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人教版初中数学八年级下册
19.2.9 一次函数与二元一次方程组 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．已知函数 与 的图象交于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的交点坐标就是联立这两个函数图象的表达式，解方程组即可得到交点坐标．
【详解】解： 函数 与 的图象交于点 ，
联立 ，解得 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查函数交点坐标的求法，熟练掌握函数图象的交点坐标就是联立这两个函数图象的表达式
解方程组是解决问题的关键．
2．已知方程 的解是 ，则直线 和 的交点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 代入直线解析式 求出y的值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴把 代入 ，得 ．
∴交点坐标为 ．
故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．已知直线 与 的交点的坐标为 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程组的解是一次函数图象的交点坐标解答即可．
【详解】解： 直线 与 的交点坐标为 ，
方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
方程组的解 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点
坐标．
4．如图，两条直线的交点坐标 可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是 ，则另
一个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此把交点坐标代入四个选项，利用
方程的解即可判断．
【详解】解：A．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，故A不合题意；
B．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，故B符合题意；C．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，故C不合题意；
D．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，故D不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
5．在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，则关于x、y的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点 代入 ，求出交点纵坐标，即可得到方程组的解．
【详解】解：∵直线 与直线 相交于点 ，
∴当 时， ，
∴交点坐标为 ，
∴关于x、y的方程组 的解为 ，
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数交点坐标与二元一次方程组的解的关系：一次函数交点坐标即为二元一次方
程组的解，正确理解关系是解题的关键．
6．如图，直线 与 相交于点 ，则关于x的方程 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用函数解析式 求出m的值，然后再根据点 横坐标就是关于x的方程
的解可得答案．
【详解】解：∵直线 与 相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴关于x的方程 的解是 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
7．用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），
则所解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为 ，
将点 代入，
可得 ，解得 ，
则这个一次函数的解析式为 ，
同理可得：另一个一次函数的解析式为 ，
则所解的二元一次方程组为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
二、填空题：
8．方程组 的解为 ，则一次函数 和 图象的交点坐标为______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解为 可以直接得出一次函数 和 图象的交点坐标．
【详解】解：∵方程组 的解为 ，
∴一次函数 和 图象的交点坐标 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解与两个一次函数图像的交点坐标之间的关系，解题的关键是
熟练掌握一次函数 和 图象的交点坐标就是方程组 的解．9．如图，由图像得 的解是__________
【答案】
【分析】二元一次方程组对应两个一次函数的图像的交点就是方程的解，从图中找到交点坐标即可解答．
【详解】由图像可得交点坐标为 ，则解为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查侧重知识点的理解能力，掌握二元一次方程组对应两个一次函数的图像的交点就是方程
的解是解题关键．
10．已知直线 和 图像上部分点的横坐标和纵坐标如下表所示，则关于x，y的二
元一次方程组 的解是__________．
x 0 1 2
8 5 2
1【答案】
【分析】在表格中找到函数值相等的点的坐标为两直线的交点坐标，即为方程组的解．
【详解】解：根据表格可知 是直线 和 的交点坐标，
∴ 的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两直线交点与方程组的解，掌握两直线的交点坐标为方程组的解是解题的关键．
11．一次函数 和 的图象如图所示，其交点为 ，则方程组 的解是
______．
【答案】
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】∵一次函数 和 的图象如图所示，其交点为
∴ 的解为 ，即方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线 和直线 相交于点 ，则关于 、 的方程组
的解中 的值为________．
【答案】4
【分析】首先将点P的纵坐标代入 求得其横坐标，然后即可确定方程组的解．
【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
∴关于x、y的方程组 的解是 ，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方程组的解与直线交点坐标的关系，解题的关键在于求出P点坐标．
13．如图，一次函数 和 交于点 ，则关于x的一元一次方程 的解是__．【答案】
【分析】根据两一次函数图象的交点横坐标即可得出方程的解，此题得解．
【详解】解：∵一次函数 和 的图象交于点 ，
∴关于方程 的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握两函数图象交点横坐标与方程解之间的关系是解
题的关键．
三、解答题：
14．图象法解方程组 ．
【答案】 ，图象见解析
【分析】利用描点法分别画出一次函数 和一次函数 的函数图象，两个一次函数图象
的交点即为方程组的解．
【详解】解：列表如下：
x … 0 1 2 3 …… 0 2 4
x … 0 2 4 6 …
… 4 3 2 1 0
画函数图象如下所示：
由函数图象可知，一次函数 和一次函数 的交点坐标为 ，
∴方程组 的解为 ．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两个一次函数的交点的横纵坐标
即为这两个一次函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键．
15．在函数学习中，我们研究了一次函数与二元一次方程（组）和一元一次不等式的关系．在平面直角坐
标系中，直线 与 相交于点 ，结合过往的学习经历，解决以下问题：
(1) ______；(2)根据图象直接写出关于x的方程 的解为 ______；
(3)根据图象直接写出不等式 的解集为______．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）把 代入 ，求出m的值即可；
（2）根据函数图形直接得出关于x的方程 的解即可；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集即可．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
故答案为：4．
（2）解：∵直线 与 的交点坐标为 ，
∴关于x的方程 的解为 ，
故答案为： ．
（3）解：根据函数图象可知，当 时，直线 在 的上方，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组和一元一次不等式的关系，解题的关键是数形结合，
熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系．
16．如图，直线 的函数关系式为 ，且 与x轴交于点D，直线 经过点 ， ，直
线 与 交于点C．(1)求直线 的函数关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)设点P在y轴上，若 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）设出直线 的函数关系式，因为直线过 ， 两点利用代入法求出k，b，从而得
到关系式；
（2）联立 和 的解析式，再解方程组可得C点坐标；
（3）设 与y轴的交点为E，首先求出点C和点D的坐标，然后设点P的坐标为 ，根据 列
方程求解即可．
【详解】（1）设直线 的函数关系式为： ，
∵直线过点 ， ，
∴ 解得： ，
∴直线 的函数关系式为： ；
（2）∵直线 和 交于点C．
∴ ，解得 ，
∴ ；（3）如图，设 与y轴的交点为E，
当 时，
∴点C的坐标为
当 时， ，解得
∴点D的坐标为
设点P的坐标为
∵
∴ ，即
∴ ，解得 或 ．
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，
题目综合性较强，难度不大，比较典型．
17．某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威，
如图，线段 ， 分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函
数图象．根据图象，解答下列问题：(1)分别求出 、 所表示的函数关系式
(2)骑自行车的同学出发多长时间就追上了长跑同学？
【答案】(1) 所表示的函数关系式为 ； 所表示的函数关系式为 ；
(2)骑自行车的同学出发10分钟后就追上了长跑同学．
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 、 所表示的函数关系式；
（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组即可得出交点的坐标，此题得解．
【详解】（1）解：设 所表示的函数关系式为 ，
将 代入 中，
，
解得： ，
∴ 所表示的函数关系式为 ；
设 所表示的函数关系式为 ，
将 、 代入 中，
，解得： ，
∴ 所表示的函数关系式为 ；（2）解：联立两函数表达式成方程组，
，解得： ，
∴两函数图象交点的坐标为 ．
(分钟) ，
答：骑自行车的同学出发10分钟后就追上了长跑同学．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键
是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）联立两函数关系式成方程
组，通过解方程组求出交点的坐标．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，直线 与 相交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把 代入 求出m，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可
得到答案．
【详解】解∶ 把 代入 ，得 ，∴直线 与 相交于点 ，
∴关于 ， 的方程组 的解是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程
组的解．
2．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示，小星根
据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ，
③当 时， ；
④方程 的解为 ；
⑤不等式 的解集是 ．
其中结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象及性质, 一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答．
【详解】解：∵由图象可知一次函数 ， 的值随着 值的增大而减小；
故①错误；
∵由图象可知：一次函数 与 的图象相交点 ，∴方程组 的解为 ，
故②正确；
∵由图象可知：一次函数 与 轴的交点为 ，
∴当 时， ，
故③错误；
∵由图象可知：一次函数 与 轴的交点为 ，
∴方程 的解为 ，
故④正确；
∵由图象可知：一次函数 图象在 的图象下方的时 ，
故⑤正确；
∴正确的有 个；
故选 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐
标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
3．如图，直线 与 在第二象限交A， 交x轴于B，且 ，
， ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图：作 轴于H，根据等腰三角形的性质得到 ，再根据三角形面积公式计算出 ，从而得到 ，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答．
【详解】解：如图：作 轴于H
∵
∴
∵
∴ 解得
∴
∴方程组 的解为
故选A
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质等知识点，掌握方程组的解
就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解答本题的关键．
二、填空题：
4．如图, 一次函数 与 的图像相交于点 ，则方程组 的解为_________，
关于x的不等式 的解为______．【答案】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可求得方程组的解；然后根据图像即
可确定不等式 的解；根据一次函数的图像 在一次函数图像 的上方对应x
的取值范围即可解答．
【详解】解：∵一次函数 与 的图像相交于点
∴方程组 的解为
由函数图像可得关于x的不等式 的解为 ．
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查了运用一次函数图像解方程组、解不等式等知识点，掌握数形结合思想成为解答本
题的关键．
5．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论：
①当x＝﹣2时，两函数值相等；
②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形；
③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点；
④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集；
其中正确的是 _____（填写序号）．【答案】①②③
【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形
状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集
是否正确．
【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确；
∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m，
∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m，
即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确；
∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4，
∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确；
∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，
∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式
的解集，数形结合是解题的关键．
三、解答题：
6．如图，直线y=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
1 2(1)方程组 的解是 ；
(2)当 与 同时成立时，x的取值范围为 ；
(3)求 的面积；
(4)在直线 的图象上存在异于点C的另一点P，使得 与 的面积相等，请求出点P的坐
标．
【答案】(1)
(2)
(3)8
(4)
【分析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得方程组的解；
（2）通过函数图象即可得出x的取值范围；
（3）先求出点A和点B的坐标，即可得到 的面积；
（4）令 ，根据 与 的面积相等，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：方程组 的解为： ；故答案为： ；
（2）如图所示：当 与 同时成立时，
x取何值范围是： ；
故答案为： ；
（3）∵令 ，则 ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ；
（4）令 ，则 ，
∴ ．
∵点P异于点C，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，题目较为基础，注意数形结合思想的应用．
7．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线 交于点C．(1)求点C的坐标；
(2)在直线 上是否存在点M，使得 ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)存在；点M的坐标为 或
【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出 ，设 ，当M在x轴下方时 的面积是 面积的2倍，
的面积等于 的面积， ；当M在x轴上方时 的面积是 面积的2倍，
的面积等于 的面积的3倍， ；即可求解．
【详解】（1）解：联立两直线解析式成方程组，得： ，
解得： ，
∴点C的坐标为 ；
（2）解：存在；
当 时，有 ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
设 ，
当M在x轴下方时，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ 的面积等于 的面积，
∴ ，
解得： ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当M在x轴上方时，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ 的面积等于 的面积的3倍，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，面积的计算，解题的关键是要注意分类求
解，避免遗漏．
