文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.2 正比例函数的图象和性质 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各点中，在直线 上的点是（ ）
A．（3，3） B．（ ， ） C．（3， ） D．（ ，3）
【答案】D
【分析】将各点的横纵坐标代入函数解析式，观察等式是否成立即可判断．
【详解】解：A、 ，点不在直线上，不符合题意；
B、 ，点不在直线上，不符合题意；
C、 ，点不在直线上，不符合题意；
D、 ，点在直线上，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正比例函数图象上的点．熟练掌握函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，是解题
的关键．
2．关于函数 ，下列结论中，正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B． 随 的增大而减小
C．函数图象经过一、三象限 D．不论 为何值，总有
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数图象不经过点 ；可判断A，利用正比例函数
的性质，可得出 随 的增大而增大；可判断B，利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数图象经过
第一、三象限；可判断C，利用不等式的性质，可得出只有当 时， ．可判断D．
【详解】解： A．当 时， ，
函数图象不经过点 ，选项A不符合题意；B． ，
随 的增大而增大，选项B不符合题意；
C． ，
函数图象经过第一、三象限，选项C符合题意；
D．只有当 时， ，选项D不符合题意．
故选： C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，
逐一分析各选项的正误是解题的关键．
3．已知 和 均在正比例函数 图像上，则 的值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，直接把 代入正比例函数 即可得出 的值，进而可得出正比例函数
的解析式，再把 代入求出 的值即可．
【详解】解：∵正比例函数 的图像经过 ，
∴ ，解得 ，
∴正比例函数的解析式为 ，
∵ 在函数 图像上，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数图像上点的坐标特点，熟知正比例函数图像上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
4．已知点 在 轴负半轴上，则函数 的图象经过（ ）
A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【答案】A【分析】根据题意得出 ，继而根据正比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵点 在 轴负半轴上，
∴ ，
∴函数 的图象经过二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
5．下列四组点中，在同一个正比例函数图像上的一组点是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据正比例函数中， （定值）；分别判断即可；
【详解】解：A、 ，这两个点不在同一个正比例函数图像上；不符合题意；
B、 ，这两个点不在同一个正比例函数图像上；不符合题意；
C、 ，这两个点在同一个正比例函数图像上；符合题意；
D、 ，这两个点不在同一个正比例函数图像上；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质；熟练掌握正比例函数图像上的点与函数表达式的关系是解题
的关键．
6．点 、 都在直线 上，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．与 值有关
【答案】C
【分析】直接根据正比例函数的性质即可得．
【详解】解： 直线 中的 ，随 的增大而减小，
又 点 、 都在直线 上，且 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
7．三个正比例函数的表达式分别为① ；② ③ ，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． a C． D． a
【答案】C
【分析】先根据函数图象经过的象限得出 ， ， ，再根据直线越陡， 越大得出答案．
【详解】解：∵ 和 的图象经过一、三象限， 的图象经过二、四象限，
∴ ， ， ，
∵直线 比直线 陡，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当 时，函数图象经过一、三象限；当 时，函数图象经
过二、四象限；直线越陡， 越大．
二、填空题：
8．已知正比例函数 的图象经过第二、四象限，则实数 的值可以是__________．（只需写出一个符
合条件的实数）【答案】 （答案不唯一）
【分析】先根据正比例函数 的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴ ，
∴k的值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，在正比例函数 中，当 时，函数图象经过
第一、三象限；当 时，函数图象经过第二、四象限．
9．函数y＝－7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．
函数y＝7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．
【答案】 第二、四象限 下降 减少 第一、三象限 上
升 增大
【解析】略
10．已知正比例函数 ，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则 的值为_____．
【答案】
【分析】根据正比例函数的性质，得到关于 的方程，求解即可．
【详解】解：正比例函数 过二、四象限
则 ，
解得 （舍去）或
故答案为
【点睛】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．
11．正比例函数经过点 ， ，如果 ，那么y随x的减小而_____________．
【答案】增大
【分析】由自变量-2＜3，函数值 ，可确定正比例系数k＜0，由k＜0，可得函数增减性质
【详解】解：∵-2＜3， ，
∴正比例系数k＜0，∵k＜0，
∴y随x的减小而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，掌握自变量的增减性确定函数值的增减关系是解题关键．
12．在正比例函数 中，如果 随自变量 的增大而减小，那么正比例函数 的图象
在第________象限．
【答案】一、三
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出 的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵ 在正比例函数 中， 随自变量 的增大而减小，
∴ ，∴ ，
∴ 正比例函数 的图象在一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查正比例函数的性质和图象，熟练掌握正比例函数性质和图象与其解析式的对应关系是解
题关键．
13．已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x，y）、B（x，y），如果x＜x，那么
1 1 2 2 1 2
y_____y．（填“＞”、“＝”、“＜”）
1 2
【答案】>
【分析】根据正比例函数的性质，解答即可．
【详解】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，
则1＝﹣2k，得k＝﹣0.5，
∴y＝﹣0.5x，
∵正比例函数的图象经过点A（x，y）、B（x，y），x＜x，
1 1 2 2 1 2
∴y＞y，
1 2
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握性质是解题的关键．
14．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x 时y＞y，则m的
1 1 2 2 1 2 1 2
取值范围是 ______．
【答案】m＜2
【分析】由当x＜x 时y＞y，可得出y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m﹣2＜0，解之
1 2 1 2即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵当x＜x 时y＞y，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增
大而减小”是解题的关键．
三、解答题：
15．函数y=（k-1）x2|k|-3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2019的值．
【答案】1．
【分析】由正比例函数的定义可求得k的取值，再利用其增减性进行取舍，代入代数式求值即可．
【详解】∵y=（k-1）x2|k|-3是正比例函数，
∴2|k|-3=1，解得k=2或k=-2，
∵y随x的增大而减小，∴k-1<0，即k<1，
∴k=-2，
∴（k+3）2019=（-2+3）2019=1．
【点睛】考查了正比例函数的图象和性质. 正比例函数
当 时，图象经过第一、三象限. y随着x的增大而增大.
当 时，图象经过第二、四象限. y随着x的增大而减小.
16．已知y是x的正比例函数，且当 时， ．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点 在该函数图象上，试比较 ， 的大小．
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可得 ；
（2）由正比例函数性质可得答案．【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴正比例函数的解析式是 ；
（2）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
17．已知正比例函数 图像经过点 ，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点 是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点 ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
【答案】(1)
(2)不在
(3)
【分析】（1）将 代入 ，利用待定系数法求解；
（2）将 代入（1）中所求解析式，看y值是否为 即可；
（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．
【详解】（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
时，
解得
这个函数的解析式为 ；（2）解：将 代入 中得： ，
点 不在这个函数图象上；
（3）解： ，
随x的增大而减小，
又
．
【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系
数判断函数图象的增减性．
18．甲、乙两地相距20千米，小明上午8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速8千米/小时；小丽上午
10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/小时．
（1）分别写出两人所走路程 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式（不必写出自变量 的取
值范围）；
（2）求谁先到达乙地？
【答案】（1）由题意可得，y ，y ；（2）小明和小丽同时到达乙地
小明 小丽
【分析】（1）根据题意，可以分别写出两人所走路程 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式；
（2）根据题意知（1）中函数关系式，可以分别计算出两人到达乙地的时间，从而可以得到谁先到达乙地
【详解】解：（1）由题意可得，y ，y ；
小明 小丽
（2）当y 时，20=8x，
小明
解得， ， ，即小明10:30到达乙地，
当y 时， ，
小丽
解得， ， ，即小丽10:30到达乙地，
由上可得，小明和小丽同时到达乙地
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，利用一次函数的性质解答
能力提升篇
一、单选题：
1．若y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（-1，b）在该函数的图象上，那么
a和b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y
随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a＜b．
【详解】解：∵y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，
∴m2-1=0，m-1≠0，
解得：m=-1，
∴m-1=-1-1=-2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（1，a）和B（-1，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图象上，且1＞-1，
∴a＜b．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小”．
2．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边 ，已知 ，若正比例函数 的图象经过点 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过点B作 于点C，首先根据点A的坐标可求得 ，再根据等边三角形的性质及
勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．
【详解】解：如图：过点B作 于点C，，
，
是等边三角形，
， ，
，
点B的坐标为 ，
把点B的坐标 代入解析式，
得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形
的性质求解是解决本题的关键．
3．如图， 是正比例函数 图象上的点，且在第一象限，过点 作 轴于点 ，以 为斜边
向上作等腰 ，若 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的性质可以求得点A的坐标，再根据题意和等腰三角形的形即可求得点C的坐标．
【详解】解：∵A是正比例函数 图象上的点，且在第一象限，AB=4，
∴点A的横坐标是4，
当x=4时，y=8，∴点A的坐标为（4，8），
∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，
∴点C到AB的距离为2，AB的一半是2，
∴点C的坐标是（2，10）
故选C．
【点睛】本题考查正比例函数的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：
4．在平面直角坐标中，点 、 ，直线 与线段AB有交点，则k的取值范围
为______．
【答案】 ##
【分析】因为直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，所以当直线y＝kx（k≠0）过 时，k值最大；
当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，然后把B点和A点坐标代入y＝kx（k≠0）可计算出对
应的k的值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：∵直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，
∴当直线y＝kx（k≠0）过B（﹣1，﹣2）时，k值最大，则有﹣k＝﹣2，解得k＝2；
当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，则﹣3k＝﹣2，解得k＝ ，
∴k的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次
函数图象的性质．
5．已知 、 、 是正比例函数 图象上的三个点，当 时，t的取值范
围是______．
【答案】
【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【详解】将点 与点 代入 ，得： ，
两式相减，得： ，
，
y随x的增大而减小，
当 时， ，
当m＞3时，t＜- ，
故答案为：t＜- .
【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点 的坐标为（1，0），过点 作x轴
A B C D
1 1 1 1
的垂线交直线l于点 ，以 为边作正方形 ；过点 作直线l的垂线，垂足为 ，交x轴于点
，以 为边作正方形 ；过点 作x轴的垂线，垂足为 ，交直线l于点 ，以 为边作
正方形 ，…，按此规律操作下所得到的正方形 的面积是__．
【答案】
A B C D
1 1 1 1
【分析】根据正比例函数的性质得到 ，分别求出正方形 、正方形 、作正方形
的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果．
【详解】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠DOA=45°，
1 1∴ ，
∴正方形ABC D 的面积=1= ，
1 1 1 1
由题意得 、 是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴正方形ABC D 的面积= ，
2 2 2 2
同理，AD=OA= ，
3 3 3
∴正方形ABC D 的面积= ， … ，
3 3 3 3
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积= ，
∴正方形A B C D 的面积= ，
2020 2020 2020 2020
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归
纳得到一般结论是解题的关键．
三、解答题：
7．已知正比例函数过点 ，点P在正比例函数图像上，又 且 ，求点P的坐标．
【答案】P点坐标为 或 ．
【分析】先求得正比例函数的解析式，再设出P点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于n的方程，解
方程即可．【详解】解：设正比例函数为 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴正比例函数的解析式为： ．
设 ，
∵ ， ．
∴
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴P点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此题的
关键．
8．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A
的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4， ，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵ ，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P
的坐标有两个．
