文档内容
专题 01 二次根式性质的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、二次根式..............................................................................................................................................2
类型二、二次根式有意义的条件.......................................................................................................................3
类型三、已知二次根式求参数的值...................................................................................................................5
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式..................................................................................6
类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式.................................................................................................8
类型五、复杂的复合二次根式化简...................................................................................................................9
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................13
解题知识必备
知识点1 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
知识点2 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
知识点3 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
.二次根式 的性质：
3压轴题型讲练
类型一、二次根式
例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子 ， ， ， ，
， ， 中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
类型二、二次根式有意义的条件
例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式 有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D． 且
【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．类型三、已知二次根式求参数的值
例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
【变式训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知 是整数，则自然数 的值是 ．
【变式训练2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若 是正整数，则整数 可取的最小值为 ．
【变式训练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是
．
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知 ，化简 的结果是
．
【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若 ，则 的值为 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，
化简代数式 ．
类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．
类型五、复杂的复合二次根式化简
例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：．
请仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像 ， …这样的根式叫做复合二
次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
，再如：
．请用上述方法探索并解决下
列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，使得 ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ， 由于，
即 ，
(1)填空： ______， ______；
(2)化简求值 ．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如果二次根式 有意义，那么 的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．0
3．（2024八年级·全国·竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤
，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．
7．（24-25八年级上·上海·期中）将 根号外的因式移到根号内得 ．
8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为
．
三、解答题
9．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式 根号外面的因式移到根号内
10．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简
11．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值： ，其中 ．如图是小亮和小
芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探究并解决问题．
(1)通过计算下列各式的值探究问题．
① ______； _____；
探究：对于任意非负有理数a， _____．
② ______； ______；
探究：对于任意负有理数a， _____．
综上，对于任意有理数a， _____．
(2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一
个正数的平方，如： ， ， ， ， ，那么我们可以利用这种思想方法
和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ，
的算术平方根是 ．
请根据上面的方法化简下列式子：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）观察下列各式及其验证过程：
； ．
验证： ； ．
(1)按照上面结论猜想 的结果，并写出验证过程；
(2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且 ）表示的等式，并给出验证过程．
15．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求 的取值范围
解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 （舍去）；
当 时，原式 ，符合条件；
当 时，原式 ，解得 （舍去）．
∴ 的取值范围是 ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当 时，化简： ______．
(2)解方程： ．
