ，
，
故选： ．
【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
由 的积小于0得到 与 异号，再根据负数没有平方根得到 大于0，进而确定出 小于0，所求式子利
用二次根式的化简公式即可得到结果．
【详解】
解： ， 与 异号，
， ，
，
则 ．
故选：C．
【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化
简得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】根据题意有： ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
类型五、复杂的复合二次根式化简
例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根
式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像 ， …这样的根式叫做复合二
次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
，再如：
．请用上述方法探索并解决下
列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解
化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解： ；
（2） ；
（3）∵ ，
∴ ， ，
∴
又∵ 、n为正整数，
∴ ，或者 ，∴当 时， ；
当 时， ．
∴a的值为： 或 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【答案】(1)④，
(2)① ；②
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进
行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质 即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解： ①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 ④步出现了错误，
故答案为：④， ；
（2）解：①原式；
②原式
．
【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，使得 ，
那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ， 由于，
即 ，
(1)填空： ______， ______；
(2)化简求值 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的
运用．
（1）由条件对 进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条
件对 进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对 进行变形利用完全平方公式 的形式化简，求解．即可．
【详解】（1），
，
故答案为： ， ；
（2） ．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数．根据二次根式有意
义的条件逐个判断即可．
【详解】二次根式有意义的条件是根号内的数为非负数
解：A． 是二次根式，故A符合题意；
B． ， 是负数，无意义，不是二次根式，故B不符合题意；
C． 是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意；
D． 中 ，无意义，不是二次根式，故D不符合题意．
故选：A．2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如果二次根式 有意义，那么 的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．0
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数得出
，求解即可得解．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值可以是0，
故选：D．
3．（2024八年级·全国·竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
【答案】C
【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简
【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解
什么情况下为正整数．
【详解】解：∵ ，
∴ 是一个平方数，
∴正整数 最小是 ，
故选： ．
4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本
题的关键．
先利用 的取值范围判断 的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，
然后进行计算即可．
【详解】解： ．
．．
故选：B．
二、填空题
5．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤
，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
【答案】③④⑥
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的识别，形如 这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【详解】解： ， 中被开方数是负数，不是二次根式， 是立方根，也不是二次根式，其余均是
二次根式；
故答案为：③④⑥．
6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；
分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
7．（24-25八年级上·上海·期中）将 根号外的因式移到根号内得 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
根据二次根式的性质，得 ，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得 ，
，，
，
，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为
．
【答案】3
【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出 ，则 ，然后
根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由数轴知： ，
∴ ，
∴
，
故答案为：3．
三、解答题
9．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式 根号外面的因式移到根号内
【答案】 ．
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据 既在根号下又在分母中，可得 ，所以原
式可以化为 ，然后把根号外面的式子写到根号里面可得 ，把根号里面的部分
约分即可．
【详解】解： 既在根号下又在分母中，
，
，．
10．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简
【答案】5
【知识点】利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
根据三角形三边关系定理求出 ，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可．
【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
11．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值： ，其中 ．如图是小亮和小
芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)2030
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将 代入式子，由 结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得 ；
（3）将 代入式子，由 结合二次根式的性质化简即可；【详解】（1）解：当 时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案： ．
（3）解：当 时，
原式
原式
．
12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探究并解决问题．
(1)通过计算下列各式的值探究问题．
① ______； _____；
探究：对于任意非负有理数a， _____．
② ______； ______；
探究：对于任意负有理数a， _____．
综上，对于任意有理数a， _____．
(2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．【答案】(1)①4；0；a；②3；5； ；
(2)
【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算
术平方根
【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用
其正确化简是解题的关键．
（ ）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果；
②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ；
（ ）先利用（ ）式的探究结果化简二次根式，再根据字母 、 在数轴上的位置及绝对值的意义进行化
简，合并后即可得出结果．
【详解】（1）解： ， ，
探究：对于任意非负有理数a， ；
， ，
探究：对于任意负有理数 ， ；
综上，对于任意有理数 ， ；
（2）解：观察数轴可知： ， ， ，
．
13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一
个正数的平方，如： ， ， ， ， ，那么我们可以利用这种思想方法
和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ，
的算术平方根是 ．
请根据上面的方法化简下列式子：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加
是解题的关键．
（1）将7分成 ，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）由（1）可得 ，整理得 ，再将12分成 ，利用完全平方公式即
可求出结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）观察下列各式及其验证过程：
； ．
验证： ； ．
(1)按照上面结论猜想 的结果，并写出验证过程；(2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且 ）表示的等式，并给出验证过程．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查二次根式的性质，
（1）根据材料提示的方法进行计算即可求解；
（2）根据材料提示，二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】（1）解： ，
验证： ；
（2）解： ，
验证： ．
15．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求 的取值范围
解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 （舍去）；
当 时，原式 ，符合条件；
当 时，原式 ，解得 （舍去）．
∴ 的取值范围是 ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当 时，化简： ______．
(2)解方程： ．
【答案】(1)2
(2) 的值为 或7
【知识点】绝对值方程、利用二次根式的性质化简、化简绝对值
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是
解题的关键．
（1）根据题意可确定 ， ，从而化简二次根式的性质即可；（2）由阅读材料可知 ，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
∴ ．
（2）解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 ，符合条件；
当 时，原式 ，舍去；
当 时，原式 ，解得 ，符合条件．
∴ 的值为 或7．
