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人教版初中数学八年级下册
19.2.8 一次函数与一元一次不等式 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，直线 与x轴交于点 ，那么不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．
【详解】解：根据图象可得，一次函数 在x轴下方部分对应的x的范围是 ，
∴关于 的不等式 的解集为 ．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的
关键．
2．如图，直线 的图象经过点 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察函数图象得到答案即可．【详解】解：由图象可得：当x＞﹣1时，kx+b＞2，
所以不等式kx+b＞2的解集为x＞﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．小颖同学根据“一次函数 的图象与 轴的交点 ”，判断关于 的一元一次不等式
的解集为 ，小颖同学在解决这个问题时用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．公理化思想 D．模型思想
【答案】A
【分析】根据题目条件可知根据一次函数的图象判断的一元一次不等式的解主要运用了数形结合的思想，
即可作答．
【详解】A、数形结合思想，故正确；
B、分类讨论思想，在于通过分类别来讨论，故错误；
C、公理化思想，是纯逻辑推理的思想，故错误；
D、模型思想，在于运用模型来解决问题，故错误；
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查根据一次函数的图象解一元一次不等式，运用数形结合的思想，正确理解数形结合
的思想是本题的解题关键．
4．如图，函数 的图像与x轴、y轴分别相交于点 和点 ，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】结合函数图象可得 表示函数图象上的点要在 的上方，再根据图象可得答案．
【详解】解：∵直线y=kx+b和y轴的交点是A（0，2），
∴不等式kx+b≥2的解集是x≤0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，解题时应结合函数图象和不等式的关系找出
正确的答案．
5．如图，函数 与 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式 的解集即可．
【详解】解：∵函数 过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴不等式 的解集为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A的坐标并结合函数图象进行解答是解题
关键．6．如图，已知直线 与 相交于点 ，则关于x的不等式 的解集在数轴
上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察函数图象得到当 时，直线 都在直线 的上方，即不等式
的解集为 ，然后用数轴表示解集．
【详解】解：当 时， ，
所以关于x的不等式 的解集为 ，
用数轴表示为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴上（或下）方
部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．一次函数 和 的图像如图所示，其交点为 ，则不等式 的解集在
数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在P点右侧 的图像在 的下方，
∴不等式的解集为： ，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像．
二、填空题：
8．如图所示，直线 经过点 ，则关于 的不等式 的解集为______．
【答案】 /
【分析】结合函数图像，写出直线在 轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵直线 经过点 ，
∴当 时， ，
∴关于 的不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式：从函数图像的角度看，就是确定直线 在 轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．运用了数形结合的思想．结合图像解不等式是解题的关
键．
9．一次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集为_________．【答案】
【分析】先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
【详解】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点
∴ 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根
据图象的增减性求解．
10．已知一次函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集是 _______．
【答案】
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式 的解集，本题得以解决．
【详解】解：由图象得，
当 时， 对应的自变量x的值是0，该函数图象y随x的增大而减小，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的解集，利用数形结合思想解答是解题的关键．11．如图，一次函数 的图象经过点 ，则关于x的不等式 的解集为 _____．
【答案】
【分析】由一次函数 的图象经过 ，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式
的解集．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过 ，
∴ 时， ，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式 的解集为 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻
求使一次函 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．如图，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为______．
【答案】x＞1
【分析】根据图象直接解答即可．
【详解】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之
间的内在联系是解决本题的关键．
三、解答题：
13．如图，一次函数 和 的图象相交于点A(2，−1)．
(1)求k，b的值；
(2)根据图象，若 ，写出x取值；若 ，写出x取值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）把点A(2，−1)分别代入 和 ，即可求解；
（2）观察图象得：当 时，函数 的图象位于函数 的图象上方，或者两图象交于点
A，可得若 ， ；再求出 ，观察图象得：当 时，函数 的图象位于x轴的
上方，即可求解．
【详解】（1）解：把点A(2，−1)分别代入 和 得：
， ，
解得： ；
（2）解：观察图象得：当 时，函数 的图象位于函数 的图象上方，或者两图象交
于点A，∴若 ， ；
由（1）得： ，
当 时， ，
∴函数 的图象与x轴交于点（4，0），
观察图象得：当 时，函数 的图象位于x轴的上方，
∴若 ， ．
【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，一次函数图象上点的坐标特征，利
用数形结合是解题的关键．
14．如图，直线 相交于点A， 与x轴的交点坐标为 ， 与y轴的交点坐标为 ．
(1)求出直线 表示的一次函数关系式；
(2)当x分别取何值时， 表示的两个一次函数值分别大于0？
(3)当x取何值时， 表示的函数值比 的函数值大？
【答案】(1)直线 的函数关系式为 ，直线 的函数关系式为
(2)当 时，直线 的函数值大于0；；当 时，直线 的函数值大于0；
(3)当 时， 表示的函数值比 的函数值大【分析】（1）利用待定系数法求解两直线的函数关系式即可；
（2）根据图象，取图象位于x轴上方部分的坐标的横坐标的取值范围即可求解；
（3）根据图象，取直线 位于直线 上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：设直线 的函数关系式为 ，
将点 ， 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的函数关系式为 ；
设直线 的函数关系式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的函数关系式为 ，
（2）解：由图可知，当 时， ，即直线 的函数值大于0；
令 ，由 得 ，
∴当 时， ，即直线 的函数值大于0．
（3）解：由图可知，当 时， 表示的函数值比 的函数值大．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、两直线的交点问题、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握
待定系数法求函数解析式，会利用数形结合思想求解是解答的关键．15．如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与一次函数 的图象的交点坐标为
．
(1)求 的值和一次函数的解析式；
(2)直接写出使函数 的值大于函数 的值的自变量 的取值范围．
【答案】(1) ，一次函数解析式为 ；
(2)自变量x的取值范围是 ．
【分析】（1）先把 代入正比例函数解析式可计算出 ，然后把 代入 计算出k
的值，从而得到一次函数解析式为 ；
（2）观察函数图象得到当 时，直线 都在 的上方，即函数 的值大于函数
的值．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，
则点A的坐标为 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
所以一次函数解析式为 ；
（2）解：观察函数图象得到当 时，直线 都在 的上方，即函数 的值大于函数
的值．
所以自变量x的取值范围是 ．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数
的解析式，数形结合是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴， 轴分别交于点 ， ，且与直线 ：
相交于点 ．
(1)求 和 的值．
(2)直线 ， 与 轴围成的三角形面积为___________．
(3) 的解集为___________．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）先把C点坐标代入 中可求得a的值，然后把C点坐标代入 中可求得k的值；
（2）先解方程 可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线 ， 与 轴围成的三角形
面积；
（3）结合图象，写出两函数图象在 轴上方(含B点)且直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解:把 代入 得
,
解得：
把 代入 得，解得
（2）解：由（1）可得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
当 时,
解得 ,
点坐标为
直线 与 与 轴围成的三角形面积为：
（3）解：结合图象, 的解集为
【点睛】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式
问题，利用数形结合思想是解题关键．
17．已知直线 与x轴交于点 与y轴交于点 ，
(1)求直线 的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且 ，求点C的坐标．
(3)根据图像直接写出：当x取何值时， ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：设直线直线 的解析式为 ，把点 ，点 代入得：
，
解得： ，
∴直线直线 的解析式为 ；
（2）解：∵点 ，
∴ ，
设点 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点C的坐标为 ；
（3）解：观察图像得：当 时， ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求出一次函数解
析式是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．在平面直角坐标系内，一次函数 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．当 时， B．方程 的解是
C．当 时， D．不等式 的解集是
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数 的图象可知，
当 时， ，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是 ，B选项错误，不符合题意；
当 时， ，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是 ，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
2．一次函数 与 在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组 的解
集为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据两个一次函数的图象可得不等式的解集，进一步可得不等式组的解集．
【详解】解：观察函数图象得到
不等式 的解集为 ，
不等式 的解集为 ；所以不等式组 的解集为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
3．一次函数 （ ）与 的图像如图所示，当 时， ，则满足条件的k的取
值范围是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． 或
【答案】B
【分析】联立 与 ，求出两条直线交点的横坐标，根据当 时， ，结合图象列
不等式，即可求解．
【详解】解：联立 与 ，
得 ，
解得 ，
即一次函数 （ ）与 的图像的交点的横坐标为 ，
当 时， ，
，
当 ，即 时， ，
解得 ；当 ，即 时， ，
解得 ，与 矛盾，不合题意；
当k=-1时，两函数图象平行，满足题干要求，
当k=2时，两函数图象交于（1,1），由图象可知，满足题干要求，
又 ，
满足条件的k的取值范围是 且 ，
故选B．
【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题：
4．如图，直线 与 的交点的横坐标为 ．下列结论：① ， ；②直线
一定经过点 ；③m与n满足 ；④当 时， ．其中正确的有
________．（只填序号）
【答案】①②③
【分析】①由直线 与 轴交于负半轴，可得 ； 的图象从左往右逐渐上升，
可得 ，即可判断结论①正确；
②将 代入 ，求出 ，即可判断结论②正确；
③由整理即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当 时，直线 在直线 的上方，即 ，即可判断
结论④正确．
【详解】】解：① 直线 与 轴交于负半轴，
；
的图象从左往右逐渐上升，
，
故结论①正确；
②将 代入 ，得 ，
直线 一定经过点 ．故结论②正确；
③ 直线 与 的交点的横坐标为 ，
当 时， ，
．
故结论③正确；
④ 当 时，直线 在直线 的上方，
当 时， ，
故结论④错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，逐
一分析四条结论的正误是解题的关键．
5．如图，函数 和 的图象相交于点 ，则关于 x 的不等式 的解集为
______．
【答案】
【分析】先把点A的坐标代入 中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：
把点A代入 可得 ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
由图象可得当关于x的不等式 时，则需满足在点A的右侧，即 的图象在 的图
象下方，
∴不等式 的解集为 ；故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式是解题的关键．
6．如图，已知直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且两直线交于点
，则不等式 的解集为________．
【答案】−2＜x＜4/
【分析】根据函数图象，找出在x轴的上方，直线y＝ax＋b的图象在直线y＝mx＋n的图象上方部分对应
的自变量的取值范围，即为不等式0＜mx＋n＜ax＋b的解集．
【详解】解：∵在x轴的上方，且直线y＝ax＋b的图象在直线y＝mx＋n的图象上方部分对应的自变量的
取值范围即为不等式0＜mx＋n＜ax＋b的解集，
∴根据图象可知：不等式的解集为：−2＜x＜4，
故答案为：−2＜x＜4．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，
属于中考常考题型．
三、解答题：
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，且与x轴相交于点 ，与一
次函数 的图象相交于点A，点A的横坐标为4．(1)求k，b的值；
(2)请直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)设点E在直线 上，且 ，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到 、 的值；
（2）结合函数图象，写出直线 在直线 上方所对应的 的范围即可；
（3）先确定D点坐标，求出 的面积，设点E的纵坐标为m，然后求出 ，即可得到E点坐标．
【详解】（1）解：∵直线 经过 和 ，
∴ ，
解得： ．
即 ；
（2）解：∵点A的横坐标为4，
∴根据函数图象可知，不等式 的解集是 ；（3）解：把 代入 得： ，
解得： ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点E的纵坐标为m，
则 ，
解得： 或 ，
∵一次函数 的解析式为 ，点E在直线 上，
∴把 代入 得： ，
解得： ，
∴此时点E的坐标为 ；
把 代入 得： ，
解得： ，
∴此时点E的坐标为 ；综上分析可知，点E的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及面积问题，解题
关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，注意分类讨论．
