文档内容
第 15 讲 一次函数的实际应用【5 个必考点】
【人教版】
【必考点1 一次函数的应用与行程问题】.............................................................................................................1
【必考点2 一次函数的应用与费用最少问题】.....................................................................................................5
【必考点3 一次函数的应用与利润最大问题】.....................................................................................................7
【必考点4 一次函数的应用与分段计费问题】.....................................................................................................8
【必考点5 一次函数的应用与含参问题】...........................................................................................................10
【必考点1 一次函数的应用与行程问题】
【例1】如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y
（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ）
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
15 25
④甲乙两车相距50千米时，t= 或t= ．
4 4
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
【例2】甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，
甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离 y（米）和骑行的时间x
（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：
①a＝450；
②b＝150；
③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．
其中不正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】甲车从A地匀速驶向相距360km的B地，乙车比甲车晚出发20min从B地驶往A地，途中在C地
休息了20min，然后比之前提高了45km/h的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40min乙才到达A
地．甲，乙两车距B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象所提
供的信息解答下列问题：
（1）直接写出甲车的速度和a的值；
（2）求乙车从C地到A地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数解析式（不需要写出自变
量x的取值范围）；
（3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55km．
【变式1】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离y
（km）与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．有下列结论：①A、B两城相距300km；②乙
车比甲车晚出发1h，却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲；④当甲、乙两车相距50km时，甲车行驶
5
了 ℎ．其中正确的结论有（ ）
4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路
从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距
2
120km，货车改变速度继续出发 ℎ后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车
3
早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图
象，则下列说法错误的是（ ）
A．a＝120
B．点F的坐标为（8，0）
C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h
125 123
D．出租车返回的过程中，货车出发 ℎ或 ℎ都与出租车相距12km
17 15
【变式3】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400米，先到终点的人原地
休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之
间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了36分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4】“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出
行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以
250m/min的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以a m/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一
速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距
离；
（3）在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距200m？
【变式5】甲、乙两车在连通A，B，C三地的公路上行驶，甲、乙两车同时从A地匀速出发，甲车到达C
地后装货1小时，再以原速原路返回A地，乙车到达B地后装货1小时，再以原速前往C地，结果甲、
乙两车同时到达目的地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距A地的路程y（单位：千米）与所用时间
x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出甲、乙两车的速度
（2）求乙车从B地到C地的过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两车经过多长时间相距120千米？请直接写出答案．【必考点2 一次函数的应用与费用最少问题】
【例1】【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，
某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
1
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ；
3
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案．
【例2】南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜
居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面
积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元．
（1）当0≤x≤200时，甲种绿植的种植费用为每平方米 元；
（2）请求出当x＞200时，y与x之间的函数解析式；
（3）已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不
超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最
少为多少元？【变式1】某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置新购进的绿
植，调查发现，甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元
购买乙花架的数量少10个．
（1）甲、乙两种花架的单价分别是多少元？
（2）该校计划购进这两种规格的花架共28个，要求甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种
花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数
关系式，并求出当a为何值时，费用w最少，最少费用是多少？
【变式2】学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共 580人将参加研学活动，计划租用12辆
大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量（人/辆） 55 35
租车费用（元/辆） 1200 800
（1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车
多少辆？
（2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元．
①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围；
②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
【变式3】为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，
需购买A、B两种不同型号的篮球共120个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2
个A型篮球和3个B型篮球共需要240元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为m个，求W关于m的函数
关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，则该校至少需要投入资金多少元？
【必考点3 一次函数的应用与利润最大问题】
【例1】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息
浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购
进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
（2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数
关系式；
（3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的
总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方
案，并求出最大利润．
【例2】近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂
购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售
价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售
利润，最大销售利润是多少？
【变式1】茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化
的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A
种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知
销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价
格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如
果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获
得最大的利润？最大的利润是多少？
【变式2】某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 380 940
餐椅 a﹣140 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）用含a的代数式表示600元购进的餐椅，1300元购进的餐桌数量分别为 ， ；
（2）求表中a的值；
（3）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．
若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎
样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【变式3】某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备
制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A
款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：
手工制品 A款挂件 B款挂件
售价（元/个） 12 8
（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？
（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过
590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w
元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总
利润最大，最大利润是多少？
【必考点4 一次函数的应用与分段计费问题】
【例1】为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置
A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每
个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总费
1
用为y 元．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
【例2】某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过
20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为 x（x为非负整
数）．
（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y
1 2
元，分别写出y ，y 关于x的函数关系式；
1 2
（2）当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
【变式1】王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，
报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五
折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五
折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择
收取总费用较少的一家．
【变式2】【教材变式】
甲、乙两家商店销售同款蛇年吉祥物，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案：
甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个吉祥物标价的八折出售．
乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个吉祥物标价的九五折再优惠10元出售．
若用x表示购买吉祥物的数量，y表示购买吉祥物的总价，其函数图象如图所示．
（1）每个吉祥物的标价是多少元？
（2）当x＞20时，在甲商店购买吉祥物应付的总价y甲 与数量x之间的函数关系式为 ；
当x＞15时，在乙商店购买吉祥物应付的总价y乙 与数量x之间的函数关系式为 ；
（3）选择哪家商店购买吉祥物更合算．
【变式3】为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通
知》．长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电．
套餐 计费规则 制定依据
A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51 居民合表电价及服务费标准
元/度及充电服务费0.49元/度）
B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患
（含充电服务费）
（1）分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为x度，费用为y元）；
（2）若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由．
【必考点5 一次函数的应用与含参问题】
【例1】石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼
图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600
元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元．
若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出．
①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠 a（0＜a≤5，且a≠2）元，其他条件不
变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示）
【例2】盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且
不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
（1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式 ；
（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批
发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【变式1】某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共 300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运
动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式 甲款 乙款进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
（1）求y与x的函数关系式．
（2）该服装店计划最多投入2万元购进这两款运动服，且最多购进甲运动服 240套，则甲、乙两款运
动服全部售完后，服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，由于甲款运动服畅销，服装店决定将甲款运动服的售价提高a元（其中20＜a
＜40且a≠30），其他条件不变，请写出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．
【变式2】某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元，该店计
划一次购进这两种蔬菜共50千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这50千克蔬菜获
得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
3
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总
2
利润最大？
1
（3）由于蔬菜自身的特点，有 的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0），若获
2
得的总利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
【变式3】某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多10元，用1800
元购进A种商品和用800元购进B种商品的件数相同，商店将A种商品每件的售价定为28元，B种商
品每件的售价定为13元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过660元的资金购进A，B两种商品共60件，其中B种商品的数量不超过A种商
品数量的3倍，该商品有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（2≤m≤8）元，B种商
品售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件商品获总利润最大，应如何进货？
【变式4】某商家计划购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元购买A品牌红酒的数量是
用9000元购买B品牌红酒数量的3倍．一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元．
（1）求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒
数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且
全部售出，设购进A品牌红酒m箱．①求商家销售这批红酒的利润W与m之间的函数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案；
②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫
困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
