文档内容
第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案（4个知识点+5大题型+17道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 根据实际问题列一次函数关系式
考查题型二 一次函数的应用
考查题型三 一次函数综合题
【知识梳理】
知识点1．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点2．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要
符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
知识点3．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前
提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
一．根据实际问题列一次函数关系式（共5小题）
1．（2023春•迁安市期末）平行四边形的周长为240，两邻边长为 、 ，则 与 之间的关系是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用平行四边形的性质结合其对边相等进而得出 与 之间的关系．
【解答】解： 平行四边形的周长为240，两邻边长为 、 ，
，
则 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
2．（2023春•澄海区期末）一根蜡烛长 ，点燃后每小时燃烧 ，蜡烛燃烧时剩下的高度 （厘
米）与燃烧时间 （小时） 之间的关系是 ．
【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度 剩余的高度 ，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
3．（2023春•平城区月考）某商店出售一种瓜子，其售价 （元 与瓜子质量 （千克）之间的关系如下
表：
质量 （千 1 2 3 4
克）售价 （元
由上表得 与 之间的关系式是 ．
【分析】1千克时，售价为： ；
2千克时，售价为： ；
3千克时，售价为： ；
千克时，售价为： ．
【解答】解：依题意有： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关
键．
4．（2023春•硚口区期末）已知等腰三角形的周长是 ，底边长 是腰长 的函数关系式为
，自变量 的取值范围是 ．
【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可．
【解答】解：
，即 ，
两边之和大于第三边
，
综上可得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得 的取值范围是解答
本题的关键．
5．（2023春•泊头市期中）漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按
每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了 千米，付车费 元，则所付车费 元与出租车行驶的路程 千米之间的函数关系为 ．
【分析】根据题意表述：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，及 ，可表示
出 与 的函数关系．
【解答】解：由题意得，李老师乘出租车行驶了 千米，
故可得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了有实际问题列函数关系式的知识，解答本题的关键是仔细审题，知道收费标准，另外
题意中的 是很有用的一个条件，不要忽略．
二．一次函数的应用（共6小题）
6．（2024•安徽一模）小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规
定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了
千克本地土特产，则快寄的费用 （元 与 （千克）之间的函数关系式为
A． B． C． D．
【分析】利用一次函数的性质解答．根据单价、数量和总价的关系，即可以写出 与 之间的函数关系式．
【解答】解： ，
与 之间的函数关系式为： ．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，
7．（2024•兴宁区校级模拟）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓
日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时
地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．
图中 （单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度， （单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点
的横坐标和点 的实际意义分别是A． ，点 表示瓜蔓枯萎 B． ，点 表示瓜蔓垂到地面
C． ，点 表示瓜蔓垂到地面 D． ，点 表示瓠蔓垂到地面
【分析】一尺 寸，可得7寸 尺．瓜蔓在高9尺的墙上，向下伸，每天长7寸，所以 天时瓜蔓的
高度 ；地上种着瓠向上长，每天长1尺， 天时高度 ．相遇时高度 相等，算出 即为两
图象交点 的横坐标．
【解答】解：7寸 尺．
瓜蔓在高9尺的墙上，向下伸，每天长7寸，
天时瓜蔓的高度 ．
地上种着瓠向上长，每天长1尺，
天时高度 ．
相遇时高度 相等，
．
解得
两图象交点 的横坐标为 ，
点 表示瓜蔓垂到地面．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用．根据所给条件求出相应的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识
点为：两个一次函数图象交点的横坐标是两个一次函数图象解析式联立求解后横坐标的值．
8．（2024•秦淮区校级模拟）如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象
表示了两者分别离快者的起点的距离 与两者运动的时间 之间的关系，则慢者的速度是 6
．【分析】求出快者速度为 ，可得相遇时慢者所走路程，从而得到答案．
【解答】解：由图象可得快者速度为 ，
慢者速度为 ；
故答案为：6．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
9．（2023春•镇平县期末）如图1，质量为 的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并
压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为 ．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中
（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 和弹簧被压缩的长度
△ 之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，
弹簧的长度即可解答．【解答】解：由图象可知，弹簧压缩 后开始减速，故选项 不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项 不符合题意：
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩 ，此时弹簧的长度为 ，故选 不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为 时，此时弹簧的长度为 ，故
选项 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．
10．（2023春•宾阳县期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，
并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为 ， ，则关于 与 的关系，正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为 的两个点 和 ，
则 ， ，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得 ，综上所述， ，
故选： ．
【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得
到比例系数的关系．
11．（2023春•平邑县期末） 、 地相距2400米，甲、乙两人从起点 匀速步行去终点 ，已知甲先出
发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离 （米 与甲出发的时间 （分 之间的关系如图所
示，下列结论中，其中不正确的结论有 个．
①甲步行的速度为60米 分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为： 米 分，故①正确；乙走完全程用的时间为： （分钟），故②错误；
乙追上甲用的时间为： （分钟），故③错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是： 米，故④错误．
故其中不正确的结论有3个．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
合的思想解答．
三．一次函数综合题（共4小题）
12．（2023春•金平区期末）如图，直线 和直线 都经过 轴负半轴上一点 ，分别与
轴的交点分别为 、 ，且 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 在 轴上， 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）根据一次函数 可得 ，由 得 ，利用待定系数法即可求解；
（2）分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解（1） 直线 和直线 都经过 轴负半轴上一点 ，
把 代入 并解得 ，
，
，
，
，直线 经过 ， ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2） 直线 与 轴的交点为 ，
，
设点 的坐标为 ，
，
，
，
，
①当 时， ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
②当 时， ，解得 或 （舍去），
点 的坐标为 ；
③当 时， ，解得 ，
点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ， ．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质等，解题的关键是要注意分类求
解，避免遗漏．
13．（2023春•临朐县期末）如图，平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点
．
（1）求直线 的表达式；
（2）当 时，自变量 的取值范围是 ；
（3）动点 在射线 上运动，是否存在点 ，使 的面积是 的面积的 ？若存在，求
出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设直线 解析式为 ，利用待定系数法，即可求得直线 解析式；
（2）根据图像即可作答；
（3）设 的横坐标为 ， 的面积是 的面积的 ，即 ， 点的横坐标
等于4或 ，代入即可求出．
【解答】解：（1）设直线 解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得 ，
直线 表达式为 ；（2）当 时，
根据图象可知，
；
（3）存在，理由如下：
动点 在射线 上运动时，
设 的横坐标为 ，
的面积是 的面积的 ，
即 ，
点的横坐标等于4或 ，
将 代入 ，
解得： ，
将 代入 ，
解得： ，
此时点 的坐标 或 ．
【点评】本题考查一次函数图象，解析式，三角形面积综合问题，解题的关键是对一次函数知识的熟练
掌握．
14．（2023春•许昌期末）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）试判断点 是否在直线 上，并说明理由；
（3）若点 是 轴上一动点，当 是以线段 为腰的等腰三角形时，请直接写出 点坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把点 代入（1）中的直线进行验证即可；
（3）根据条件点 在 轴上， 是以线段 为腰的等腰三角形，判断分两种情况：①以点 为顶角
顶点，点 在点 右边；②以点 为顶角顶点，点 在点 左边，③以点 为顶角顶点，点 在点 左
边，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入得，
，解得 ，
直线 的解析式为： ；
（2）将 代入 得， ，
点 在直线 上；
（3）如图，由已知得点 在 轴上， 是以线段 为腰的等腰三角形，
， ，
，
①以点 为顶角顶点，点 在点 右边， ，，
， ；
②以点 为顶角顶点，点 在点 左边，
在 中， ，
， ；
③以点 为顶角顶点，点 在点 左边， ，
， ， ，
由勾股定理得 ，
，
综上， ， 、 ， 或 ．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，用待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，找出符合
条件的所有点 的位置是解题的关键．
15．（2023春•铁东区期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 是 的中点．
（1）在 轴上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使得 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）根据已知求得 、 坐标，由重点坐标公式求 坐标，根据三角形面积公式建立方程，求
解即可；
（2）设 点坐标，当 是直角三角形分两种情况： 或 时求解即可．
【解答】解：（1） 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
设 ，
则 ，
，
当 时， ，
解得： 或 ，或 ；
（2）设 轴存在一点 ，使得 是直角三角形，
， ， ，
根据勾股定理可得： ，
，
， ，（距离公式），
是直角三角形，分两种情况：
① 时， 与原点重合，此时 ；
② 时，则 ，
，
解得： ，此时 ，
综上所述： 或 ．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问
题是本题的关键．
一．填空题（共2小题）
1．（2023春•长葛市期末）如图，光源 发出的一束光，遇到平面镜 轴）上的点 的反射光线
交 轴于点 ，则入射光线 所在直线的解析式为 ．【分析】设点 的坐标为 ．过点 作垂直于 轴的直线（法线），根据光的反射定律“入射角等
于反射角”，得到这两个角的正切值相等，从而求出 ．入射光线 所在直线的解析式为 ，
设将点 和 的坐标代入，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设点 的坐标为 ．
过点 作垂直于 轴的直线（法线），过点 作垂直于该直线的垂线相交于点 ，过点 作垂直于该
直线的垂线相交于点 ．
由入射光线与反射光线的性质，得 ，
．
， ，
，解得 ．
．
设入射光线 所在直线的解析式为 ．
将点 和 代入 ，
得 ，解得 ．
入射光线 所在直线的解析式为 ．故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数在初中物理光的反射中的应用，正确运用光的反射定律是解答本题的关键．
2．（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度
匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向
终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 （米 与乙出发的时间 （秒
之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有 5 0 米．
【分析】乙从开始一直到终点，行1000米用时200秒，因此乙的速度为 米 秒，甲停下来，
乙又走 秒才与甲第一次会和，第一次会和前甲、乙共同行使 秒，从起点到第一次
会和点的距离为 米，因此甲的速度为 米 秒，甲行完全程的时间为
秒，甲到终点时乙行驶时间为 秒，因此乙距终点还剩 秒的路
程，即 米．
【解答】解：乙的速度为： 米 秒，从起点到第一次会和点距离为 米，
甲停下来到乙到会和点时间 秒，之前行驶时间 秒，
甲的速度为 米 秒，
甲到终点时乙行驶时间 秒，
还剩10秒路程，即 米，
故答案为50米．
【点评】考查函数图象的意义，将行程类实际问题和图象联系起来，理清速度、时间、路程之间的关系是
解决问题关键．
二．解答题（共15小题）
3．（2023春•绿园区期末）在平面直角坐标系中，函数 为常数）的图象与 轴交于点，点 的坐标为 ．
（1）当 时，点 的坐标为 ；
（2）当点 、 到直线 距离相等时，求 的值；
（3）过点 作 轴的垂线交函数 为常数）的图象于点 ，以 、 、 、 为顶点构
造四边形 ．
①当四边形 为平行四边形时，求 的值；
②设 ， ，当点 在四边形 的内部时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）求出直线与 轴交点，把 代入，则点 的坐标为可求；
（2）分别求出点 、 到直线 距离，列方程求解即可；
（3）①表示点 坐标得点 在点 上方，求得 ，根据平行四边形性质得到 ，则
，求出 的值即可；
②用 表示 的解析式，分别求出当横坐标为 时，直线 、 上对应点的纵坐标，
， 在四边形 的内部，构造不等式组求解即可．
【解答】解：（1）当 时， ，
点 的坐标为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）由（1）点 的坐标为 ，
则 到直线 的距离为 ．则 到直线 的距离为 ，
，
解得 或 ．
故答案为： 或 ．
（3）①由已知，点 坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 在点 上方． ．
以 、 、 、 为顶点构造四边形 为平行四边形，
，
，
或 ；
②设直线 的解析式为 ，把点 的坐标为 代入，
得 ，
解得 ，
，
当 时，代入直线 的解析式，
得 ，
代入直线 解析式，
得 ．
设 ， ，当点 在四边形 的内部时，．
解得 ．
【点评】本题是一次函数的综合问题，涉及到平行四边形的性质和待定系数法，解答关键是应用数形结
合思想解答问题．
4．（2023春•高邑县期中）在一条笔直的公路上有 ， 两地，甲、乙二人同时出发，甲从 地步行匀速
前往 地，到达 地后，立刻以原速度沿原路返回 地．乙从 地步行匀速前往 地（甲、乙二人到达
地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离 （米 与出发时间 （分 之间的函数关系如图所示，请结合
图象解答下列问题：
（1） ， 两地之间的距离是 120 0 米，乙的步行速度是 米 分．
（2）图中 ， ， ．
（3）求线段 的函数解析式．
（ 4 ） 在 乙 运 动 的 过 程 中 ， 何 时 两 人 相 距 80 米 ？ （ 直 接 写 出 答 案 即 可 ）
【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到 、 两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求
得乙的步行速度；
（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；
（3）利用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．【解答】解：（1）由图象知：当 时， ，
、 两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达 ，
乙的速度为 （米 分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当 时， ，
甲乙二人的速度和为： （米 分），
设甲的速度为 米 分，则乙的速度为 米 分，
，
．
甲的速度为80（米 分），
点 的实际意义是经过 分钟甲到达 地，
（分钟），
（米 ．
点 的实际意义是经过20分钟乙到达 地，
（米 ；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得： ， ，
设线段 的解析式为 ，
，
解得： ，线段 的解析式为 ；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第 分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为 （米 ，
（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为 （米 ，
（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第 分钟两人相距80米．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函
数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．
5．（2023春•通河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
直线 与 轴负半轴交于点 ，且 ．
（1）求线段 的长；
（2）动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 （秒 ，
的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在点 ，连接 ，使得 是以 为直角边的等腰直角
三角形，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求出 、 点坐标，再由题意求出 ，可求 点坐标，进而求得 ；
（2）根据点的运动特点先求出 点坐标为 ，再求三角形面积即可；
（3）分两种情况讨论：当 时，过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作交于 点，通过证明 ，可得 ，再将点 代入直线 的解析式：
，求 的值；当 时，过点 作 轴交于 点，同理可得 ，
求出 ，即可求 ．
【解答】解：（1）把 代入 ， ，
，
把 代入 ， ，
，
，
，
，
；
；
（2） ，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，
，
，
，
， 且 ；
（3）存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当 时，过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于
点，，
，
，
，
，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
解得 ；
如图2，当 时，过点 作 轴交于 点，同理可得 ，， ，
，
，
解得 ；
综上所述： 的值为 或5．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，
等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2023春•青秀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 为直线 上的一个动点，若 的面积等于9时，请求出点 的坐标；
（3）如图2，将 沿着 轴平移，平移过程中的 记为△ 请问在平面内是否存在点 ，使
得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标．【分析】（1）设直线 的解析式 ，求出点 的坐标，把 、 的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点 的横坐标为 ，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按 为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点 的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线 的解析式 ，
直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，
， ，
直线 经过点 ，与 轴交于点 ，
，
，
直线 的解析式： ；
（2）由题意可知， ，
设点 的横坐标为 ，
，
或 ．或 ；
（3）设将 沿着 轴平移 个单位长度得到△ ，
，
， ，
设 点坐标为 ，
①当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当 时，即 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
点 与点 重合，即 ．
当 时，
， ，
，
解得 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
．
②当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，且 ， 关于 对称，
当 向左一移动， ， ， ，
，
解得 或 （舍 ，
当 向右移动时， ， ， ，
，
解得 （舍 或 （舍 ，
，
．
综上所述，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 ， ，
．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质
与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
7．（2023春•栾城区校级期中）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ， ，与一次函数 的图象 交于点 ．
（1）求 的函数表达式；
（2）直线 与 轴交于点 ，求 的面积；
（3）如图，已知长方形 ， ， ， ，矩形 的边 在 轴上平移，若矩形与直线 或 有交点，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求出 的解析式；
（2）根据点 是直线 和直线 的交点，求出 点坐标，利用面积计算公式即可求解；
（3）分别求出矩形 在平移过程中，当点 在 上、点 在 上、点 在 上、点 在 上时 的
值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设直线 的表达式 ，
直线 过点 和点 ，代入得：
，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
（2） 点 是直线 和直线 的交点，联立得：
，解得 ，
则点 的坐标为 ，
；
（3）当矩形 的顶点 在 上时， 的值为 ，
矩形 向右平移，当点 在 上时，
，
解得 ，即点 ，
的值为 ，
矩形 继续向右平移，当点 在 上时， 的值为3，
矩形 继续向右平移，当点 在 上时， ，
解得 ，即点 ，
的值 ，
综上所述，当 时，矩形 与直线 有交点，当 时，矩形 与直线 有交点．
【点评】本题主要考查两条直线相交或平行、图形的平移等知识点的综合应用，在解决第三小问时，只有
求出各临界点时 的值，就可以得到 的取值范围．
8．（2023•锦江区校级开学）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，点 在 轴上，且
直线 与直线 关于 轴对称．
（1）求直线 的解析式；
（2）若在直线 上存在点 使 ，求点 的坐标；
（3）若点 是直线 上一点，点 是 轴上一点，连接 ， ， ，使 是以 为腰的
等腰直角三角形，直接写出点 的坐标．【分析】（1）求出 ，再用待定系数法可得直线 解析式为 ；
（2）求出 ，直线 解析式为 ，设 ，当 在 的上方时，
，可得 ， ；当 在 的下方时， ，可得 ， ；
（3）设 ， ，分 ， 为直角边和 ， 为直角边，分别画出图形，用全等三
角形性质列方程组可解得答案．
【解答】解：（1） 直线 与直线 关于 轴对称，
，
，
，
设直线 解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ；（2）如图：
， ，
，
，
，
由 ， 可得直线 解析式为 ，
设 ，
当 在 的上方时， ，
，
解得 ，
， ；
当 在 的下方时， ，
，解得 ，
， ；
综上所述， 的坐标为 ， 或 ， ；
（3）设 ， ，
当 ， 为直角边时，过 作 轴交 轴于 ，过 作 于 ，
若 在 上方时，如图：
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
即 ，
解得 ，；
若 在 下方时，如图：
同理可得 ，
， ，
，
解得 ，
；
当 ， 为直角边时，过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于 ，
当 在 下方时，如图：同理可得 ，
， ，
，
解得 ，
；
当 在 上方时，如图：同理可得 ，
， ，
，
解得 ，
；
综上所述， 的坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用，全
等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
9．（2023春•江阴市校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 交 轴于点 ，一
次函数 与一次函数 交于点 ，将线段 沿着 方向平移得到线段 ，连结 ，
点 ，过点 作直线 轴．
（1）点 的坐标是 ， ，线段 ；
（2）证明：四边形 是矩形；
（3）以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 旋转后的对应点分别为， ， ，直线 、直线 分别与直线 相交于点 ， ．记旋转角为 ．
①如图2，当矩形 的顶点 落在直线 上时，求点 的坐标；
②在四边形 旋转过程中，当 时，若 ，直接写出关于 的方程为 ．
【分析】（1）联立两个一次函数解析式构建方程组，解方程组即可得到点 的坐标，再求出点 的坐标，
利用两点间距离公式即可求出线段 的长；
（2）先根据一组对边平行且相等证明四边形 是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明
即可；
（3）①先证明 △ 得到， ，设 ，则 ，然后在
中，利用勾股定理求解即可；
②分两种情况：如图3，当点 在线段 上时，过点 作 ，证明 ，然后
在 中，利用勾股定理得出方程；如图4，当点 在直线 上时，此时点 与点 重合，点 在线
段 的延长线上，在 中，利用勾股定理即可得出方程．
【解答】（1）解：解方程组 ，
解得： ，
点 的坐标是 ．
把 代入 ，
解得 ，
点 的坐标是 ．
．故答案为： ，8；
（2）证明： 线段 沿着 方向平移得到线段 ，
， ．
四边形 是平行四边形．
， ， ，
．
，
．
．
平行四边形 是矩形．
（3）解：① ，
．
， ，
．
又 ， ，
△ ．
．
设 ，则 ，
在 中， ，
．
．
点 的坐标是 ．
②如图3，当点 在线段 上时，过点 作 ，又 ，
四边形 是矩形．
， ．
，
．
又 ， ，
．
．
．
在 中， ，
．
整理得： ．
如图4，当点 在直线 上时，此时点 与点 重合，点 在线段 的延长线上，， ，
．
又 ， ，
△ ．
此时 ．
在 中， ，
，即 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题是函数与几何动点问题的综合题，主要考查了一次函数的交点问题，两点间距离公式，矩形
的判定和性质，平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握相
关知识，根据题意画出正确的图形，并作出辅助线．
10．（2023春•锦江区校级期中）已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点
为 轴负半轴上一点，且 ．（1）求直线 的函数表达式；
（2）点 是直线 上的一动点，在 轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，找出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点 是直线 上的一动点，连接 ，使得 将四边形 的面积分成
的两部分，请求出满足条件的点 的坐标．
【分析】（1）先求得 ， 的坐标，根据已知条件得出 ，待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当 为边时，②当 为对角线时，分别画出图形，根据平行四边形的性质，
即可求解；
（3）根据题意可得 或 ，进而得出 点的坐标，求得直线 的解析式，联立
，即可求解．
【解答】解：（1） 一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，
当 时， ；当 时， ，
， ，
，
，
，即 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线解析式为 ；
（2）在 轴上存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
当 为边时，如图1.1，
，
轴，
点的横坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
；
当 为对角线时， ， 的中点为 ，如图1，2，则 ，
，综上所述， 的坐标为 或 ；
（3）如图2所示，设 交 轴于点 ，
将四边形 的面积分成 的两部分，
则 或 ，
， ，
，
则 或 ，
当 时，设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
，
当 时，设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【点评】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，待定系数法求直线解析式，求两直线
交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
11．（2023 春•高邑县期中）已知直线 经过点 ，与 轴交于点 ，且与直线相交于点 ．
（1）直接写出 的值；
（2）求直线 的表达式和点 的坐标；
（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象；
（4）过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 的交点分别为 ， ．当点 总在点 上方时，直接写
出 的取值范围．
【分析】（1） 代入 即可得 ；
（2）将 ， 代入 ，即可得 、 ，从而得到一次函数的表达式，进而得出 点坐
标；
（3）在平面直角坐标系中找出 、 、 点，然后作直线即可；
（4）由已知写出 、 坐标，根据点 总在点 上方列不等式，即可得到 的范围．
【解答】解：（1） 代入 得：
，
；
（2）将 ， 代入 得：
，
解得 ，
直线 的表达式为： ；
点 坐标为 ；
（3）图象如下：（4） 点 且垂直于 轴的直线与 、 的交点分别为 ， ，直线 ，直线 ，
， ，
点 总在点 上方，
，
解得： ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标及比较函数
值的大小，解题的关键是列出不等式求 范围．
12．（2023春•皇姑区校级期中）如图，平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 经过点
，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．线段 平行于 轴，交直线 于点 ，连接 ，
．
（1）填空： ，点 的坐标是 ，
（2）求证：四边形 是平行四边形；
（3）动点 从点 出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，直到点 为止；动点
同时从点 出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，直到点 为止．设两个点的运动
时间均为 秒．
①当 时， 的面积是 ．
②当四边形 的面积为9时，请直接写出此时 的值 ．【分析】（1）代入 点坐标即可得出 值确定直线的解析式，进而求出 点坐标即可；
（2）求出 、 点坐标，根据 ， ，即可证四边形 是平行四边形；
（3）①作 于 ，设出 点的坐标，根据勾股定理计算出 的长度，根据运动时间求出 的
长度即可确定 的面积；
②先证四边形 为平行四边形，确定 的长度，再根据 、 的位置分情况计算出 值即可．
【解答】（1）解： 直线 经过点 ，
，
解得 ，
即直线的解析式为 ，
当 时， ，
，
故答案为： ，5，0；
（2）证明： 线段 平行于 轴，
点的纵坐标与 点一样，
又 点在直线 上，
当 时， ，
即 ，，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（3）解：①作 于 ，如图，
点在直线 上，
设 点的坐标为 ，
， ，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 或8（舍去），
，
，
当 时， ，
，
故答案为：12；
②由（2）知四边形 是平行四边形，与 互相平分，
又 点和 点的运动速度相同，
与 互相平分，
四边形 为平行四边形，
，
当点 在点 左侧时，则有：
，
又 四边形 的面积为9，
，
解得： ；
当点 在点 右侧时，则有： ，
同理可得： ，
解得， ，
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质是解题的关键．
13．（2023春•碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴的负半轴于点 ， 轴正
半轴于点 点，且 ， ，点 在 轴正半轴上，满足 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若点 是 轴上的一点，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由勾股定理可计算 ，进而可得 ，由此即可解题；
（2）分三种情况讨论，分别画出草图，然后求解即可．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
，
，
点 坐标为 ；
（2）在坐标平面内存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，理由如下：
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，根据 与 在菱形中的关系有三种情况：
．当四边形 为菱形时， ， ，如图
点 坐标为 ，或 ；
．当四边形 为菱形时， ， ，如图，
，
解得： ，
点 坐标为 ；
．当四边形 为菱形时， ，如图
点 是点 关于 的对称点，
点 坐标为 ，
综上所述：在坐标平面内存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形， 坐标为 ，或
或 或 ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（2023•中牟县校级开学）（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形 中， ，点 是边 上一点， ， ，连接 ，
，求证： 等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，过点 在第一象限内作 的垂线，并在垂线
截取 ，求直线 表达式和点 的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图 3，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 轴于点 ，且
，则点 的坐标为 ．
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，则可得出
结论；
（2）利用待定系数法可求得直线 表达式，过点 作 轴于点 ，证明 ，从而得
到 、 ，则可得到点 的坐标；
（3）过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，由一次函数解析式求出
， ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，求出
点坐标，求出直线 的解析式，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：在平面直角坐标系中， ， ，设直线 为 ，代入得：
，
解得： ，
直线 为 ，
过点 作 轴于点 ，如图2，
轴，
．
，
．
在 和 中，
，，
， ，
点、点 的坐标分别为 ， ，
， ，
， ，
，
点 的坐标为 ；
（3）解：如图3，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
把 代入 中，得 ，
点 的坐标为 ，
，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，
，
， ，
，
，
， ，
， ，
又 ，
，在 和 中，
，
，
， ，
，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等
腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系 中，若点 和点 关于 轴对称，点 和点 关于
直线 对称，则称点 是点 关于 轴、直线 的“二次对称点”．（1）若点 ，直线 是经过 且平行于 轴的一条直线，则点 的“二次对称点”的坐标为
；
（2）如图1，点 是 轴正半轴上的一个动点，直线 经过原点且与 轴正半轴的夹角为 ，若点
是点 关于 轴，直线 的“二次对称点”，求线段 的长度（用含 的代数式表示）；
（3）如图2， ， 是 轴上的动点，线段 经过点 ，且点 、点 的坐标分别是 ，
，直线 经过 且与 轴夹角为 ，在点 的运动过程中，若线段 上存在点 ，使得点
是点 关于 轴，直线 的“二次对称点”，且点 在 轴上，则点 纵坐标 的取值范围是 ．
【分析】（1）根据题目中的定义进行求解即可；
（2）点 关于 轴的对称点为点 ，点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ，过点 作 轴于
点 ，证明 为等边三角形，根据等边三角形性质得出 ， ，
得出 的坐标为 ，根据两点间距离公式求出结果即可；
（3）当点 与点 重合，且 在 轴上时，连接 交直线 于点 ，交 轴于点 ，连接 ，设直
线 与 轴，交于点 ，交 轴于点 ，求出此时点 的纵坐标为 ；当点 与原点重合时， 与重合，此时点 ， 都与 重合，此时点 的纵坐标为1，结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1） 点 ，
点 关于 轴的对称点为 ，
直线 是经过 且平行于 轴的一条直线，
点 关于直线 的对称点为： ，
点 的“二次对称点”的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）如图1，点 关于 轴的对称点为点 ，点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ，过点 作
轴于点 ，
是 轴正半轴上的一个动点，
，
，
直线 经过原点且与 轴正半轴的夹角为 ，
，
点 与点 关于直线 对称，
， ，
，
为等边三角形，轴，
，
，
点 的坐标为 ，
线段 的长度为 ．
（3）当点 与点 重合，且 在 轴上时，连接 交直线 于点 ，交 轴于点 ，连接 ，设直
线 与 轴，交于点 ，交 轴于点 ，如图2所示：
， ，
，
，
与 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
此时点 的纵坐标为 ；
当点 与原点重合时， 与 重合，此时点 ， 都与 重合，此时点 的纵坐标为1，如图3
所示：
根据题意可知， ，观察图象可知，满足条件的 纵坐标的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义问题，两点间
距离公式，解题的关键是理解题意，数形结合，根据题意画出图形．
16．（2023春•辛集市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 分别在 轴与 轴上，直线 的解
析式为 ，以线段 、 为边作平行四边形 ．
（1）如图1，若点 的坐标为 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下， 为 边上的动点，点 关于直线 的对称点是 ，连接 ， ．
①当 3 0 时，点 位于线段 的垂直平分线上；
②连接 ， ，设 ，设 的延长线交 边于点 ，当 时，求证： ，并
求出此时 的值．【分析】（1）过 作 轴于 ，在 中，可得 ， ，即有 ， ，
， 而 ， 故 ， ， 可 证 ， 得 ，
，从而可得 ，根据四边形 是平行四边形，且 ， ，
即知四边形 是正方形；
（2）①过 作 于 ，连接 ，由 在 的垂直平分线上，可得 ，而 关于直线
的 对 称 点 是 ， 有 ， 故 是 等 边 三 角 形 ， ， 即 可 得
；
②由 ， 关于直线 的对称点是 ，四边形 是正方形，可得 ，
，而 ，有 ，故 ，即得 ，从而可得
，设 ，在 中有 ，从而可解得 的值是 ．
【解答】解：（1）四边形 是正方形，理由如下：
过 作 轴于 ，如图：在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
， ， ，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，且 ， ，
四边形 是正方形；
（2）①过 作 于 ，连接 ，如图：在 的垂直平分线上，
直线 是正方形 的对称轴，
是 的垂直平分线，
，
关于直线 的对称点是 ，
，
，
是等边三角形，
，
关于直线 的对称点是 ，
，
故答案为：30；
②如图：，
， ，
关于直线 的对称点是 ，四边形 是正方形，
， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ，
的值是 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，
解题的关键是掌握对称的性质．
17．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系 中，对于点 和正方形 ，给出如下定义：若点
关于 轴的对称点 到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的 倍，则称点 是正方形
的“ 倍距离点”．
已知：点 ， ．
（1）当 时，
①点 的坐标是 ；
②在 ， ， 三个点中， 是正方形 的“3倍距离点”；
（2）当 时，点 （其中 是正方形 的“2倍距离点”，求 的取值范围；
（3）点 ， ．当 时，线段 ．上存在正方形 的“2倍距离点”，直接写
出 的取值范围．【分析】（1）①当 时，可得点 ， ．根据四边形 是正方形，可得 ，
所以点 的坐标是 ；
②根据点 关于 轴的对称点坐标为 ，而点 到正方形 的边所在直线 的最大距离是
，到 的最小距离为1，可得点 是正方形 的“3倍距离点”，同理即可解决问题；
（2）当 时，点 ， ． ，结合（1）即可解决问题；
（3）根据点 ， 关于 轴的对称点坐标为 ， ，得直线 的解析式为
，设线段 上一点 ，则 ，分两种情况讨论：当 在正方形内时，当 在正方形外
时，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）①当 时，如图1，点 ， ．
四边形 是正方形，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ；② 点 关于 轴的对称点坐标为 ，
而点 到正方形 的边所在直线 的最大距离是 ，到 的最小距离为1，
点 是正方形 的“3倍距离点”；
同理可得点 是正方形 的“1倍距离点”；
同理可得点 是正方形 的“3倍距离点”；
， 是正方形 的“3倍距离点”，
故答案为： ， ；
（2）当 时，如图2，点 ， ． ，点 关于 轴的对称点坐标为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
因为当 大于8最小距离不是 到 而是 到 距离为2，
，不符合题意舍去，
此时 到正方形边的最小距离是2，最大距离是12，比值为6，
之后都不符合题意，
综上所述：点 （其中 是正方形 的“2倍距离点”时， 的取值范围是 ；
（3） 点 ， 关于 轴的对称点坐标为 ， ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得，
，
，
直线 的解析式为 ，
设线段 上一点 ，
则 ，
当 在正方形内时，① ，
，
（舍去）；
② ，
，
；
当 在正方形外时，
，
，
此时不存在 的情况，
；
，
线段 上存在正方形 的“2倍距离点”， 的取值范围是 或 ．
【点评】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“ 倍距离点”的定义等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．
