文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.6 一次函数的应用 教学设计
一、教学目标：
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题;
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力;
3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．
二、教学重、难点：
重点：根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数.
难点：能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题.
三、教学过程：
问题引入
提出问题：下图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
典例解析
例1.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子.超过2kg部分
的种子价格打8折.
(1)填写下表
(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设
购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子价格按5
元/kg计价，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价.因此，写函数解
析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段计论.解：(2)设购买量为x千克，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y=5x
当x＞2时，y=4(x-2)+10=4x+2
y=¿{5x (0≤x≤2)¿¿¿¿
称此类函数为分段函数
思考：你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
(1)一次购买1.5kg种子，需付款____元；
(2)一次购买3kg种子，需付款____元.
【针对练习】
1.某景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分每人15
元.
(1)写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过20人)之间的函数关系式：_________；
(2)写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20人)之间的函数关系式：________________.
2.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量 x(度)与应付电费
y(元)的关系如图所示.请问答：
(1)当每月用电量不超过50度时，用电价格是____元/度；
(2)当每月用电量超过50度时，超出部分的用电价格是____元/度.
解决问题：
下图所表示的函数是分段函数吗？你能写出它的解析式吗？
S {6t 0 t 2 { 12 2 t 4
=¿ ( ≤≤ )¿ ( <≤ )¿¿¿¿例2.某校手工社团计划制作A、B两类手工产品共100个，准备在“红领巾爱心义卖”活动中
出售，所获收入全部捐给希望小学建图书角. 若售出3个A类产品和2个B类产品收入65元，
售出4个A类产品和3个B类产品收入90元．
(1)求A、B两类手工产品的售价各是多少元；
(2)已知A类产品个数不超过B类产品的3倍，则制作A、B类两种产品各多少个的时候总收入
最多？请说明理由．
（1）解：设A类手工产品的售价是x元，B两类手工产品的售价是y元，
{3x+2y=65
由题意得 ，
4x+3 y=90
{x=15
解得 ，
y=10
答：A类手工产品的售价是15元，B类手工产品的售价是10元．
（2）制作A类产品75个B类产品25个，获得总收入最多理由如下：
设总收入为W元，制作A类产品a个，则制作B类产品(100-a)个，
∵A类产品个数不超过B类产品的3倍，
∴a≤3(100-a)，
解得：a≤75，
根据题意得：W =15a+10(100-a)=5a+1000，
∵5>0，
∴W随着a的增大而增大，
∴当a=75时，W取得最大值，最大值为5×75+1000=1375（元），
此时100-a=25，
答：制作A类产品75个，B类产品25个，获得总收入最多．
【针对练习】某电器厂生产A、B两种家用小电器，若每天生产A、B两种电器共60件，这两
种电器每件的成本和售价如表：
设每天生产A种电器x件，每天获得的利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该电器厂每天最多投入成本为4590元，那么每天生产多少件A种电器时，所获利润最大？并求出这个最大利润．
（1）解：由题意知，每天生产B种电器(60-x)件，
∴y=(105-85)x+(85-70)(60-x)，整理得y=5x+900，
∴y与x之间的函数关系式为y=5x+900 (0≤x≤60)；
（2）解：由题意得，85x+70(60-x)≤4590，
解得x≤26，
∵5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=26时，y有最大值，值为5×26+900=1030，
∴每天生产26件A种电器时，所获利润最大，最大利润为1030元．
例3．“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪
运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在
滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)求AB的函数表达式．
(2)赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？
（1）解：设AB段对应的解析式为：y=kx+b，把A(1.5，30)，B(2.5，80)代入，得，
{1.5k+b=30
，
2.5k+b=80
{ k=50
解得： ，
b=-45
∴AB段对应的解析式为y=50x-45．
（2）由题意知，C(6.5，80)，D(8.5，0)，
设CD段对应的解析式为y=mx+n，把C(6.5，80)，D(8.5，0)代入，得，{6.5m+n=80
，
8.5m+n=0
{m=-40
解得： ，
n=340
∴CD段对应的解析式为y=-40x+340．
把y=40代入y=50x-45，得40=50x-45，
解得，x=1.7，
把y=40代入y=-40x+340，得40=-40x+340，
解得，x=7.5．
答：赵凯一家经过1.7或7.5小时，离家的距离为40千米．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(千克)的关系，
由图中可知行李的质量只要不超过_____千克，就可以免费托运.
2.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是
_____cm.
3.在一定范围内，某种产品购买量 y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买 1000吨，
每吨800元，购买2000吨，每吨700元，一客户购买4000吨单价为______元.
4.如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系式图象.根据图象回答下列问题:
(1)出租车的起步价是____元;
(2)当x>3千米时，该函数的解析式为___________;
(3)乘坐8千米时，车费为_____元.
5.某农户种植一种经济作物，总用水量y(米3)与种植时间x(天)之间的函数关系式如图所示.
(1)第20天的总用水量为多少米3?
(2)当x≥20时，求y与x之间的函数关系式.
(3)种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3?
6.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水 3000吨，计划内用水每吨收
费1.5元，超计划部分每吨按1.8元收费.
(1)写出该单位水费 y(元)与每月用水量 x(吨)之间的函数关系式:① 当用水量小于或等于
3000吨时________；②当用水量大于3000吨时__________________.
(2)某月该单位用水3200吨，水费是______元；若用水2800吨，水费______元.
(3)若某月该单位缴纳水费4590元，则该单位用水多少吨?
7.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小
亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的 2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆
车，缆车的平均速度为180m/min. 设小亮出发xmin后行走的路程为ym.图中的折线表示小亮
在整个行走过程中y与x的函数关系.(1)小亮行走的总路程是_____m,他途中休息了____min.
|(2)①当50≤x≤80时， 求y与x的函数关系式;
②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少?
8.某鞋店销售A，B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获利80元，销售一双B型球鞋可获
利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双，将其销售完可获总利润为y元，设其
中A型球鞋x双．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，问如何安排购进方案，可获得最大利润．
【参考答案】
1.20
2.10
3.500
4.(1)20; (2) y=20+5(x-3); (3)45.
5.解: (1) 第20天的总用水量为1000米3.
(2)设当x≥20时y=kx+b，依题意得:
{20k+b=1000 { k=300
解得
30k+b=4000 b=-5000
∴y=300x-5000 (x≥20)
(3)当y=7000时，300x-5000=7000， 解得x=40
∴种植时间为40天时，总用水量达到7000米3.
6.(1) y=1.5x ; y=4500+1.8(x-3000) ;(2)4860;4200;
(3)解:∵4590> 4500
∴1.8x-900=4590，
解得x=3050答:该单位用水3050吨.
7.(1)3600;20;
解: (2)①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b.
根据题意，当x=50时，y=1950; 当x=80，y=3600
{1950=50k+b { k=55
∴ 解得
3600=80k+b b=-800
∴y与x的函数关系式为y=55x-800；
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(m)
缆车到达终点所需时间为1800÷180=10 (min)
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60(min)
把x=60代入y=55x-800，得y=55×60-800=2500
所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是:
3600-2500=1100 (m) .
8.（1）解：设其中A型球鞋x双，则B型球鞋(60-x)双，由题可得，
y=80x+110×(60-x)，
整理得y=-30x+6600，
故y与x的函数关系式为y=-30x+6600 (0≤x≤60)．
（2）解：由题可得60-x≤2x，
解得x≥20，
∵ y=-30x+6600，y随x值的增加而减小，
∴当x=20时，y最大为-30×20+6600=6000，
此时B型球鞋60-20=40双，
故当购进A型球鞋20双，B型球鞋40双时获得最大利润．
四、教学反思：
本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、
和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力
和创新能力，激发学生学习的积极性．在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地
干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择合适的办法解决问题.
