文档内容
专题 19.40 一次函数常考核心知识点分类专题（分层练习）（培优
练）
考点目录：
【考点1】函数及其图象；
【考点2】一次函数的图象位置；
【考点3】一次函数图象位置与参数关系；
【考点4】一次函数图象与坐标轴交点问题；
【考点5】一次函数图象的平移（行）、垂直；
【考点6】一次函数的增减性与一次函数图象位置；
【考点7】一次函数的增减性与参数关系；
【考点8】一次函数的增减性与大小比较；
【考点9】一次函数图象规律与解析式；
【考点10】一次函数图象与坐标轴交点与方程（不等式）的解（集）；
【考点11】两一次函数图象的交点与不等式组的解（集）；
【考点12】一次函数图象与面积问题.
【考点13】一次函数的图象与性质综合
一、选择题
【考点1】函数及其图象
1．一个温度计从一杯热茶中取出之后，立即被放入一杯凉水中，此时温度计所显示的温度随时间的变化
而变化，下列可以近似地表示温度计所显示的温度 与时间 之间的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关系式中 不是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．【考点2】一次函数的图象位置
3．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．如图中的直线 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【考点3】一次函数的图象位置与参数关系
5．已知关于x的分式方程 无解，且一次函数 的图象不经过
第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个正比例函数 的图象经过不同象限的两点 ，那么一定有（ ）
A． B． C． D．
【考点4】一次函数的图象与坐标轴交点问题
7．一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，且 ，则p的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．已知在平面直角坐标系中，一次函数 （a为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向右平移3个单位长度后，与y轴交于点B，若点A与点B关于x轴对称，则关于一次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与y轴交于负半轴 B．不经过第三象限
C．与坐标轴围成的三角形面积为3 D．经过点
【考点5】一次函数图象的平移（行）、垂直
9．已知一次函数的图象与直线 没有交点，且过点 ，则此一次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．我们知道：若两条直线 与 垂直，则 ．如图，已知点 到
直线 的距离是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点6】一次函数的增减性与一次函数图象位置
11．下列关于一次函数 的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
12．关于直线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在 上 B． 经过定点
C． 必定经过第一、三象限 D．当 时， 随 的增大而增大【考点7】一次函数的增减性与参数关系
13．若一次函数 的图象经过点 和点 ，当 时， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若 ，且 ，当 时，关于x的代数式 恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【考点8】一次函数的增减性与大小比较
15．一次函数 的图像过点 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．平面直角坐标系中，过点 的直线l经过一、二、三象限，若点 ， ， 都在直线
l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点9】一次函数图象规律与解析式
17．在平面直角坐标系中，点 ， ，以 为一边在第一象限作正方形 ，则对角线
所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
18．正方形 ， ， ，…，按如图的方式放置，点 ， ， ，…和点 ， ，
，．．．分别在直线 和 轴上，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【考点10】一次函数图象与坐标轴交点与方程的解
19．若一次函数 （ 为常数且 ）的图像经过点 ，则关于 的方程 的解
为（ ）
A． B． C． D．
20．在直角坐标平面内，一次函数 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．方程 的解是
C．当 时，
D．不等式 的解集是
【考点11】两一次函数图象的交点与不等式组的解（集）
21．如图，M为一次函数 （k、b是常数， ）图象上一点，过点M作直线 轴，已知直
线l与x轴的距离为2，则关于x的不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
22．如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点12】一次函数图象与面积问题
23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线 、 、 所对应的函数表达式分别为 、 、
（k≠0且k≠1），若 与x轴相交于点A， 与 、 分别相交于点P、Q，则 APQ的面积
△
（ ）
A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化24．如图，点 、 的坐标分别为 、 ，点 是第一象限内直线 上一个动点，当
点 的横坐标逐渐增大时，四边形 的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变
【考点13】一次函数的图象与性质综合
25．若一次函数 在 的范围内 的最大值比最小值大 ，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为2或－2 B． 的值随 的增大而减小
C．k的值为1或－1 D．在 的范围内， 的最大值为
26．如图，在直角坐标系中，等腰 的O点是坐标原点，A的坐标是 ，直角顶点B在第二
象限，等腰 的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的
解析式是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】函数及其图象
27．设 表示关于 的函数，若 ，且 ，那么 ．
28．函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【考点2】一次函数的图象位置29．已知点 在直线 上，则 的值为 ．
30．已知一次函数y＝ax+b，且3a+b＝1，则该一次函数图象必经过点 ．
【考点3】一次函数的图象位置与参数关系
31．若一次函数 的图象不经过第四象限，那么 的取值范围是 ．
32．关于 的一次函数 （ 为常数且 ）．
①当 时，此函数为正比例函数；
②若函数图象同时经过点 和点 （ ， 为常数），则 ；
③无论 取何值，该函数图象都不可能经过第二、三、四象限；
④若该函数图象与直线 关于 轴对称，则 ．
上述结论中正确的是 （填序号）．
【考点4】一次函数的图象与坐标轴交点问题
33．在平面直角坐标系中，若直线 与直线 关于 轴对称，则 的值为 ．
34．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 为线段 的中点，点 、 分别为线
段 、 上的动点， 的值最小值为 ．
【考点5】一次函数图象的平移（行）、垂直
35．如图，把直线l向右平移2个单位得到直线 ，则直线 的解析式为 ．36．如图，一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限， 与 垂
直，且 ，则点C的坐标为 ．
【考点6】一次函数的增减性与一次函数图象位置
37．已知一次函数 ，若 随 的增大而增大，且此函数图象与 轴的交点在 轴下方，
则 的取值范围是 ．
38．已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有 ．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；
②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；
④坐标原点到直线的最大距离是 ．
【考点7】一次函数的增减性与参数关系
39．一次函数 ，当 时 ，则 ．
40．定义：若 满足 ， （ 为常数），则称点 为“好点”．
（1）若 是“好点”，则 ．
（2）在 的范围内，若直线 上存在“好点”，则 的取值范围为 ．
【考点8】一次函数的增减性与大小比较
41．若 ， 这两个不同点在y关于x的一次函数 图象上，且 ，
则a的取值范围 ．
42．已知点 ， 是函数 图像上的两个点，若 ，则 ．（填
“＞”“＜”或“＝”）【考点9】一次函数图象规律与解析式
43．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在△ 内作等边三角形，使它的一边
在 轴上，一个顶点在边 上，作出的第 个等边三角形是△ ，第 个等边三角形是△ ，第
3个等边三角形是 ，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 交x轴于点A，交y轴于点B，若直线 交x轴于
点C，且 ，则直线 的解析式为 ．
【考点10】一次函数图象与坐标轴交点与方程的解
45．如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式 的解集是 ．
46．已知关于 的两个一次函数 ， 其中 ， 均为非零常数 ．（1）若两个一次函数的图象都经过 轴上的同一个点，则 ；
（2）若对于任意实数 ， 都成立，则 的取值范围是 ．
【考点11】两一次函数图象的交点与不等式组的解（集）
47．如果点 是一次函数 与 图像的交点，那么 ， ．
48．如图所示是函数 的图像，若 ，则x的取值范围为 ．
【考点12】一次函数图象与面积问题
49．如图，直线 ，分别交 轴于点 ，交 轴于点 ，以 为直角边构造直角等腰三角形
， ，动点 的坐标为 ，如果 的面积与 的面积相等，那么所有符合条
件的 值之和为 ．
50．如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A、B，且 ，点A坐标为 ，经过点A的直线
平分 的面积，与y轴交于点C，将直线 向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ．【考点13】一次函数的图象与性质综合
51．如图，D是 外一点， ， ， ，若 ，则
取最小值时， ．
52．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所在
直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．参考答案：
1．C
【分析】
本题考查了函数的图象，温度计从一杯热茶中取出之后，温度较高，立即放入一杯凉水中，温度快速下降，
解题的关键是了解两个变量之间的关系．
【详解】
解：温度计从一杯热茶中取出之后，温度较高，立即放入一杯凉水中，温度快速下降，所以符合要求的是
C选项，
故选：C．
2．A
【分析】根据函数的定义，在一个变化的过程中，有两个变量 与 ，若 每取一个值， 都有唯一的一
个值与它相对应，则 是 的函数，逐项进行判断即可．
【详解】解：选项 、 、 中，每一个 值都有一个 值与它对应，
选项 、 、 中 是 的函数，
选项 中，给 一个正值， 有两个值与之对应，
选项 中 不是 的函数，
故选： ．
【点拨】本题考查了函数的定义，解此类题的关键是掌握，在一个变化的过程中，有两个变量 与 ，若
每取一个值， 都有唯一的一个值与它相对应，则 是 的函数．
3．B
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；
分 和 ，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可．
【详解】解：当 时，函数 过二、四象限，函数 过一、二、三象限，选项B
中函数图象符合；
当 时，函数 过一、三象限，函数 过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
4．A
【分析】结合图像，根据一次函数图像的性质|k|越大，图像越靠近y轴作答即可．
【详解】解：由题意得直线l 经过了二四象限，
1∴ 为负数，
由直线与y轴的靠近程度可知， ，
∴ 的大小关系是 ．
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数图像的知识，注意掌握k的大小表示倾斜度的大小，由此可比较k的大小．
5．C
【分析】
题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出 或 或 ，确定 或 或
，再由一次函数的性质得出 ，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
【详解】
解：分式方程两边同时乘 ，得 ，
整理，得 ．
∵此分式方程无解，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ．
∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴满足条件的m的值之和是 ．
故选C．
6．D【分析】
本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在象限，从
而确定正比例函数 的图象所过的象限，再由 两点不在同一个象限即可得到答案，熟练
掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】
解：∵点 的横坐标为 ，
∴此点在二、三象限；
∵点 的纵坐标为 ，
∴此点在一、二象限，
∴此函数的图象一定经过一、三象限，
∴点 在第三象限，点 在第一象限，
∴ ，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式的性质，先把 ，得出 的取值范围，即可得出
的取值范围；
【详解】∵一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 且 ，
∴ ，
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C
8．D【分析】先根据将该一次函数的图象向右平移3个单位长度后，与y轴交于点B，若点A与点B关于x轴对
称，求出 ，得出一次函数解析，然后根据一次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：A．一次函数 （a为常数）的图象与y轴交点坐标为 ，将该一次函数的图象向
右平移3个单位长度后的关系式为：
，即 ，
一次函数 与y轴的交点坐标为 ，
∵点 与点 关于x轴对称，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数 的解析式为 ，
∴与y轴交点坐标为 ，即与y轴交于正半轴，故A错误；
B．一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误；
C．把 代入 得： ，
解得： ，
∴一次函数 的图象与x轴交点为 ，
∴与坐标轴围成的三角形面积为 ，故C错误；
D．把 代入 得： ，
∴一次函数 的图象经过点 ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数的平移，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，关
于x轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据题意先求出一次函数解析式．
9．C
【分析】本题考查了两直线相交和平行，根据平行可得 ，再把 代入解析式即可得出答案．【详解】解：设一次函数的表达式 ，
∵一次函数的图象过点 ，
∴ ，
∵一次函数的图象与直线 平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
10．B
【分析】先求得直线 一定过 ，进而得 ，由垂线段最短得
垂直于直线 ，进而利用待定系数法求得直线 ： ，从而根据两直线
垂直时，一次项系数的关系即可得解．
【详解】解：如图，
∵对于 ，当 时， ，
∴直线 一定过 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 到直线 的距离是 ，∴由垂线段最短可得 垂直于直线 ，
设直线 ： ，
∵ 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 ： ，
∵两条直线 与 垂直，则 ，
∴直线 为： ，
解得 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一
次函数是解题的关键．
11．A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，
从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是 ，故符合题意；
B、一次函数的图象中 ， ，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为 和 ，∴与坐标轴围成的三角形面积
为4，故不符合题意；
故选：A．12．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
对于A，B两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值
看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断C、D
的正误．
【详解】A. 当 时， ，即点 在l上，故A正确，不符合题意；
B. 当 时， ，即 经过定点 ，故B正确，不符合题意；
C. 当 时， ， 经过第一、二、四象限，故C不正确，符合题意；
D. 当 时， 随 的增大而增大，故D正确，不符合题意．
故选：C．
13．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关
键．
根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：当 时， ，则y随x的增大而减小，
∴ ，
解得：
故选：D．
14．A
【分析】本题主要考查不等式的性质，一次函数的性质，先求出 ，令 ，此一次函数y随x的
增大而减小，进一步可得出结论
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
令 ，此一次函数y随x的增大而减小，
∵当 时，关于x的代数式 恰好能取到两个非负整数值，
∴当 时， ，
∴ ，故选：A
15．A
【分析】根据一次函数的增减性求解即可．
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数 （k为常数， ），当 时，y随x的增
大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
【详解】 ，
∴y随x增大而减小，
，
，
即 ，
故选：A．
16．D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点 ，得出y随x
的增大而增大，则 ，再根据点 在直线l上，得出 ，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点 ，
∴y随x的增大而增大．
∵ ，
∴ ，
∴A、B、C均错；
∵点 在直线l上，
∴ ．
故选D．
17．A
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式过 D 点作 轴于 H，如图，证明 得到，则 ，然后利用待定系数法求直线 的解析式．
【详解】解：过D点作 轴于H，如图，
∵点 ， ．
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
故选：A．18．C
【分析】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点 的坐标，
并根据有理数的乘方运算找出规律 ，由此即可求解．
【详解】解：∵点 ， ， ，…在直线 ，
∴当 时， ，即 的纵坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴当 时， ， ，即 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 的横坐标为 ，
纵坐标为 ，
∴ 的横坐标为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，则
∵是正方形 是正方形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴当 时， ， ，则 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 的横坐标为 ，
纵坐标为 ，
同理， ， 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 的横坐标为 ，纵坐标为 ，∴点 的坐标是 ，
故选：C．
19．C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由 与
可得直线 向右平移7个单位得到直线 ，从而可得直线 与 轴
交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线 是由直线 向右平移7个单位所得，
与 轴交点为 ，
直线 与 轴交点坐标为 ，
的解为 ，
故选：C．
20．B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是
解题的关键．
【详解】解：一次函数 的图象与 轴， 轴的交点为 ， ，
当 时， ，故 错误，不符合题意；
方程 的解是 ，故 正确，符合题意；
当 时， ，故 错误，不符合题意；
不等式 的解集是 ，故 错误，不符合题意；
故选： ．
21．A
【分析】
本题考查根据两条直线的交点情况，求不等式的解集，利用图象得到的坐标，根据坐标得到不等式
的解集，即可解题．
【详解】解： 过点M作直线 轴，且直线l与x轴的距离为2，
点M的纵坐标为2，由图知，点M的横坐标为 ，
，
关于x的不等式 的解集为： ；
故选：A．
22．A
【分析】
本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解．
【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴方程组 的解为 ．
即：方程组 的解为 ．
故选：A．
23．B
【分析】设 与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据
即可求出答案．
【详解】联立 ，
解得： ，
∴P(2，4)．
联立 ，
解得： ，∴Q( ， )．
对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴A(-2，0)．
设 与x轴的交点为B，
对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴B( ，0)．
∴ ，
∴
当 时， ，
当 时， （不合题意），
当 时， ．
综上可知 的面积为10．
故选B．
【点拨】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是
解题关键．
24．D
【分析】根据点 、 的坐标求出 所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出 是定值，
是定值， 到直线 的距离是定值，进而得出答案．
【详解】解：连接 ，点 、 的坐标分别为 、 ，
设 所在直线解析式为： ，
，
解得： ，
所在直线解析式为： ，
将直线 ： 向上平移1个单位即可得直线 ，
两直线平行，
点 是第一象限内直线 上的一个动点，
到直线 的距离是定值，
是定值， 是定值， 到直线 的距离是定值，
∴ 是定值，
∴ 是定值，
当点 的横坐标逐渐增大时，四边形 的面积不变．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，
根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．
25．A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：当 时，
当 时，
当 时， 随 的增大而增大
则由题意可得：
此时在 的范围内， 的最大值为
当 时， 随 的增大而减小
则由题意可得：
此时在 的范围内， 的最大值为
故选： ．
26．D
【分析】当 轴平行时，过B作 轴于点E，过D作 轴于点F， 交 于点G，根据
O点是坐标原点，A的坐标是 ，得到 ，推出 ， ，推出
，推出 ；当C与原点重合时，D在y轴上，推出 ，设所求直线解析式为
，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所
求直线解析式．
【详解】当 轴时，过B作 轴于点E，过D作 轴于点F， 交 于点G，如图1所
示．
∵等腰直角 的O点在坐标原点，A的坐标是 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴D坐标为 ；
当C与原点O重合时，D在y轴上，如图2所示．
此时 ，即 ．设所求直线解析式为 ，
将点D两位置坐标代入得： ，解得 ．
则这条直线解析式为 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形，一次函数．熟练掌握待定系数法确定一次函数解析式，等腰直
角三角形的性质，坐标与图形性质，是解答本题的关键．
27．4
【分析】根据 ，把 化为 代入计算即可．
【详解】解：∵若 ， ，
∴
，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了函数的概念，能够把把 化为 是解题的关键．
28． /
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，熟知二
次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式组，计算即可．【详解】解：由题意可知， ，
解得 ．
故答案为： ．
29．0
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征，代数式求值，根据一次函数图象上点的特征将 点
坐标代入直线 ，可得 ，整体代入计算可求解．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴ ，
即 ，
∴原式
．
故答案为： ．
30． ．
【分析】由已知等式可知当 时， ，即可求得答案．
【详解】解： ，
相当于 中，当 时， ，
一次函数图象必过点 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，由等式得到 ， 是解题的关键．
31．
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 、 的关系，先判断出一次函数图象经过第
一、二、三象限或一、三象限，即可确定 的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第四象限，
∴一次函数 图象经过第一、二、三象限或一、三象限，
∴ ，
故答案为： ．
32．③④【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数图象与系数关系以及图象上点的坐标特征，
逐项分析判断正误即可．
【详解】解：①当 时，函数为 是一次函数，故①不正确；
②将点 和点 代入 得：
，
② ①得： ，
，故②不正确；
③不妨假设函数图象同时经过第二、三、四象限，则：
，此不等式组为空集，
不存在 的值使一次函数 同时经过第二、三、四象限．
故结论③正确；
④在函数 中，令 ，则 ， 关于 轴的对称点为 ，将点 代入
中，得 ，解得 ．
故结论④正确．
故答案为：③④．
33．
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题
意得到直线 关于 轴的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ；
点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，
把点 、 代入 ，
得： ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．34．
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与
性质，熟练掌握轴对称的性质、垂线段最短、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质，是
解题的关键．作点D关于x轴的对称点 ，连接 ，由轴对称的基本性质可得 ，
，当点 三点共线，且 时，由直线外一点到已知线段的垂线段最
短，此时 值最小，根据直线 求出点A、B的坐标，从而得出 ，从而得出点
D、 的坐标，再根据等腰直角三角形的性质得出点P的坐标，用待定系数法求值直线 的解析式，联
立
，求出点C的坐标，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】解：作点D关于x轴的对称点 ，连接 ，
，
，
当点 三点共线，且 时，此时 值最小，即 的长，
在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点D为线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得： ，
∴直线 解析式为： ，
联立 ，
解得： ，
∴ ，
，
的最小值为： ，
故答案为： ．
35．
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，解决本题的关键是求直线解析式和熟练掌握平移的规律．【详解】解：∵直线 经过 、 ，
∴直线 为 ，
∵直线 向右平移2个单位得到直线 ，
∴直线 为 ，
即： ，
故答案为： ．
36．
【分析】先求出 ，得到 ，如图所示，过点C作 轴于D，通过证明
得到 ，进而得到 ，则 ．
【详解】解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点C作 轴于D，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
37．
【分析】先利用一次函数的性质得 ，再利用一次函数与 轴交点得到 ，然后求出两个不
等式的公共部分即可．
【详解】∵一次函数 ， 随 的增大而增大，
∴ ，
∵函数图象与 轴的交点在 轴下方，
∴ ，
则： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用．
38．①③④
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当m＝2时，y＝（2-1）x+3﹣2×2＝x－1，
此时一次函数y＝x－1，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，当m－1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而减
小；故②错误；
当x＝2时，y＝（m-1）x+3﹣2m＝2（m－1）＋3－2m＝2m－2＋3－2m＝1，
∴直线必过定点（2，1）；故③正确；
设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线y＝（m-1）x+3﹣2m必过定点（2，1），设点P（2，1），
∴d≤｜OP｜＝ ，
∴坐标原点到直线的最大距离是 ．故④正确．
故答案为：①③④
【点拨】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
39． 或 / 或2
【分析】
本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，① 时，y随x的增大而增大，
② 时，y随x的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入 中，求
出 ， 的值，即可解题．
【详解】解： 一次函数 ，当 时 ，
下面两种情况讨论：
①当 时，y随x的增大而增大，
即 时， ， 时， ，
，解得 ，
；
①当 时，y随x的增大而减小，
即 时， ， 时， ，
，解得 ，
；
故答案为： 或 ．
40．
【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，（1）根据题意得出 ，消去t即可得到 ；
（2）根据题意得出 ，消去t得 ，由 ，得出 ．
【详解】解：（1）∵ 是“好点”，
∴ ，
消去t得到 ，
故答案为： ；
（2）∵在 的范围内，若直线 上存在“好点”，
∴ ，
消去t得 ，
∵
∴ ．
故答案为： ．
41．
【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，参数不等式；由点在函数图象上得 ，
，从而可表示出 ，
代入已知不等式，即可求解；将不等式化为 是解题的关键．
【详解】解： ， 在一次函数图象上，，
，
，
，
，
， 是两个不同点，
，
，
，
；
故答案： ．
42．
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合 ，可得出
．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵点 ， 是函数 图象上的两个点，且 ，即
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y随x的增大而减小”
是解题的关键．
43．
【分析】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律
推理．过点 作 轴于点D，由直线 求出 ， ，从而得到 和 的长度，
然后根据含30度角直角三角形的性质得出 ，从而求出 ，再根据勾股定理得出
，从而得到 ， ， ，依此类推，第n个等边
三角形的边长等于 ，据此即可求解．
【详解】
解：如图，过点 作 轴于点D，
∵直线 与x、y轴交于B、C两点，
∴当 时， ，当 时， ，∴点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴第1个等边三角形的边长 ，
同理：第2个等边三角形的边长 ，
第3个等边三角形的边长 ，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于 ，
∴第2024个等边三角形的边长等于 ．故答案为： ．
44． 或
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求得 D点的坐标，
然后根据待定系数法求得直线 的解析式．
【详解】
一次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
设直线 的解析式为 ，
若点 在直线 右侧，
如图1，过点 作 ，交 于点 ，
过点 作 于 ，
且 ，
，
，
，点 ，
直线 过点 ．
，点得 ，
直线 为 ；
若点C在直线 的左侧时，如图2
同理可得 ，
直线 过点 ，
，解得
直线 为 ，
故答案为： 或 ．
45．
【分析】先把 代入 得 ，则 化为 ，然后解关于x的
不等式即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点 代入解析式求得k与b的关系是解题的
关键．
【详解】解：把 代入 得 ，
解得 ，则 化为 ，
而 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
46． 5 且
【分析】
根据两个一次函数的图象都经过 轴上的同一个点，得到当 时，函数值 ， ，
解方程即可得到结论；
根据对于任意实数 ， 都成立，推出 与 平行，且 在 的上面，解不等式即可得到结论．
【详解】
解： 两个一次函数的图象都经过 轴上的同一个点，
当 时，函数值 ， ，
，
；
故答案为： ；
对于任意实数 ， 都成立，
与 平行，且 在 的上面，
，
，
，
解得 ，
的取值范围是 且 ．故答案为： 且 ．
【点拨】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交与平行问题，正确地列出不等式是解题的关键．
47． 3
【分析】
把点 分别代入 和 中，得一个关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系．两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的二
元一次方程组的解．熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：把点 分别代入 和 中，得
，
解得 ，
经检验，为原方程组的解，
故答案为： ；3．
48．
【分析】题目主要考查根据函数图形确定不等式的解集，根据图象得出当 时， ；当 时，
；然后求解不等式即可得出结果．
【详解】解：由图得，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
∴
解得： ，
；
∴
当 时， ，
解得： ，；
∴
综上可得： ．
49．0
【分析】首先根据一次函数的性质以及勾股定理，解得 的长度，进而解得 的面积，再分 在第
一象限和 在第四象限两种情况讨论，根据三角形面积公式解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：对于直线 ，
令 ，则有 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴当 在第一象限时， ， ，
∴ ，
解得 ，
当 在第四象限时， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴所有符合条件的 值之和为： ．故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点、坐标与图形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、有理
数加法运算等知识，正确解得 的面积是解题关键．
50． /
【分析】由 ，点A坐标为 ，可得 ，由直线 平分 的面积，可知 是
中 的中线，则 ，待定系数法求得直线 的解析式为 ，根据上加下减求平移后
的解析式即可．
【详解】解：∵ ，点A坐标为 ，
∴ ，
∵直线 平分 的面积，
∴ 是 中 的中线，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得， ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数解析式，中线的性质，一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练
掌握与灵活运用．
51． /
【分析】延长 交于点 ，得到 ，再通过线段的转换得到 ，过点 作的垂线段，且使 ，证明 ，根据两点之间线段最短得到 三点共线时，
取得最小值，以点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，过点 作 轴的
垂线段，交 轴于点 ，求得点 坐标，即可计算 的值，即可解答．
【详解】解：如图，延长 交于点 ，
，
，
，
，
根据勾股定理可得 ，
，
，
过点 作 的垂线段，且使 ，
，
，
，
，
取最小值时， 取最小值，即 三点共线时，取得最小值，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，过点 作 轴的垂线段，交 轴于点
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 代入可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，可得 ，
解得 ，
，
设 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，
，
，
根据勾股定理可得 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一次函数及其交点坐标，坐标与图形，作出正确的辅助线，利用建立直角坐标系的方法求得 的长，是解题的关键．
52．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得 ， ，
由一次函数可得 ， ，进而由勾股定理得到 ， ，设 ，由
列方程即可求出 ，进而得到点 的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是
解题的关键．
【详解】解：由折叠可得 ， ，
∵直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
