文档内容
第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案（4个知识点+5大题型+17道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 根据实际问题列一次函数关系式
考查题型二 一次函数的应用
考查题型三 一次函数综合题
【知识梳理】
知识点1．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点2．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要
符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
知识点3．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前
提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
一．根据实际问题列一次函数关系式（共5小题）
1．（2023春•迁安市期末）平行四边形的周长为240，两邻边长为 、 ，则 与 之间的关系是
A． B．
C． D．
2．（2023春•澄海区期末）一根蜡烛长 ，点燃后每小时燃烧 ，蜡烛燃烧时剩下的高度 （厘
米）与燃烧时间 （小时） 之间的关系是 ．
3．（2023春•平城区月考）某商店出售一种瓜子，其售价 （元 与瓜子质量 （千克）之间的关系如下
表：
质量 （千 1 2 3 4
克）
售价 （元
由上表得 与 之间的关系式是 ．
4．（2023春•硚口区期末）已知等腰三角形的周长是 ，底边长 是腰长 的函数关系式为
，自变量 的取值范围是 ．
5．（2023春•泊头市期中）漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按
每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了 千米，付车费 元，则所付车费 元与出租车
行驶的路程 千米之间的函数关系为 ．
二．一次函数的应用（共6小题）
6．（2024•安徽一模）小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规
定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了千克本地土特产，则快寄的费用 （元 与 （千克）之间的函数关系式为
A． B． C． D．
7．（2024•兴宁区校级模拟）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓
日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时
地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．
图中 （单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度， （单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点
的横坐标和点 的实际意义分别是
A． ，点 表示瓜蔓枯萎 B． ，点 表示瓜蔓垂到地面
C． ，点 表示瓜蔓垂到地面 D． ，点 表示瓠蔓垂到地面
8．（2024•秦淮区校级模拟）如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象
表示了两者分别离快者的起点的距离 与两者运动的时间 之间的关系，则慢者的速度是 ．
9．（2023春•镇平县期末）如图1，质量为 的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并
压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为 ．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中
（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 和弹簧被压缩的长度△ 之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
10．（2023春•宾阳县期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，
并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为 ， ，则关于 与 的关系，正确的是
A． B． C． D．
11．（2023春•平邑县期末） 、 地相距2400米，甲、乙两人从起点 匀速步行去终点 ，已知甲先出
发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离 （米 与甲出发的时间 （分 之间的关系如图所
示，下列结论中，其中不正确的结论有 个．
①甲步行的速度为60米 分；②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
三．一次函数综合题（共4小题）
12．（2023春•金平区期末）如图，直线 和直线 都经过 轴负半轴上一点 ，分别与
轴的交点分别为 、 ，且 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 在 轴上， 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
13．（2023春•临朐县期末）如图，平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点
．
（1）求直线 的表达式；
（2）当 时，自变量 的取值范围是 ；（3）动点 在射线 上运动，是否存在点 ，使 的面积是 的面积的 ？若存在，求
出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023春•许昌期末）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）试判断点 是否在直线 上，并说明理由；
（3）若点 是 轴上一动点，当 是以线段 为腰的等腰三角形时，请直接写出 点坐标．15．（2023春•铁东区期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 是 的中点．
（1）在 轴上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使得 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．一．填空题（共2小题）
1．（2023春•长葛市期末）如图，光源 发出的一束光，遇到平面镜 轴）上的点 的反射光线
交 轴于点 ，则入射光线 所在直线的解析式为 ．
2．（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度
匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向
终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 （米 与乙出发的时间 （秒
之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有 米．
二．解答题（共15小题）
3．（2023春•绿园区期末）在平面直角坐标系中，函数 为常数）的图象与 轴交于点
，点 的坐标为 ．
（1）当 时，点 的坐标为 ；
（2）当点 、 到直线 距离相等时，求 的值；（3）过点 作 轴的垂线交函数 为常数）的图象于点 ，以 、 、 、 为顶点构
造四边形 ．
①当四边形 为平行四边形时，求 的值；
②设 ， ，当点 在四边形 的内部时，直接写出 的取值范围．
4．（2023春•高邑县期中）在一条笔直的公路上有 ， 两地，甲、乙二人同时出发，甲从 地步行匀速
前往 地，到达 地后，立刻以原速度沿原路返回 地．乙从 地步行匀速前往 地（甲、乙二人到达
地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离 （米 与出发时间 （分 之间的函数关系如图所示，请结合
图象解答下列问题：
（1） ， 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米 分．
（2）图中 ， ， ．
（3）求线段 的函数解析式．
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）5．（2023春•通河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
直线 与 轴负半轴交于点 ，且 ．
（1）求线段 的长；
（2）动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 （秒 ，
的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在点 ，连接 ，使得 是以 为直角边的等腰直角
三角形，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．6．（2023春•青秀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 为直线 上的一个动点，若 的面积等于9时，请求出点 的坐标；
（3）如图2，将 沿着 轴平移，平移过程中的 记为△ 请问在平面内是否存在点 ，使
得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标．7．（2023春•栾城区校级期中）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ， ，与一次函数 的图象 交于点 ．
（1）求 的函数表达式；
（2）直线 与 轴交于点 ，求 的面积；
（3）如图，已知长方形 ， ， ， ，矩形 的边 在 轴上平移，若矩形
与直线 或 有交点，直接写出 的取值范围．8．（2023•锦江区校级开学）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，点 在 轴上，且
直线 与直线 关于 轴对称．
（1）求直线 的解析式；
（2）若在直线 上存在点 使 ，求点 的坐标；
（3）若点 是直线 上一点，点 是 轴上一点，连接 ， ， ，使 是以 为腰的
等腰直角三角形，直接写出点 的坐标．9．（2023春•江阴市校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 交 轴于点 ，一
次函数 与一次函数 交于点 ，将线段 沿着 方向平移得到线段 ，连结 ，
点 ，过点 作直线 轴．
（1）点 的坐标是 ，线段 ；
（2）证明：四边形 是矩形；
（3）以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 旋转后的对应点分别为
， ， ，直线 、直线 分别与直线 相交于点 ， ．记旋转角为 ．
①如图2，当矩形 的顶点 落在直线 上时，求点 的坐标；②在四边形 旋转过程中，当 时，若 ，直接写出关于 的方程为 ．
10．（2023春•锦江区校级期中）已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点
为 轴负半轴上一点，且 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点 是直线 上的一动点，在 轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，找出点 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，点 是直线 上的一动点，连接 ，使得 将四边形 的面积分成
的两部分，请求出满足条件的点 的坐标．
11．（2023 春•高邑县期中）已知直线 经过点 ，与 轴交于点 ，且与直线
相交于点 ．
（1）直接写出 的值；
（2）求直线 的表达式和点 的坐标；
（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象；
（4）过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 的交点分别为 ， ．当点 总在点 上方时，直接写
出 的取值范围．12．（2023春•皇姑区校级期中）如图，平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 经过点
，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．线段 平行于 轴，交直线 于点 ，连接 ，
．
（1）填空： ，点 的坐标是 ，
（2）求证：四边形 是平行四边形；
（3）动点 从点 出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，直到点 为止；动点
同时从点 出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，直到点 为止．设两个点的运动
时间均为 秒．
①当 时， 的面积是 ．
②当四边形 的面积为9时，请直接写出此时 的值 ．
13．（2023春•碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴的负半轴于点 ， 轴正
半轴于点 点，且 ， ，点 在 轴正半轴上，满足 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若点 是 轴上的一点，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023•中牟县校级开学）（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形 中， ，点 是边 上一点， ， ，连接 ，
，求证： 等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，过点 在第一象限内作 的垂线，并在垂线
截取 ，求直线 表达式和点 的坐标；（3）基本图形的应用：
如图 3，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 轴于点 ，且
，则点 的坐标为 ．
15．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系 中，若点 和点 关于 轴对称，点 和点 关于
直线 对称，则称点 是点 关于 轴、直线 的“二次对称点”．（1）若点 ，直线 是经过 且平行于 轴的一条直线，则点 的“二次对称点”的坐标为 ；
（2）如图1，点 是 轴正半轴上的一个动点，直线 经过原点且与 轴正半轴的夹角为 ，若点
是点 关于 轴，直线 的“二次对称点”，求线段 的长度（用含 的代数式表示）；
（3）如图2， ， 是 轴上的动点，线段 经过点 ，且点 、点 的坐标分别是 ，
，直线 经过 且与 轴夹角为 ，在点 的运动过程中，若线段 上存在点 ，使得点
是点 关于 轴，直线 的“二次对称点”，且点 在 轴上，则点 纵坐标 的取值范围是 ．16．（2023春•辛集市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 分别在 轴与 轴上，直线 的解
析式为 ，以线段 、 为边作平行四边形 ．
（1）如图1，若点 的坐标为 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下， 为 边上的动点，点 关于直线 的对称点是 ，连接 ， ．
①当 时，点 位于线段 的垂直平分线上；
②连接 ， ，设 ，设 的延长线交 边于点 ，当 时，求证： ，并
求出此时 的值．17．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系 中，对于点 和正方形 ，给出如下定义：若点
关于 轴的对称点 到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的 倍，则称点 是正方形
的“ 倍距离点”．
已知：点 ， ．
（1）当 时，
①点 的坐标是 ；
②在 ， ， 三个点中， 是正方形 的“3倍距离点”；
（2）当 时，点 （其中 是正方形 的“2倍距离点”，求 的取值范围；
（3）点 ， ．当 时，线段 ．上存在正方形 的“2倍距离点”，直接写
出 的取值范围．
